Questions de la leçon:
· Souvenez-vous de ce qu'on appelle un monôme;
· N'oubliez pas comment amener les monômes à la forme standard;
· Parlez des coefficients et des degrés des monômes;
· Rappelez-vous quels monômes sont similaires.
Matériel de cours
Tout d'abord, rappelons-nous ce qu'on appelle un monôme.
Définition.
Monétaire est appelé le produit des nombres et des degrés de variables avec des exposants naturels.
Nombres et degrés de variables sont également considérés monômes.
Mais le nombre 0 (zéro) est appelé zéro monôme.
La tâche.
Les expressions suivantes sont écrites à l'écran:
Choisissons laquelle des expressions ci-dessus sont des monômes et lesquelles ne le sont pas. Nous examinerons chaque expression tour à tour.
Décision:
Veuillez noter que dans le dernier monôme, nous pouvons multiplier les nombres et les degrés avec les mêmes bases entre eux. Par conséquent, un rôle très important lors du travail avec des monômes est joué par le bien connu théorèmes de degré.
Souvenons-nous d'eux. il multiplication et division des diplômes avec la même base, exponentiation, et multiplication et division des diplômes avec les mêmes indicateursmais avec différentes raisons.
Revenons à notre dernier monôme et simplifions-le.
Nous avons un monôme:.
Ce genre de monôme s'appelle la norme.
Rappelez-vous que dans le monôme de la forme standard, les facteurs sont disposés dans un certain ordre: en premier lieu, le facteur numérique, écrit en nombres, suivi du produit des puissances de diverses variables.
Dans ce cas, sachez qu'il est d'usage d'écrire des lettres en monômes de forme standard par ordre alphabétique.
À propos, tout monôme peut être réduit à une forme standard. Rappel algorithme pour réduire un monôme à une forme standard.
Afin d'amener le monôme à la forme standard, vous avez besoin:
1) multipliez tous les facteurs numériques;
2) mettez le facteur numérique résultant en premier lieu;
3) multipliez tous les degrés, c'est-à-dire obtenez la partie lettre.
Exemple.
Apportez le monôme à la forme standard: 
.
Décision: nous multiplions séparément les facteurs numériques et séparément les degrés des variables. En conséquence, nous obtenons
Notez que tout nombre est un monôme standard.
La tâche.
Parmi les monômes :; ; ; ; spécifier des monômes de forme standard.
Décision: Bien que le premier monôme soit un produit, notez que la variable b y est répétée deux fois. Et cela suggère qu'il n'est pas enregistré sous la forme standard.
On ne peut pas en dire autant du deuxième monôme. C'est le produit du nombre et du degré d'une variable. Cela signifie qu'il est rédigé sous une forme standard.
Le monôme suivant est le produit du nombre et des puissances des variables. De plus, toutes les variables sont écrites par ordre alphabétique. Par conséquent, il est rédigé sous une forme standard.
Le quatrième monôme est un produit. Mais notez que le facteur numérique n'est pas simplifié. Cela signifie que ce monôme n'est pas écrit sous la forme standard.
Et le dernier monôme. C'est le produit du nombre et des puissances des variables. De plus, toutes les variables sont écrites par ordre alphabétique. Par conséquent, il est rédigé sous une forme standard.
Définition.
Un facteur numérique dans un monôme de forme standard est appelé coefficientmonôme.
Dans les monômes de la forme standard que nous avons indiquée, les coefficients sont de 2, - 4,5 et 5,3.
Si le coefficient est 𝟏, alors il n'est pas écrit. Par exemple,
Si le coefficient est (−𝟏), alors seul le signe «-» est écrit devant les facteurs alphabétiques. Par exemple,
Revenons au monôme. Et trouvons la somme des degrés de toutes les variables du monôme en question. Il n'est pas difficile de le calculer. Il est égal à 16. Rappelons que cette somme est appelée degré monôme.
Définition.
Diplôme monétaire appeler la somme des exposants de toutes les variables qu'il contient.
Si un monôme est un nombre différent de zéro, alors son degré est considéré comme égal à zéro. Par exemple, le degré d'un monôme est nul. Le degré du monôme est également nul.
Vous pouvez également dire que c'est monômes à zéro degré... Mais le degré du monôme zéro non spécifié.
La tâche.
Trouvez les degrés des monômes :; ; ...
Décision: le degré du premier monôme 5𝑥𝑦 est égal à 2, puisque les degrés des variables 𝑥 et 𝑦 sont égaux à un.
Le degré du deuxième monôme est:
Troisième monôme: est un monôme du 16e degré, car
Définition.
Les monomères réduits à la forme standard sont appelés commes'ils ont la même partie de lettre.
Des monômes similaires peuvent être:
Une addition et soustraction de monômes similaires appelé amener des membres similaires.
Multiplier ou diviser deux monômes - ça veut dire présenter leur travail ou particulier sous une forme standard.
Élever un monôme à une puissance - ça veut dire présenter ce diplôme sous une forme standard.
La tâche.
Effectuer des actions:
a) trouver la somme: 4𝑥, 6𝑥, 𝑥;
b) trouver la différence:,;
c) trouver une œuvre:,;
d) élever au 2ème degré :;
e) trouver le quotient:,.
Décision. Dans le premier exemple, vous devez trouver la somme des monômes. Tous ces trois monômes ont une forme standard et la même partie alphabétique. Par conséquent, ils sont similaires. Et cela signifie que nous pouvons trouver leur somme. Pour ce faire, nous ajoutons leurs coefficients et réécrivons la partie lettre sans modifications. On a
Ainsi, nous avons ajouté trois monômes et le résultat est un monôme, qui est également présenté sous la forme standard.
Dans le deuxième exemple, vous devez trouver la différence des monômes. Ces monômes sont écrits sous une forme standard et sont similaires. Cela signifie que nous pouvons trouver leur différence. Pour ce faire, nous soustraireons les coefficients et réécrirons la partie lettre sans changements. On a
Dans l'exemple suivant, nous trouvons le produit des monômes. Ce sont des monômes de forme standard, car ils ont des facteurs numériques en premier lieu, suivis des degrés des variables. Écrivons le produit de ces monômes. Ensuite, nous utiliserons les propriétés de déplacement et de combinaison de la multiplication. Ensuite, nous multiplions les facteurs numériques et effectuons la multiplication des puissances avec les mêmes bases. En conséquence, nous obtenons
Ainsi, nous avons multiplié un monôme par un autre et, par conséquent, nous avons obtenu un monôme, que nous avons présenté sous la forme standard.
Dans l'exemple suivant, vous devez élever un monôme à la deuxième puissance. Utilisons la règle d'élever le produit au pouvoir et obtenons,
Ainsi, en élevant le monôme à une puissance, nous avons également obtenu un monôme, et de la forme standard.
Et le dernier exemple. Ici, nous devons effectuer la division monôme. Les deux monômes ont une forme standard. Pour une solution plus pratique, nous utiliserons une ligne de fraction. Commençons par diviser les coefficients numériques. Ensuite, nous divisons les facteurs de lettre des monômes, en nous basant sur le théorème de division de puissance. On a
Ainsi, nous avons divisé un monôme par un autre et, en conséquence, nous avons à nouveau obtenu un monôme de forme standard.
Rappel, ce qui n'est pas toujours le cas lors de la division des monômes, le résultat est un monôme. Si le diviseur contient des variables présentes dans le dividende et que certains ou tous les exposants correspondants du diviseur sont supérieurs à ceux du dividende, le résultat de cette division sera une fraction algébrique.
Nous obtenons également une fraction algébrique si le diviseur contient des variables absentes du dividende.
Résumé de la leçon
Dans cette leçon, nous avons passé en revue les concepts de base associés aux monômes. À savoir, ils se sont souvenus qu'un monôme est le produit de nombres et de degrés de variables avec des exposants naturels. À propos, les nombres et les degrés de variables sont également considérés comme des monômes. Mais le nombre zéro est appelé un monôme zéro. Nous nous sommes souvenus comment amener les monômes à une forme standard. Nous avons parlé de leurs coefficients et de leurs degrés de monômes. Ensuite, nous nous sommes rappelés quels monômes sont similaires et avons effectué des actions sur eux.
Nous avons noté que tout monôme peut être mettre à la forme standard... Dans cet article, nous allons comprendre ce que l'on appelle la réduction d'un monôme à une forme standard, quelles actions permettent de mener à bien ce processus et examiner les solutions d'exemples avec des explications détaillées.
Navigation dans les pages.
Que signifie amener un monôme à une forme standard?
Il est pratique de travailler avec des monômes lorsqu'ils sont écrits sous une forme standard. Cependant, les monômes sont souvent donnés sous une forme autre que la forme standard. Dans ces cas, il est toujours possible de passer du monôme d'origine à un monôme de forme standard en effectuant des transformations identiques. Le processus de réalisation de telles transformations est appelé la réduction d'un monôme à une forme standard.
Généralisons le raisonnement ci-dessus. Apportez le monôme à la forme standard - cela signifie effectuer de telles transformations identiques avec lui pour qu'il prenne une forme standard.
Comment amener un monôme à une forme standard?
Il est temps de comprendre comment amener les monômes à la forme standard.
Comme on le sait d'après la définition, les monômes non standard sont des produits de nombres, de variables et de leurs degrés et, éventuellement, de répétition. Un monôme de forme standard ne peut contenir qu'un seul nombre et des variables non répétitives ou leurs degrés dans son enregistrement. Reste maintenant à comprendre comment amener les œuvres du premier type à la forme du second?
Pour ce faire, vous devez utiliser les éléments suivants la règle de réduction du monôme à la forme standardcomposé de deux étapes:
- Premièrement, le regroupement des facteurs numériques, ainsi que des mêmes variables et de leurs degrés est effectué;
- Deuxièmement, le produit des nombres est calculé et appliqué.
À la suite de l'application de la règle voisée, tout monôme sera réduit à une forme standard.
Exemples, solutions
Il reste à apprendre comment appliquer la règle du paragraphe précédent lors de la résolution d'exemples.
Exemple.
Réduisez le monôme 3 · x · 2 · x 2 à sa forme standard.
Décision.
Groupons les facteurs numériques et les facteurs avec la variable x. Après groupement, le monôme original prend la forme (3 · 2) · (x · x 2). Le produit des nombres dans les premières parenthèses est 6, et la règle de multiplication des puissances avec la même base permet à l'expression entre les deuxièmes parenthèses d'être représentée par x 1 + 2 \u003d x 3. En conséquence, nous obtenons un polynôme de forme standard 6 · x 3.
Voici un bref compte rendu de la solution: 3 x 2 x 2 \u003d (3 2) (x x 2) \u003d 6 x 3.
Répondre:
3 x 2 x 2 \u003d 6 x 3.
Ainsi, pour amener un monôme à une forme standard, vous devez être capable de regrouper des facteurs, de multiplier des nombres et de travailler avec des puissances.
Pour consolider le matériau, nous allons résoudre un autre exemple.
Exemple.
Présentez le monôme sous forme standard et indiquez son coefficient.
Décision.
Le monôme d'origine a dans sa notation le seul facteur numérique -1, on le déplace au début. Après cela, nous groupons séparément les facteurs avec la variable a, séparément - avec la variable b, et il n'y a rien avec quoi regrouper la variable m, nous la laissons telle quelle, nous avons 
... Après avoir effectué des actions avec des puissances entre parenthèses, le monôme prendra la forme standard dont nous avons besoin, à partir de laquelle nous pouvons voir le coefficient du monôme égal à -1. Moins un peut être remplacé par un signe moins:.
Monétaire est une expression représentant le produit de deux ou plusieurs facteurs, dont chacun est un nombre exprimé par une lettre, des nombres ou une puissance (avec un exposant entier non négatif):
2une, une 3 x, 4abc, -7x
Puisque le produit des mêmes facteurs peut être écrit sous la forme d'une puissance, alors une puissance prise séparément (avec un exposant entier non négatif) est également un monôme:
(-4) 3 , x 5 ,
Puisqu'un nombre (entier ou fractionnaire), exprimé en lettre ou en chiffres, peut être écrit comme le produit de ce nombre par un, alors tout nombre pris séparément peut également être considéré comme un monôme:
x, 16, -une,
Type standard de monôme
Type standard de monôme - est un monôme avec un seul facteur numérique, qui doit être écrit en premier lieu. Toutes les variables sont classées par ordre alphabétique et ne sont contenues dans le monôme qu'une seule fois.
Les nombres, les variables et les degrés de variables font également référence aux monômes de la forme standard:
7, b, x 3 , -5b 3 z 2 - monômes de type standard.
Le facteur numérique d'un monôme de forme standard est appelé coefficient monôme... Les coefficients monétaires égaux à 1 et -1 ne sont généralement pas écrits.
S'il n'y a pas de facteur numérique dans le monôme de la forme standard, on suppose que le coefficient du monôme est 1:
x 3 \u003d 1 x 3
S'il n'y a pas de facteur numérique dans un monôme de forme standard et qu'il y a un signe moins devant lui, alors on suppose que le coefficient du monôme est -1:
-x 3 \u003d -1 x 3
Réduction d'un monôme à la forme standard
Pour amener un monôme à une forme standard, vous avez besoin de:
- Multipliez les facteurs numériques, s'il y en a plusieurs. Élevez un facteur numérique à une puissance s'il a un exposant. Mettez un facteur numérique en premier.
- Multipliez toutes les mêmes variables pour que chaque variable n'apparaisse qu'une seule fois dans le monôme.
- Organisez les variables après un facteur numérique dans l'ordre alphabétique.
Exemple. Présentez un monôme sous sa forme standard:
a) 3 yx 2 (-2) y 5 x; b) 6 avant JC 0,5 un B 3
Décision:
a) 3 yx 2 (-2) y 5 x \u003d 3 (-2) x 2 xyy 5 = -6x 3 y 6
b) 6 avant JC 0,5 un B 3 \u003d 6 0,5 un Bb 3 c = 3un B 4 c
Diplôme monétaire
Diplôme monétaire est la somme des exposants de toutes les lettres qu'il contient.
Si un monôme est un nombre, c'est-à-dire qu'il ne contient pas de variables, son degré est considéré comme égal à zéro. Par exemple:
5, -7, 21 - monômes à zéro degré.
Par conséquent, afin de trouver le degré d'un monôme, il est nécessaire de déterminer l'exposant de chacune des lettres qu'il contient et d'ajouter ces indicateurs. Si l'exposant de lettre n'est pas spécifié, alors il est égal à un.
Exemples:
Alors comment ça va x l'exposant n'est pas spécifié, il est donc égal à 1. Le monôme ne contient aucune autre variable, son degré est donc 1.
Le monôme ne contient qu'une seule variable au deuxième degré, donc le degré de ce monôme est de 2.
3) un B 3 c 2 ré
Indice une vaut 1, exposant b - 3, indicateur c - 2, indicateur ré - 1. Le degré d'un monôme donné est égal à la somme de ces indicateurs.
Les monomères sont des produits des nombres, des variables et de leurs puissances. Les nombres, les variables et leurs degrés sont également considérés comme des monômes. Par exemple: 12ac, -33, a ^ 2b, a, c ^ 9. Le monôme 5aa2b2b peut être réduit à la forme 20a ^ 2b ^ 2. Cette forme est appelée forme standard du monôme, c'est-à-dire que la forme standard du monôme est le produit du coefficient (en premier lieu) et des degrés des variables. Les coefficients 1 et -1 ne sont pas écrits, mais ils conservent moins de -1. Monomial et sa forme standard
Les expressions 5a2x, 2a3 (-3) x2, b2x sont des produits de nombres, de variables et de leurs puissances. Ces expressions sont appelées monômes. Les monomères sont également considérés comme des nombres, des variables et leurs degrés.
Par exemple, les expressions - 8, 35, y et y2 - sont des monômes.
La forme standard d'un monôme est un monôme sous la forme du produit du facteur numérique en premier lieu et des degrés de diverses variables. Tout monôme peut être réduit à une forme standard en multipliant toutes les variables et les nombres qu'il contient. Voici un exemple de réduction d'un monôme à une forme standard:
4x2y4 (-5) yx3 \u003d 4 (-5) x2x3y4y \u003d -20x5y5
Le facteur numérique d'un monôme écrit sous la forme standard est appelé le coefficient d'un monôme. Par exemple, le coefficient monôme -7x2y2 est -7. Les coefficients des monômes x3 et -xy sont considérés comme égaux à 1 et -1, puisque x3 \u003d 1x3 et -xy \u003d -1xy
Le degré d'un monôme est la somme des exposants de toutes les variables qu'il contient. Si un monôme ne contient pas de variables, c'est-à-dire est un nombre, alors son degré est considéré comme égal à zéro.
Par exemple, le degré du monôme 8x3yz2 est 6, le monôme 6x vaut 1, le monôme -10 vaut 0.
Multiplication des monômes. Exponentiation des monômes
Lors de la multiplication des monômes et de l'élévation des monômes à une puissance, la règle pour multiplier les puissances avec la même base et la règle pour élever une puissance à une puissance sont utilisées. Dans ce cas, un monôme est obtenu, qui est généralement représenté sous une forme standard.
par exemple
4x3y2 (-3) x2y \u003d 4 (-3) x3x2y2y \u003d -12x5y3
((-5) x3y2) 3 \u003d (-5) 3x3 * 3y2 * 3 \u003d -125x9y6
