Test sur le thème des fonctions de plusieurs variables. Test: Limite et continuité des fonctions de plusieurs variables. Département: Mathématiques supérieures

Département: Mathématiques supérieures

abstrait

dans la discipline "Mathématiques supérieures"

Sujet: "Limite et continuité des fonctions de plusieurs variables"

Togliatti, 2008

introduction

Le concept de fonction d'une variable ne couvre pas toutes les dépendances qui existent dans la nature. Même dans les problèmes les plus simples, il existe des grandeurs dont les valeurs sont déterminées par la combinaison de valeurs de plusieurs grandeurs.

Pour étudier ces dépendances, le concept de fonction de plusieurs variables est introduit.

Le concept de fonction de plusieurs variables

Définition. La quantité u s'appelle une fonction de plusieurs variables indépendantes ( x, y, z, …, t), si chaque ensemble de valeurs de ces variables est associé à une certaine valeur de la quantité u.

Si une variable est fonction de deux variables xet à, alors la dépendance fonctionnelle est notée

z= f(x, y).

symbole f définit ici un ensemble d'actions ou une règle de calcul d'une valeur z pour une paire de valeurs donnée xet à.

Donc, pour la fonction z= x2 + 3xy

à x \u003d 1 et à \u003d 1 nous avons z = 4,

à x \u003d 2 et à \u003d 3 nous avons z = 22,

à x \u003d 4 et à \u003d 0 nous avons z \u003d 16, etc.

La quantité ufonction de trois variables x, y, z, si une règle est donnée, comme pour un triple de valeurs donné x, y et z calculer la valeur correspondante u:

u= F(x, y, z).

Ici le symbole F définit un ensemble d'actions ou une règle de calcul d'une valeur ucorrespondant à ces valeurs x, y et z.

Donc, pour la fonction u= xy+ 2xz– 3yz

à x = 1, à \u003d 1 et z \u003d 1 nous avons u= 0,

à x = 1, à \u003d -2 et z \u003d 3 nous avons u= 22,

à x = 2, à \u003d -1 et z \u003d -2 nous avons u= -16, etc.

Ainsi, si en vertu d'une loi de chaque ensemble p Nombres ( x, y, z, …, t) d'un ensemble Eaffecte une valeur spécifique à une variable u, puis u appelé une fonction de p variables x, y, z, …, tdéfini sur le plateau E, et noté

u= f(x, y, z, …, t).

Variables x, y, z, …, t sont appelés arguments de fonction, l'ensemble E - la portée de la fonction.

La valeur particulière d'une fonction est la valeur d'une fonction à un moment donné M0(x0, y0, z0, …, t0) et est noté f (M0) = f (x0, y0, z0, …, t0).

Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs d'argument qui correspondent à toutes les valeurs réelles de la fonction.

Fonction de deux variables z= f(x, y) dans l'espace est représenté par une certaine surface. Autrement dit, lorsque le point avec des coordonnées x, à parcourt tout le domaine de la fonction situé dans le plan hoy, le point spatial correspondant, d'une manière générale, décrit la surface.

Fonction de trois variables u= F(x, y, z) considéré comme une fonction d'un point d'un ensemble de points dans un espace tridimensionnel. De même, la fonction p variables u= f(x, y, z, …, t) est considérée en fonction d'un point de certains p-espace dimensionnel.

Limite d'une fonction de plusieurs variables

Afin de donner le concept de limite d'une fonction à plusieurs variables, nous nous limitons au cas de deux variables x et à... Par définition, la fonction f(x, y) a une limite au point ( x0, à0) égal au nombre ET, noté comme ceci:

(écrire plus f(x, y) →ETà (x, y) → (x, à)) s'il est défini dans un voisinage du point ( x, à), à l'exception possible de ce point lui-même et s'il y a une limite

quelle que soit la tendance vers ( x, à) une séquence de points ( xk, yk).

Tout comme dans le cas d'une fonction à une variable, une autre définition équivalente de la limite d'une fonction à deux variables peut être introduite: la fonction fa au point ( x, à) limite égale à ETs'il est défini dans un voisinage du point ( x, à) sauf peut-être pour ce point lui-même, et pour tout ε\u003e 0 il y a δ\u003e 0 tel que

| f(x, y) – UNE| < ε(3)

pour tous (x, y)

0 < />< δ. (4)

Cette définition, à son tour, est équivalente à la suivante: pour tout ε\u003e 0, il y a un δ-voisinage du point ( x, à) tel que pour tous ( x, y) de ce quartier, autre que ( x, à), l'inégalité (3) est vraie.

SAUT DE PAGE--

Puisque les coordonnées d'un point arbitraire ( x, y) le voisinage du point ( x, à) peut s'écrire x \u003d x+ Δ x, y \u003d y+ Δ à, alors l'égalité (1) équivaut à l'égalité suivante:

Considérons une fonction définie dans un voisinage du point ( x, à), sauf peut-être pour ce point lui-même.

Soit ω \u003d (ω x, ω à) Est un vecteur arbitraire de longueur un (| ω | 2 \u003d ω x2+ ω à2 \u003d 1) et t\u003e 0 est un scalaire. Points de vue

(x0+ tω x, y0+ tω à) (0 < t)

former un rayon sortant de ( x0, à0) dans la direction du vecteur ω. Pour chaque ω, on peut considérer la fonction

f(x0+ tω x, y0+ tω à) (0 < t< δ)

à partir d'une variable scalaire t, où δ est un nombre suffisamment petit.

La limite de cette fonction (une variable t)

/> f(x+ tω x, y+ tω à),

fau point ( x, à) dans le sens ω.

Exemple 1.Les fonctions

défini sur le plan ( x, y) sauf pour le point x= 0, à\u003d 0. Nous avons (prenez en compte que /\u003e et /\u003e):

(pour ε\u003e 0 on met δ \u003d ε / 2 puis | f(x, y) | < ε, если />< δ).

à partir de laquelle on peut voir que la limite φ au point (0, 0) dans différentes directions est généralement différente (le vecteur de rayon unitaire y= kx, x\u003e 0, a la forme

Exemple 2.Considérez dans R2 fonctions

/> (x4+ à2≠ 0).

Cette fonction au point (0, 0) sur n'importe quelle ligne y= kxpassant par l'origine a une limite égale à zéro:

/\u003e pour x→ 0.

Cependant, cette fonction n'a pas de limite aux points (0, 0), car pour y \u003d x2

Nous écrirons /\u003e si la fonction fest défini dans un voisinage du point ( x, à), à l'exception possible du point lui-même ( x, à) et pour tout le monde N\u003e 0 il y a δ\u003e 0 tel que

|f(x, y) | > N,

depuis 0< />< δ.

Continuation
--SAUT DE PAGE--

Vous pouvez également parler de la limite fquand x, à→ ∞:

ETl'égalité (5) doit être comprise dans le sens où pour tout ε\u003e 0 il y a une telle N\u003e 0, ce qui pour tous x, àpour qui | x| > N, |y| > N, une fonction fest définie et l'inégalité

|f(x, y) – ET| < ε.

Les égalités sont vraies

où pourrait-il être x→ ∞, à→ ∞. De plus, comme d'habitude, des limites (finies) dans leur côté gauche existent s'il y a des limites fet φ.

Prouvons (7) par exemple.

Laisser être ( xk, yk) → (x, à) ((xk, yk) ≠ (x, à)); puis

Ainsi, la limite du côté gauche de (9) existe et est égale au côté droit de (9), et puisque la séquence ( xk, yk) tend à ( x, à) selon n'importe quelle loi, alors cette limite est égale à la limite de la fonction f(x, y) ∙φ (x, y) au point ( x, à).

Théorème.si fonction f(x, y) a une limite qui n'est pas égale à zéro au point ( x, à), c'est à dire.

alors il existe δ\u003e 0 tel que pour tout x, àsatisfaire les inégalités

0 < />< δ, (10)

il satisfait l'inégalité

Par conséquent, pour un tel (x, y)

ceux. l'inégalité (11) tient. De l'inégalité (12) pour l'indiqué (x, y) il suit /\u003e d'où /\u003e pour UNE\u003e 0 et /\u003e pour

UNE< 0 (сохранение знака).

Par définition, la fonction f(x) = f(x1, …, xn) = UNEa une limite au point

x\u003d /\u003e égal au nombre ET, noté comme ceci:

(écrire plus f(x) → UNE(x→ x)) s'il est défini sur un voisinage du point x, sauf peut-être pour elle-même, et s'il y a une limite

quel que soit l'effort pour xséquence de points xkdu voisinage spécifié ( k\u003d 1, 2, ...) autre que x.

Une autre définition équivalente est la suivante: fonction fa au point xlimite égale ETs'il est défini dans un voisinage du point x, sauf peut-être pour lui-même, et pour tout ε\u003e 0 il y a δ\u003e 0 tel que

Continuation
--SAUT DE PAGE--

pour tous xsatisfaire les inégalités

0 < |x– x| < δ.

Cette définition, à son tour, est équivalente à la suivante: pour tout ε\u003e 0 il y a un voisinage U(x) points xtel que pour tout le monde x/>U(x) , x≠ x, l'inégalité (13) tient.

De toute évidence, si le nombre ETil existe une limite f(x) dans xpuis ETil y a une limite de fonction f(x0 + h) de hau point zéro:

et vice versa.

Considérez une fonction fdonné en tous points du voisinage du point x, sauf peut-être le point x; soit ω \u003d (ω1, ..., ω p) Est un vecteur arbitraire de longueur un (| ω | \u003d 1) et t\u003e 0 est un scalaire. Points de vue x+ tω (0 < t) formulaire sortant de xrayon dans la direction du vecteur ω. Pour chaque ω, on peut considérer la fonction

/> (0 < t< δω)

à partir d'une variable scalaire t, où δω est un nombre dépendant de ω. La limite de cette fonction (à partir d'une variable t)

s'il existe, il est naturel de l'appeler la limite fà ce point xdans le sens du vecteur ω.

Nous écrirons /\u003e si la fonction fdéfini dans un quartier xsauf peut-être x, et pour tout le monde N\u003e 0 il y a δ\u003e 0 tel que | f(x) | >N, depuis 0< |x– x| < δ.

Tu peux parler de la limite fquand x→ ∞:

Par exemple, dans le cas d'un nombre fini ETl'égalité (14) doit être comprise dans le sens où pour tout ε\u003e 0 on peut indiquer N\u003e 0, ce qui pour les points xpour qui | x| > N, une fonction fest définie et l'inégalité /\u003e est vraie.

Donc la limite de fonction f(x) = f(x1, ..., xp) de ples variables sont définies par analogie de la même manière que pour une fonction à deux variables.

Ainsi, nous passons à la définition de la limite d'une fonction de plusieurs variables.

Nombre ETappelé la limite de la fonction f(M) à M→ Msi pour tout nombre ε\u003e 0 il y a toujours un tel nombre δ\u003e 0 que pour tout point Mautre que Met satisfaisant la condition | MM| < δ, будет иметь место неравенство |f(M) – ET| < ε.

La limite est notée /\u003e Dans le cas d'une fonction à deux variables /\u003e

Limiter les théorèmes.Si les fonctions f1(M) et f2(M) à M→ Mchacun tend vers une limite finie, alors:

Continuation
--SAUT DE PAGE--

Exemple 1.Trouvez la limite d'une fonction: /\u003e

Décision. Nous transformons la limite comme suit:

Laisser être y= kx, puis /\u003e

Exemple 2.Trouvez la limite d'une fonction: /\u003e

Décision. Nous utiliserons la première limite remarquable /\u003e Puis /\u003e

Exemple 3.Trouvez la limite d'une fonction: /\u003e

Décision. Nous utiliserons la deuxième limite remarquable /\u003e Puis /\u003e

Continuité d'une fonction de plusieurs variables

Par définition, la fonction f(x, y) est continue au point ( x, à) s'il est défini dans une partie de son voisinage, y compris au point lui-même ( x, à) et si la limite f(x, y) à ce stade est égal à sa valeur dans celui-ci:

Condition de continuité fau point ( x, à) peut être écrit sous une forme équivalente:

ceux. une fonction fest continue au point ( x, à) si la fonction f(X+ Δ x, à+ Δ y)en variables Δ x, Δ àà Δ x= Δ y \u003d0.

Vous pouvez entrer l'incrément Δ etfonction et= f(x, y) à ce point (x, y) correspondant aux incréments Δ x, Δ àarguments

Δ et= f(X+ Δ x, à+ Δ y)– f(x, y)

et dans ce langage définir la continuité fdans (x, y) : une fonction fcontinue au point (x, y) , si un

Théorème.La somme, la différence, le produit et le quotient du continu au point ( x, à) les fonctions fet φ est une fonction continue en ce point, si, bien entendu, dans le cas du quotient φ ( x, à) ≠ 0.

Constant de peut être considéré comme une fonction f(x, y) = de à partir de variables x, y... Il est continu dans ces variables, car

/>|f(x, y) – f(x, à) | = |s - s| = 0 0.

Les fonctions les plus complexes suivantes sont f(x, y) = xet f(x, y) = à... Ils peuvent également être considérés comme des fonctions de (x, y) et ils sont continus. Par exemple, la fonction f(x, y) = xcorrespond à chaque point (x, y) nombre égal à x... Continuité de cette fonction en un point arbitraire (x, y) peut être prouvé comme ceci:

Continuation
--SAUT DE PAGE--

/>| f(X+ Δ x, à+ Δ y)– f(x, y) | = |f(X+ Δ x) - x| = | Δ x| ≤ />0.

Si vous exécutez des fonctions x, yet des actions constantes d'addition, de soustraction et de multiplication dans un nombre fini, alors nous recevrons des fonctions appelées polynômes en x, y... Sur la base des propriétés formulées ci-dessus, les polynômes dans les variables x, y- fonctions continues de ces variables pour tous les points (x, y) />R2.

Attitude P/ Qdeux polynômes dans (x, y) il y a une fonction rationnelle de (x, y) est évidemment continu partout sur R2, hors points (x, y) où Q(x, y) = 0.

R(x, y) = x3– à2+ x2à– 4

pourrait être un exemple de polynôme dans (x, y) troisième degré, et la fonction

R(x, y) = x4– 2x2à2+à4

il y a un exemple de polynôme de (x, y) quatrième degré.

Donnons un exemple de théorème affirmant la continuité d'une fonction de fonctions continues.

Théorème.Laissez la fonction f(x, y, z) continue au point (x, y, z) espace R3 (points (x, y, z) ) et les fonctions

x= φ (u, v), y= ψ (u, v), z= χ (u, v)

continue au point (u, v) espace R2 (points (u, v) ). Soit, en plus,

x= φ (u, v), y= ψ (u, v), z= χ (u, v) .

Puis la fonction F(u, v) = f[ φ (u, v), ψ (u, v), χ (u, v) ] est continue (par

(u, v) ) à ce point (u, v) .

Preuve. Puisque le signe de la limite peut être introduit sous le signe de la caractéristique d'une fonction continue, alors

Théorème.Fonction f(x, y) continue au point ( x, à) et non égal à zéro à ce stade, préserve le signe du nombre f(x, à) dans un quartier du point ( x, à).

Par définition, la fonction f(x) = f(x1, ..., xp) continue au point x= (X1, ..., xp) s'il est défini dans une partie de son voisinage, y compris au point lui-même x, et si sa limite au point xest égal à sa valeur:

Condition de continuité fà ce point xpeut être écrit sous une forme équivalente:

ceux. une fonction f(x) continue au point xsi la fonction est continue f(X+ h) de hà ce point h= 0.

Continuation
--SAUT DE PAGE--

Vous pouvez entrer un incrément fà ce point xcorrespondant à l'incrément h= (h1, ..., hp) ,

Δ hf(X) = f(X+ h) – f(X)

et dans sa langue définir la continuité fdans x: une fonction fcontinue dans x, si un

Théorème.Somme, différence, produit et quotient de points continus xles fonctions f(x) et φ (x) est une fonction continue en ce point, si, bien entendu, dans le cas du quotient φ (X) ≠ 0.

Commentaire. Incrément Δ hf(X) également appelé incrément de fonction total fà ce point x.

Dans l'espace Rnpoints x= (x1, ..., xp) définir un ensemble de points g.

Par définition x= (X1, ..., xp) est un point intérieur de l'ensemble g, s'il existe une boule ouverte centrée dedans, appartenant complètement à g.

Un tas de g/>Rnest appelé ouvert si tous ses points sont internes.

Ils disent que ça fonctionne

x1 \u003d φ1 (t), ..., xp= φ p(t)(a ≤ t ≤ b)

continue sur le segment [ une, b], définissez une courbe continue dans Rnpoints de connexion x1= (X11, ..., x1p) et x2= (X21, ..., x2p) où x11 \u003d φ1 (et), ..., x1p= φ p(et), x21 \u003d φ1 (b) , ..., x2p= φ p(b) ... Lettre tappelé le paramètre de la courbe.

Un tas de gest appelé connecté si deux points quelconques x1, x2 peut être reliée par une courbe continue appartenant à g.

Un ensemble ouvert connecté est appelé une région.

Théorème.Laissez la fonction f(x) défini et continu sur Rn(en tous points Rn). Puis l'ensemble gpoints xoù il satisfait l'inégalité

f(x) > de(ou f(x) < de), quelle que soit la constante de, il y a un ensemble ouvert.

En effet, la fonction F(x) = f(x) – decontinue sur Rn, et l'ensemble de tous les points xoù F(x) \u003e 0, coïncide avec g... Laisser être x/>gpuis il y a une balle

| x–x| < δ,

sur lequel F(x) \u003e 0, c'est-à-dire il appartient à get pointer x/>g- interne pour g.

Cas avec f(x) < deest prouvé de la même manière.

Ainsi, la fonction de plusieurs variables f(M)est appelé continu au point Ms'il satisfait aux trois conditions suivantes:

une fonction f(M)défini au point Met près de ce point;

b) il y a une limite /\u003e;

Si au point Msi au moins une de ces conditions est violée, alors la fonction subit une discontinuité à ce stade. Les points de rupture peuvent former des lignes de rupture, casser des surfaces, etc. f(M)s'appelle continue dans la région gsi elle est continue en tout point de cette zone.

Exemple 1.Trouvez les points d'arrêt d'une fonction: z= ln(x2+ y2) .

Décision. Fonction z= ln(x2+ y2) se brise à un moment donné x= 0, à\u003d 0. Par conséquent, le point À PROPOS(0, 0) est le point de rupture.

Exemple 2.Trouvez les points d'arrêt d'une fonction: /\u003e

Décision. La fonction n'est pas définie aux points où le dénominateur disparaît, c'est-à-dire x2+ y2– z2 \u003d 0. Par conséquent, la surface du cône

x2+ y2= z2 est une surface de rupture.

Conclusion

Les informations de base sur les limites et la continuité se trouvent dans le cours de mathématiques à l'école.

Au cours de l'analyse mathématique, le concept de limite est l'un des principaux. A l'aide de la limite, une dérivée et une intégrale définie sont introduites; les limites sont le principal outil de construction de la théorie des séries. La notion de limite, introduite pour la première fois au XVIIe siècle par Newton, est utilisée et développée dans la théorie des séries. Cette section de l'analyse examine les problèmes liés à la somme d'une séquence infinie de quantités (à la fois des constantes et des fonctions).

La continuité d'une fonction donne une idée de son graphe. Cela signifie que le graphique est une ligne continue et ne se compose pas de zones dispersées séparées. Cette propriété de la fonction est largement utilisée dans le domaine de l'économie.

Par conséquent, les concepts de limite et de continuité jouent un rôle important dans l'étude des fonctions de plusieurs variables.

Liste de la littérature utilisée

1. Bugrov Y.S., Nikolsky S.M. Mathématiques supérieures: manuel pour les universités. Volume 2: Calcul différentiel et intégral. Moscou: Outarde, 2004, 512 p.

2. Kremer N.Sh., Putko B.A., Trishin I.M., Fridma M.N. Mathématiques supérieures pour les économistes. Moscou: Unité, 2000, 271 p.

3. Chernenko V.D. Mathématiques supérieures dans les exemples et les problèmes. Manuel pour les universités. Saint-Pétersbourg: Polytechnique, 2003, 703 p.

4.elib.ispu.ru/library/math/sem2/index.html

5.www.academiaxxi.ru/WWW_Books/HM/Fn/toc.htm

Le sujet "Fonctions de plusieurs variables"

Thème 3.Fonctions de plusieurs variables

Définition d'une fonction de deux variables, modes de paramétrage.

Dérivées partielles.

Extremum d'une fonction de deux variables

Un gradient de fonction variable

Les plus grandes et les plus petites valeurs d'une fonction de deux variables dans le domaine

CE QU'UN ÉTUDIANT DOIT SAVOIR

Questions de contrôle

TEST DE CONTRÔLE

1. Définition d'une fonction de plusieurs variables, méthodes de réglage

La variable s'appelle fonction de deux variables quantités et sur le plateau
si chaque paire de valeurs
correspond à une valeur unique de la quantité.

Symboliquement, une fonction de deux variables est désignée comme suit:


etc.

Variables et sont appelés variables indépendantes ou arguments de fonction , et beaucoup
- portée de la fonction ... Pour fonctions de deux variables
portée est un peu ensemble de points sur un plan
, et la plage de valeurs est l'intervalle sur l'axe
.

Par exemple, est une fonction de deux variables.

Pour une représentation visuelle fonctions de deux changementssont appliqués lignes de niveau.

Exemple 1. Pour la fonction
construire un graphique et des lignes de niveau. Notez l'équation d'une ligne de niveau passant par un point
.

Graphique de fonction linéaire est un avion dans l'espace.

Pour une fonction, le graphe est un plan passant par les points
,
,
.

Lignes de niveau de fonction sont des droites parallèles dont l'équation
.

Pour fonction linéaire de deux variables
les lignes de niveau sont données par l'équation
et représenter famille de lignes parallèles dans le plan.

4

Graphique de fonction 0 1 2 X

Lignes de niveau de fonction

Dérivées partielles

Considérez la fonction
... Donnons la variable à ce point
incrément arbitraire
en quittant valeur variable inchangé... L'incrément de fonction correspondant est appelé par l'incrément partiel de la fonction par rapport à la variable à ce point
.

De même, incrément de fonction partielpar variable: .

Notation dérivée partielle par : , ,
,
... Pour trouver la dérivée partielle
par une variable, les règles de différenciation d'une fonction d'une variable sont utilisées, en supposant une variable constant.

Dérivée partielle d'une fonction par rapport à une variableappelé la limite :

.

Légende: , ,
,
... Pour trouver la dérivée partielle par rapport à une variable la variable est considérée comme constante .

Exemple 2... Trouver les valeurs des dérivées partielles de la fonction au point
.

Considérant constant et différenciant en fonction de la variable, on trouve la dérivée partielle par rapport à:

.

Nous calculons la valeur de cette dérivée au point
: .

En supposant une fonction constante et différenciante, on trouve la dérivée partielle par rapport à:

.

Calculons la valeur de la dérivée au point:

Exemple 3... Pour la fonction
trouver des dérivées partielles
,
et calculez leurs valeurs au point
.

Dérivée partielle d'une fonction
sur une variable est sous l'hypothèse qu'elle est constante:

Trouvons la dérivée partielle de la fonction par rapport à la constante:

Calculons les valeurs des dérivées partielles à
,
:

;
.

Les dérivées partielles de fonctions de plusieurs variables sont également appelées privé dérivés du premier ordre ou les premières dérivées partielles.

Dérivées partielles du second ordre les fonctions de plusieurs variables sont appelées dérivées partielles de dérivées partielles du premier ordre, si elles existent.

Écrivons les dérivées partielles du 2ème ordre de la fonction:

;
;

;
.

;
etc.

Si les dérivées partielles mixtes d'une fonction de plusieurs variables sont continues à un moment donné
puis ils égaux les uns aux autres À ce point. Ainsi, pour une fonction de deux variables, les valeurs des dérivées partielles mixtes ne dépendent pas de l'ordre de différenciation:
.

Exemple 4. Pour la fonction, trouvez les dérivées partielles du second ordre
et
.

La dérivée partielle mixte est trouvée par différenciation séquentielle d'abord de la fonction par rapport à (en supposant constant), puis en différenciant la dérivée
par (en supposant constant).

Dérivé
est trouvée en différenciant d'abord la fonction par rapport à , puis le dérivé par .

Les dérivées partielles mixtes sont égales entre elles:
.

Différenciation des dérivées partielles du second ordre à la fois par rapport à xet par à, on obtient des dérivées partielles du troisième ordre.

Exemple 5. Trouver les dérivées partielles du second ordre d'une fonction
.

Nous trouvons constamment

3. Extremum d'une fonction de deux variables

Maximum (le minimum ) les fonctions
à ce point M 0 (x 0 ,y 0) s'appelle sa valeur
, qui est supérieure (inférieure) à toutes ses autres valeurs prises aux points
suffisamment proche du point
et différent de celui-ci.

Les points maximum et minimum sont appelés points extremum, et les valeurs de la fonction en ces points sont appelées extrême .

Conditions nécessaires pour un extremum. Si la fonction différentiable
a un extremum au point
, alors ses dérivées partielles en ce point sont égales à zéro, c'est-à-dire

. Les points auxquels
et
sont appelés stationnaire points de fonction
.

Conditions suffisantes pour un extremum... Soit un point stationnaire de la fonction et soit
,
,
... Composons le déterminant
... Puis:

si un
, puis au point stationnaire
pas d'extrémum;

si un
, alors il y a un extremum au point, et le maximum, si A< 0, minimum si
;

si un
, alors des recherches supplémentaires sont nécessaires.

Exemple 6. Examiner la fonction pour extremum
.

Trouvez les dérivées partielles du premier ordre:
;
Résolution du système d'équations
nous obtenons deux points stationnaires:
et
... On retrouve les dérivées partielles du second ordre:
,
,
... Examinons chaque point stationnaire.

4. Gradient d'une fonction de deux variables

.

Propriétés du dégradé

Exemple 7... La fonction est donnée
... Trouver le dégradé d'une fonction en un point
et construisez-le.

Trouvez les coordonnées du gradient - dérivées partielles.

À ce point
pente est égal. Début de vecteur
au point et la fin au point.

5

5. Les valeurs les plus grandes et les plus petites d'une fonction de deux variables dans le domaine

Formulation du problème. Soit un domaine borné fermé sur le plan donné par un système d'inégalités de la forme
... Il est nécessaire de trouver dans la région les points auxquels la fonction prend les valeurs les plus grandes et les plus petites.

L'important est problème extremum, dont le modèle mathématique contient contraintes linéaires (équations, inégalités) et linéaire une fonction
.

Formulation du problème. Trouvez les valeurs de fonction les plus grandes et les plus petites
avec restrictions

Depuis pour linéaire fonctions de plusieurs variables pas de points critiques à l'intérieur zones
, alors la solution optimale qui délivre un extremum à la fonction objectif n'est atteinte que à la frontière de la région... Pour la zone définie par des contraintes linéaires, les points d'extrémum possibles sont points d'angle... Cela nous permet d'envisager la solution au problème graphiquement.

Formulation géométrique du problème. Trouvez dans le domaine de solution du système d'inégalités linéaires le point par lequel passe la ligne de niveau correspondant à la plus grande (plus petite) valeur d'une fonction linéaire à deux variables.

Séquençage:

point A de "l'entrée" de la ligne de niveau dans la zone. Ce point définit le point de la valeur la plus basse de la fonction;

point B de la "sortie" de la ligne de niveau de la zone. Ce point définit le point de la plus grande valeur de la fonction.

4. Trouvez les coordonnées du point A en résolvant le système d'équations des droites se coupant au point A, et calculez la plus petite valeur de la fonction
... De même - pour le point B et la plus grande valeur de la fonction
.

Exemple 8... Trouvez les valeurs de fonction les plus grandes et les plus petites
dans le domaine des solutions du système des inégalités linéaires

1. Construisons domaine de solution d'un système d'inégalités linéaires... Pour ce faire, construisez des demi-plans et trouvez leur intersection. Prenez le point comme un "point de contrôle"
lequel n'appartient pas lignes droites limites.

à

1

Tout droit ()
- points à construire
et
... Parce que
vrai, alors le demi-plan fait face au point de contrôle.

Direct ()
construction par points
et
; inégalité
correct, le demi-plan est dirigé vers le point de contrôle.

Tout droit ()
tracé par points
et
; le demi-plan fait face au point de contrôle.

Les inégalités
et
montrent que la région recherchée (l'intersection de tous les demi-plans) est dans le premier quart de coordonnées.

2. Construisons gradient de fonction - vecteur avec coordonnées
avec origine à l'origine. Dessinez l'une des perpendiculaires suivantes au dégradé lignes de niveau.

3. Mouvement parallèle de la ligne de niveau dans le sens du dégradé trouver le point «d'entrée» de la ligne de niveau dans la zone - c'est le point O (0,0). Calculons la valeur de la fonction à ce stade:.

4. En poursuivant le mouvement de la ligne de niveau dans le sens du gradient, nous trouvons le point de "sortie" de la ligne de niveau de la zone - c'est le point A. Pour déterminer ses coordonnées, nous résolvons le système d'équations de droites et:
Résolution d'un système d'équations
et
.

5. Calculons la valeur de la fonction au point
: .

Répondre:
,
.

CE QU'UN ÉTUDIANT DOIT SAVOIR

1. Le concept d'une fonction de plusieurs variables.

2. Domaine et ensemble de valeurs d'une fonction de plusieurs variables.

3. Le concept d'une ligne de niveau.

4. Dérivées partielles de fonctions de plusieurs variables.

5. Dérivées partielles des ordres supérieurs de fonctions de plusieurs variables.

6. Extremum d'une fonction de plusieurs variables.

7. Les plus grandes et les plus petites valeurs de la fonction de deux variables dans la région.

Questions de contrôle

Le concept d'une fonction de plusieurs variables. Domaine de définition, méthodes de réglage, lignes de niveau d'une fonction de deux variables

Dérivées partielles de fonctions de plusieurs variables

Extremum d'une fonction de plusieurs variables

Les plus grandes et les plus petites valeurs d'une fonction de deux variables dans le domaine

TEST DE CONTRÔLE

Laquelle des fonctions données est une fonction dépendant de deux variables:

une)
; b)
; dans)
; ré)
.

2. Pour la fonction
dérivée partielle par rapport à une variable est égal à:

une)
; b)
; dans)
; ré)
., au point est égal à ... a) 1; b) 0; en 1; d) 4.

12. Le gradient du champ scalaire en un point est un vecteur ...

et) b)

c) d)

13. La dérivée partielle d'une fonction par rapport à une variable en un point est égale à ...

et) e b) 2 f c)3f d)3

14. Valeur de fonction maximale avec restrictions

De même ... (écrivez votre réponse).

15. La région des solutions réalisables au problème de la programmation linéaire est la suivante:

Alors la valeur maximale de la fonction est ...

A) 10 b) 14 c) 13 d) 11

16. La région des solutions réalisables au problème de la programmation linéaire est la suivante:

Puis la valeur maximale de la fonction également…

A) 29 b) 31 c) 27 d) 20

17. La valeur maximale de la fonction objectif z \u003d x 1 + 2x 2 sous contraintes égale: a) 13 b) 12 c) 8 d) 6

18. La valeur maximale de la fonction sous contraintes est… (écrivez votre réponse).

les fonctions nombreusesvariables 4.1. Tâches pour matière "Différenciation les fonctionsnombreusesvariables " Tâche 1. Trouver et représenter sur le plan la région d'existence fonction ... 3. Trouvez les valeurs les plus grandes et les plus petites fonction z \u003d f (x, y) défini ...

Thème 5 Fonctions de deux variables dérivées partielles

Document

Valeurs fonction deux variables dans une zone délimitée fermée 1. Définition fonctionnombreusesvariables, modes de réglage Une fonction deux variables appelé ...

Mathématiques partie 4 calcul différentiel des fonctions de plusieurs variables séries d'équations différentielles

Didacticiel

Déterminé une fonctionnombreusesvariables? Quel est le graphique fonction deux variables? Formuler des définitions de la limite fonction deux variables ...

CHAPITRE 3 Fonctions de plusieurs variables § 1 Fonctions de plusieurs variables Concepts de base 1 Définition d'une fonction de plusieurs variables

Loi

CHAPITRE 3. Les fonctionsnombreusesvariables § 1. Les fonctionsnombreusesvariables... Concepts de base 1. Définition fonctionnombreusesvariables... DÉFINITION. Soit ℝ. Fonctiondéfini sur un ensemble et ayant une région ...

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Légendes des diapositives:

Sujet de test d'algèbre "fonction" grade 7

Faites le test et déterminez le niveau de vos connaissances sur le thème «fonction»

Tâche numéro 1 Qu'est-ce qu'une fonction? La dépendance d'une variable à une autre si la variable indépendante correspond à une seule valeur de la variable dépendante. Une variable dont la valeur est choisie arbitrairement. Domaine.

Tâche numéro 2 Dans la fonction, l'argument est appelé ... Variable indépendante. Valeur de la fonction. Variable dépendante. Vous avez marqué 0 point

Tâche numéro 2 Dans une fonction, un argument est appelé ... Variable indépendante. Valeur de la fonction. Variable dépendante. Vous avez marqué 1 points

Tâche n ° 3 La température de l'air a été mesurée pendant la journée. Spécifiez la portée de la fonction. De 0 à 24. De 0 à 12. De 1 à 24. Vous avez marqué 0 point

Tâche n ° 3 La température de l'air a été mesurée pendant la journée. Spécifiez la portée de la fonction. De 0 à 24. De 0 à 12. De 1 à 24. Vous avez marqué 1 point

Tâche n ° 3 La température de l'air a été mesurée pendant la journée. Spécifiez la portée de la fonction. De 0 à 24. De 0 à 12. De 1 à 24. Vous avez marqué 2 points

Tâche numéro 4 La fonction est donnée par la formule y \u003d 12x. Trouvez la valeur de la fonction si l'argument est 2.24.2.6. Vous avez obtenu 0 point

Tâche numéro 4 La fonction est donnée par la formule y \u003d 12x. Trouvez la valeur de la fonction si l'argument est 2. 24.2.6. Vous avez marqué 1 point

Tâche numéro 4 La fonction est donnée par la formule y \u003d 12x. Trouvez la valeur de la fonction si l'argument est 2.24.2.6. Vous avez marqué 2 points

Tâche numéro 4 La fonction est donnée par la formule y \u003d 12x. Trouvez la valeur de la fonction si l'argument est 2.24.2.6. Vous avez obtenu 3 points

Tâche numéro 5 La fonction est donnée par la formule y \u003d 12x. A quelle valeur de l'argument la fonction est-elle égale à 24? 2. 12. 24. Vous avez marqué 0 point

Tâche numéro 5 La fonction est donnée par la formule y \u003d 12x. A quelle valeur de l'argument la fonction est-elle égale à 24? 2. 12. 24. Vous avez marqué 1 point

Tâche numéro 5 La fonction est donnée par la formule y \u003d 12x. A quelle valeur de l'argument la fonction est-elle égale à 24? 2. 12. 24. Vous avez marqué 2 points

Tâche numéro 5 La fonction est donnée par la formule y \u003d 12x. A quelle valeur de l'argument la fonction est-elle égale à 24? 2. 12. 24. Vous avez marqué 3 points

Tâche numéro 5 La fonction est donnée par la formule y \u003d 12x. A quelle valeur de l'argument la fonction est-elle égale à 24? 2. 12. 24. Vous avez marqué 4 points

Votre note «2» Malheureusement, aujourd'hui, vous avez montré un faible niveau de connaissances sur ce sujet. Je vous conseille de répéter les règles. Soyez sûr que vous réussirez!

Votre note «3» Aujourd'hui, vous avez montré un niveau moyen de connaissances sur ce sujet. Je vous conseille de répéter les règles. Soyez sûr que vous réussirez!

Votre note est "4" Votre niveau de connaissance sur ce sujet est assez bon.

Votre note est "5" Bien joué! Vous avez démontré un niveau élevé de connaissances sur ce sujet. Je vous souhaite beaucoup de succès!

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