Au siècle dernier, Ivan Bernoulli, Leonard Euler, puis Jean-Baptiste Fourier ont appliqué pour la première fois la représentation des fonctions périodiques par séries trigonométriques. Cette vue est étudiée de manière suffisamment détaillée dans d'autres cours, nous ne rappelons donc que les relations et définitions de base.

Comme indiqué ci-dessus, toute fonction périodique u (t) pour lequel l'égalité u (t) \u003d u (t + T) où T \u003d 1 / F \u003d 2p / W , peut être représentée par une série de Fourier:

Chaque terme de cette série peut être développé à l'aide de la formule cosinus pour la différence entre deux angles et représenté par deux termes:

,

où: A n \u003d C n cosφ n, B n \u003d C n sinφ n , pour que , et

Chances Une et Auberge sont déterminés par les formules d'Euler:

;
.

Quand n \u003d 0 :

et B 0 \u003d 0.

Chances Une et Auberge , sont les valeurs moyennes du produit de la fonction u (t) et oscillations harmoniques avec fréquence nw sur un intervalle de durée T ... Nous savons déjà (section 2.5) que ce sont des fonctions de corrélation croisée qui déterminent la mesure de leur relation. Par conséquent, les coefficients Une et B n montre-nous "combien" de sinusoïdes ou de cosinus avec fréquence nW contenu dans cette fonction u (t) , développé dans une série de Fourier.

Ainsi, nous pouvons représenter la fonction périodique u (t) comme une somme de vibrations harmoniques, où les nombres C n sont les amplitudes et les nombres φ n - phases. Habituellement dans la littérature s'appelle le spectre d'amplitude, et - le spectre des phases. Souvent, seul le spectre des amplitudes est considéré, qui est représenté par des lignes situées aux points nW sur l'axe des fréquences et ayant une hauteur correspondant au nombre C n ... Cependant, il faut se rappeler que pour obtenir une correspondance biunivoque entre la fonction temporelle u (t) et son spectre, il est nécessaire d'utiliser à la fois le spectre d'amplitude et le spectre de phase. Cela peut être vu à partir d'un exemple aussi simple. Les signaux auront le même spectre d'amplitude, mais des types complètement différents de fonctions temporelles.

Un spectre discret peut avoir non seulement une fonction périodique. Par exemple, signal: n'est pas périodique, mais a un spectre discret composé de deux raies spectrales. De plus, il n'y aura pas de signal strictement périodique consistant en une séquence d'impulsions radio (impulsions avec remplissage haute fréquence), dans laquelle la période de répétition est constante, mais la phase initiale du remplissage haute fréquence change d'impulsion en impulsion selon une loi. Ces signaux sont appelés presque périodiques. Comme nous le verrons plus loin, ils ont également un spectre discret. Nous étudierons la nature physique des spectres de tels signaux de la même manière que pour les signaux périodiques.

Formulaires d'enregistrement de la série de Fourier. Le signal est appelé périodique,si sa forme est répétée cycliquement dans le temps Signal périodique u (t)en forme générale s'écrit comme suit:

u (t) \u003d u (t + mT), m \u003d 0, ± 1, ± 2,…

Voici la période T du signal. Les signaux périodiques peuvent être simples ou complexes.

Pour la représentation mathématique de signaux périodiques avec une période Tla série (2.2) est souvent utilisée, dans laquelle des oscillations harmoniques (sinusoïdales et cosinus) de fréquences multiples sont choisies comme fonctions de base

y 0 (t) \u003d 1; y 1 (t) \u003d sinw 1 t; y 2 (t) \u003d cosw 1 t;

y 3 (t) \u003d sin2w 1 t; y 4 (t) \u003d cos2w 1 t; ..., (2.3)

où w 1 \u003d 2p / T est la fréquence angulaire fondamentale de la séquence

les fonctions. Pour les fonctions de base harmonique, à partir de la série (2.2), nous obtenons la série de Fourier (Jean Fourier est un mathématicien et physicien français du 19ème siècle).

Les fonctions harmoniques de la forme (2.3) dans la série de Fourier présentent les avantages suivants: 1) description mathématique simple; 2) invariance aux transformations linéaires, c'est-à-dire si une oscillation harmonique agit à l'entrée d'un circuit linéaire, il y aura également à sa sortie une oscillation harmonique, qui ne diffère de l'entrée que par l'amplitude et la phase initiale; 3) comme un signal, les fonctions harmoniques sont périodiques et ont une durée infinie; 4) la technique de génération de fonctions harmoniques est assez simple.

On sait du cours des mathématiques que pour l'expansion d'un signal périodique dans une série de fonctions harmoniques (2.3), il est nécessaire de remplir les conditions de Dirichlet. Mais tous les signaux périodiques réels satisfont à ces conditions et ils peuvent être représentés comme une série de Fourier, qui peut être écrite sous l'une des formes suivantes:

u (t) \u003d A 0/2 + (A ’mn cosnw 1 t + A” mn nw 1 t), (2.4)

où les coefficients

Un mn »\u003d (2.5)

u (t) \u003d A 0/2 + (2.6)

Un mn \u003d (2.7)

ou sous forme complexe

u (t) \u003d (2.8)

C n \u003d (2.9)

De (2.4) - (2.9) il s'ensuit que, dans le cas général, le signal périodique u (t) contient une composante constante A 0/2 et un ensemble d'oscillations harmoniques de la fréquence fondamentale w 1 \u003d 2pf 1 et ses harmoniques de fréquences wn \u003d nw 1, n \u003d 2 , 3,4, ... Chacun des harmoniques

oscillations de la série de Fourier est caractérisée par l'amplitude et la phase initiale y n .nn

Diagramme spectral et spectre d'un signal périodique. Si un signal est présenté comme une somme d'oscillations harmoniques avec des fréquences différentes, alors ils disent que décomposition spectralesignal.

Diagramme spectralsignal est généralement appelé représentation graphique des coefficients de la série de Fourier de ce signal. Distinguer les diagrammes d'amplitude et de phase. En figue. 2.6 sur une certaine échelle le long de l'axe horizontal, les valeurs des fréquences harmoniques sont tracées, le long de l'axe vertical - leurs amplitudes A mn et phases y n. De plus, les amplitudes des harmoniques ne peuvent prendre que des valeurs positives, les phases - à la fois des valeurs positives et négatives dans l'intervalle -p £ y n £ p

Spectre du signalest un ensemble de composantes harmoniques avec des valeurs spécifiques de fréquences, d'amplitudes et de phases initiales, qui forment ensemble un signal. Dans les applications techniques, en pratique, les diagrammes spectraux sont appelés plus brièvement - spectre d'amplitude, spectre de phase.Le plus souvent, ils s'intéressent au diagramme spectral d'amplitude. Il peut être utilisé pour estimer le pourcentage d'harmoniques dans le spectre.

Exemple2.3. Développez une séquence périodique d'impulsions vidéo rectangulaires dans une série de Fourier deparamètres connus (U m, T, t z),even "Par rapport au point t \u003d 0. Construisez un diagramme spectral des amplitudes et des phases à U m \u003d 2B, T \u003d 20ms, S \u003d T / t et \u003d 2 et 8.

Un signal périodique donné sur un intervalle d'une période peut être écrit comme

Pour représenter ce signal, utilisons la forme d'écriture de la série de Fourier dansforme (2.4). Puisque le signal est pair, seules les composantes cosinus resteront dans l'expansion.

Figure: 2.6. Diagrammes spectraux d'un signal périodique:

a - amplitude; b- phase

L'intégrale d'une fonction impaire sur une période est égale à zéro. En utilisant les formules (2.5), nous trouvons les coefficients

permettant de noter la série de Fourier:

Pour construire des diagrammes spectraux pour des données numériques spécifiques, nous définissons i \u003d 0, 1, 2, 3, ... et calculons les coefficients harmoniques. Les résultats du calcul des huit premières composantes du spectre sont résumés dans le tableau. 2.1. Dans la série (2.4) A "mn \u003d 0et selon (2.7) A mn \u003d | A ’mn |, la fréquence fondamentale f 1 \u003d 1 / T \u003d 1 / 20-10 -3 \u003d 50 Hz, w 1 \u003d 2pf 1 \u003d 2p * 50 \u003d 314 rad / s. Le spectre d'amplitude de la Fig.

2.7 est conçu pour de tels n,auquel Une mnplus de 5% de la valeur maximale.

De l'exemple donné 2.3, il s'ensuit qu'avec une augmentation du rapport cyclique, le nombre de composantes spectrales augmente et leurs amplitudes diminuent. On dit qu'un tel signal a un spectre riche. Il convient de noter que pour de nombreux signaux utilisés dans la pratique, il n'est pas nécessaire de calculer les amplitudes et les phases des harmoniques en utilisant les formules données précédemment.

Tableau 2.1. Amplitudes des composantes de la série de Fourier d'une séquence périodique d'impulsions rectangulaires

Figure: 2.7. Diagrammes spectraux d'une séquence périodique d'impulsions: et-avec rapport cyclique S-2; - b-quand rapport cyclique S \u003d 8

Dans les livres de référence mathématiques, il existe des tableaux d'expansion des signaux de la série de Fourier. L'un de ces tableaux est donné en annexe (tableau A.2).

La question se pose souvent: combien de composantes spectrales (harmoniques) faut-il prendre pour représenter un signal réel sous forme de série de Fourier? Après tout, la série est, à proprement parler, sans fin. Une réponse sans ambiguïté ne peut être donnée ici. Tout dépend de la forme du signal et de la précision de sa représentation par la série de Fourier. Changement de signal plus fluide - moins d'harmoniques nécessaires. Si le signal présente des sauts (discontinuités), il faut alors additionner davantage d'harmoniques pour obtenir la même erreur. Cependant, dans de nombreux cas, par exemple en télégraphie, on pense que trois harmoniques sont également suffisantes pour la transmission d'impulsions rectangulaires à fronts raides.

Cours en analyse mathématique

Sujet: Calcul des sommes partielles et des caractéristiques spectrales de la série de Fourier pour une fonction explicite

fonction de fourier du spectre du signal

1.Modèle du processus physique

Solution du problème avec des calculs théoriques

Un exemple de résolution du problème

Un exemple de résolution d'un problème dans l'environnement Matlab R2009a

Liste de références

1.Modèle du processus physique

Modèle mathématique un signal radio peut servir en fonction du temps f(t) . Cette fonction peut être réelle ou complexe, unidimensionnelle ou multidimensionnelle, déterministe ou aléatoire (signaux bruyants). En ingénierie radio, le même modèle mathématique décrit le courant, la tension, l'intensité du champ électrique, etc. avec un succès égal.

Considérons de vrais signaux déterministes unidimensionnels

Les ensembles de fonctions (signaux) sont généralement considérés comme des espaces normés fonctionnels linéaires, dans lesquels les concepts et axiomes suivants sont introduits:

) tous les axiomes de l'espace linéaire sont satisfaits;

) le produit scalaire de deux signaux réels est défini comme suit:

) deux signaux sont dits orthogonaux si leur produit scalaire est égal à zéro;

) le système de signaux orthogonaux forme une base de coordonnées à dimension infinie, qui peut être utilisée pour décomposer tout signal périodique appartenant à l'espace linéaire;

Parmi les différents systèmes de fonctions orthogonales utilisables pour décomposer le signal, le plus courant est le système de fonctions harmoniques (sinusoïdales et cosinus):

La représentation d'un certain signal périodique comme une somme d'oscillations harmoniques avec différentes fréquences s'appelle la représentation spectrale du signal. Les composantes harmoniques individuelles du signal forment son spectre. D'un point de vue mathématique, la représentation spectrale équivaut à l'expansion d'une fonction périodique (signal) dans une série de Fourier.

L'importance de la décomposition spectrale des fonctions dans l'ingénierie radio est due à un certain nombre de raisons:

) facilité d'étudier les propriétés du signal, car les fonctions harmoniques sont bien comprises;

) la capacité de générer un signal arbitraire, car la technique de génération de signaux harmoniques est assez simple;

) facilité de transmission et de réception d'un signal sur le canal radio, car l'oscillation harmonique est la seule fonction du temps qui conserve sa forme lors du passage dans un circuit linéaire. Le signal en sortie du circuit reste harmonique avec la même fréquence, seule l'amplitude et la phase initiale de l'oscillation changent;

) la décomposition du signal en sinus et cosinus permet d'utiliser la méthode symbolique développée pour analyser la transmission d'oscillations harmoniques à travers des circuits linéaires.

Considérons un électrocardiogramme du cœur comme un modèle du processus physique.

2. solution du problème avec des calculs théoriques

Objectif 1:

Décrivons, à l'aide de la série de Fourier, une impulsion qui se répète périodiquement au niveau de l'électrocardiogramme, le complexe dit QRS.

Le complexe QRS peut être défini par la fonction linéaire par morceaux suivante

Où

Cette fonction peut être continuée périodiquement avec une période T \u003d 2l.

Série de fonctions de Fourier:

Définition 1: La fonction est appelée par morceaux continue sur le segment [a, b], s'il est continu en tous les points de ce segment, sauf pour un nombre fini de points où existent ses limites unilatérales finies.

Définition 2:La fonction est appelée lisse par morceaux sur un segment si celui-ci et sa dérivée sont continus par morceaux.

Théorème 1 (test de Dirichlet): Série de Fourier d'une fonction lisse par morceaux sur un intervalle f (x) converge en chaque point de continuité vers la valeur de la fonction en ce point et vers la valeur en chaque point de discontinuité.

Notre fonction satisfait les conditions du théorème.

Pour une fonction donnée, on obtient les coefficients suivants de la série de Fourier:

Forme complexe de la série de Fourier

Pour représenter la série sous forme complexe, nous utiliserons les formules d'Euler:

Introduisons la notation:

Ensuite, la série peut être réécrite comme

De plus, les coefficients de la série complexe de Fourier peuvent être obtenus directement en les calculant par la formule

On écrit sous forme complexe la série de Fourier d'une fonction donnée

Caractéristiques spectrales de la série

Expression dans la série de Fourier s'appelle nème harmonique.Il est connu que

où ou

,

Agrégats, appelés en conséquence spectre d'amplitude et de phasefonction périodique.

Les spectres sont représentés graphiquement sous forme de segments de longueur dessinés perpendiculairement à l'axe sur lequel la valeur est appliquée n= 1,2 ... ou.

Une représentation graphique du spectre correspondant est appelée un diagramme d'amplitude ou de phase. En pratique, le spectre d'amplitude est le plus souvent utilisé.

Un exemple de résolution du problème

Problème 2: Prenons un exemple spécifique de problème pour le modèle sélectionné d'un processus physique.

On étend cette fonction à tout l'axe des nombres, on obtient la fonction périodique f(x) avec période T \u003d 2 l\u003d 18 (Fig. 1.).

Figure: 1. Graphique d'une fonction périodiquement continuée

Calculons les coefficients de Fourier de la fonction donnée.

Écrivons les sommes partielles de la série:

Figure: 2. Graphiques des sommes partielles de la série de Fourier

Avec la croissance n les graphes de sommes partielles aux points de continuité se rapprochent du graphe de la fonction f(x) ... Aux points de rupture, les valeurs des sommes partielles approchent .

Construisons les diagrammes d'amplitude et de phase.

donné un quart.

Table

4. Un exemple de résolution d'un problème dans l'environnement Matlab R2009a

Objectif 3: À titre d'exemple, considérons les intervalles PR et QT entiers.

Riz

Pour cette fonction, créez des graphiques de sommes partielles, ainsi que des diagrammes d'amplitude et de phase.

Prenons des valeurs spécifiques des paramètres pour notre tâche:

Un script pour créer les graphiques et diagrammes requis.

Le script vous permet de résoudre un certain nombre de problèmes similaires en choisissant les paramètres et les coordonnées des points Q, R, S.

% CALCUL DES SOMMES PARTIELLES ET DES CARACTÉRISTIQUES SPECTRALES DE LA SÉRIE FOURIER POUR EXPRESS

% Analyse spectrale L I1 I2 Q R S I3 I4 I5 P T w v a b c d q r Qy Ry Sy nCase \u003d 18; \u003d 6; I2 \u003d 10; Q \u003d 11; Qy \u003d -2; R \u003d 12; Ry \u003d 17; S \u003d 13; Sy \u003d -4; I3 \u003d 15; I4 \u003d 20; I5 \u003d 26 \u003d 2; T \u003d 3; ExprNum \u003d 9; \u003d 250; \u003d 30; \u003d 0; indicateur \u003d\u003d 0 \u003d 1; (k<15)

k \u003d menu ("Modification des paramètres", ...

sprintf ("Paramètre1 P \u003d% g", P), ... ("Paramètre2 I1 \u003d% g", I1), ... ("Paramètre3 I2 \u003d% g", I2), ... ("Paramètre4 Qx \u003d% g ", Q), ... (" Paramètre5 Qy \u003d% g ", Qy), ... (" Paramètre6 Rx \u003d% g ", R), ... (" Paramètre7 Ry \u003d% g ", Ry), ... ("Paramètre8 Sx \u003d% g", S), ... ("Paramètre9 Sy \u003d% g", Sy), ... ("Paramètre10 I3 \u003d% g", I3), .. . ("Paramètre11 I4 \u003d% g", I4), ... ("Paramètre12 T \u003d% g", T), ... ("Paramètre13 I5 \u003d% g", I5), ... ("Paramètre13 Ns \u003d% g ", Ns), ...

"Continuer"); k \u003d\u003d 1, \u003d entrée ();

endk \u003d\u003d 2, \u003d entrée ();

endk \u003d\u003d 3, \u003d entrée ();

endk \u003d\u003d 4, \u003d entrée ();

endk \u003d\u003d 5, \u003d entrée ();

endk \u003d\u003d 6, \u003d entrée ();

endk \u003d\u003d 7, \u003d entrée ();

"Nouvelle valeur Sx \u003d"]);

endk \u003d\u003d 9, \u003d entrée ();

endk \u003d\u003d 10, \u003d entrée ();

endk \u003d\u003d 11, \u003d entrée ();

endk \u003d\u003d 12, \u003d entrée ();

endk \u003d\u003d 13, \u003d entrée ()

endk \u003d\u003d 14, \u003d entrée ()

% Application des paramètres \u003d Qy / (Q-I2);

v \u003d Qy * I2 / (I2-Q); \u003d (Ry-Qy) / (RQ); \u003d (Qy * RQ * Ry) / (RQ); \u003d (Sy-Ry) / (SR); \u003d (Ry * SR * Sy) / (SR); \u003d Sy / (S-I3); \u003d I3 * Sy / (I3-S); \u003d 2 * L / N; \u003d 0: Ts: 2 * L; \u003d longueur (t ); \u003d zéros (1, Dim); \u003d sol (I1 * N / 2 / L) +1; \u003d sol ((I2-I1) * N / 2 / L) +1; \u003d sol ((Q-I2) * N / 2 / L) +1; \u003d étage ((RQ) * N / 2 / L) +1; \u003d étage ((SR) * N / 2 / L) +1; \u003d étage ((I3-S) * N / 2 / L) +1; \u003d étage ((I4-I3) * N / 2 / L) +1; \u003d étage ((I5-I4) * N / 2 / L) +1; \u003d étage (( 2 * L-I4) * N / 2 / L) +1; i \u003d 1: u1 (i) \u003d P * sin (pi * t (i) / I1); i \u003d u1: u2 (i) \u003d 0; i \u003d (u2 + u1) :( u3 + u2 + u1) (i) \u003d w * t (i) + v; i \u003d (u3 + u2 + u1): (u4 + u3 + u2 + u1) (i) \u003d a * t (i) + b; i \u003d (u4 + u3 + u2 + u1): (u5 + u4 + u3 + u2 + u1) (i) \u003d c * t (i) + d; i \u003d (u5 + u4 + u3 + u2 + u1): (u6 + u5 + u4 + u3 + u2 + u1) (i) \u003d q * t (i) + r; i \u003d (u6 + u5 + u4 + u3 + u2 + u1 ): (u7 + u6 + u5 + u4 + u3 + u2 + u1) (i) \u003d 0; i \u003d (u7 + u6 + u5 + u4 + u3 + u2 + u1): (u8 + u7 + u6 + u5 + u4 + u3 + u2 + u1) (i) \u003d T * sin (pi * (t (i) -I4) / (I5-I4)); (t, y, "LineWidth", 2), grid, set ( gca, "FontName", "Arial Cyr", "FontSize", 16);

title ("Diagramme de processus"); xlabel ("Heure (s)"); ylabel ("Y (t)");

% Graphique de somme partielle n

n \u003d 0; j \u003d 1: ExprNum \u003d j; j1 \u003d quad (@f, 0, I1); 2 \u003d a0 + quad (@f, I1, I2); 3 \u003d a0 + quad (@f, I2, Q ); 4 \u003d a0 + quad (@f, Q, R); 5 \u003d a0 + quad (@f, R, S); 6 \u003d a0 + quad (@f, S, I3); 7 \u003d a0 + quad ( @f, I3, I4); 8 \u003d a0 + quad (@f, I4, I5); 9 \u003d a0 + quad (@f, I5, 2 \u200b\u200b* L); \u003d a0 / L; \u003d zéros (1, Ns) ; \u003d zéros (1, Ns); i \u003d 1: Ns \u003d i; j \u003d 1: ExprNum \u003d j; j1 (i) \u003d quad (@f, 0, I1); (i) \u003d quad (@g, 0 , I1); 2 (i) \u003d an (i) + quad (@f, I1, I2); (i) \u003d bn (i) + quad (@g, I1, I2); 3 (i) \u003d an ( i) + quad (@f, I2, Q); (i) \u003d bn (i) + quad (@g, I2, Q); 4 (i) \u003d an (i) + quad (@f, Q, R ); (i) \u003d bn (i) + quad (@g, Q, R); 5 (i) \u003d an (i) + quad (@f, R, S); (i) \u003d bn (i) + quad (@g, R, S); 6 (i) \u003d an (i) + quad (@f, S, I3); (i) \u003d bn (i) + quad (@g, S, I3); 7 (i) \u003d an (i) + quad (@f, I3, I4); (i) \u003d bn (i) + quad (@g, I3, I4); 8 (i) \u003d an (i) + quad ( @f, I4, I5); (i) \u003d bn (i) + quad (@g, I4, I5); 9 (i) \u003d an (i) + quad (@f, I5, 2 \u200b\u200b* L); ( i) \u003d bn (i) + quad (@g, I5, 2 \u200b\u200b* L); (i) \u003d an (i) / L; (i) \u003d bn (i) / L; \u003d t; \u003d zéros (1, longueur (x)); \u003d fn + a0 / 2; i \u003d 1: Ns \u003d i; \u003d fn + an (i) * cos (n * pi * x / L) + bn (i) * sin (n * pi * x / L); (t, y, x, fn, "LineWidth", 2), grid, set (gca, "FontName", "Arial Cyr", "FontSize", 16);

title ("Graphique de signal et somme partielle"); xlabel ("Heure (s)"); ylabel (sprintf ("Sn (t)"));

% Tracé du diagramme d'amplitude \u003d zéros (1, Ns);

wn \u003d pi / L; \u003d wn: wn: wn * Ns; i \u003d 1: Ns (i) \u003d sqrt (an (i). ^ 2 + bn (i). ^ 2); (Gn, A, ". "), grid, set (gca," FontName "," Arial Cyr "," FontSize ", 16); (" Diagramme d'amplitude du signal "); xlabel ("n"); ylabel ("An");

% Construction du diagramme de phase du signal \u003d zéros (1, Ns);

pour i \u003d 1: Ns (an (i)\u003e 0) (i) \u003d atan (bn (i) / an (i)); ((an (i)<0)&&(bn(i))>0) (i) \u003d atan (bn (i) / an (i)) + pi; ((an (i)<0)&&(bn(i))<0)(i)=pi-atan(bn(i)/an(i));((an(i)==0)&&(bn(i))>0) (i) \u003d pi / 2; ((an (i) \u003d\u003d 0) && (bn (i))<0)(i)=-pi/2;(Gn,Fi,"."), grid, set(gca,"FontName","Arial Cyr","FontSize",16);("Фазовая диаграмма сигнала"); xlabel("n"); ylabel("Fi");Figure 1;Figure 2;Figure 3;Figure 4;=0;=input("Закончить работу-<3>, continuez - ");

listelittérature

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Parmi les différents systèmes de fonctions orthogonales utilisables comme bases de présentation de signaux d'ingénierie radio, les fonctions harmoniques (sinusoïdales et cosinus) occupent une place exclusive. L'importance des signaux harmoniques pour l'ingénierie radio est due à un certain nombre de raisons.

En particulier:

1. Les signaux harmoniques sont invariants par rapport aux transformations effectuées par des circuits électriques linéaires stationnaires. Si un tel circuit est excité par une source d'oscillations harmoniques, alors le signal en sortie du circuit reste harmonique avec la même fréquence, ne différant du signal d'entrée qu'en amplitude et en phase initiale.

2. La technique de génération de signaux harmoniques est relativement simple.

Si un signal est présenté comme une somme d'oscillations harmoniques de fréquences différentes, alors on dit que la décomposition spectrale de ce signal a été effectuée. Les composantes harmoniques individuelles du signal forment son spectre.

2.1. Signaux périodiques et séries de Fourier

Un modèle mathématique d'un processus se répétant dans le temps est un signal périodique avec la propriété suivante:

Ici T est la période du signal.

La tâche est de trouver la décomposition spectrale d'un tel signal.

Série de Fourier.

Fixons-nous l'intervalle de temps considéré dans Ch. I base orthonormée formée par des fonctions harmoniques à fréquences multiples;

Toute fonction de cette base satisfait la condition de périodicité (2.1). Par conséquent, en effectuant la décomposition orthogonale du signal dans cette base, c'est-à-dire en calculant les coefficients

on obtient la décomposition spectrale

qui est valable sur l'infini de l'axe des temps.

Une série de la forme (2.4) est appelée la série de Fourier du signal donné. Introduisons la fréquence fondamentale de la séquence qui forme le signal périodique. En calculant les coefficients d'expansion par la formule (2.3), on écrit la série de Fourier pour un signal périodique

avec coefficients

(2.6)

Ainsi, dans le cas général, un signal périodique contient une composante constante indépendante du temps et un ensemble infini d'oscillations harmoniques, les soi-disant harmoniques avec des fréquences multiples de la fréquence fondamentale de la séquence.

Chaque harmonique peut être décrite par son amplitude et sa phase initiale Pour cela, les coefficients de la série de Fourier doivent être écrits sous la forme

En substituant ces expressions dans (2.5), on obtient une autre, - une forme équivalente de la série de Fourier:

ce qui est parfois plus pratique.

Diagramme spectral d'un signal périodique.

Il est donc d'usage d'appeler la représentation graphique des coefficients de la série de Fourier pour un signal spécifique. Distinguer les diagrammes spectraux d'amplitude et de phase (Fig. 2.1).

Ici, sur l'axe horizontal, à une certaine échelle, les fréquences des harmoniques sont tracées, et sur l'axe vertical, leurs amplitudes et phases initiales sont tracées.

Figure: 2.1. Diagrammes spectraux d'un signal périodique: a - amplitude; b - phase

Ils s'intéressent notamment au diagramme d'amplitude, qui permet de juger du pourcentage de certaines harmoniques dans le spectre d'un signal périodique.

Regardons quelques exemples spécifiques.

Exemple 2.1. Série de Fourier d'une séquence périodique d'impulsions vidéo rectangulaires avec des paramètres connus, même par rapport au point t \u003d 0.

En ingénierie radio, le rapport est appelé le cycle de service de la séquence. En utilisant les formules (2.6), nous trouvons

Il est pratique d'écrire la formule finale de la série de Fourier sous la forme

En figue. 2.2 montre les diagrammes d'amplitude de la séquence considérée dans deux cas extrêmes.

Il est important de noter qu'une séquence d'impulsions courtes, se succédant assez rarement, a une composition spectrale riche.

Figure: 2.2. Spectre d'amplitude d'une séquence périodique d'impulsions vidéo rectangulaires: a - à cycle de service élevé; b - à faible cycle de service

Exemple 2.2. Série de Fourier d'un train d'impulsions périodique formé par un signal harmonique de la forme limitée au niveau (supposé que).

Nous introduisons un paramètre spécial - l'angle de coupure, déterminé à partir de la relation d'où

Conformément à cela, la valeur est égale à la durée d'une impulsion, exprimée en mesure angulaire:

L'enregistrement analytique de l'impulsion générant la séquence considérée a la forme

Composante constante de la séquence

Coefficient d'amplitude de la première harmonique

De même, les amplitudes sont calculées - les composantes harmoniques à

Les résultats obtenus sont généralement écrits comme suit:

où le soi-disant Berg fonctionne:

Les graphiques de certaines fonctions de Berg sont illustrés à la Fig. 2.3.

Figure: 2.3. Tracés des premières fonctions de Berg

Forme complexe de la série de Fourier.

La décomposition spectrale d'un signal périodique peut également être effectuée quelque peu ionique, en utilisant un système de fonctions de base, constitué d'exponentielles avec des exposants imaginaires:

Il est facile de voir que les fonctions de ce système sont périodiques avec une période orthonormalisée sur un intervalle de temps puisque

La série de Fourier d'un signal périodique arbitraire dans ce cas prend la forme

avec coefficients

La forme de notation suivante est généralement utilisée:

L'expression (2.11) est une série de Fourier sous forme complexe.

Le spectre du signal selon la formule (2.11) contient des composantes sur le demi-axe de fréquence négative, et. En série (2.11), les termes avec des fréquences positives et négatives sont combinés en paires, par exemple.

Dans de nombreux cas, la tâche consistant à obtenir (calculer) le spectre du signal est la suivante. Il existe un ADC qui, avec une fréquence d'échantillonnage Fd, convertit un signal continu arrivant à son entrée pendant le temps T en échantillons numériques - N morceaux. Ensuite, le tableau d'échantillons est introduit dans un certain programme qui produit N / 2 certaines valeurs numériques (un programmeur qui tiré d'Internet a écrit un programme, assure qu'il fait la transformée de Fourier).

Pour vérifier si le programme fonctionne correctement, formons un tableau d'échantillons comme la somme de deux sinusoïdes sin (10 * 2 * pi * x) + 0,5 * sin (5 * 2 * pi * x) et glissons-le dans le programme. Le programme a dessiné ce qui suit:

fig.1 Graphique de la fonction temporelle du signal

fig.2 Graphique du spectre du signal

Le graphique du spectre a deux bâtons (harmoniques) de 5 Hz avec une amplitude de 0,5 V et 10 Hz - avec une amplitude de 1 V, tout est comme dans la formule du signal d'origine. Tout va bien, programmeur bien fait! Le programme fonctionne correctement.

Cela signifie que si nous transmettons un signal réel d'un mélange de deux sinusoïdes à l'entrée ADC, nous obtiendrons un spectre similaire composé de deux harmoniques.

Total, notre réel signal mesuré, durée 5 sec, ADC numérisé, c'est-à-dire présenté discret compte, a discret non périodique gamme.

D'un point de vue mathématique, combien d'erreurs y a-t-il dans cette phrase?

Maintenant, les patrons ont décidé que nous avons décidé que 5 secondes c'est trop long, mesurons le signal en 0,5 seconde.



fig.3 Graphique de fonction sin (10 * 2 * pi * x) + 0,5 * sin (5 * 2 * pi * x) à une période de mesure de 0,5 s

fig.4 Spectre des fonctions

Quelque chose ne va pas! L'harmonique 10 Hz est dessinée normalement, et au lieu du stick 5 Hz, des harmoniques incompréhensibles sont apparues. Nous regardons sur Internet, quoi et comment ...

Dans, ils disent que des zéros doivent être ajoutés à la fin de l'échantillon et le spectre sera dessiné normal.

fig.5 Fini les zéros à 5 s

fig.6 Reçu le spectre

Toujours pas ce que c'était à 5 secondes. Nous devrons nous occuper de la théorie. Aller à Wikipédia - source de connaissances.

2. Fonction continue et sa représentation par la série de Fourier

Mathématiquement, notre signal d'une durée de T secondes est une fonction f (x) définie sur l'intervalle (0, T) (X dans ce cas est le temps). Une telle fonction peut toujours être représentée comme une somme de fonctions harmoniques (sinusoïdes ou cosinus) de la forme:

(1), où:

K - nombre de fonction trigonométrique (nombre de composante harmonique, nombre d'harmonique)
T - le segment où la fonction est définie (durée du signal)
Ak est l'amplitude de la kème composante harmonique,
θk est la phase initiale de la kème composante harmonique

Que signifie «représenter une fonction comme la somme d'une série»? Cela signifie qu'en ajoutant à chaque point les valeurs des composantes harmoniques de la série de Fourier, nous obtenons la valeur de notre fonction à ce point.

(Plus strictement, l'écart quadratique moyen de la série par rapport à la fonction f (x) tendra vers zéro, mais malgré la convergence racine quadratique moyenne, la série de Fourier de la fonction, en général, n'a pas à converger vers elle point par point. Voir https://ru.wikipedia.org/ wiki / Fourier_Row.)

Cette série peut également être écrite comme suit:

(2),
où, k-ème amplitude complexe.

La relation entre les coefficients (1) et (3) est exprimée par les formules suivantes:

Notez que toutes ces trois représentations de la série de Fourier sont complètement équivalentes. Parfois, lorsque vous travaillez avec des séries de Fourier, il est plus pratique d'utiliser des exposants de l'argument imaginaire au lieu de sinus et cosinus, c'est-à-dire d'utiliser la transformée de Fourier sous une forme complexe. Mais il nous convient d'utiliser la formule (1), où la série de Fourier est présentée comme une somme d'ondes cosinus avec les amplitudes et phases correspondantes. Dans tous les cas, il est faux de dire que le résultat de la transformée de Fourier d'un signal réel sera les amplitudes complexes des harmoniques. Comme le dit correctement le wiki, "La transformée de Fourier (ℱ) est une opération qui assigne une fonction à une variable réelle à une autre fonction, également une variable réelle."

Total:
La base mathématique de l'analyse spectrale des signaux est la transformée de Fourier.

La transformée de Fourier permet de représenter une fonction continue f (x) (signal), définie sur le segment (0, T) comme la somme d'un nombre infini (série infinie) de fonctions trigonométriques (sinusoïdes et / ou cosinus) avec certaines amplitudes et phases, également considérées sur le segment (0, T). Une telle série s'appelle une série de Fourier.

Notons quelques points supplémentaires dont la compréhension est nécessaire pour l'application correcte de la transformée de Fourier à l'analyse du signal. Si nous considérons la série de Fourier (la somme des sinusoïdes) sur tout l'axe X, alors nous pouvons voir qu'en dehors du segment (0, T) la fonction représentée par la série de Fourier répétera périodiquement notre fonction.

Par exemple, dans le graphique de la figure 7, la fonction d'origine est définie sur l'intervalle (-T \\ 2, + T \\ 2), et la série de Fourier représente une fonction périodique définie sur tout l'axe des x.

En effet, les sinusoïdes eux-mêmes sont des fonctions périodiques et, par conséquent, leur somme sera une fonction périodique.

fig.7 Représentation d'une fonction originale non périodique par la série de Fourier

Donc:

Notre fonction originale est continue, non périodique, définie sur un segment de longueur T.
Le spectre de cette fonction est discret, c'est-à-dire qu'il se présente sous la forme d'une série infinie de composantes harmoniques - la série de Fourier.
En fait, la série de Fourier définit une certaine fonction périodique qui coïncide avec la nôtre sur le segment (0, T), mais cette périodicité n'est pas essentielle pour nous.

Les périodes des composantes harmoniques sont des multiples de la valeur du segment (0, T), sur lequel la fonction d'origine f (x) est définie. En d'autres termes, les périodes harmoniques sont des multiples de la durée de mesure du signal. Par exemple, la période de la première harmonique de la série de Fourier est égale à l'intervalle T, sur lequel la fonction f (x) est définie. La période de la deuxième harmonique de la série de Fourier est égale à l'intervalle T / 2. Et ainsi de suite (voir fig. 8).

fig.8 Périodes (fréquences) des composantes harmoniques de la série de Fourier (ici T \u003d 2π)

En conséquence, les fréquences des composantes harmoniques sont des multiples de 1 / T. Autrement dit, les fréquences des composantes harmoniques Fk sont égales à Fk \u003d k \\ T, où k va de 0 à ∞, par exemple k \u003d 0 F0 \u003d 0; k \u003d 1 F1 \u003d 1 \\ T; k \u003d 2 F2 \u003d 2 \\ T; k \u003d 3 F3 \u003d 3 \\ T;… Fk \u003d k \\ T (à fréquence nulle - composante constante).

Soit notre fonction d'origine un signal enregistré pendant T \u003d 1 sec. Alors la période de la première harmonique sera égale à la durée de notre signal T1 \u003d T \u003d 1 sec et la fréquence de l'harmonique est de 1 Hz. La deuxième période harmonique sera égale à la durée du signal divisée par 2 (T2 \u003d T / 2 \u003d 0,5 sec) et la fréquence est de 2 Hz. Pour la troisième harmonique, T3 \u003d T / 3 s et la fréquence est de 3 Hz. Etc.

Le pas entre les harmoniques dans ce cas est de 1 Hz.

Ainsi, un signal de 1 seconde peut être décomposé en composantes harmoniques (pour obtenir un spectre) avec une résolution en fréquence de 1 Hz.
Pour augmenter la résolution de 2 fois à 0,5 Hz - il est nécessaire d'augmenter la durée de mesure de 2 fois - jusqu'à 2 sec. Un signal d'une durée de 10 secondes peut être décomposé en composantes harmoniques (pour obtenir un spectre) avec une résolution de fréquence de 0,1 Hz. Il n'y a pas d'autre moyen d'augmenter la résolution de fréquence.

Il existe un moyen d'augmenter artificiellement la durée du signal en ajoutant des zéros au tableau d'échantillons. Mais cela n'augmente pas la résolution de fréquence réelle.

3. Signaux discrets et transformée de Fourier discrète

Avec le développement de la technologie numérique, les méthodes de stockage des données de mesure (signaux) ont également changé. Si auparavant le signal pouvait être enregistré sur un magnétophone et stocké sur bande sous forme analogique, les signaux sont maintenant numérisés et stockés dans des fichiers dans la mémoire de l'ordinateur sous la forme d'un ensemble de nombres (lectures).

Un schéma typique pour mesurer et numériser un signal est le suivant.

fig.9 Schéma des canaux de mesure

Le signal provenant du transducteur de mesure est envoyé au CAN pendant une période de temps T. Les échantillons du signal (échantillon) obtenus pendant le temps T sont transférés à l'ordinateur et stockés en mémoire.

fig.10 Signal numérisé - N échantillons obtenus pendant T

Quelles sont les exigences relatives aux paramètres de numérisation du signal? Un appareil qui convertit un signal analogique d'entrée en un code discret (signal numérique) est appelé un convertisseur analogique-numérique (ADC) (Wiki).

L'un des principaux paramètres de l'ADC est le taux d'échantillonnage maximal (ou taux d'échantillonnage, taux d'échantillonnage anglais) - la fréquence d'échantillonnage d'un signal continu dans le temps pendant son échantillonnage. Mesuré en hertz. ((Wiki))

Selon le théorème de Kotelnikov, si un signal continu a un spectre limité par la fréquence Fmax, alors il peut être complètement et sans ambiguïté reconstruit à partir de ses échantillons discrets prélevés à des intervalles de temps , c'est à dire. avec une fréquence de Fd ≥ 2 * Fmax, où Fd est la fréquence d'échantillonnage; Fmax est la fréquence maximale du spectre du signal. En d'autres termes, la fréquence d'échantillonnage du signal (fréquence d'échantillonnage ADC) doit être au moins 2 fois supérieure à la fréquence maximale du signal que nous voulons mesurer.

Et que se passera-t-il si nous prélevons des échantillons avec une fréquence inférieure à celle requise par le théorème de Kotelnikov?

Dans ce cas, il se produit l'effet de «repliement» (aka effet stroboscopique, effet moiré), dans lequel un signal haute fréquence après numérisation se transforme en un signal basse fréquence qui n'existe pas réellement. En figue. 11 onde sinusoïdale rouge haute fréquence est un vrai signal. Une sinusoïde bleue de fréquence inférieure est un signal fictif qui survient du fait que pendant le temps d'échantillonnage, il parvient à passer plus d'une demi-période du signal haute fréquence.

Figure: 11. L'apparition d'un faux signal de basse fréquence avec un taux d'échantillonnage insuffisamment élevé

Pour éviter l'effet d'aliasing, un filtre anti-aliasing spécial est installé devant l'ADC - un filtre passe-bas (filtre passe-bas), qui laisse passer les fréquences inférieures à la moitié de la fréquence d'échantillonnage ADC et coupe les fréquences plus élevées.

Afin de calculer le spectre du signal à partir de ses échantillons discrets, la transformée de Fourier discrète (DFT) est utilisée. On notera à nouveau que le spectre d'un signal discret est "par définition" limité par la fréquence Fmax, inférieure à la moitié de la fréquence d'échantillonnage Fd. Par conséquent, le spectre d'un signal discret peut être représenté par la somme d'un nombre fini d'harmoniques, contrairement à la somme infinie pour la série de Fourier d'un signal continu dont le spectre peut être illimité. Selon le théorème de Kotelnikov, la fréquence maximale d'une harmonique doit être telle qu'elle ait au moins deux lectures, de sorte que le nombre d'harmoniques est égal à la moitié du nombre d'échantillons d'un signal discret. Autrement dit, s'il y a N échantillons dans l'échantillon, alors le nombre d'harmoniques dans le spectre sera égal à N / 2.

Considérons maintenant la transformée de Fourier discrète (DFT).

Comparaison avec la série Fourier

On voit qu'ils coïncident, sauf que le temps dans le DFT est discret et le nombre d'harmoniques est limité à N / 2, ce qui est la moitié du nombre d'échantillons.

Les formules DFT sont écrites dans des variables entières sans dimension k, s, où k sont les nombres d'échantillons de signaux, s sont les nombres de composantes spectrales.
La valeur s indique le nombre d'oscillations harmoniques totales à la période T (la durée de la mesure du signal). La transformée de Fourier discrète est utilisée pour trouver les amplitudes et les phases des harmoniques numériquement, c'est-à-dire "sur l'ordinateur"

Revenons aux résultats au début. Comme mentionné ci-dessus, lors de l'expansion d'une fonction non périodique (notre signal) dans une série de Fourier, la série de Fourier résultante correspond en fait à une fonction périodique avec une période T. (Fig. 12).

fig.12 Fonction périodique f (x) avec une période T0, avec une période de mesure T\u003e T0

Comme on peut le voir sur la figure 12, la fonction f (x) est périodique avec une période TO. Cependant, du fait que la durée de l'échantillon de mesure T ne coïncide pas avec la période de la fonction T0, la fonction obtenue en série de Fourier présente une discontinuité au point T.En conséquence, le spectre de cette fonction contiendra un grand nombre d'harmoniques haute fréquence. Si la durée de l'échantillon de mesure T coïncidait avec la période de la fonction T0, alors dans le spectre obtenu après la transformée de Fourier, seule la première harmonique serait présente (une sinusoïde avec une période égale à la durée de l'échantillon), puisque la fonction f (x) est une sinusoïde.

En d'autres termes, le programme DFT «ne sait pas» que notre signal est un «morceau de sinusoïde», mais essaie de représenter une fonction périodique sous forme de série, qui présente une discontinuité due à l'incohérence des morceaux individuels d'une sinusoïde.

En conséquence, des harmoniques apparaissent dans le spectre, ce qui devrait résumer la forme de la fonction, y compris cette discontinuité.

Ainsi, pour obtenir un spectre "correct" d'un signal, qui est la somme de plusieurs sinusoïdes de périodes différentes, il est nécessaire qu'un nombre entier de périodes de chaque sinusoïde s'insère dans la période de mesure du signal. En pratique, cette condition peut être remplie pour une durée de mesure du signal suffisamment longue.

Fig.13 Exemple de la fonction et du spectre du signal de l'erreur cinématique du réducteur

Avec une durée plus courte, l'image aura l'air "pire":

Fig.14 Exemple de fonction et de spectre du signal de vibration du rotor

En pratique, il peut être difficile de comprendre où sont les «composants réels» et où sont les «artefacts» causés par le fait que les périodes des composants et la durée de l'échantillonnage du signal ne sont pas multiples ou les «sauts et ruptures» de la forme d'onde. Bien entendu, les mots «composants réels» et «artefacts» ne sont pas en vain pris entre guillemets. La présence de nombreuses harmoniques sur le graphe spectral ne signifie pas que notre signal en réalité "se compose" d'elles. C'est comme penser que le nombre 7 "se compose" des nombres 3 et 4. Le nombre 7 peut être représenté comme la somme des nombres 3 et 4 - c'est exact.

Donc notre signal ... ou plutôt pas même "notre signal", mais une fonction périodique composée en répétant notre signal (échantillon) peut être représenté comme une somme d'harmoniques (sinusoïdes) avec certaines amplitudes et phases. Mais dans de nombreux cas importants pour la pratique (voir les figures ci-dessus), il est vraiment possible d'associer les harmoniques obtenues dans le spectre à des processus réels qui ont un caractère cyclique et apportent une contribution significative à la forme du signal.

Quelques résultats

1. Le signal réel mesuré, durée T sec, numérisé par ADC, c'est-à-dire représenté par un ensemble d'échantillons discrets (N morceaux), a un spectre discret non périodique, représenté par un ensemble d'harmoniques (N / 2 morceaux).

2. Le signal est représenté par un ensemble de valeurs réelles et son spectre est représenté par un ensemble de valeurs réelles. Les fréquences harmoniques sont positives. Le fait que les mathématiciens trouvent plus pratique de représenter le spectre sous une forme complexe en utilisant des fréquences négatives ne signifie pas que «ceci est correct» et «cela devrait toujours être fait».

3. Le signal mesuré à l'intervalle de temps T est déterminé uniquement à l'intervalle de temps T. Ce qui était avant que nous commencions à mesurer le signal, et ce qui se passera après cela - cela est inconnu de la science. Et dans notre cas, ce n'est pas intéressant. La DFT d'un signal limité dans le temps donne son spectre «vrai», en ce sens que, dans certaines conditions, elle permet de calculer l'amplitude et la fréquence de ses composantes.

Matériaux utilisés et autres matériaux utiles.