Maxima: Bases du travail avec le package mathématique Maxima (ainsi que la solution de diffuse). Jeu de commandes, calculs dans Maxima Pour regrouper des expressions dans le système maxima, utilisez

Le système Maxima possède de nombreuses fonctions intégrées. Pour chaque fonction intégrée, vous pouvez obtenir une description dans la documentation contenue dans le système d'aide. Vous pouvez accéder à l'aide à l'aide de la touche de fonction F1. Il existe également une fonction spéciale dans Maxima qui affiche des informations de la documentation pour des mots spécifiques. Une version abrégée de cet appel de fonction: ?? nom (Fig.12). Ici?? est le nom de l'opérateur et l'argument doit en être séparé par un espace. Opérateur?? affiche une liste des sections d'aide et des noms de fonction qui contiennent le texte spécifié, après quoi ils proposent d'entrer le numéro de cette section ou la description de la fonction que vous souhaitez afficher:

Fig. 12. Appel à l'aide pour la commande d'intérêt dans le système Maxima

Notez que Maxima ne fait pas clairement la distinction entre les opérateurs et les fonctions. De plus, chaque opérateur est en fait une fonction.

Toutes les fonctions et tous les opérateurs Maxima fonctionnent non seulement avec des nombres réels, mais également avec des nombres complexes. Les nombres complexes eux-mêmes sont écrits sous forme algébrique, avec une unité imaginaire notée% i; c'est-à-dire sous la forme a + b *% i, où une et b - respectivement, les parties réelle et imaginaire du nombre.

Considérer syntaxe de fonction de base Systèmes Maxima.

1. Opérateurs arithmétiques: +, -, *, /, -\u003e. Exemple:

3. Opérateurs logiques: et, ou, non. Exemple:

4. Fonction pour trouver la factorielle d'un nombre:!

La factorielle est donnée sous la forme la plus générale et est, en fait, une fonction gamma (plus précisément, x! \u003d Gamma (x + 1)), c'est-à-dire qu'elle est définie sur l'ensemble de tous les nombres complexes, à l'exception des entiers négatifs. La factorielle d'un nombre naturel (et zéro) est automatiquement simplifiée en un nombre naturel.

5. Fonction pour trouver le froid semi-factoriel: !! (le produit de tous les nombres pairs (pour un opérande pair) ou impairs inférieurs ou égaux à celui donné).

6. Fonction de négation de l'égalité syntaxique: #A # b équivaut à not a \u003d b. Exemple:

7. Fonction de recherche du module d'un nombre x: abs (x) Le module est défini pour tous les nombres complexes. Exemple:

8. Fonction qui renvoie le signe du nombre x: signum (x)

9. Fonctions qui renvoient les valeurs les plus grandes et les plus petites des nombres réels donnés: max (x1, ..., xn) et min (x1, ..., xn).

10. Quelques fonctions mathématiques intégrées:

sqrt (x)	Racine carrée de x
acos (x)	Arc cosinus de l'argument x
acosh (x)	Cosinus inverse hyperbolique de l'argument x
acot (x)	Arc cotangente de l'argument x
acoth (x)	Cotangente hyperbolique inverse de l'argument x
acsc (x)	Arcsecant de l'argument x
acsch (x)	Arc hyperbolique de l'argument x
asec (x)	Arksecant de l'argument x
asech (x)	Sécante inverse hyperbolique de l'argument x
asin (x)	Arc sinus de l'argument x
asinh (x)	Sinus hyperbolique inverse de l'argument x
atan (x)	Arctangente de l'argument x
atanh (x)	Arc tangente hyperbolique de l'argument x
cosh (x)	Cosinus hyperbolique de l'argument x
coth (x)	Cotangente hyperbolique de l'argument x
csc (x)	Cosécante de l'argument x
csch (x)	Cosécante hyperbolique de l'argument x
sec (x)	Secante de l'argument x
sech (x)	Sécante hyperbolique de l'argument x
sin (x)	Sinus de l'argument x
sinh (x)	Sinus hyperbolique de l'argument x
bronzé (x)	Tangente de l'argument x
tanh (x)	Tangente hyperbolique de l'argument x
log (x)	Logarithme naturel de x
exp (x)	Exposant x

11. Fonctions pour travailler avec des matrices:

déterminant - trouver le déterminant d'une matrice:

valeurs propres - trouver les valeurs propres d'une matrice:

inverser - obtenir la matrice inverse:

mineur - définit le mineur de la matrice. Le premier argument est une matrice, le second et

le troisième est respectivement les index de ligne et de colonne:

rang - rang de la matrice:

sous-matrice - renvoie la matrice obtenue à partir de l'original en supprimant

lignes et / ou colonnes correspondantes. Comme les paramètres suivent

nombre de lignes supprimées, matrice d'origine, nombre de colonnes à supprimer.

transposer - transposition matricielle:

Le langage système Maxima contient les opérateurs exécutables de base qui se trouvent dans n'importe quel langage de programmation. Considérons-les.

Opérateurs d'affectation de valeur (dénomination d'expression).

1. Opérateur ":" (opérateur de réglage de la valeur d'une variable).

2.Operator ": \u003d" (opérateur de paramétrage de la fonction utilisateur).

3. Versions étendues des opérateurs d'affectation et d'affectation de fonction, désignées respectivement par :: et :: \u003d.

L'utilisation de l'opérateur pour définir une fonction utilisateur facilite son utilisation, car vous pouvez vous y référer par son nom et calculer facilement et commodément les valeurs de la fonction à des points donnés.

Exemple: trouver la valeur d'une fonction F (x, y) \u003d cosx + sin y à ce point

Opérateur de boucle.L'opérateur de boucle peut être spécifié de plusieurs manières. Le mode de réglage dépend du fait que l'on sait à l'avance combien de fois le corps de la boucle doit être exécuté.

Exemple: définition d'une boucle pour produire des valeurs de variable une dans la plage de -3 à 10 par pas de 5:

Une autre caractéristique importante du système Maxima est travailler avec des listes et des tableaux.

La commande makelist est utilisée pour former les listes. Par exemple, en utilisant la commande

nous avons formé une liste nommée x, composée de dix éléments dont les valeurs sont trouvées par la formule.

La commande array est utilisée pour former des tableaux. Par exemple, à l'aide de la commande,

nous avons formé un tableau A à deux dimensions, composé de 10 lignes et 5 colonnes. Pour remplir le tableau d'éléments, nous utiliserons une boucle avec un paramètre. Par exemple,

Pour afficher les éléments du tableau à l'écran, vous pouvez utiliser la commande:

Le tableau peut être formé sans annonce préalable. Dans l'exemple suivant, nous avons formé un tableau unidimensionnel x composé de 5 éléments dont les valeurs sont calculées par la formule x ( je) \u003d péché je

L'inconvénient de travailler avec des tableaux est que les valeurs des éléments du tableau sont sorties dans une colonne. Il est beaucoup plus pratique que les valeurs du tableau (bidimensionnelles) soient affichées sous forme de matrice. Pour cela, vous pouvez utiliser la commande genmatrix. Par exemple, pour former un tableau à deux dimensions (matrice), vous devez spécifier la commande sous la forme suivante:

Affiche le tableau résultant:

6. La transformation la plus simple des expressions.

Par défaut, la fonction d'auto-simplification est active dans Maxima, c'est-à-dire le système essaie de simplifier l'expression d'entrée elle-même sans aucune commande.

Exemple. Supposons que vous souhaitiez trouver la valeur de l'expression numérique suivante:

Définissons l'expression selon les règles du langage système Maxima.

Comme vous pouvez le voir, le système a renvoyé la valeur de l'expression, bien que nous n'ayons spécifié aucune commande.

Comment faire en sorte que le système affiche non pas le résultat, mais l'expression elle-même? Pour ce faire, la fonction de simplification doit être désactivée à l'aide de la commande simp: false $. Ensuite, nous obtenons:

Pour activer la fonction de simplification, vous devez spécifier la commande simp: true $. La fonction de simplification automatique peut fonctionner avec des expressions numériques et certaines expressions non numériques. Par exemple,

Lors de la saisie, nous pouvons faire référence à l'une des cellules précédentes par son nom, en la remplaçant par n'importe quelle expression. De plus, la dernière cellule de sortie est indiquée par% et la dernière cellule d'entrée est indiquée par _. Cela vous permet de vous référer au dernier résultat sans être distrait par son numéro. Mais il ne faut pas abuser de telles références aux cellules, car lors de la réévaluation du document entier ou de ses cellules d'entrée individuelles, il peut y avoir un écart entre les numéros de cellule.

Exemple. Trouvez la valeur de l'expression et augmentez le résultat de 5 fois.

Il est conseillé d'utiliser des variables au lieu de noms de cellules et d'attribuer leurs noms à toutes les expressions. Dans ce cas, toute expression mathématique peut agir comme valeur de la variable.

Les valeurs des noms de variables sont enregistrées tout au long du travail avec le document. Rappelez-vous que s'il est nécessaire de supprimer la définition d'une variable, cela peut être fait en utilisant la fonction kill (name), où name est le nom de l'expression à tuer; et il peut s'agir du nom attribué par vous ou de n'importe quelle cellule d'entrée ou de sortie. De même, vous pouvez effacer toute la mémoire et libérer tous les noms en entrant la commande kill (all) (ou en choisissant le menu Machta-\u003e Effacer la mémoire (Mémoire claire)). Dans ce cas, toutes les cellules d'E / S seront également effacées et leur numérotation recommencera à partir de un.

La fonction d'autosimplification n'est pas toujours capable de simplifier une expression. En plus de cela, il existe un certain nombre de commandes conçues pour fonctionner avec des expressions: rationnelles et irrationnelles. Considérons certains d'entre eux.

rat (expression) - convertit une expression rationnelle en forme canonique: développe tous les crochets, puis ramène tout à un dénominateur commun, additionne et abrégé; rend rationnels tous les nombres de la notation décimale finale. La forme canonique est automatiquement "annulée" en cas de transformations non rationnelles

ratsimp (expression) - Simplifie l'expression grâce à des transformations rationnelles. Cela fonctionne également "en profondeur", c'est-à-dire que les parties irrationnelles de l'expression ne sont pas considérées comme atomiques, mais simplifiées, y compris tous les éléments rationnels en leur sein

fullratsimp (expression) - fonction pour simplifier l'expression rationnelle par application séquentielle à l'expression passée de la fonction ratsimp (). Pour cette raison, la fonction fonctionne un peu plus lentement que ratsimp (), mais elle donne un résultat plus fiable.

expand (expression) - Développe les parenthèses dans une expression à tous les niveaux d'imbrication. Contrairement à la fonction ratexpand (), elle n'apporte pas de termes fractionnaires à un dénominateur commun.

radcan (expression) - une fonction de simplification des fonctions logarithmiques, exponentielles et de puissance avec des exposants rationnels non entiers, c'est-à-dire des racines (radicaux).

Souvent, lorsque vous essayez de simplifier une expression dans Maxima, cela ne peut que la compliquer. L'augmentation du résultat peut survenir du fait que l'on ne sait pas quelles valeurs peuvent être prises par les variables incluses dans l'expression. Pour éviter cela, vous devez imposer des restrictions sur les valeurs qu'une variable peut prendre. Ceci est fait en utilisant la fonction assume (condition). Par conséquent, dans certains cas, le meilleur résultat peut être obtenu en combinant radcan () avec ratsimp () ou fullratsimp ().

Thème: Système de commande, calculs dans Maxima.

Objectif: se familiariser avec le programme Maxima, se familiariser avec le système de commande Maxima; développer la mémoire, l'attention; favoriser une culture de l’information.

Pendant les cours:

Début organisationnel:

Salutation.

Travailler avec les préposés.

Début de l'enseignement répétitif.

Travail individuel sur cartes.

Numéro de carte 1.

1. Concept de système de calcul mathématique.

   Caractéristiques du système de calculs mathématiques.

Numéro de carte 2.

1. Concept d'algèbre informatique.

   Caractéristiques de l'algèbre informatique.

Entretien individuel oral.

Concept Maxima. Traits. Lancement du programme.

Interface du programme Maxima.

Travaillez à comprendre et à assimiler du nouveau matériel.

Annonce du sujet et du but de la leçon.

Apprendre du nouveau matériel.

Saisie des commandes les plus simples dans wxMaxima

Après le démarrage de wxMaxima, la fenêtre du programme apparaît.

en haut de la partie graphique de la fenêtre de l'interface Maxima indique que la version 5.14.0 est téléchargée, qu'elle est distribuée sous licence GNU, à partir de quel site elle est disponible et qui est son parent. Dans la fenêtre inférieure, dans le champ ENTRÉE: Maxima est prête à accepter les commandes. Le séparateur de commande est un caractère; (point-virgule). Après avoir entré la commande, vous devez appuyer sur la touche Entrée pour la traiter et afficher le résultat.

Dans les premières versions de Maxima et de certains de ses shells (par exemple, xMaxima), et dans la version console, la présence d'un point-virgule après chaque commande est strictement requise. Par conséquent, nous recommandons fortement lors de l'utilisation de Maxima

n'oubliez pas d'ajouter un point-virgule; après chaque commande. Dans le cas où l'expression doit être affichée, et non évaluée, elle doit être précédée d'un signe (") (guillemet simple). Mais cette méthode ne fonctionne pas lorsque l'expression a une valeur explicite,

par exemple, l'expression sin (π) Maxima traite comme zéro même avec une apostrophe. Il est difficile de prévoir la variété des utilisations possibles des Maxima pour calculer ou transformer des expressions. Dans les cas difficiles, vous pouvez essayer d'obtenir de l'aide en anglais. Pour appeler l'aide, il suffit d'écrire dans le champ ENTER? et appuyez sur Entrée.

Désignation des commandes et résultats des calculs

Après avoir entré chaque commande est attribué un numéro de séquence. Dans la figure ci-dessous, les commandes saisies sont numérotées de 1 à 3 et désignées respectivement (% i1), (% i2), (% i3). Les résultats du calcul ont un numéro séquentiel, respectivement (% o1), (% o2), etc. Où «i» est l'abréviation de l'anglais. Entrée (entrée) et "o" - anglais. Production

Ce mécanisme permet, lors de l'écriture ultérieure des commandes, de se référer à celles écrites précédemment, par exemple (% i1) + (% i2) signifiera ajouter la deuxième expression à l'expression de la première commande, puis calculer le résultat. Vous pouvez également utiliser les nombres de résultats de calcul, par exemple, ainsi (% o1) * (% o2).

Maxima a une notation spéciale pour la dernière commande exécutée -%.

Exemple: calculer la valeur de la dérivée d'une fonction

au point x \u003d 1.

La commande (% i9) a été exécutée et le résultat (% o9) a été reçu. Par conséquent, la commande suivante (% i10) faisait référence au résultat déjà obtenu, mais spécifiait la valeur de la variable x, donc la commande a obtenu la forme (% i10) (% o9), x \u003d 1.

Saisie d'informations numériques

Les règles de saisie des nombres dans Maxima sont exactement les mêmes que pour de nombreux autres programmes similaires. Les parties entières et fractionnaires des fractions décimales sont séparées par un symbole de point. Les nombres négatifs sont précédés d'un signe moins.

Séparez le numérateur et le dénominateur des fractions communes à l'aide du caractère / (barre oblique).

Veuillez noter que si l'opération aboutit à une certaine expression symbolique et que vous devez obtenir une valeur numérique spécifique sous la forme d'une fraction décimale, l'utilisation de l'opérateur numer vous permettra de résoudre ce problème. En particulier, il permet de passer des fractions ordinaires aux décimales

Ici, Maxima a principalement agi par défaut. Elle a ajouté les fractions 3/7 et 5/3 selon les règles de l'arithmétique exactement: a trouvé un dénominateur commun, a amené les fractions à un dénominateur commun et a ajouté les numérateurs. En conséquence, elle a reçu

44/21. Ce n'est qu'après lui avoir demandé d'obtenir une réponse numérique, qu'elle a déduit une réponse numérique approximative avec une précision de 16 chiffres 2.095238095238095.

Constantes

Pour plus de commodité, Maxima a un certain nombre de constantes intégrées, dont les plus courantes sont indiquées dans le tableau suivant (tableau 1):

Opérations arithmétiques

La notation des opérations arithmétiques dans Maxima ne diffère pas de la représentation classique; des signes mathématiques sont utilisés: + - * /.

L'exponentiation peut être indiquée de trois manières: ^, ^^, **. Extraire une racine de puissance n s'écrit power ^^ (1 / n). Rappelez-vous une autre opération utile intégrée à Maxima: trouver la factorielle d'un nombre. Cette opération est indiquée par un point d'exclamation

Par exemple, 6! \u003d 1⋅ 2⋅ 3⋅ 4⋅ 5⋅ 6 \u003d 120.

Pour augmenter la priorité d'une opération, comme en mathématiques, des parenthèses sont utilisées lors de l'écriture de commandes pour Maxima.

Variables

Les variables sont utilisées pour stocker les résultats des calculs intermédiaires. Notez que lors de la saisie des noms de variables, de fonctions et de constantes, la casse des lettres est importante, car les variables x et X sont deux variables différentes.

L'affectation d'une valeur à une variable se fait à l'aide du symbole: (deux-points), par exemple x: 5;.

Si vous devez supprimer la valeur d'une variable (effacez-la), la méthode kill est utilisée:

kill (x) - supprime la valeur de la variable x;

kill (all) - supprime les valeurs de toutes les variables précédemment utilisées.

De plus, la méthode kill démarre une nouvelle numérotation pour les commandes exécutables (notez que la réponse à la commande (% i 3) ci-dessus était une réponse avec le numéro zéro (% o 0) terminé, puis la numérotation des commandes a continué à partir de un).

Fonctions mathématiques

Maxima a un assez grand ensemble de fonctions mathématiques intégrées. En voici quelques-uns (tableau 2). Il faut garder à l'esprit que certains noms de fonctions diffèrent des noms utilisés dans la littérature russe: au lieu de tg - tan, au lieu de ctg - cot, au lieu de arcsin - asin, au lieu de arcos - acos, au lieu de arctg - atan, au lieu de arcctg - acot, au lieu de ln - log, au lieu de cosec - csc.

Règle d'écriture de fonction

Pour écrire une fonction, vous devez spécifier son nom, puis, entre parenthèses, écrire les valeurs des arguments séparés par des virgules. Si la valeur de l'argument est une liste, elle est placée entre crochets et les éléments de la liste sont également séparés par des virgules.

intégrer (sin (x), x, -5,5); plot2d (,,);

Fonctions personnalisées

L'utilisateur peut définir ses propres fonctions. Pour ce faire, d'abord le nom de la fonction est indiqué, les noms des arguments sont listés entre parenthèses, après les signes: \u003d (deux points et égal), la description de la fonction suit. Une fois définie, la fonction personnalisée est appelée exactement comme les fonctions Maxima intégrées.

Conversion d'expressions complexes en notation linéaire

L'une des leçons les plus difficiles pour les utilisateurs novices du système Maxima est l'écriture d'expressions complexes contenant des pouvoirs, des fractions et d'autres constructions sous forme linéaire (sous forme de texte, en utilisant des caractères ASCII, sur une seule ligne).

Pour faciliter ce processus, il est utile de donner plusieurs recommandations:

1. N'oubliez pas de mettre le signe de multiplication! Dans la fenêtre graphique Maxima, suivant les règles mathématiques, la valeur doublée de la variable x s'écrit 2x, mais dans la fenêtre ENTER: la commande pour Maxima doit ressembler à 2 * x.

2. En cas de doute, il est toujours préférable de mettre "extra", des parenthèses supplémentaires (). Le numérateur et le dénominateur d'une expression doivent toujours être placés entre parenthèses.

Et aussi lors de la montée à une puissance, il vaut mieux toujours mettre la base et la puissance entre parenthèses.

3. La fonction n'existe pas en dehors de ses arguments (le cas échéant). Par conséquent, par exemple, lors de l'élévation à une puissance, vous pouvez prendre la fonction entière avec des arguments entre parenthèses, puis élever la construction résultante à la puissance requise: (sin (x)) ** 2.

Souvenez-vous également que plusieurs arguments de fonction sont écrits entre parenthèses, séparés par des virgules, par exemple min (x1, x2, x3, xN);

5. La fonction sin (2 * x) ne peut pas être écrite comme sin * 2 * x ou sin2x.

6. Dans le cas de l'écriture d'une expression complexe, divisez-la en plusieurs composants simples, entrez-les séparément, puis combinez-les en utilisant la notation de commande décrite précédemment.

Exemple: vous devez saisir l'expression suivante:

Divisons cette expression en trois parties: le numérateur, l'expression entre parenthèses et le degré. Écrivons chaque composant et combinons-les dans une expression.

Maxima simplifiera l'expression

rat (expression). convertit l'expression rationnelle en forme canonique. ensuite

c'est-à-dire qu'il élargit toutes les parenthèses, puis ramène tout à un dénominateur commun, additionne et réduit; de plus, il rend rationnels tous les nombres de la notation décimale finale.

Affectation à domicile:

Stakhin N.A., de 10 à 18, synopsis de base.

Résumé de la leçon.

À quoi sert Maxima?

Listez les principaux éléments de l'interface du programme Maxima.

Répertoriez les principales commandes Maxima.

wxMaxima est un programme qui est l'une des options pour l'implémentation graphique du système d'algèbre informatique Maxima. Ce système peut fonctionner avec des expressions numériques et symboliques et est en même temps totalement gratuit, y compris à des fins commerciales. Le principal avantage de cette solution pour les utilisateurs ordinaires est qu'elle aide à la construction et à la résolution de formules et d'équations mathématiques. De plus, wxMaxima effectue un certain nombre d'autres opérations mathématiques utiles: intégration, différenciation, transformée de Laplace, construction de séries numériques et de vecteurs, travail avec des matrices, et bien plus encore.

Le programme "comprend" parfaitement les fractions, les nombres à virgule flottante et contient un grand "arsenal" d'outils pour effectuer des calculs analytiques. L'interface wxMaxima est aussi simple et russifiée que possible. Il se compose d'une zone de travail et d'une barre d'outils que vous pouvez utiliser pour créer des expressions, des graphiques, des listes, des tenseurs, etc. Inclus avec wxMaxima, vous trouverez toute la documentation et le matériel de référence nécessaires (partiellement traduits) pour vous aider à comprendre les capacités de cette solution logicielle.

Principales caractéristiques et fonctions

• est une coque graphique très pratique du système d'algèbre informatique Maxima;
• sert à construire et à calculer des expressions symboliques et numériques;
• fonctionne avec des matrices, des vecteurs, des équations, des tenseurs, des graphiques;
• effectue des opérations de différenciation, d'intégration, de transformation de Laplace, d'expansion en série, etc.
• accompagné d'une documentation détaillée.

Opérations de calcul

Les montants

La fonction somme est utilisée pour trouver les sommes. Syntaxe de la fonction:

Somme (expression, variable, limite inférieure de variable, limite supérieure de variable)

Par exemple:

Si vous affectez la valeur de la variable système à l'infini positif "inf" au dernier argument, cela indiquera l'absence d'une limite supérieure et un montant infini sera calculé. En outre, un montant infini sera calculé si vous affectez la valeur de la variable système à l'infini négatif «minf» à l'argument «limite inférieure de changement de variable». Les mêmes valeurs sont utilisées dans d'autres fonctions de calcul.

Par exemple:

Oeuvres

Pour rechercher des produits finis et infinis, utilisez la fonction produit. Il a les mêmes arguments que dans la fonction somme.

Par exemple:

Les limites

La fonction limite est utilisée pour trouver les limites.

Syntaxe de la fonction:

limite (expression, variable, point d'arrêt)

Si l'argument "breakpoint" est défini sur "inf", cela indiquera qu'il n'y a pas de bordure.

Par exemple:

Pour calculer les limites unilatérales, un argument supplémentaire est utilisé, qui est plus pour calculer les limites à droite et moins à gauche.

Par exemple, effectuons une étude de la continuité de la fonction arctan (1 / (x - 4)). Cette fonction n'est pas définie au point x \u003d 4. Calculons les limites à droite et à gauche:

Comme vous pouvez le voir, le point x \u003d 4 est un point de discontinuité du premier type pour cette fonction, car il y a des frontières à gauche et à droite, qui sont respectivement égales à -PI / 2 et PI / 2.

Différentiels

La fonction diff est utilisée pour trouver les différentiels. Syntaxe de la fonction:

diff (expression, variable1, ordre de dérivée pour variable1 [, variable2, ordre de dérivée pour variable2, ...])

où expression est la fonction qui est différenciée, le deuxième argument est la variable par laquelle le dérivé doit être pris, le troisième (facultatif) est l'ordre du dérivé (la valeur par défaut est le premier ordre).

Par exemple:

En général, seul le premier argument est requis pour la fonction diff. Dans ce cas, la fonction renvoie le différentiel de l'expression. Le différentiel de la variable correspondante est noté del (nom de la variable):

Comme vous pouvez le voir dans la syntaxe de la fonction, l'utilisateur a la possibilité de définir plusieurs variables de différenciation en même temps et de définir l'ordre pour chacune d'elles:

Si vous utilisez une fonction paramétrique, la forme d'écriture de la fonction change: après le nom de la fonction, les symboles ": \u003d" sont écrits, et la fonction est appelée par son nom avec un paramètre:

La dérivée peut être calculée en un point donné. Ceci est fait comme ceci:

La fonction diff est également utilisée pour désigner des dérivés dans des équations différentielles, comme indiqué ci-dessous.

Intégrales

La fonction d'intégration est utilisée pour trouver les intégrales dans le système. Pour trouver une intégrale indéfinie dans une fonction, deux arguments sont utilisés: le nom de la fonction et la variable sur laquelle s'effectue l'intégration. Par exemple:

Si la réponse est ambiguë, Maxima peut poser une question supplémentaire:

La réponse doit contenir le texte de la question. Dans ce cas, si y est supérieur à "0", il sera "positif", sinon "négatif" sera négatif). Dans ce cas, seule la première lettre du mot est autorisée.

Pour trouver une intégrale définie dans une fonction, vous devez spécifier des arguments supplémentaires: les limites de l'intégrale:

Maxima permet des affectations et des limites infinies d'intégration. Pour cela, les valeurs "-inf" et "inf" sont utilisées pour les troisième et quatrième arguments de la fonction:

Pour trouver la valeur approximative de l'intégrale sous forme numérique, comme indiqué précédemment, sélectionnez le résultat dans la cellule de sortie, ouvrez le menu contextuel dessus et sélectionnez l'élément "To Float".

Le système est capable de calculer plusieurs intégrales. Pour cela, les fonctions d'intégration sont imbriquées les unes dans les autres. Voici des exemples de calcul de la double intégrale indéfinie et de l'intégrale double définie:

Solutions d'équations différentielles

En termes de capacités en termes de résolution d'équations différentielles, Maxima est nettement inférieure à, par exemple, Maple. Mais Maxima vous permet toujours de résoudre des équations différentielles ordinaires des premier et second ordres, ainsi que leurs systèmes. Pour cela - selon le but - deux fonctions sont utilisées. La fonction ode2 est utilisée pour la résolution générale des équations différentielles ordinaires, et la fonction de désolve est utilisée pour trouver des solutions aux équations ou aux systèmes d'équations par des conditions initiales.

La fonction ode2 a la syntaxe suivante:

ode2 (équation, variable dépendante, variable indépendante);

La fonction diff est utilisée pour désigner les dérivées dans les équations différentielles. Mais dans ce cas, afin d'afficher la dépendance de la fonction sur son argument, elle s'écrit sous la forme "diff (f (x), x), et la fonction elle-même est f (x)".

Exemple. Trouvez la solution générale de l'équation différentielle habituelle du premier ordre y "- ax \u003d 0.

Si la valeur du côté droit de l'équation est égale à zéro, elle peut être complètement omise. Naturellement, le côté droit de l'équation peut contenir une expression.

Comme vous pouvez le voir, lors de la résolution d'équations différentielles, Maxima utilise la constante d'intégration% c, qui, en termes de mathématiques, est une constante arbitraire déterminée à partir de conditions supplémentaires.

La solution d'une équation différentielle ordinaire peut être réalisée d'une autre manière, ce qui est plus facile pour l'utilisateur. Pour ce faire, exécutez la commande Equations\u003e Solve ODE et entrez les arguments de la fonction ode2 dans la fenêtre "Solve ODE".

Maxima vous permet de résoudre des équations différentielles du second ordre. La fonction ode2 est également utilisée pour cela. Pour désigner les dérivées dans les équations différentielles, la fonction diff est utilisée, dans laquelle un argument supplémentaire est ajouté - l'ordre de l'équation: "diff (f (x), x, 2). Par exemple, la solution d'une équation différentielle ordinaire du second ordre a · y" "+ b · y" \u003d 0 ressemblera à:

En conjonction avec la fonction ode2, vous pouvez utiliser trois fonctions dont l'application vous permet de trouver une solution sous certaines contraintes basée sur la solution générale des équations différentielles obtenues par la fonction ode2:

1. ic1 (le résultat de la fonction ode2, la valeur initiale de la variable indépendante sous la forme x \u003d x 0, la valeur de la fonction au point x 0 sous la forme y \u003d y 0). Conçu pour résoudre une équation différentielle du premier ordre avec des conditions initiales.
2. ic2 (le résultat de la fonction ode2, la valeur initiale de la variable indépendante comme x \u003d x 0, la valeur de la fonction au point x 0 comme y \u003d y 0, la valeur initiale de la première dérivée de la variable dépendante par rapport à la variable indépendante comme (y, x) \u003d dy 0). Conçu pour résoudre une équation différentielle du second ordre avec des conditions initiales
3. bc2 (le résultat de la fonction ode2, la valeur initiale de la variable indépendante sous la forme x \u003d x 0, la valeur de la fonction au point x 0 sous la forme y \u003d y 0, la valeur finale de la variable indépendante sous la forme x \u003d xn, la valeur de la fonction au point xn sous la forme y \u003d yn). Conçu pour résoudre un problème de valeur limite pour une équation différentielle du second ordre.

Des informations détaillées sur la syntaxe de ces fonctions se trouvent dans la documentation du système.

Résolvons le problème de Cauchy pour l'équation du premier ordre y "- ax \u003d 0 avec la condition initiale y (n) \u003d 1.

Donnons un exemple de résolution d'un problème de valeur aux limites pour une équation différentielle du second ordre y "" + y \u003d x avec les conditions initiales y (o) \u003d 0; y (4) \u003d 1.

Il convient de garder à l'esprit que, bien souvent, le système ne peut pas résoudre les équations différentielles. Par exemple, en essayant de trouver une solution générale à une équation différentielle ordinaire du premier ordre, nous obtenons:

Dans de tels cas, Maxima émet un message d'erreur (comme dans cet exemple) ou renvoie simplement "false".

Une autre option pour résoudre les équations différentielles ordinaires des premier et second ordres est destinée à trouver des solutions avec des conditions initiales. Il est implémenté à l'aide de la fonction desolve.

Syntaxe de la fonction:

désolve (équation différentielle, variable);

Si un système d'équations différentielles est en cours de résolution ou s'il existe plusieurs variables, l'équation et / ou les variables sont soumises sous forme de liste:

désolve ([liste d'équations], [variable1, variable2, ...]);

Tout comme dans la version précédente, la fonction diff est utilisée pour désigner les dérivées dans les équations différentielles, qui a la forme "diff (f (x), x).

Les valeurs initiales de la variable sont fournies par la fonction atvalue. Cette fonction a la syntaxe suivante:

atvalue (fonction, variable \u003d point, valeur au point);

Dans ce cas, il est prévu que les valeurs des fonctions et (ou) de leurs dérivées soient mises à zéro, donc la syntaxe de la fonction atvalue est:

atvalue (fonction, variable \u003d 0, valeur au point "0");

Exemple. Trouvez la solution de l'équation différentielle du premier ordre y "\u003d sin (x) avec la condition initiale.

Notez qu'en l'absence de condition initiale, la fonction fonctionnera également et retournera le résultat:

Cela vous permet de vérifier la solution pour une valeur initiale spécifique. En effet, en substituant la valeur y (0) \u003d 4 dans le résultat obtenu, on obtient juste y (x) \u003d 5 - cos (x).

La fonction desolve vous permet de résoudre des systèmes d'équations différentielles avec des conditions initiales.

Donnons un exemple de résolution du système d'équations différentielles avec les conditions initiales y (0) \u003d 0; z (0) \u003d 1.

Traitement de l'information

analyses statistiques

Le système permet de calculer les statistiques descriptives statistiques de base, à l'aide desquelles sont décrites les propriétés les plus générales des données empiriques. Les principales statistiques descriptives comprennent la moyenne, la variance, l'écart type, la médiane, le mode, les valeurs maximales et minimales, la plage de variation et les quartiles. Les capacités de Maxima à cet égard sont quelque peu modestes, mais la plupart de ces statistiques sont assez faciles à calculer avec son aide.

Le moyen le plus simple de calculer des statistiques descriptives statistiques consiste à utiliser la palette Statistiques.

Le panneau contient un certain nombre d'outils regroupés en quatre groupes.

1. Indicateurs statistiques (statistiques descriptives):
   • moyenne (moyenne arithmétique);
   • médiane (médiane);
   • variance (variance);
   • écart (écart type).
2. Des tests.
3. Création de cinq types de graphiques:
   • histogramme (histogramme). Utilisé principalement dans les statistiques pour décrire les séries de distribution d'intervalle. Lors de sa construction, les parties ou fréquences sont tracées le long de l'ordonnée et les valeurs de l'entité sont en abscisse;
   • nuage de points (diagramme de corrélation, champ de corrélation, nuage de points) - un tracé de points lorsque les points ne sont pas connectés. Utilisé pour afficher les données de deux variables, dont l'une est factorielle et l'autre est efficace. Il est utilisé pour représenter graphiquement des paires de données sous la forme d'un ensemble de points («nuages») sur le plan de coordonnées;
   • diagramme à barres - un graphique sous forme de barres verticales;
   • secteur ou camembert (camembert). Un tel diagramme est divisé en plusieurs segments-secteurs dont la surface de chacun est proportionnelle à leur partie;
   • diagramme en forme de boîte (boîte avec moustache, boîte avec moustache, Box Plot, diagramme boîte et moustache). C'est elle qui est le plus souvent utilisée pour afficher des données statistiques. Les informations sur un tel graphique sont très informatives et utiles. Il affiche simultanément plusieurs valeurs qui caractérisent la série de variations: valeur minimale et maximale, moyenne et médiane, premier et troisième quartile.
4. Outils de lecture ou de création d'une matrice. Pour utiliser les outils de la palette, vous devez disposer des données initiales sous la forme d'une matrice - un tableau à une dimension. Il peut être créé dans un document avec la session en cours, puis remplacé par son nom comme entrée dans les fenêtres d'outils de la palette de la même manière que la résolution d'équations à l'aide du panneau Mathématiques générales. Vous pouvez également définir directement les données dans les zones de saisie. Dans ce cas, ils sont saisis sous la forme acceptée dans le système, c'est-à-dire entre crochets et séparés par des virgules. Il est clair que la première option est nettement meilleure, car elle ne nécessite qu'une seule saisie de données.

Outre le panneau, tous les outils statistiques peuvent également être utilisés à l'aide des fonctions correspondantes.

Le package mathématique Maxima est l'un des meilleurs remplacements gratuits de matcad.

Ce manuel (au format pdf) peut être utilisé dans les disciplines de l'analyse mathématique, des équations différentielles, des progiciels appliqués, etc. dans diverses spécialités des établissements d'enseignement professionnel supérieur, si la norme éducative de l'État prévoit l'étude de la section «Equations différentielles», ainsi que dans cours au choix. Il peut également être utile pour se familiariser avec les systèmes de mathématiques informatiques dans les classes spécialisées des établissements d'enseignement général avec une étude approfondie des mathématiques et de l'informatique.

• Préface
• Chapitre 1. Bases du travail dans le système de calcul informatique Maxima
  • 1.1. À propos de Maxima
  • 1.2. Installer Maxima sur un ordinateur personnel
  • 1.3. Interface de la fenêtre principale de Maxima
  • 1.4. Travailler avec des cellules dans Maxima
  • 1.5. Utilisation de l'aide Maxima
  • 1.6. Fonctions et commandes Maxima
  • 1.7. Gestion du processus de calcul dans Maxima
  • 1.8. Conversions d'expressions de base
  • 1.9. Résolution d'équations algébriques et de leurs systèmes
  • 1.10. Capacités graphiques
• Chapitre 2. Méthodes numériques de résolution d'équations différentielles
  • 2.1. Comprendre les équations différentielles
  • 2.2. Méthodes numériques pour résoudre le problème de Cauchy pour une équation différentielle ordinaire du premier ordre
    • 2.2.1. Méthode d'Euler
    • 2.2.2. Méthode Euler-Cauchy
    • 2.2.3. Méthode Runge-Kutta 4 ordres de grandeur
  • 2.3. Résolution des problèmes de valeurs aux limites pour les équations différentielles ordinaires par la méthode des différences finies
  • 2.4. Méthode de grille pour résoudre des équations aux dérivées partielles
• Chapitre 3. Recherche de solutions aux équations différentielles dans le système Maxima
  • 3.1. Fonctions intégrées pour trouver des solutions aux équations différentielles
  • 3.2. Solution d'équations différentielles et de leurs systèmes sous forme symbolique
  • 3.3. Construction de trajectoires et de champs de directions d'équations différentielles.
  • 3.4. Implémentation de méthodes numériques pour résoudre le problème de Cauchy pour les équations différentielles ordinaires
    • 3.4.1. Méthode d'Euler
    • 3.4.2. Méthode Euler-Cauchy
    • 3.4.3. Méthode Runge-Kutta
  • 3.5. Implémentation d'une méthode aux différences finies pour résoudre un problème de valeur aux limites pour les équations différentielles ordinaires
  • 3.6. Implémentation de la méthode de la grille pour les équations aux dérivées partielles
• Affectations d'auto-assistance
• Littérature

Préface

La théorie des équations différentielles est l'une des plus grandes branches des mathématiques modernes. L'une des principales caractéristiques des équations différentielles est la connexion directe de la théorie des équations différentielles avec les applications. En étudiant tous les phénomènes physiques, le chercheur crée tout d'abord son idéalisation mathématique ou modèle mathématique, écrit les lois de base régissant ce phénomène sous forme mathématique. Très souvent, ces lois peuvent être exprimées sous forme d'équations différentielles. Tels sont les modèles de divers phénomènes de la mécanique d'un milieu continu, des réactions chimiques, des phénomènes électriques et magnétiques, etc. découvrez son passé et son avenir.

Pour établir un modèle mathématique sous forme d'équations différentielles, vous devez, en règle générale, ne connaître que les connexions locales et ne pas avoir besoin d'informations sur l'ensemble du phénomène physique dans son ensemble. Le modèle mathématique permet d'étudier le phénomène dans son ensemble, de prévoir son évolution, de faire des appréciations qualitatives des mesures qui s'y déroulent dans le temps. Sur la base de l'analyse d'équations différentielles, des ondes électromagnétiques ont été découvertes.

Nous pouvons dire que la nécessité de résoudre des équations différentielles pour les besoins de la mécanique, c'est-à-dire de trouver les trajectoires du mouvement, à son tour, a été à l'origine de la création par Newton d'un nouveau calcul. Le nouveau calcul a été appliqué aux problèmes de géométrie et de mécanique au moyen d'équations différentielles ordinaires.

Compte tenu du développement moderne de la technologie informatique et du développement intensif d'une nouvelle direction - les mathématiques informatiques - les complexes logiciels appelés systèmes informatiques mathématiques sont devenus répandus et demandés.

Les mathématiques informatiques sont une nouvelle direction de la science et de l'éducation qui a émergé à l'intersection des mathématiques fondamentales, de l'information et des technologies informatiques. Le système informatique mathématique (SCM) est un complexe de programmes qui fournit un traitement automatisé, technologiquement uniforme et fermé de problèmes mathématiques lors de la définition d'une condition dans une langue spécialement fournie.

Les systèmes modernes de mathématiques informatiques sont des programmes avec une interface graphique multi-fenêtres, un système d'aide développé, qui facilite leur maîtrise et leur utilisation. Les principales tendances dans le développement de la SCM sont la croissance des capacités mathématiques, en particulier dans le domaine du calcul analytique et symbolique, une expansion significative des outils de visualisation pour toutes les étapes des calculs, l'utilisation généralisée de graphiques 2D et 3D, l'intégration de divers systèmes entre eux et d'autres outils logiciels, un large accès à Internet, organiser des travaux communs sur des projets éducatifs et scientifiques sur Internet, utilisant l'animation et le traitement d'images, le multimédia, etc.

Une circonstance essentielle qui, jusqu'à récemment, a entravé l'utilisation généralisée de la SCM dans l'éducation est le coût élevé des logiciels scientifiques professionnels. Récemment, cependant, de nombreuses entreprises qui développent et distribuent de tels programmes présentent (via Internet - http://www.softline.ru) les versions précédentes de leurs programmes pour une utilisation gratuite, utilisent largement un système de remises pour les établissements d'enseignement, distribuent gratuitement des versions de démonstration ou d'essai. programmes.

De plus, des analogues libres de systèmes informatiques mathématiques apparaissent, par exemple Maxima, Scilab, Octave, etc.

Ce didacticiel explore les capacités du Maxima Computer Mathematics System pour résoudre des équations différentielles.

Pourquoi Maxima?

Premièrement, Maxima est un projet open source à but non lucratif. Maxima appartient à une classe de produits logiciels distribués sous la GNU GPL (General Public License).

Deuxièmement, Maxima est un programme de résolution de problèmes mathématiques à la fois numériquement et symboliquement. L'éventail de ses capacités est très large: actions pour transformer des expressions, travailler avec des parties d'expressions, résoudre des problèmes en algèbre linéaire, analyse mathématique, combinatoire, théorie des nombres, analyse tenseur, problèmes statistiques, tracer des fonctions sur le plan et dans l'espace dans divers systèmes de coordonnées, etc. etc.

Troisièmement, Maxima dispose actuellement d'une interface graphique multiplateforme puissante, efficace et "conviviale" appelée WxMaxima (http://wxmaxima.sourceforge.net).

Les auteurs du livre étudient depuis dix ans les systèmes informatiques mathématiques tels que Mathematica, Maple, MathCad. Par conséquent, connaissant les capacités de ces logiciels, en particulier, à trouver des solutions aux équations différentielles, j'ai voulu étudier la problématique liée à l'organisation des calculs sous forme symbolique dans des systèmes informatiques mathématiques librement distribués.

Ce manuel explique les possibilités d'organisation du processus de recherche de solutions aux équations différentielles basées sur le système Maxima, contient des informations générales sur l'organisation du travail dans le système.

Le manuel se compose de 3 chapitres. Le premier chapitre familiarise les lecteurs avec l'interface graphique wxMaxima du système Maxima, les particularités de son travail, la syntaxe du langage système. L'examen du système commence par l'endroit où vous pouvez trouver la distribution du système et comment l'installer. Le deuxième chapitre traite des questions générales de la théorie des équations différentielles, des méthodes numériques pour leur résolution.

Le troisième chapitre est consacré aux fonctions intégrées du système de calcul informatique Maxima pour trouver des solutions aux équations différentielles ordinaires d'ordre 1 et 2 sous forme symbolique. Le troisième chapitre montre également la mise en œuvre de méthodes numériques pour résoudre des équations différentielles dans le système Maxima. À la fin du manuel, il y a des tâches pour une solution indépendante.

Nous espérons qu'un large éventail d'utilisateurs sera intéressé par le manuel et qu'il deviendra leur assistant dans la maîtrise d'un nouvel outil de résolution de problèmes mathématiques.

T.N. Gubina, E.V. Andropova
Yelets, juillet 2009

P.S. Départ rapide: pour exécuter des commandes et fonctions dans mwMaxima, vous devez d'abord entrer la commande elle-même, puis appuyer sur crtl + Entrée.