وظیفه اصلی برنامه ریزی خطی مدل ریاضی یک مسئله برنامه ریزی خطی انتقال از محدودیت های یک مدل ریاضی خطی

مدل برنامه ریزی خطی

1 توصیف ریاضی مدل برنامه ریزی خطی

2 روش برای پیاده سازی مدل های برنامه ریزی خطی

3 مسئله برنامه ریزی خطی دوگانه

مدل برنامه ریزی خطی(LP) در صورتی صورت می گیرد که در سیستم مورد مطالعه (شیء) محدودیت ها بر روی متغیرها و تابع هدف وجود داشته باشد خطی.

مدل های LP برای حل دو نوع اصلی از مشکلات کاربردی استفاده می شود:

1) برنامه ریزی بهینه در هر زمینه از فعالیت های انسانی - اجتماعی، اقتصادی، علمی، فنی و نظامی. به عنوان مثال با برنامه ریزی تولید بهینه: توزیع منابع مالی، نیروی کار و سایر منابع، تامین مواد اولیه، مدیریت موجودی و غیره.

2) وظیفه حمل و نقل (یافتن طرح بهینه برای انواع مختلف حمل و نقل، طرح بهینه برای توزیع وسایل مختلف بر روی اشیاء برای اهداف مختلف و غیره)

توصیف ریاضی مدل برنامه ریزی خطی

یافتن مقادیر غیر منفی متغیرها الزامی است

ارضای محدودیت های خطی در قالب برابری ها و نابرابری ها

,

جایی که - اعداد داده شده،

و یک اکسترومی از تابع هدف خطی را ارائه می دهد

,

که در آن اعداد داده می شود که به صورت نوشته می شود

راه حل قابل قبولهر مجموعه ای نامیده می شود ، احراز شرایط

دامنه راه حل های قابل قبولمجموعه ای از همه راه حل های قابل قبول است.

راه حل بهینه
، برای کدام .

ملاحظات

1. مدل LP کاهش یافته است عمومی. نیز وجود دارد استانداردو ابتداییاشکال مدل های LP

2. شرایط وجودپیاده سازی مدل LP:

- مجموعه راه حل های قابل قبول خالی نیست.

- تابع هدف محدود شده توسط (حداقل از بالا هنگام جستجو برای حداکثر و از پایین هنگام جستجو برای حداقل).

3.LP بر دو قضیه استوار است

قضیه 1. بسیاری از جی، که توسط سیستم محدودیت های فرم تعریف می شود، یک مجموعه بسته محدب است ( چند وجهی محدببا نقاط گوشه - قله ها.)

قضیه 2. فرم خطی ، بر روی یک چندوجهی محدب تعریف شده است

j=1,2,…,س

i=s+1،s+2،…، متر,

در یکی از رئوس این چندوجهی به یک انتها می رسد.

این قضیه را قضیه اکستریم شکل خطی می نامند.

مطابق با قضیه وایرشتراس، راه حل بهینه منحصر به فرد است و یک اکستروم جهانی است.

یک رویکرد تحلیلی کلی وجود داردبرای اجرای مدل LP - روش سیمپلکس. هنگام حل مسائل برنامه ریزی خطی، اغلب هیچ راه حلی وجود ندارد. این به دلایل زیر رخ می دهد.

بیایید دلیل اول را با یک مثال توضیح دهیم.

درباره چنین دلیلی می گویند که محدودیت ها ناسازگار است. دامنه راه حل های قابل قبول مجموعه خالی است.

دلیل دوم با مثال زیر توضیح داده شده است:

در این مورد، محدوده راه حل های امکان پذیر از بالا محدود نمی شود. حوزه راه حل های قابل قبول محدود نیست.

با پیروی از سنت های برنامه ریزی خطی، به مسئله LP یک تفسیر اقتصادی خواهیم داد. بگذارید داشته باشیم مترانواع منابع تعداد نوع منبع jبرابر است . این منابع برای تولید مورد نیاز است nانواع کالا اجازه دهید مقدار این کالاها را با نمادها مشخص کنیم به ترتیب. نوع آیتم منهزینه ها تولید انواع کالا منباید محدود شود به ترتیب. برای تولید یک واحد کالا از نوع مننوع منبع مصرفی j. تعیین چنین برنامه ای برای تولید کالا ضروری است ( ) به طوری که هزینه کل آنها حداقل باشد.

مسائل برنامه نویسی خطی که برای بهینه سازی عملکرد اشیاء واقعی استفاده می شوند، دارای تعداد قابل توجهی متغیر و محدودیت هستند. این امر حل آنها را با روش های گرافیکی غیرممکن می کند. با تعداد زیادی از متغیرها و محدودیت ها، از روش های جبری استفاده می شود که مبتنی بر رویه های محاسباتی تکراری است. در برنامه‌ریزی خطی، روش‌های جبری بسیاری ایجاد شده‌اند که در روش‌های ساخت یک راه‌حل اولیه امکان‌پذیر و شرایط انتقال از یک تکرار به تکرار دیگر متفاوت هستند. با این حال، تمام این روش ها بر اساس اصول نظری کلی است.

کلیت مفاد نظری اصلی به این واقعیت منجر می شود که روش های جبری برای حل مسائل برنامه ریزی خطی تا حد زیادی شبیه به یکدیگر هستند. به طور خاص، تقریباً هر یک از آنها نیاز به کاهش اولیه یک مسئله برنامه ریزی خطی به شکل استاندارد (متعارف) دارند.

روش های جبری برای حل مسئله LP با کاهش آن شروع می شود فرم استاندارد (متعارف).:

,

,

من=1,..,n;j=1,..,متر.

هر مشکل برنامه ریزی خطی را می توان به یک فرم استاندارد تقلیل داد. مقایسه مدل کلی با مدل متعارف به ما این امکان را می دهد که به این نتیجه برسیم که برای کاهش مسئله LP به شکل استاندارد، لازم است اولاً از سیستم نابرابری ها به برابری ها گذر کنیم و ثانیاً همه متغیرها را به این ترتیب تبدیل کنیم. که غیر منفی هستند.

انتقال به برابری ها با افزودن یک متغیر باقیمانده غیر منفی به سمت چپ محدودیت ها برای نابرابری های نوع انجام می شود و یک متغیر اضافی غیر منفی از سمت چپ برای نابرابری های نوع کم می شود. مثلاً نابرابری هنگام عبور به فرم استاندارد، به برابری تبدیل می شود و نابرابری - به برابری . در این حالت هم متغیر باقیمانده و هم متغیر مازاد غیرمنفی هستند.

فرض بر این است که سمت راست نابرابری ها غیرمنفی است. در غیر این صورت، با ضرب دو طرف نابرابری در "-1" و تغییر علامت آن به عکس می توان به این امر دست یافت.

اگر در مسئله برنامه ریزی خطی اصلی متغیر از نظر علامت محدود نباشد، می توان آن را به عنوان تفاوت دو متغیر غیر منفی نشان داد. ، جایی که .

ویژگی مهم متغیرها این است که برای هر راه حل قابل قبول فقط یکی از آنها می تواند ارزش مثبت داشته باشد. این بدان معنی است که اگر ، سپس و بالعکس. بنابراین، می توان آن را به عنوان یک متغیر باقیمانده، اما - به عنوان یک متغیر اضافی در نظر گرفت.

مثالبگذارید یک مسئله برنامه ریزی خطی داده شود:

,

.

شما باید آن را به یک فرم استاندارد بیاورید. توجه داشته باشید که نابرابری اول مسئله اصلی دارای علامت است، بنابراین لازم است متغیر باقیمانده در آن وارد شود. در نتیجه، دریافت می کنیم.

نابرابری دوم دارای علامت است و برای تبدیل به فرم استاندارد نیاز به معرفی یک متغیر اضافی دارد که با انجام این عمل به دست می آوریم.

همچنین متغیر در علامت محدود نمی شود. بنابراین هم در تابع هدف و هم در هر دو قید باید با تفاوت جایگزین شود . پس از انجام جایگزینی، یک مسئله برنامه ریزی خطی را به شکل استاندارد، معادل مسئله اصلی به دست می آوریم:

.

مسئله برنامه ریزی خطی که به شکل استاندارد نوشته شده است، مسئله یافتن منتهی الیه تابع هدف روی مجموعه بردارهایی است که راه حل های سیستم معادلات خطی با در نظر گرفتن شرایط غیر منفی هستند. همانطور که می دانید، یک سیستم معادلات خطی ممکن است هیچ جوابی نداشته باشد، یک راه حل واحد داشته باشد یا تعداد بی نهایت جواب داشته باشد. بهینه سازی تابع هدف تنها در صورتی امکان پذیر است که سیستم بی نهایت داردراه حل های بسیاری یک سیستم معادلات خطی در صورتی که سازگار باشد (رتبه ماتریس اصلی برابر با رتبه ماتریس توسعه یافته است) و اگر رتبه ماتریس اصلی کمتر از تعداد آنها باشد، تعداد بی نهایت جواب دارد. ناشناخته ها.

اجازه دهید رتبه ماتریس سیستم محدودیت برابر باشد متر. این بدان معناست که ماتریس حداقل یک مینور دارد مترمرتبه ام برابر با صفر نیست. بدون از دست دادن کلیت، می توانیم فرض کنیم که مینور در گوشه سمت چپ بالای ماتریس قرار دارد. همیشه می توان با تغییر شماره گذاری متغیرها به این امر دست یافت. این مینور رتبه غیر صفر مترپایه نامیده می شود. بیایید از اول یک سیستم بسازیم مترمعادلات سیستم را به صورت زیر بنویسید:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

موسسه آموزش عالی دولتی

آموزش حرفه ای

"دانشگاه فنی دولتی مسکو به نام N.E. Bauman"

شعبه کالوگا

"حل مسئله برنامه ریزی خطی به روش سیمپلکس"

هدف کار: مطالعه و یادگیری نحوه به کارگیری سیمپلکس - روشی برای حل مسائل مستقیم و دوگانه برنامه ریزی خطی

بخش تئوری

فرمول بندی ریاضی مسئله برنامه ریزی خطی.

از تمرین در نظر گرفتن مسائل برنامه ریزی ریاضی نتیجه می شود که حل آنها به طور کلی تقریباً غیرممکن است. توصیه می شود که طبقات (انواع) مسائل جداگانه را در نظر بگیرید. برای هر یک از این دسته ها، می توان الگوریتم حلی را فرموله کرد که فقط برای این دسته از مسائل قابل قبول باشد. توسعه یافته ترین در برنامه ریزی ریاضی مسائل برنامه ریزی خطی (LP) هستند.

در مسائل برنامه ریزی خطی، تابع هدف خطی است و شرایط محدودیت شامل برابری های خطی و نابرابری های خطی است. متغیرها ممکن است مشمول الزام غیر منفی بودن باشند یا نباشند. یک مسئله برنامه ریزی خطی یکسان را می توان به اشکال مختلف نوشت. اگر همه قیودها به صورت نابرابری باشند، مسئله به شکل استاندارد نوشته می شود. اگر تمام محدودیت های آن به جز

برابر هستند، سپس مسئله برنامه ریزی خطی به صورت متعارف نوشته می شود.

نمای کلی یک مسئله برنامه ریزی خطی

,

محدودیت های:

1. قسمت های درست همه محدودیت ها باید غیر منفی باشند . اگر هر یک از ضرایب< 0, то необходимо коэффициенты ограничения слева и справа домножить на "-1" и изменить знак данного ограничения на противоположный;

2. همه محدودیت ها باید به صورت برابر ارائه شوند، بنابراین هنگام حرکت از نابرابری به برابری، از دستگاه متغیرهای اضافی استفاده می شود.

اگر محدودیت های اولیه مصرف برخی از منابع را تعیین می کند (علامت "")، سپس متغیرها باید به عنوان باقیمانده یا بخش استفاده نشده از منبع تفسیر شود. در این حالت متغیر باقیمانده است و با علامت «+» وارد معادله می شود.

اگر قیود اولیه مقداری بیش از یک منبع را تعریف کند (علامت "")، آنگاه یک متغیر اضافی معرفی می شود. امضاء کردن "-".

متغیرها:

همه متغیرها باید غیر منفی باشند، یعنی. .

اگر متغیری محدودیت علامتی نداشته باشد، باید به صورت تفاوت دو متغیر غیر منفی نشان داده شود: , Where . چنین جایگزینی باید در تمام محدودیت های حاوی این متغیر و همچنین در بیان تابع هدف استفاده شود.

اگر چنین متغیری در راه حل بهینه قرار گیرد، پس

تابع هدف:

به حداکثر رساندن یا به حداقل رساندن.

سیستم محدودیت ها در قالب برابری ها و نابرابری ها یک مجموعه محدب - یک چند وجهی محدب را تشکیل می دهد. این مجموعه می تواند محدود یا نامحدود باشد. تابع هدف یک مسئله برنامه ریزی خطی نیز یک تابع محدب است. بنابراین، مسئله برنامه ریزی خطی یک مورد خاص از مسئله برنامه ریزی محدب است.

سیستم محدودیت ها را برای یک مسئله برنامه ریزی خطی به شکل تساوی در نظر بگیرید

(1)

سیستم (1) معادلات خطی در صورتی سازگار است که حداقل یک جواب داشته باشد. اگر یکی از معادلات را بتوان به صورت ترکیبی خطی از سایر معادلات بیان کرد، سیستم (1) زائد نامیده می شود.

در سیستم (1) تعداد متغیرها (n مجهول) بیشتر از تعداد قیود m است. فرض می کنیم که رتبه این سیستم برابر با m (سیستم غیر زائد است) و آن سیستم (1) است. سپس m متغیرها از تعداد کل آنها متغیرهای پایه را تشکیل می دهند و سایر متغیرها را غیر اساسی می نامند. اگر سیستم معادلات دارای راه حل باشد آنگاه یک راه حل اساسی نیز دارد. راه حلی برای سیستم معادلات (1) اگر همه اجزای آن غیرمنفی باشند، قابل قبول نامیده می شود. اگر یک سیستم معادلات خطی یک جواب قابل قبول داشته باشد، یک راه حل قابل قبول نیز دارد. از همه راه حل های امکان پذیر سیستم (1) یک مجموعه محدب است، یعنی مجموعه ای از راه‌حل‌های مسئله برنامه‌ریزی خطی محدب است. از آنجایی که این مجموعه توسط صفحات (فوق‌صفحه‌ها) تشکیل می‌شود، شکل یک چندوجهی محدب دارد. راه‌حل اصلی امکان‌پذیر مربوط به نقطه انتهایی چند وجهی محدب (چهره‌ها یا رأس آن) است. یک راه حل بهینه برای یک مسئله برنامه ریزی خطی وجود دارد، سپس یک پایه وجود دارد راه حل بهینه است.

تابع هدف یک مسئله برنامه ریزی خطی معادله یک صفحه (یا یک ابر صفحه برای بیش از سه متغیر) است. تابع هدف یک مسئله برنامه ریزی خطی به حداکثر یا حداقل مقدار خود یا در راس یک چندوجهی محدب یا در یکی از وجوه آن می رسد. بنابراین، راه حل (راه حل) مسئله برنامه ریزی خطی در رئوس چند وجهی محدب قرار دارد و برای یافتن آن، باید مقادیر تابع هدف را در رئوس چند وجهی محدب محاسبه کرد که با شرایط تعیین می شود. -محدودیت های مشکل

حل مسئله برنامه ریزی خطی با روش گرافیکی.

دشواری ساخت یک مدل ریاضی در شناسایی متغیرها و متعاقب آن نمایش هدف و محدودیت ها در قالب توابع ریاضی این متغیرها نهفته است. اگر مدل فقط شامل دو متغیر باشد، مشکل برنامه ریزی خطی را می توان به صورت گرافیکی حل کرد. در مورد سه متغیر، حل گرافیکی کمتر بصری می شود و با مقدار بیشتر متغیرها، حتی غیرممکن است. با این حال، راه حل گرافیکی به ما امکان می دهد نتیجه گیری کنیم که به عنوان پایه ای برای توسعه یک روش کلی برای حل یک مسئله برنامه ریزی خطی عمل می کند.

اولین گام در استفاده از روش گرافیکی این است که راه حل های ممکن را به صورت هندسی نشان دهیم، یعنی. ساخت دامنه راه حل های قابل قبول (ODD.)، که در آن تمام محدودیت های مدل به طور همزمان برآورده می شوند. هنگامی که یک راه حل گرافیکی به دست می آید، متغیر در امتداد محور افقی و - در امتداد محور عمودی رسم می شود. هنگام تشکیل SDE، باید از دریافت راه حل های غیرقابل قبولی که با نیاز به تحقق شرط عدم منفی بودن متغیرها همراه است، جلوگیری کرد. قبل از ساخت، لازم است ربع هایی که ODR در آن قرار می گیرد، مشخص شود. ربع ها با علائم متغیرها و . شرایط برای منفی نبودن متغیرها و محدود کردن دامنه مقادیر مجاز آنها به ربع اول. اگر متغیر از نظر علامت محدود نباشد، منطقه توسط ربع اول و دوم محدود می شود، اگر، سپس - با ربع اول و چهارم محدود می شود. سایر مرزهای فضای حل در صفحه، با خطوط مستقیم ساخته شده بر اساس معادلات محدودیت نشان داده می شوند، مشروط بر اینکه علامت با علامت "=" جایگزین شود. در این مورد، موارد زیر باید در نظر گرفته شود: سمت راست تمام محدودیت ها باید غیر منفی باشد. . در صورت وجود محدودیت< 0, то необходимо коэффициенты соответствующего ограничения слева и справа до-множить на "-1" и изменить знак неравенства данного ограничения на противоположный. Области, в которых выполняются соответствующие ограничения в виде неравенств, указываются стрелками, направленными в сторону допустимых значений переменных.

در نتیجه ساخت و سازها، یک چند ضلعی به دست می آید که فضای راه حل ها را تعیین می کند. اگر یکی از محدودیت ها دارای علامت "=" باشد، ODD به یک بخش تبدیل می شود.

در هر نقطه ای که به مساحت یا مرزهای چند ضلعی حل تعلق دارد، همه محدودیت ها برآورده می شوند، بنابراین همه راه حل های مربوط به این نقاط معتبر هستند. فضای حل شامل بی نهایت از چنین نقاطی است، با وجود این، می توان راه حل بهینه را پیدا کرد. برای انجام این کار، لازم است در صفحه متغیرها، گرادیان تابع هدف ساخته شود. تعیین نقطه بهینه بستگی به مسئله ای دارد که باید حل شود.

اگر مسئله بیشینه سازی در تابع هدف تعریف شده باشد، نقطه بهینه در جهت افزایش گرادیان و اگر مسئله کمینه سازی تعریف شده باشد، در جهت کاهش گرادیان تابع هدف قرار می گیرد. برای تعیین نقطه بهینه، تابع هدف را در جهت افزایش (کاهش) گرادیان تا جابجایی آن به ناحیه جواب های غیرقابل قبول حرکت می دهیم.

پس از یافتن نقطه بهینه در فضای حل، مختصات آن و مقدار تابع هدف در آن مشخص می شود. صحت انتخاب نقطه بهینه را می توان با محاسبه تابع هدف در رئوس چند وجهی حل بررسی کرد. در LLP، دامنه راه حل های امکان پذیر همیشه یک مجموعه محدب است، به عنوان مثال. به گونه ای که به همراه هر دو نقطه متعلق به این مجموعه، قطعه اتصال این دو نقطه نیز متعلق به همان مجموعه باشد. هر تابعی در جهت گرادیان خود به سریع ترین شکل افزایش می یابد.

حل مسئله برنامه ریزی خطی به روش سیمپلکس.

وظیفه مستقیم

یک مسئله برنامه ریزی خطی را به شکل متعارف در نظر بگیرید:

حداکثر (حداقل) یک تابع را بیابید تحت شرایط

فرض بر این است که راه حلی برای این مشکل وجود دارد. برای یافتن راه‌حل بهینه، باید راه‌حل‌های پایه قابل قبول یافت و راه‌حل پایه بهینه از بین آنها انتخاب شود.

روش سیمپلکس یک روش جبری برای حل مسائل برنامه ریزی خطی است. در طول محاسبات، رئوس چندوجهی راه حل (ODP) به طور متوالی با بررسی شرایط بهینه در هر راس دور می زند. علاوه بر این، هر انتقال به یک راس مجاور با بهبود تابع هدف همراه است.

روش های محاسباتی روش سیمپلکس.

با روش گرافیکی حل LLP، راه حل بهینه همیشه با یکی از نقاط گوشه (افراطی) فضای حل مطابقت دارد. این نتیجه زیربنای ساخت روش سیمپلکس است. روش سیمپلکس قابلیت مشاهده یک نمایش هندسی از فضای حل را ندارد.

روش سیمپلکس یک فرآیند منظم را پیاده‌سازی می‌کند که در آن، با شروع از یک نقطه گوشه مجاز اولیه، انتقال‌های متوالی از یک نقطه نهایی مجاز به نقطه دیگر تا زمانی که یک نقطه راه‌حل بهینه پیدا شود، انجام می‌شود.

اجازه دهید نشان دهیم: - تعداد کل متغیرها در LLP، ارائه شده به شکل متعارف. - تعداد متغیرهای اولیه؛ - تعداد محدودیت ها، - تعداد متغیرهای اضافی، سپس .

هر رأس چند وجهی حل دارای - متغیرهای غیر صفر و () - متغیرهای صفر است.

متغیرهای غیر صفر را پایه و به متغیرهای صفر غیر پایه می گویند.

ما سیستم برابری ها را با برابری تابع هدف تکمیل می کنیم، در حالی که فرض می کنیم این یک متغیر اساسی است که همیشه در پایه هر رأس وجود دارد.

برای به دست آوردن یک راه حل، یک مبنای قابل قبول اولیه کامپایل می شود که در آن متغیرهای اساسی باید به عنوان بردار واحد نمایش داده شوند. این بدان معنی است که معادلات نشان دهنده یک راس معین باید هر متغیر پایه را فقط در یک ردیف با ضریب 1 شامل شود.

هنگام انتخاب یک مبنای قابل قبول اولیه برای تدوین جدول سیمپلکس، در مرحله اول CT(0) متغیرهای اولیه برابر با صفر و غیر پایه هستند، متغیرهایی با ضرایب برابر یک از بین متغیرهای اضافی معرفی شده انتخاب می شوند. متغیرهای برابری (2) - (4) پایه هستند و با ضرایب برابر 0 وارد خط - می شوند. برای پر کردن جدول سیمپلکس، لازم است تابع هدف به فرم تبدیل شود. . بنابراین، در نهایت به این نتیجه می رسیم:

هنگام تهیه جدول سیمپلکس، قوانین زیر رعایت می شود:

ستون سمت چپ شامل متغیرهای اساسی و ;

سمت راست ترین ستون شامل قسمت های سمت راست محدودیت ها است.

خط اول شامل متغیرها به ترتیب خاصی است:

ابتدا، سپس متغیرهای غیر پایه، متغیرهای پایه در آخرین ستون ها قبل از سمت راست (IF) قرار دارند. ضرایب را در CT(0) می نویسیم:

							اگر
	1			0	0	0	0
	0			1	0	0
	0			0	1	0
	0			0	0	1

بهینه بودن هر یک از رئوس توسط ضرایب متغیرهای غیر پایه در ردیف جدول سیمپلکس فعلی تعیین می شود:

برای مسئله بیشینه سازی، این راس بهینه است اگر همه ضرایب برای متغیرهای غیر پایه در ردیف – غیر منفی باشند (>0).

برای مسئله کمینه سازی، این راس بهینه است اگر همه ضرایب برای متغیرهای غیر پایه در ردیف - غیر مثبت باشند (< 0).

اگر در مسئله بیشینه سازی (به حداقل رساندن) یک متغیر غیر پایه در ردیف – دارای ضریب باشد.<0(>0)، پس نقطه فعلی بهینه نیست و باید مبنا را تغییر داد. برای این کار، متغیر غیر پایه ای را انتخاب کنید که بیشترین ضریب منفی (مثبت) را در خط - داشته باشد. متغیر غیر پایه انتخاب شده در پایه جدید گنجانده می شود، بنابراین به آن متغیر شامل می گویند. متغیر پایه ای که از مبنا خارج می شود، متغیر خروج نامیده می شود.

متغیر حذف شده، متغیر اصلی خواهد بود که پس از وارد کردن متغیر شامل، ابتدا به "0" تبدیل می شود.

ستون متغیر شامل ستون حل نامیده می شود.

رشته متغیر حذف شده، رشته حل نامیده می شود.

تقاطع یک ستون مجاز و یک ردیف یک عنصر مجاز (RE) را تعریف می کند.

برای تعریف یک متغیر حذف شده:

قسمت های سمت راست همه متغیرهای اساسی (به جز ردیف) را با ضرایب مثبت مربوط به ستون حل تقسیم کنید.

کوچکترین نسبت های بدست آمده را انتخاب کنید.

تقسیم بر "0" و یک مقدار منفی مجاز نیست، زیرا این منجر به عدم وجود یک راس متقاطع یا به یک راس خارج از ODT می شود.

برای حرکت به یک راس مجاور، لازم است یک ماتریس انتقال B(0) تشکیل شود، که رابطه بین ST(0) و ST(1) را تعیین می کند: ST(1) = B(0) ST(0).

برای یک ماتریس مربع دلخواه با بعد n، که دارای orts واحد به عنوان (n - 1) ستون، مرتب شده مطابق با orts واحد ماتریس هویت، و یک ستون دلخواه با یک عنصر غیر صفر در مورب اصلی، معکوس ماتریس با قانون زیر پیدا می شود:

هر عنصر از ستون j به RE تقسیم می شود و علامت آن را به خلاف عنصر تغییر می دهد.

پایه اولیه مصنوعی م - روش.

اگر محدودیت اولیه به شکل برابری "=" نوشته شود یا علامت "" را داشته باشد، نمی توان بلافاصله یک راه حل اولیه قابل قبول را به دست آورد، زیرا هنگام نوشتن مسئله به شکل استاندارد، پس از معرفی متغیرهای اضافی، یک زمانی ممکن است که معادلات به دست آمده اجازه ندهند که مبنای مجاز اولیه در قالب بردارهای واحد تشکیل شود، این متغیر ممکن است ظاهر شود.

در این صورت برای یافتن مبنای مجاز اولیه، متغیرهای مصنوعی اضافی معرفی می شوند. متغیرهای مصنوعی با محتوای کار مرتبط نیستند، معرفی آنها تنها در صورتی مجاز است که طرح محاسبه مربوطه راه حل بهینه ای را ارائه دهد که در آن همه متغیرهای مصنوعی برابر با صفر باشند.

متغیرهای R مبنای مجاز اولیه را از نقطه نظر انتقال احتمالی بیشتر به یکی از رئوس ODT تعیین می کنند. برای استفاده از متغیرهای مصنوعی در تابع هدف، جریمه M در نظر گرفته شده است.در مسئله بیشینه سازی M، منفی (M)<<0), в задаче минимизации М положительное (М>>0).

خاصیت M: هنگام جمع کردن (تفریق) با هر مقدار محدودی که هر مقداری را که هر یک از متغیرهای LLP اصلی می تواند بگیرد تعیین می کند، مقدار آن (متغیر M) تغییر نمی کند، یعنی:

فرمول (1.2)، محدودیت در عدم منفی بودن متغیرها (بله، خیر) - فرمول (1.3) (1.1) i = 1، ... m (1.2) (1.3) الگوریتم حل مسائل برنامه ریزی خطی مستلزم آوردن آنها است. زمانی که تابع هدف ...

مفاهیم اولیه مدل سازی

در روند زندگی انسان، ایده هایی در مورد ویژگی های خاص اشیاء واقعی و تعاملات آنها ایجاد می شود. این بازنمایی ها توسط شخص به شکل توصیف اشیایی که زبان توصیف برای آنها استفاده می شود، شکل می گیرد. این می تواند یک توصیف شفاهی (مدل های کلامی)، یک طراحی، یک طراحی، یک نمودار، یک طرح و غیره باشد. همه موارد فوق در یک مفهوم خلاصه می شود. مدل،و فرآیند ساخت مدل مدل سازی

مدل سازیروشی جهانی برای مطالعه فرآیندها و پدیده های دنیای واقعی است. مدل سازی در مطالعه اشیایی که برای مشاهده و تحقیق مستقیم غیرقابل دسترس هستند از اهمیت ویژه ای برخوردار است. اینها به طور خاص شامل پدیده ها و فرآیندهای اجتماعی-اقتصادی است.

مطالعه هر جسم، هر شکل حرکتی، افشای نه تنها الگوهای کیفی، بلکه کمی آن نیز است که توسط ریاضیات مورد مطالعه قرار گرفته است. موارد فوق کاملاً در مورد اقتصاد صدق می کند.

اقتصاد- این یک سیستم تولید اجتماعی است که تولید، توزیع، مبادله و مصرف واقعی کالاهای مادی لازم برای جامعه را انجام می دهد.

به ترتیب، مدل اقتصادی و ریاضییک انتزاع اقتصادی است که در اصطلاحات رسمی ریاضی بیان می شود، ساختار منطقی آن هم با ویژگی های عینی موضوع توصیف و هم توسط عامل هدف ذهنی مطالعه ای که این توصیف برای آن انجام شده است تعیین می شود.

مسائل اقتصادی و ریاضی در کشاورزی با کمک روش های ریاضی حل می شود. در میان آنها، توسعه یافته ترین روش های برنامه ریزی خطی (LP) است. چنین روش هایی برای حل مسائل اقتصادی و ریاضی استفاده می شود که در آن وابستگی های کمی به صورت خطی بیان می شوند، یعنی. همه شرایط به صورت سیستمی از معادلات و نابرابری های خطی بیان می شوند و معیار بهینگی به صورت یک تابع خطی که به حداقل یا حداکثر (به حداکثر) تمایل دارد بیان می شود.

یک مسئله برنامه ریزی خطی از یک تابع هدف، یک سیستم از محدودیت ها و یک شرط برای غیر منفی بودن متغیرها تشکیل شده است.

اجازه دهید تابع nمتغیرها باید بزرگترین یا کوچکترین مقدار این تابع را پیدا کرد، مشروط بر اینکه آرگومان

یک مسئله بهینه سازی که به این روش مطرح می شود، مسئله برنامه ریزی ریاضی نامیده می شود. بسیاری از ایکسبه مجموعه راه حل های امکان پذیر و تابع هدف یا تابع هدف می گویند. راه حل عملی که تابع آن بزرگترین (یا کوچکترین) مقدار را بگیرد، راه حل بهینه برای مسئله نامیده می شود.

اگر تابع هدف خطی و مجموعه باشد ایکسبا استفاده از یک سیستم معادلات خطی و نابرابری ها داده می شود، سپس مسئله را مسئله برنامه ریزی خطی (LPP) می نامند. بنابراین، فرمول کلی مسئله برنامه ریزی خطی به شرح زیر است:

حداکثر تابع را پیدا کنید

تحت محدودیت

تحت شرایط غیر منفی

اجازه دهید نماد را معرفی کنیم:

سهام من-ام نوع منبع؛

هزینه ها من- نوع منبع برای تولید j-ام نوع محصول؛

سود واحد j- نوع محصول

در نمادگذاری فشرده، مسئله برنامه ریزی خطی به شکل زیر است:

نماد فشرده نشان می دهد که مدل یک مسئله برنامه ریزی خطی کلی شامل پنج عنصر اصلی است:

متغیرهایی که ارزش آنها در فرآیند حل مسئله یافت می شود.

ضرایب فنی و اقتصادی برای متغیرهای موجود در محدودیت ها.

حجم سمت راست نابرابری ها که به آنها ثابت مسئله می گویند.

ضرایب متغیرهای تابع هدف که تخمین متغیر نامیده می شود.

شاخص متغیر؛

شاخص محدودیت

تابع هدف(تابع هدف) یک عبارت ریاضی است که می خواهید برای آن حداکثر، یعنی حداکثر یا حداقل مقدار را پیدا کنید.

متغیرهای x jانواع و روش‌های فعالیتی را که ابعاد آن ناشناخته است و باید در مسیر حل مشکل مشخص شود، تعیین کنید. معمولاً در وظایف کشاورزی، متغیرها به معنای اندازه مورد نظر شاخه های اقتصاد، انواع خوراک در جیره، برندهای تراکتور و ماشین آلات کشاورزی و ... است. یک محصول یا نوع دام ممکن است با بیش از یک متغیر با توجه به شرایط خاص بیان شود. به عنوان مثال، غلات کالا و علوفه; ذرت برای غلات، سیلو، علوفه سبز؛ علف های چند ساله برای یونجه، یونجه، علوفه سبز، پودر علف و دانه ها و غیره.

متغیرها می توانند خودسرانه تحت شرایط مسئله مورد بررسی تغییر کنند. متغیر , که ضرایب آن یک ستون واحد نامیده می شود پایه ای.متغیرهای پایه تشکیل می شوند اساس واحدسیستم های. متغیرهایی که در پایه واحد گنجانده نشده اند فراخوانی می شوند رایگان.

تعداد کل متغیرهای موجود در کار با توجه به ماهیت کار، شرایط خاص تولید، توانایی جمع آوری اطلاعات و غیره تعیین می شود.

متغیرها را می توان در واحدهای اندازه گیری مختلف بیان کرد: ha، q، kg، pcs، heads و غیره. از نظر ماهیت، متغیرها به اصلی، اضافی و کمکی تقسیم می شوند. متغیرهای اصلی شامل انواع فعالیت های مورد نظر است: بخش های اقتصاد، انواع خوراک، مارک های خودرو. متغیرهای اضافی به متغیرهایی گفته می شود که در فرآیند تبدیل نابرابری ها به معادله تشکیل می شوند. آنها می توانند به معنای بخشی از منابع کم استفاده باشند، مازاد بر سمت راست نابرابری (اگر این نابرابری از نوع "نه دیگر" باشد). متغیرهای کمکی به منظور تعیین مقادیر تخمینی منابع تولید به دست آمده، مقادیر تخمینی شاخص های کارایی اقتصادی تولید در کار گنجانده شده است.

متغیرهای اضافی و کمکی همیشه دارای ضرایب واحد (1+ یا -1) هستند.

ضرایب فنی و اقتصادی (a ij)با متغیرهایی در سیستم محدودیت ها، نرخ ورودی منابع تولید یا نرخ خروجی در واحد اندازه گیری متغیر را بیان می کنند.

در هر دو صورت لازم است ضرایب فنی و اقتصادی دقیقاً با دوره برنامه ریزی که مشکل در حال حل آن است مطابقت داشته باشد. به عنوان مثال، اگر مشکل برای تجزیه و تحلیل اقتصادی و ریاضی تولید برای دوره گذشته حل شود، ضرایب با توجه به داده های گزارش محاسبه می شود. اگر برای آینده تصمیم گرفته شود، باید ضرایب برای این دیدگاه محاسبه شود.

نرخ‌های مصرف منابع اغلب از کتاب‌های مرجع تعیین می‌شوند؛ آنها باید با شرایط خاص مربوطه تنظیم شوند. فاکتورهای عملکرد محصول بر اساس بازده محصول برنامه ریزی شده و بهره وری دام محاسبه می شود.

در مواردی که لازم است روابط از پیش تعیین شده بین متغیرها فراهم شود، ضرایب فنی و اقتصادی نشان دهنده ضرایب تناسب هستند. به عنوان مثال، سهم محصولات زراعی در یک تناوب زراعی، یا سهم برخی از خوراک در کل گروه خوراک و غیره.

محدودیت های سمت راست (b i)ثابت نامیده می شوند، یعنی. مقادیر ثابت اینها شامل حجم منابع تولید - زمین، نیروی کار، تجهیزات، کود، سرمایه گذاری و غیره است. منابع تولید باید با در نظر گرفتن وضعیت واقعی آنها تعیین شود و حتماً دوره برنامه ریزی در نظر گرفته شود. علاوه بر این، آن دسته از منابع تولیدی که استفاده از آنها در طول سال نابرابر است، نه تنها برای کل سال، بلکه برای دوره‌ها یا ماه‌های پرمشغله (منابع کار) نیز محاسبه می‌شود.

منابع تولید در واحدهای مختلفی تعریف می شود: زمین - بر حسب هکتار، منابع نیروی کار - بر حسب روز انسان یا ساعت کار، تجهیزات - به تعداد شیفت ماشین، شیفت یا تولید روزانه و غیره.

بنابراین، تعیین در دسترس بودن منابع تولیدی موضوع ساده ای نیست. لازم است فعالیت های تولیدی اقتصاد، استفاده از نیروی کار، زمین، فنی و سایر منابع را به دقت تجزیه و تحلیل کرد و تنها پس از آن حجم آنها را در محدودیت ها گنجاند.

سمت راست محدودیت ها نه تنها میزان منابع، بلکه حجم محصولات تولید شده در سطح بالا یا پایین را نیز منعکس می کند. سطح پایین در مواردی نشان داده می شود که حجم تولید از قبل مشخص است، کمتر از آن که مزرعه نباید تولید کند، و سطح بالایی اجازه تولید محصولات بالاتر از حجم معین را نمی دهد. این محدودیت ها همیشه لازم نیست. با این حال، تقریباً هیچ مشکلی شامل تعریف ترکیبی از صنایع نمی‌تواند بدون محدودیت‌های مناسب برای محصولات انجام شود، در غیر این صورت نتیجه یک راه‌حل یک طرفه خواهد بود. این به این دلیل است که کارایی صنایع یکسان نیست.

در تمام محدودیت های دیگر، صفرها در سمت راست قرار می گیرند، زیرا آنها شرایط تولید و استفاده از محصولات را فرموله می کنند یا محدودیت های ارتباط متناسب را منعکس می کنند.

محدودیتیک عبارت ریاضی است که متغیرها را در قالب برابری ها و نابرابری ها مرتبط می کند. همه محدودیت ها شکل می گیرد سیستم محدودیت هاوظایف سیستم قیود در شکل ریاضی شرایط مسئله را مشخص می کند. کامل بودن انعکاس این شرایط به ترکیب محدودیت ها بستگی دارد. بنابراین، هنگام تعیین تعداد محدودیت ها، دو شرایط باید در نظر گرفته شود:

فقط آن شرایطی را که واقعاً امکانات تولید را محدود می کند در مسئله منعکس کند.

v محدودیت های زیاد، اندازه مسئله را افزایش می دهد و آن را غیرقابل حل می کند

محدودیت ها سه نوع هستند: مساوی (=)، نابرابری های نوع کمتر یا مساوی با (≤)، نابرابری های نوع بزرگتر یا مساوی با (≥). مثلا،

جایی که من = 1, 2, … , متر. ضرایب برای متغیرها مشخص می شود aij، جایی که شاخص من- شماره محدودیت، شاخص jتعداد متغیر است، اعضای آزاد (سمت راست محدودیت ها) نشان داده می شوند b i، فهرست مطالب من- شماره محدودیت

محدودیت های نوع اول را محدودیت های بالایی می نامند، زیرا سمت چپ نابرابری نمی تواند از مقدار معینی (ثابت) تجاوز کند. محدودیت های نوع سوم را محدودیت های پایین تر می نامند، زیرا سمت چپ نابرابری نمی تواند کمتر از مقدار معینی (ثابت) باشد.

از نظر معنا، تمام محدودیت ها را می توان به اساسی، اضافی و کمکی تقسیم کرد.

محدودیت های اصلی هستنداینها آنهایی هستند که با همه یا اکثر متغیرهای وظیفه همپوشانی دارند. به عنوان یک قاعده، با کمک آنها، شرایط اصلی کار منعکس می شود - برای زمین، نیروی کار، خوراک، مواد مغذی، فناوری و غیره.

محدودیت های اضافیروی بخشی از متغیرها یا روی یک متغیر قرار می گیرند. این محدودیت‌ها در مواردی که لازم است اندازه متغیرهای فردی را از بالا یا پایین محدود کنیم، برای مثال، با در نظر گرفتن الزامات تناوب زراعی یا در نظر گرفتن محدودیت‌های فیزیولوژیکی اشباع جیره با خوراک‌های فردی یا گروه‌های آنها، معرفی می‌شوند. بنابراین، محدودیت های اضافی منعکس کننده شرایط اضافی مختلف است که در طول فرآیند مدل سازی ایجاد می شود. اما هر محدودیت اضافی محدوده آزادی انتخاب را محدود می کند. بنابراین باید با دقت و در حدود معقول و در موارد ضروری به مشکل وارد شوند.

محدودیت های کمکی،به عنوان یک قاعده، آنها معنای مستقلی ندارند و برای رسمی کردن شرایط فردی به مشکل وارد می شوند. اینها شامل محدودیت هایی است که رابطه ای متناسب بین متغیرهای فردی یا گروه های آنها ایجاد می کند.

ارزیابی متغیرها در تابع هدف (با ی) ضرایبی هستند که میزان درآمد یا هزینه کل در واحد اندازه گیری متغیر را بیان می کنند. ارزیابی متغیر، به عنوان یک قاعده، معیار پذیرفته شده بهینه بودن را بیان می کند. می توان آن را هم به صورت نقدی و هم به صورت نقدی ارائه کرد، یعنی. هزینه های هر واحد تولید (هزینه تولید).

شرط منفی نبودن متغیرها به صورت نوشته می شود

x j≥ 0، j = 1، 2، …، n.

در زندگی واقعی تولید، بر اساس شرایط کار، با توجه به این رکورد از مدل اقتصادی و ریاضی ساختاری (EMM)، فهرستی از متغیرها و محدودیت ها تهیه می شود، اطلاعات اولیه تهیه می شود، یک کار دقیق EMM ساخته می شود. ، که سپس به صورت ماتریس (جدول) نوشته می شود، وارد کامپیوتر می شود و طبق برنامه مربوطه، نتایج محاسبه و تجزیه و تحلیل می شود.i = 1, …, متر, (1.5)

j = 1, …, n. (1.6)

بردار ایکس = (ایکس 1 , ایکس 2 , …, ایکس n) اجزاء x jکه قیود (1.2) و (1.3) را برآورده کند [یا (1.5) و (1.6) در حداقل مسئله] نامیده می شود. راه حل قابل قبولیا طرح قابل قبولوظایف LP مجموعه تمام طرح های قابل قبول نامیده می شود بسیاری از برنامه های ممکن

ابتداییشکل یک مسئله برنامه ریزی خطی با این واقعیت مشخص می شود که شامل تابع هدف، تمام محدودیت ها است برابری، همه متغیرها غیر منفی هستند.

هر مسئله برنامه ریزی خطی را می توان به یک مسئله برنامه ریزی خطی به شکل متعارف کاهش داد. برای انجام این کار، در حالت کلی، باید بتوانید مشکل حداکثر سازی را به مشکل کمینه سازی کاهش دهید. از محدودیت های نابرابری به قیود برابری حرکت کنید و متغیرهایی را جایگزین کنید که از شرط غیر منفی تبعیت نمی کنند.

قانون کاهش یک مسئله برنامه ریزی خطی به شکل متعارفشامل موارد زیر است:

1) اگر در مسئله اصلی نیاز به تعیین حداکثر یک تابع خطی است، باید علامت را تغییر دهید و به دنبال حداقل این تابع باشید.

2) اگر سمت راست محدودیت ها منفی باشد، این محدودیت باید در -1 ضرب شود.

3) اگر بین محدودیت ها نابرابری وجود داشته باشد، با معرفی متغیرهای اضافی متغیرهای غیرمنفی آنها به برابری تبدیل می شوند. به عنوان مثال، متغیرهای اضافی اس جیمحدودیت های نوع کمتر یا مساوی (£) با علامت مثبت وارد می شوند:

متغیرهای اضافی اس جیمحدودیت های نوع بزرگتر یا مساوی (≥) با علامت منفی وارد می شوند:

برای حذف منفی بودن متغیرهای اضافی - اس جیمتغیرهای مصنوعی را با علامت + معرفی کنید ام جیبا مقادیر بسیار بزرگ

T10. بیان مسئله برنامه ریزی خطی

مدل ریاضییک مسئله اقتصادی مجموعه ای از روابط ریاضی است که فرآیند اقتصادی را توصیف می کند.

برای تدوین یک مدل ریاضی، لازم است:

1. متغیرهای وظیفه را انتخاب کنید.

2. یک سیستم محدودیت ها را تنظیم کنید.

3. تابع هدف را تنظیم کنید.

متغیرهای وظیفهمقادیر x 1 , x 2 ,…, x n نامیده می شوند که به طور کامل فرآیند اقتصادی را مشخص می کند. آنها معمولاً به عنوان یک بردار X \u003d (x 1، x 2، ...، x n) نوشته می شوند.

سیستم محدودیت وظیفهمجموعه ای از معادلات و نابرابری هایی است که توسط متغیرهای مسئله ارضا می شود و از محدودیت منابع و سایر شرایط اقتصادی، به عنوان مثال، مثبت بودن متغیرها ناشی می شود. به طور کلی به نظر می رسند:

تابع هدف نامیده می شودتابع F(X) = f(x 1 , x 2 ,…, x n) از متغیرهای وظیفه که کیفیت کار را مشخص می کند و حداکثر آن را باید پیدا کرد.

مسئله عمومی برنامه ریزی ریاضیبه صورت زیر فرموله می شود: متغیرهای وظیفه x 1 , x 2 ,…, x n را پیدا کنید که حداکثر تابع هدف را ارائه می کند.

F (X) \u003d f (x 1، x 2، ...، x n) ® حداکثر (دقیقه) (2)

و سیستم قیود (1) را برآورده کند.

اگر تابع هدف (2) و سیستم محدودیت (1) خطی باشند، مسئله برنامه ریزی ریاضی نامیده می شود. مسئله برنامه ریزی خطی (LPP).

بردار X (مجموعه ای از متغیرهای وظیفه) نامیده می شود راه حل قابل قبول، یا طرح PLP، در صورتی که سیستم محدودیت ها (1) را برآورده کند. یک طرح X عملی که حداکثر تابع هدف را فراهم می کند نامیده می شود راه حل بهینه ZLP.

2. نمونه هایی از تدوین مدل های ریاضی مسائل اقتصادی

مطالعه موقعیت های خاص تولید منجر به ZLP می شود که به عنوان مشکلات استفاده بهینه از منابع محدود تعبیر می شود.

1.مشکل طرح تولید بهینه

برای تولید دو نوع محصول T 1 و T 2 از سه نوع منبع S 1 , S 2 , S 3 استفاده می شود. موجودی منابع، تعداد واحدهای منابع صرف شده برای ساخت یک واحد تولیدی و همچنین سود حاصل از فروش یک واحد تولیدی در جدول نشان داده شده است:

باید چنین طرحی برای تولید محصولاتی یافت که سود حاصل از فروش آن حداکثر باشد.

راه حل.

بیایید x 1، x 2 را نشان دهیم - تعداد واحدهای تولید، به ترتیب، T 1 و T 2، برنامه ریزی شده برای تولید. برای ساخت آنها، (x 1 + x 2) واحد از منبع S 1، (x 1 + 4x 2) واحد از منبع S 2، (x 1) واحد از منبع S 3 مورد نیاز است. مصرف منابع S 1 , S 2 , S 3 نباید از ذخایر آنها به ترتیب 8، 20 و 5 واحد بیشتر باشد.

سپس مدل اقتصادی-ریاضی مسئله را می توان به صورت زیر فرموله کرد:

یک طرح تولید X \u003d (x 1، x 2) پیدا کنید که سیستم محدودیت ها را برآورده کند:

و شرایط

که تحت آن تابع حداکثر مقدار را می گیرد.

مشکل را می توان به راحتی در مورد تولید n نوع محصول با استفاده از m نوع منابع تعمیم داد.

2.مشکل رژیم غذایی بهینه

دو نوع غذای K 1 و K 2 حاوی مواد مغذی S 1، S 2 و S 3 وجود دارد. محتوای تعداد واحدهای غذایی در 1 کیلوگرم از هر نوع خوراک، حداقل مواد مغذی مورد نیاز و همچنین هزینه 1 کیلوگرم خوراک در جدول نشان داده شده است:

لازم است یک جیره روزانه با حداقل هزینه تهیه شود که در آن محتوای هر نوع ماده غذایی کمتر از حد تعیین شده نباشد.

راه حل.

بیایید x 1، x 2 را نشان دهیم - مقدار خوراک K 1 و K 2 موجود در رژیم غذایی روزانه. سپس این رژیم شامل (3x 1 + x 2) واحد مواد مغذی S 1، (x 1 + 2 x 2) واحدهای ماده S 2، (x 1 + 6 x 2) واحد مواد مغذی S 3 خواهد بود. از آنجایی که محتوای مواد مغذی S 1، S 2 و S 3 در جیره باید به ترتیب 9، 8 و 12 واحد باشد، مدل اقتصادی-ریاضی مسئله را می توان به صورت زیر فرموله کرد:

یک رژیم غذایی روزانه X \u003d (x 1، x 2) بنویسید که سیستم محدودیت ها را برآورده کند:

و شرایط

که تحت آن تابع حداقل مقدار را می گیرد.

فرم های ضبط PLP

در LLP، لازم است حداکثر تابع هدف خطی را پیدا کنید:

با محدودیت:

و شرط عدم منفی

که در آن a ij , b i , c j ( , ) ثابت داده می شود.

ZLP به این صورت نوشته می شود عمومیفرم. اگر سیستم محدودیت فقط شامل نابرابری باشد، LLP در نمایش داده می شود استانداردفرم. متعارف (اصلی)شکل نماد ZLP زمانی است که سیستم محدودیت ها فقط دارای برابری باشد. بنابراین LLP های فوق به صورت استاندارد نوشته شده اند.

اشکال کلی، استاندارد و متعارف LLP معادل هستند به این معنا که هر یک از آنها با کمک تبدیل های ساده می توانند به شکل متفاوتی بازنویسی شوند. به این معنی که اگر راهی برای حل یکی از این مشکلات وجود داشته باشد، می توان برنامه بهینه برای هر یک از مشکلات را تعیین کرد.

برای حرکت از یک شکل نمادگذاری LLP به شکل دیگر، باید بتوان از محدودیت‌های نابرابری به محدودیت‌های برابری و بالعکس حرکت کرد.

یک قید نابرابری (£) را می توان با اضافه کردن یک متغیر غیر منفی اضافی به سمت چپ آن به یک قید برابری تبدیل کرد و یک محدودیت نابرابری (3) را می توان با کم کردن یک متغیر غیر منفی اضافی از آن به یک قید برابری تبدیل کرد. سمت چپ. تعداد متغیرهای غیر منفی اضافی معرفی شده برابر با تعداد محدودیت های نابرابری تبدیل شده است.

معرفی کرد متغیرهای اضافی تا حدی منطق اقتصادی دارند. بنابراین، اگر محدودیت های PLP اصلی منعکس کننده مصرف و در دسترس بودن منابع باشد، آنگاه مقدار متغیر اضافی PLP به شکل متعارف برابر با حجم منبع متناظر استفاده نشده است.

مثال 1. به شکل متعارف ZLP بنویسید:

با محدودیت:

راه حل.

تابع هدف بدون تغییر باقی می ماند:

سیستم نابرابری ها به سیستم برابری ها تبدیل می شود:

هنگام حل LLP با روش گرافیکی، انتقال از فرم متعارف به فرم استاندارد مورد نیاز است.

برای آوردن LLP به یک فرم استاندارد، استفاده کنید روش جردن-گاوسراه حل های SLAU برخلاف روش گاوس که در آن ماتریس توسعه‌یافته سیستم به شکل پله‌ای کاهش می‌یابد، در روش جردن-گاوس، یک ماتریس هویت به عنوان بخشی از ماتریس توسعه‌یافته تشکیل می‌شود. بنابراین، حرکت معکوس در اینجا لازم نیست.

برای تبدیل LLP متعارف اصلی به LLP استاندارد معادل:

الف) یک عنصر غیر صفر یک qp در ماتریس توسعه یافته سیستم محدودیت انتخاب شده است. این عنصر نامیده می شود سهل گیر، و q - i سطر و ستون p-امین به نام enable row و enable column.

ب) رشته حل بدون تغییر بازنویسی می شود و تمام عناصر ستون حل کننده به جز ستون حل، با صفر جایگزین می شوند. عناصر باقی مانده از ماتریس تقویت شده با استفاده از "قاعده مستطیل" تعیین می شوند:

چهار عنصر ماتریس منبسط شده را در نظر بگیرید: عنصر a ij که باید تبدیل شود، عنصر حل کننده a qp و عناصر a i p و a qj. برای یافتن عنصر a ij، از عنصر a ij نتیجه می‌گیریم که حاصل ضرب عناصر a i p و qj را که در رئوس مخالف مستطیل قرار دارند، بر عنصر تفکیک‌کننده a qp تفریق کنیم:

ج) مجهولات مجاز به طور همزمان از تابع هدف حذف می شوند. برای انجام این کار، ضرایب تابع هدف در ماتریس گسترش یافته در ردیف آخر نوشته می شود. محاسبات در نظر می گیرند که عنصر فعال در خط آخر نمی تواند انتخاب شود.

مثال 2. تغییر به فرم استاندارد:

راه حل.

با استفاده از روش جردن-گاوس، ما سیستم معادلات محدودیت LLP را به یک سیستم معادل از نابرابری ها می آوریم. بیایید عنصر سوم ردیف اول را به عنوان عنصر حل انتخاب کنیم:

عدد 9- بدست آمده در ستون آخر سطر آخر باید روی تابع هدف با علامت مخالف نوشته شود. در نتیجه تحولات، LLP شکل زیر را به خود می گیرد:

زیرا متغیرهای x 2 و x 3 غیر منفی هستند، سپس با کنار گذاشتن آنها، می‌توانیم ZLP را به شکل متقارن بنویسیم:

در شکل متعارف LLP، تابع هدف را می توان هم کمینه و هم حداکثر کرد. رفتن از یافتن حداکثر به یافتن حداقل یا برعکس، کافی است علائم ضرایب تابع هدف را تغییر دهید: F 1 = - F. مسئله حاصل و LLP اصلی دارای راه حل بهینه یکسان هستند و مقادیر توابع هدف در این راه حل فقط در این راه حل متفاوت است. امضاء کردن.

خواص ZLP

1. مجموعه تمام راه حل های قابل قبول سیستم محدودیت های یک مسئله برنامه ریزی خطی محدب است.

مجموعه نقاط نامیده می شود محدب، در صورتی که شامل کل بخش متصل کننده هر دو نقطه از این مجموعه باشد.

طبق این تعریف، چند ضلعی در شکل 1a یک مجموعه محدب است، در حالی که چند ضلعی در شکل 1b چنین نیست، زیرا قطعه MN بین دو نقطه M و N آن به طور کامل به این چندضلعی تعلق ندارد.

مجموعه های محدب می توانند نه تنها چند ضلعی باشند. نمونه هایی از مجموعه های محدب عبارتند از دایره، بخش، قطعه، مکعب، هرم و غیره.

2. اگر LLP راه حل بهینه داشته باشد، تابع خطی حداکثر (حداقل) مقدار را در یکی از نقاط گوشه چندوجهی تصمیم می گیرد. اگر یک تابع خطی یک مقدار حداکثر (حداقل) را در بیش از یک نقطه گوشه بگیرد، آنگاه آن را در هر نقطه ای می گیرد که ترکیب خطی محدب این نقاط باشد.

نقطه X نامیده می شود ترکیب خطی محدبنقاط X 1 , X 2 ,…, X n در صورتی که شرایط زیر وجود داشته باشد:

X \u003d α 1 X 1 + α 2 X 2 + ... + α n X n،

αj ≥ 0، Σαj = 1.

واضح است که در حالت خاص برای n = 2 یک ترکیب خطی محدب از دو نقطه، قطعه ای است که آنها را به هم متصل می کند.

3. هر راه حل پایه مجاز سیستم محدودیت LLP متعارف مربوط به یک نقطه گوشه از چند وجهی محلول است، و بالعکس، به هر نقطه گوشه چند وجهی محلول، یک راه حل اساسی قابل قبول مربوط است.

از دو ویژگی آخر چنین برمی‌آید که اگر یک LLP راه‌حل بهینه داشته باشد، حداقل با یکی از راه‌حل‌های اساسی قابل قبول آن مطابقت دارد.

بنابراین، حداکثر تابع خطی LLP باید در میان تعداد محدودی از راه‌حل‌های پایه قابل قبول آن جستجو شود.

در عمل، محدودیت ها در یک مسئله برنامه ریزی خطی اغلب نه با معادلات، بلکه توسط نابرابری ها ارائه می شوند.

اجازه دهید نشان دهیم که چگونه می توان از یک مسئله با محدودیت های نابرابری به مسئله اصلی برنامه ریزی خطی عبور کرد.

اجازه دهید یک مسئله برنامه ریزی خطی با متغیرها وجود داشته باشد، که در آن محدودیت های اعمال شده بر روی متغیرها شکل نابرابری های خطی دارند. در برخی از آنها علامت نابرابری می تواند باشد و برخی دیگر (نوع دوم با تغییر ساده علامت هر دو قسمت به اولی کاهش می یابد). بنابراین، ما تمام محدودیت های نابرابری را در فرم استاندارد قرار می دهیم:

لازم است مجموعه ای از مقادیر غیر منفی را پیدا کنید که نابرابری های (4.1) را برآورده کند، و علاوه بر این، تابع خطی را به حداقل برساند:

از مسئله مطرح شده در این راه، به راحتی می توان به مسئله اصلی برنامه ریزی خطی گذر کرد. در واقع، ما نماد را معرفی می کنیم:

برخی از متغیرهای جدید که ما آنها را "اضافی" می نامیم، کجا هستند. طبق شرایط (4.1)، این متغیرهای اضافی، همانطور که باید باشند، باید غیر منفی باشند.

بنابراین، در فرمول زیر با مشکل برنامه ریزی خطی روبرو هستیم: برای یافتن مقادیر غیرمنفی متغیرها که سیستم معادلات (4.3) را برآورده می کند و در عین حال تابع خطی این متغیرها را به حداقل می رساند:

همانطور که می بینید، ما مشکل اصلی برنامه ریزی خطی (LPP) را در شکل خالص آن پیش روی خود داریم. معادلات (4.3) با توجه به متغیرهای پایه که بر حسب متغیرهای آزاد بیان می شوند، به شکل حل شده از قبل آورده شده است. تابع L فقط بر حسب متغیرهای "ابتدایی" بیان می شود (ضرایب متغیرهای "اضافی" در آن برابر با صفر است).

بنابراین، ما مشکل برنامه‌ریزی خطی با محدودیت‌های نابرابری را به مشکل اصلی برنامه‌ریزی خطی کاهش داده‌ایم، اما با تعداد متغیرهای بیشتر از مقدار اولیه در مسئله.

مثال 1 یک مشکل برنامه ریزی خطی با محدودیت های نابرابری وجود دارد: مقادیر غیر منفی متغیرهایی را که شرایط را برآورده می کنند، بیابید.

و به حداقل رساندن تابع خطی

لازم است این مشکل به شکل OLP کاهش یابد.

راه حل. ما نابرابری های (4.4) را به فرم استاندارد می آوریم.

ما متغیرهای اضافی را معرفی می کنیم:

وظیفه یافتن مقادیر غیر منفی متغیرها است

ارضای معادلات (4.6) و کمینه کردن تابع خطی (4.5).

ما نشان دادیم که چگونه می توان از یک مسئله برنامه ریزی خطی با محدودیت های نابرابری به یک مسئله با محدودیت های برابری (ELP) عبور کرد. انتقال معکوس همیشه امکان پذیر است - از LLP به مشکل محدودیت های نابرابری. اگر در حالت اول تعداد متغیرها را افزایش دادیم، در حالت دوم آن را کاهش می‌دهیم و متغیرهای اساسی را حذف می‌کنیم و فقط متغیرهای آزاد را می‌مانیم.

مثال 2. یک مسئله برنامه ریزی خطی با محدودیت های برابری (OLP) وجود دارد:

و عملکرد به حداقل برسد

نوشتن آن به عنوان یک مسئله برنامه ریزی خطی با محدودیت های نابرابری الزامی است.

راه حل. از آنجایی که ما دو تا از متغیرها را به عنوان متغیر آزاد انتخاب می کنیم. توجه داشته باشید که متغیرها را نمی‌توان به‌عنوان آزاد انتخاب کرد، زیرا با اولین معادله (4 7) مرتبط هستند: مقدار یکی از آنها کاملاً با مقدار دیگری تعیین می‌شود و متغیرهای آزاد باید مستقل باشند.

به همین دلیل، انتخاب متغیرها به عنوان متغیرهای آزاد غیرممکن است (آنها با معادله دوم به هم متصل می شوند). ما به عنوان متغیرهای آزاد انتخاب می کنیم و بقیه را بر اساس آنها بیان می کنیم:

از آنجایی که شرایط (4 9) را می توان با نابرابری ها جایگزین کرد:

اجازه دهید در بیان تابع خطی L به متغیرهای آزاد جایگزین در L به جای و عبارات آنها منتقل کنیم (4.9). گرفتن.