MODELLO DI PROGRAMMAZIONE LINEARE
1 Descrizione matematica del modello di programmazione lineare
2 Metodi per implementare modelli di programmazione lineare
3 Problema di programmazione lineare doppia
Modello di programmazione lineare(LP) avviene se nel sistema studiato (oggetto) le restrizioni sulle variabili e la funzione obiettivo lineare.
I modelli LP vengono utilizzati per risolvere due tipi principali di problemi applicati:
1) pianificazione ottimale in qualsiasi ambito dell'attività umana: sociale, economica, scientifica, tecnica e militare. Ad esempio, con una pianificazione della produzione ottimale: distribuzione di risorse finanziarie, di manodopera e di altro tipo, fornitura di materie prime, gestione delle scorte, ecc.
2) il compito di trasporto (trovare il piano ottimale per vari tipi di trasporto, il piano ottimale per la distribuzione di vari mezzi su oggetti per vari scopi, ecc.)
DESCRIZIONE MATEMATICA DEL MODELLO DI PROGRAMMAZIONE LINEARE
È necessario trovare valori non negativi delle variabili
soddisfare vincoli lineari sotto forma di uguaglianze e disuguaglianze
,
dove 
- dati numeri,
e fornendo un estremo della funzione obiettivo lineare
,
dove sono dati i numeri, che è scritto come
Soluzione accettabile viene chiamato qualsiasi insieme 
, soddisfacendo le condizioni.
Dominio delle soluzioni ammissibiliè l'insieme di tutte le soluzioni ammissibili.
Soluzione ottimale 
, per cui 
.
Osservazioni
1. Il modello LP ridotto è generale. Ci sono anche standard e canonico forme di modelli LP.
2. Condizioni di esistenza implementazione del modello LP:
– l'insieme delle soluzioni ammissibili non è vuoto;
- funzione obiettivo 
limitato da (almeno dall'alto durante la ricerca del massimo e dal basso durante la ricerca del minimo).
3.LP si basa su due teoremi
Teorema 1. Molti G, definito dal sistema di vincoli della forma, è un insieme chiuso convesso ( poliedro convesso dentro con punte d'angolo - picchi.)
Teorema 2.
Forma lineare 
, definito su un poliedro convesso
j=1,2,…,S
io=s+1,s+2,…, m,
raggiunge un estremo in uno dei vertici di questo poliedro.
Questo teorema è chiamato teorema della forma lineare dell'estremo.
Secondo il teorema di Weierstrass, la soluzione ottima è unica ed è un estremo globale.
C'è un approccio analitico generale all'implementazione del modello LP - il metodo simplex. Quando si risolvono problemi di programmazione lineare, molto spesso non c'è soluzione. Ciò accade per i seguenti motivi.
Illustriamo il primo motivo con un esempio.
A proposito di tale motivo dicono che le restrizioni sono incoerenti. Il dominio delle soluzioni ammissibili è l'insieme vuoto.
Il secondo motivo è commentato dal seguente esempio:
In questo caso, l'area delle soluzioni fattibili non è delimitata dall'alto. L'area delle soluzioni ammissibili non è limitata.
Seguendo le tradizioni della programmazione lineare, daremo al problema LP un'interpretazione economica. Facciamolo m tipi di risorse. Numero di tipo risorsa jè uguale a . Queste risorse sono necessarie per produrre n tipi di merce. Indichiamo la quantità di questi beni con i simboli 
rispettivamente. Tipo di elemento io costi . Tipo di fabbricazione di merci io dovrebbe essere limitato a 
rispettivamente. Per la produzione di un'unità di beni del tipo io tipo di risorsa consumata j. È necessario determinare un tale piano per la produzione di beni ( 
) in modo che il loro costo totale sia minimo.
I problemi di programmazione lineare utilizzati per ottimizzare il funzionamento di oggetti reali contengono un numero significativo di variabili e vincoli. Ciò rende impossibile risolverli con metodi grafici. Con un gran numero di variabili e vincoli, vengono utilizzati metodi algebrici, che si basano su procedure computazionali iterative. Nella programmazione lineare sono stati sviluppati molti metodi algebrici che differiscono nei modi di costruire una prima soluzione ammissibile e nelle condizioni per passare da un'iterazione all'altra. Tuttavia, tutti questi metodi si basano su disposizioni teoriche generali.
La generalità delle principali disposizioni teoriche porta al fatto che i metodi algebrici per la risoluzione di problemi di programmazione lineare sono sostanzialmente simili tra loro. In particolare, quasi tutti richiedono una riduzione preliminare di un problema di programmazione lineare a una forma standard (canonica).
I metodi algebrici per risolvere il problema LP iniziano con la riduzione a forma standard (canonica).:
,
,
io=1,..,n;j=1,..,m.
Qualsiasi problema di programmazione lineare può essere ridotto a una forma standard. Il confronto del modello generale con il modello canonico permette di concludere che per ridurre il problema LP alla forma standard è necessario, in primo luogo, passare dal sistema delle disuguaglianze alle uguaglianze e, in secondo luogo, trasformare tutte le variabili in modo che non sono negativi.
Il passaggio alle uguaglianze viene effettuato aggiungendo una variabile residua non negativa al lato sinistro dei vincoli per le disuguaglianze di tipo e sottraendo una variabile in eccesso non negativa dal lato sinistro per le disuguaglianze di tipo . Ad esempio, la disuguaglianza 
quando si passa alla forma standard, si trasforma nell'uguaglianza 
, e la disuguaglianza 
- all'uguaglianza 
. In questo caso sia la variabile residua che la variabile eccedente sono non negative.
Si assume che il lato destro delle disuguaglianze non sia negativo. Altrimenti, questo può essere ottenuto moltiplicando entrambi i lati della disuguaglianza per "-1" e cambiando il suo segno nell'opposto.
Se nel problema di programmazione lineare originale la variabile non è limitata nel segno, può essere rappresentata come la differenza di due variabili non negative 
, dove 
.
Una caratteristica importante delle variabili 
è che per ogni soluzione ammissibile solo una di esse può assumere un valore positivo. Ciò significa che se 
, poi 
e viceversa. Pertanto, può essere considerata come una variabile residuale, ma - come una variabile ridondante.
Esempio Sia dato un problema di programmazione lineare:
,
.
Devi portarlo in un modulo standard. Si noti che la prima disuguaglianza del problema originale ha il segno , quindi è necessario introdurvi la variabile residua. Di conseguenza, otteniamo .
La seconda disuguaglianza ha un segno e per la trasformazione nella forma standard richiede l'introduzione di una variabile ridondante, compiendo questa operazione si ottiene.
Inoltre, la variabile non è delimitata nel segno. Pertanto, sia nella funzione obiettivo che in entrambi i vincoli, deve essere sostituita dalla differenza 
. Dopo aver eseguito la sostituzione, otteniamo un problema di programmazione lineare in forma standard, equivalente al problema originale:
.
Il problema della programmazione lineare, scritta nella forma standard, è il problema di trovare l'estremo della funzione obiettivo sull'insieme dei vettori che sono soluzioni del sistema di equazioni lineari, tenendo conto delle condizioni di non negatività. Come sapete, un sistema di equazioni lineari può non avere soluzioni, avere un'unica soluzione o avere un numero infinito di soluzioni. L'ottimizzazione della funzione obiettivo è possibile solo se il sistema ha infinito tante soluzioni. Un sistema di equazioni lineari ha un numero infinito di soluzioni se è consistente (il rango della matrice principale è uguale al rango di quella estesa) e se il rango della matrice principale è inferiore al numero di sconosciuti.
Sia uguale il rango della matrice del sistema di vincoli m. Ciò significa che la matrice ha almeno un minore m l'ordine non è uguale a zero. Senza perdita di generalità, possiamo supporre che il minore si trovi nell'angolo in alto a sinistra della matrice. Ciò può sempre essere ottenuto modificando la numerazione delle variabili. Questo rango minore diverso da zero m si chiama base. Facciamo un sistema dal primo m equazioni del sistema, scrivendolo come segue:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Istituto statale di istruzione superiore
formazione professionale
"Università tecnica statale di Mosca intitolata a NE Bauman"
ramo di Kaluga
"Soluzione del problema della programmazione lineare con il metodo del simplesso"
Lo scopo del lavoro: studiare e imparare a mettere in pratica il simplesso - un metodo per risolvere i problemi diretti e duali della programmazione lineare
Parte teorica.
Formulazione matematica del problema della programmazione lineare.
Dalla pratica di considerare problemi di programmazione matematica consegue che è quasi impossibile risolverli in termini generali. È consigliabile considerare classi (tipi) di problemi separati. Per ciascuna di queste classi è possibile formulare un algoritmo risolutivo accettabile solo per questa classe di problemi. I più sviluppati nella programmazione matematica sono i problemi di programmazione lineare (LP).
Nei problemi di programmazione lineare, la funzione obiettivo è lineare e le condizioni di vincolo contengono uguaglianze lineari e disequazioni lineari. Le variabili possono o meno essere soggette al requisito della non negatività. Lo stesso problema di programmazione lineare può essere scritto in forme diverse. Se tutti i vincoli sono sotto forma di disuguaglianze, il problema viene scritto in forma standard. Se tutti i suoi limiti tranne
sono uguaglianze, allora il problema di programmazione lineare viene scritto in forma canonica.
Visione generale di un problema di programmazione lineare
,
Restrizioni:
1. Le parti giuste di tutti i vincoli devono essere non negative 
. Se uno qualsiasi dei coefficienti< 0, то необходимо коэффициенты ограничения слева и справа домножить на "-1" и изменить знак данного ограничения на противоположный;
2. Tutte le restrizioni devono essere presentate come uguaglianze, quindi, quando si passa dalla disuguaglianza all'uguaglianza, viene utilizzato l'apparato delle variabili aggiuntive.
Se i vincoli iniziali determinano il consumo di qualche risorsa (il segno ""), allora le variabili 
deve essere interpretato come il resto o la parte inutilizzata della risorsa. In questo caso è la variabile residua e viene inserita nell'equazione con il segno "+".
Se i vincoli iniziali definiscono un eccesso di una risorsa (segno ""), viene introdotta una variabile in eccesso 
cartello "-".
Variabili:
Tutte le variabili devono essere non negative, ad es. 
.
Se una variabile non ha limitazione di segno, allora deve essere rappresentata come la differenza di due variabili non negative: , dove . Tale sostituzione dovrebbe essere utilizzata in tutti i vincoli contenenti questa variabile, nonché nell'espressione per la funzione obiettivo.
Se una tale variabile rientra nella soluzione ottima, allora
Funzione di destinazione:
Da massimizzare o minimizzare.
Il sistema di restrizioni sotto forma di uguaglianze e disuguaglianze forma un insieme convesso: un poliedro convesso. Questo set può essere limitato o illimitato. Anche la funzione obiettivo di un problema di programmazione lineare è una funzione convessa. Pertanto, il problema della programmazione lineare è un caso speciale del problema della programmazione convessa.
Si consideri il sistema di vincoli per un problema di programmazione lineare sotto forma di uguaglianze
(1)
Il sistema (1) di equazioni lineari è consistente se ha almeno una soluzione. Il sistema (1) è detto ridondante se una delle equazioni può essere espressa come combinazione lineare delle altre.
Nel sistema (1), il numero di variabili (n incognite) è maggiore del numero di vincoli M. Assumiamo che il rango di questo sistema sia uguale a m (il sistema non è ridondante) e che il sistema (1) è coerente Quindi m variabili dal loro numero totale formano variabili di base e altre variabili sono chiamate non di base.Se un sistema di equazioni ha una soluzione, allora ha anche una soluzione di base.Una soluzione al sistema di equazioni (1) si dice ammissibile se tutte le sue componenti sono non negative.Se un sistema di equazioni lineari ha una soluzione ammissibile, allora ha anche una soluzione ammissibile di base di tutte le soluzioni ammissibili del sistema (1) è un insieme convesso, cioè l'insieme di soluzioni del problema di programmazione lineare è convesso. Poiché questo insieme è formato da piani (iperpiani), ha la forma di un poliedro convesso. La soluzione ammissibile di base corrisponde al punto estremo del poliedro convesso (le sue facce o vertice) Se c'è esiste una soluzione ottima per un problema di programmazione lineare, allora esiste una base è la soluzione ottimale.
La funzione obiettivo di un problema di programmazione lineare è l'equazione di un piano (o un iperpiano per più di tre variabili). La funzione obiettivo di un problema di programmazione lineare raggiunge il suo valore massimo o minimo o al vertice di un poliedro convesso o su una delle sue facce. Pertanto, la soluzione (soluzioni) del problema di programmazione lineare si trova ai vertici del poliedro convesso e per trovarlo è necessario calcolare i valori della funzione obiettivo ai vertici del poliedro convesso determinato dalle condizioni -limitazioni del problema.
Risolvere un problema di programmazione lineare con un metodo grafico.
La difficoltà di costruire un modello matematico risiede nell'identificazione delle variabili e nella successiva rappresentazione dell'obiettivo e dei vincoli sotto forma di funzioni matematiche di queste variabili. Se il modello contiene solo due variabili, il problema di programmazione lineare può essere risolto graficamente. Nel caso di tre variabili, la soluzione grafica diventa meno visiva, e con un valore maggiore delle variabili, è addirittura impossibile. Tuttavia, la soluzione grafica ci permette di trarre conclusioni che servono come base per lo sviluppo di un metodo generale per risolvere un problema di programmazione lineare.
Il primo passo nell'uso del metodo grafico consiste nel rappresentare geometricamente le soluzioni fattibili, ad es. costruzione del dominio delle soluzioni ammissibili (ODD.), in cui tutti i vincoli del modello sono contemporaneamente soddisfatti. Quando si ottiene una soluzione grafica, la variabile viene tracciata lungo l'asse orizzontale, e - lungo quello verticale. Nella formazione della SDE, è necessario prevenire la ricezione di soluzioni inaccettabili associate alla necessità di soddisfare la condizione di non negatività delle variabili. Prima della costruzione, è necessario determinare i quadranti in cui si troverà l'ODR. I quadranti sono definiti dai segni delle variabili e . Le condizioni per la non negatività delle variabili e limitano l'intervallo dei loro valori ammissibili al primo quadrante. Se la variabile non è limitata nel segno, l'area è limitata dal primo e dal secondo quadrante, se , allora - dal primo e dal quarto quadrante. Altri limiti dello spazio della soluzione sul piano, sono indicati da rette costruite secondo le equazioni di vincolo, a condizione che il segno sia sostituito dal segno "=". In questo caso si deve tenere conto di quanto segue: il lato destro di tutti i vincoli deve essere non negativo . Se qualsiasi restrizione< 0, то необходимо коэффициенты соответствующего ограничения слева и справа до-множить на "-1" и изменить знак неравенства данного ограничения на противоположный. Области, в которых выполняются соответствующие ограничения в виде неравенств, указываются стрелками, направленными в сторону допустимых значений переменных.
Come risultato delle costruzioni si ottiene un poligono, che determina lo spazio delle soluzioni. Se una delle restrizioni ha il segno "=", l'ODD degenera in un segmento.
In ogni punto che appartiene all'area o ai confini del poligono della soluzione, tutti i vincoli sono soddisfatti, quindi tutte le soluzioni corrispondenti a questi punti sono valide. Lo spazio delle soluzioni contiene un numero infinito di tali punti, nonostante ciò è possibile trovare la soluzione ottimale. Per fare ciò è necessario costruire nel piano delle variabili il gradiente della funzione obiettivo. La determinazione del punto ottimo dipende dal problema da risolvere.
Se nella funzione obiettivo è definito un problema di massimizzazione, il punto ottimale sarà posizionato nella direzione di aumento del gradiente, se è definito il problema di minimizzazione, quindi nella direzione di diminuzione del gradiente della funzione obiettivo. Per determinare il punto ottimo, sposteremo la funzione obiettivo nella direzione di aumentare (diminuire) il gradiente fino a quando non si sposta nella regione delle soluzioni inaccettabili.
Dopo aver trovato il punto ottimo nello spazio della soluzione, vengono determinate le sue coordinate e il valore della funzione obiettivo in esso contenuta. La correttezza della scelta del punto ottimo può essere verificata calcolando la funzione obiettivo ai vertici del poliedro in soluzione. In LLP, il dominio delle soluzioni ammissibili è sempre un insieme convesso, ad es. un insieme tale che, insieme a due punti qualsiasi appartenenti a questo insieme, anche il segmento che collega questi due punti appartenga allo stesso insieme. Qualsiasi funzione aumenta nel modo più rapido nella direzione del suo gradiente.
Risolvere un problema di programmazione lineare con il metodo del simplesso.
compito diretto.
Consideriamo un problema di programmazione lineare in forma canonica:
Trova il massimo (minimo) di una funzione 
in condizioni
Si presume che esista una soluzione a questo problema. Per trovare la soluzione ottimale, è necessario trovare soluzioni di base ammissibili e scegliere da esse la soluzione di base ottimale.
Il metodo simplex è un metodo algebrico per la risoluzione di problemi di programmazione lineare. Nel corso dei calcoli, i vertici del poliedro in soluzione (ODP) vengono bypassati sequenzialmente con una verifica delle condizioni di ottimalità ad ogni vertice. Inoltre, ogni transizione verso un vertice adiacente è accompagnata da un miglioramento della funzione obiettivo.
Procedure computazionali del metodo del simplesso.
Con il metodo grafico di risoluzione dell'LLP, la soluzione ottimale corrisponde sempre a uno dei punti d'angolo (estremo) dello spazio della soluzione. Questo risultato è alla base della costruzione del metodo simplex. Il metodo simplex non ha la visibilità di una rappresentazione geometrica dello spazio delle soluzioni.
Il metodo del simplesso implementa un processo ordinato in cui, partendo da un punto d'angolo iniziale ammissibile, vengono effettuate transizioni successive da un punto estremo ammissibile all'altro fino a trovare un punto di soluzione ottimale.
Indichiamo: - il numero totale di variabili nel LLP, presentato in forma canonica; - numero di variabili iniziali; - il numero di restrizioni, - il numero di variabili aggiuntive, quindi 
.
Ogni vertice del poliedro soluzione ha - variabili diverse da zero e () - variabili zero.
Le variabili diverse da zero sono dette di base, le variabili zero sono dette non di base.
Integriamo il sistema di uguaglianze con l'uguaglianza della funzione obiettivo, mentre assumiamo che sia una variabile di base che è sempre presente nella base di qualsiasi vertice.
Per ottenere una soluzione si compila una prima base ammissibile, in cui le variabili di base devono essere rappresentate come vettori unitari. Ciò significa che le equazioni che rappresentano un dato vertice devono includere ogni variabile di base in una sola riga con un fattore 1.
Quando si sceglie una base iniziale accettabile per la compilazione di una tabella simplex, al primo passo CT(0) le variabili iniziali sono uguagliate a zero e sono non-base, tra le variabili aggiuntive introdotte vengono selezionate variabili con coefficienti pari a uno. Le variabili nelle uguaglianze (2) - (4) sono di base ed entrano nella riga - con coefficienti pari a 0. Per compilare la tabella simplex è necessario trasformare la funzione obiettivo nella forma 
. Quindi, finalmente otteniamo:
Quando si compila una tabella simplex, vengono seguite le seguenti regole:
la colonna più a sinistra contiene le variabili di base e ;
la colonna più a destra contiene le parti a destra delle restrizioni;
La prima riga contiene le variabili in un ordine specifico:
prima, quindi le variabili non di base, le variabili di base si trovano nelle ultime colonne prima del lato destro (IF). Scriviamo i coefficienti in CT(0):
| SE | |||||||
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | |||
| 0 | 1 | 0 | 0 | ||||
| 0 | 0 | 1 | 0 | ||||
| 0 | 0 | 0 | 1 |
L'ottimalità di uno qualsiasi dei vertici è determinata dai coefficienti delle variabili non di base nella riga della tabella simplex corrente:
Per il problema di massimizzazione, questo vertice è ottimo se tutti i coefficienti per le variabili non basilari nella riga – sono non negativi (>0);
Per il problema di minimizzazione, questo vertice è ottimale se tutti i coefficienti per le variabili non di base nella riga - sono non positivi (< 0).
Se nel problema di massimizzazione (minimizzazione) una variabile non fondamentale nella riga – ha un coefficiente<0(>0), allora il punto corrente non è ottimale ed è necessario cambiare la base. Per fare ciò, scegli una variabile non di base che abbia il coefficiente più negativo (positivo) nella riga -. La variabile non di base selezionata verrà inclusa nella nuova base, quindi è chiamata variabile inclusa. La variabile di base che verrà estratta dalla base è chiamata variabile di esclusione.
La variabile esclusa sarà la variabile di base che passerà prima a "0" quando ci si sposta su un vertice adiacente dopo aver inserito la variabile inclusa.
La colonna della variabile inclusa sarà chiamata colonna risolutiva.
La stringa della variabile esclusa sarà chiamata stringa risolutiva.
L'intersezione di una colonna permissiva e di una riga definisce un elemento permissivo (RE).
Per definire una variabile esclusa:
dividere le parti destre di tutte le variabili di base (tranne la riga) per i corrispondenti coefficienti positivi della colonna risolutiva;
scegli il più piccolo dei rapporti ottenuti.
Non è consentito dividere per "0" e un valore negativo, poiché ciò comporta l'assenza di un vertice di intersezione o di un vertice al di fuori dell'ODT.
Per spostarsi su un vertice adiacente, è necessario formare una matrice di transizione B(0), che determinerà la relazione tra ST(0) e ST(1): ST(1) = B(0) ST(0).
Per una matrice quadrata arbitraria di dimensione n, che ha le unità ort come (n - 1) colonne, disposte secondo le unità ort della matrice identità, e una colonna arbitraria con un elemento diverso da zero sulla diagonale principale, l'inverso matrice si trova con la seguente regola:
Ogni elemento della colonna j è diviso per RE e cambia segno nell'opposto, ad eccezione dell'elemento risolutivo.
Base iniziale artificiale. M - metodo.
Se il vincolo iniziale è scritto sotto forma di uguaglianza "=" o ha il segno "", è impossibile ottenere immediatamente una soluzione di base iniziale accettabile, poiché quando si scrive il problema nella forma standard, dopo aver introdotto variabili aggiuntive, un la variante può risultare quando le equazioni risultanti non consentono di formare una base ammissibile iniziale sotto forma di vettori unitari.
In questo caso, per trovare la base ammissibile iniziale, vengono introdotte variabili artificiali aggiuntive. Le variabili artificiali non sono correlate al contenuto del compito, la loro introduzione è consentita solo se lo schema di calcolo corrispondente fornirà una soluzione ottimale in cui tutte le variabili artificiali saranno uguali a zero.
Le variabili R determinano la base ammissibile iniziale dal punto di vista di un'eventuale ulteriore transizione verso uno dei vertici dell'ODT. Per l'utilizzo di variabili artificiali nella funzione obiettivo si introduce una penalità M. Nel problema della massimizzazione di M, negativa (M<<0), в задаче минимизации М положительное (М>>0).
Proprietà M: Quando si aggiunge (sottraendo) con qualsiasi valore finito che determina qualsiasi valore che ciascuna delle variabili dell'LLP originale può assumere, il suo valore (variabile M) non cambia, vale a dire,
Formula (1.2), restrizioni sulla non negatività delle variabili (sì, no) - formula (1.3) (1.1) i = 1, ... m (1.2) (1.3) L'algoritmo per risolvere problemi di programmazione lineare richiede di portarli in forma canonica quando la funzione obiettivo ...
Concetti di base della modellazione
Nel processo della vita umana, vengono sviluppate idee su determinate proprietà degli oggetti reali e sulle loro interazioni. Queste rappresentazioni sono formate da una persona sotto forma di descrizioni di oggetti per i quali viene utilizzato il linguaggio descrittivo. Può essere una descrizione verbale (modelli verbali), un disegno, un disegno, un grafico, un layout, ecc. Tutto quanto sopra è riassunto da un concetto. modello, e il processo di costruzione del modello modellazione.
Modellazioneè un modo universale per studiare i processi ei fenomeni del mondo reale. La modellazione è di particolare importanza nello studio di oggetti inaccessibili all'osservazione diretta e alla ricerca. Questi includono, in particolare, fenomeni e processi socio-economici.
Lo studio di qualsiasi oggetto, qualsiasi forma di movimento è la rivelazione non solo dei suoi modelli qualitativi, ma anche quantitativi studiati dalla matematica. Quanto sopra si applica pienamente all'economia.
Economia- questo è un sistema di produzione sociale che realizza l'effettiva produzione, distribuzione, scambio e consumo dei beni materiali necessari alla società.
Rispettivamente, modello economico e matematicoè un'astrazione economica espressa in termini matematici formali, la cui struttura logica è determinata sia dalle proprietà oggettive del soggetto descritto, sia dal fattore obiettivo soggettivo dello studio per il quale questa descrizione è intrapresa.
I problemi economici e matematici in agricoltura vengono risolti con l'aiuto di metodi matematici. Tra questi, i più sviluppati sono i metodi di programmazione lineare (LP). Tali metodi vengono utilizzati per risolvere problemi economici e matematici in cui le dipendenze quantitative sono espresse linearmente, ad es. tutte le condizioni sono espresse come un sistema di equazioni lineari e disequazioni, e il criterio di ottimalità è espresso come una funzione lineare tendente al minimo o al massimo (a un estremo).
Un problema di programmazione lineare consiste in una funzione obiettivo, un sistema di vincoli e una condizione affinché le variabili siano non negative.
Lascia che la funzione n variabili È necessario trovare il valore più grande o più piccolo di questa funzione, a condizione che l'argomento 
Un problema di ottimizzazione posto in questo modo è chiamato problema di programmazione matematica. Molti Xè chiamato l'insieme delle soluzioni ammissibili e la funzione è chiamata funzione obiettivo o funzione obiettivo. Una soluzione fattibile per la quale la funzione assume il valore più grande (o più piccolo) è chiamata soluzione ottima del problema.
Se la funzione obiettivo è lineare e l'insieme Xè dato utilizzando un sistema di equazioni lineari e disequazioni, quindi il problema è chiamato problema di programmazione lineare (LPP). Pertanto, la formulazione generale del problema di programmazione lineare è la seguente:
trova l'estremo della funzione
sotto restrizioni
in condizioni di non negatività
Introduciamo la notazione:
Azioni io-esimo tipo di risorsa;
spese io-esimo tipo di risorsa per la produzione j-esima tipologia di prodotto;
profitto unitario j-esimo tipo di prodotto.
In notazione compatta, il problema di programmazione lineare ha la forma:
La notazione compatta mostra che il modello di un problema generale di programmazione lineare comprende cinque elementi principali:
variabili, il cui valore si trova nel processo di risoluzione del problema;
Coefficienti tecnici ed economici per variabili nei vincoli;
Il volume del lato destro delle disuguaglianze, che sono dette costanti del problema;
Coefficienti per variabili nella funzione obiettivo, dette stime variabili;
Indice variabile;
indice di vincolo.
funzione di destinazione(funzione obiettivo) è un'espressione matematica per la quale si desidera trovare l'estremo, ovvero il valore massimo o minimo.
Variabili x j designare tali tipi e metodi di attività, le cui dimensioni sono sconosciute e devono essere determinate nel corso della risoluzione del problema. Di solito, nei compiti sull'agricoltura, variabili significano la dimensione desiderata dei rami dell'economia, i tipi di mangimi nella dieta, le marche di trattori e macchine agricole, ecc. La stessa coltura o tipologia di bestiame può essere espressa da più variabili a seconda di condizioni specifiche. Ad esempio, merce e grano da foraggio; mais per cereali, insilati, foraggi verdi; graminacee perenni per fieno, haylage, foraggi verdi, farine e semi d'erba, ecc.
Le variabili possono cambiare arbitrariamente nelle condizioni del problema in esame. Variabile , i cui coefficienti formano una colonna unitaria è chiamata di base. Modulo variabili di base base unitaria sistemi. Vengono richiamate le variabili non incluse nella base unitaria gratuito.
Il numero totale di variabili incluse nell'attività è determinato dalla natura dell'attività, dalle condizioni di produzione specifiche, dalla capacità di raccogliere informazioni, ecc.
Le variabili possono essere espresse in diverse unità di misura: ha, q, kg, pz., teste, ecc. Per natura, le variabili sono divise in principali, aggiuntive e ausiliarie. Le principali variabili comprendono i tipi di attività ricercati: settori dell'economia, tipi di mangimi, marche di automobili. Le variabili aggiuntive sono chiamate variabili che si formano nel processo di trasformazione delle disuguaglianze in equazioni. Possono significare una parte sottoutilizzata delle risorse, un surplus sul lato destro della disuguaglianza (se questa è una disuguaglianza del tipo “non più”). Le variabili ausiliarie sono incluse nell'attività al fine di determinare i valori stimati delle risorse di produzione acquisite, i valori stimati degli indicatori dell'efficienza economica della produzione.
Le variabili aggiuntive e ausiliarie hanno sempre coefficienti unitari (+1 o -1).
Coefficienti tecnici ed economici (a ij) con variabili nel sistema delle restrizioni, esprimono i tassi di input delle risorse di produzione o il tasso di output per unità di misura della variabile.
In entrambi i casi è necessario che i coefficienti tecnici ed economici corrispondano esattamente al periodo di pianificazione per il quale si sta risolvendo il problema. Ad esempio, se il problema è risolto per l'analisi economica e matematica della produzione per il periodo passato, i coefficienti verranno calcolati in base ai dati di rendicontazione. Se si decide per il futuro, allora i coefficienti dovrebbero essere calcolati per questa prospettiva.
I tassi di spesa delle risorse sono spesso determinati da libri di consultazione e devono essere adeguati alle condizioni specifiche pertinenti. I fattori di resa del prodotto sono calcolati sulla base della resa delle colture pianificata e della produttività degli animali.
Nei casi in cui è necessario prevedere relazioni predeterminate tra variabili, i coefficienti tecnici ed economici rappresentano coefficienti di proporzionalità. Ad esempio, la quota di colture in una rotazione delle colture o la quota di alcuni feed in un gruppo di feed totale, ecc.
Vincoli del lato destro (b i) sono dette costanti, cioè valori costanti. Questi includono i volumi delle risorse di produzione: terra, manodopera, attrezzature, fertilizzanti, investimenti, ecc. Le risorse di produzione devono essere determinate tenendo conto del loro stato attuale e assicurarsi di tenere conto del periodo di pianificazione. Inoltre, le risorse di produzione, il cui utilizzo è irregolare durante tutto l'anno, sono calcolate non solo per l'anno nel suo complesso, ma anche per singoli periodi o mesi di attività (risorse di lavoro).
Le risorse di produzione sono definite in varie unità: terreno - in ha, risorse di lavoro - in giorni uomo o ore uomo, attrezzature - nel numero di turni macchina, turni o produzione giornaliera, ecc.
Pertanto, determinare la disponibilità delle risorse produttive non è una questione semplice. È necessario analizzare attentamente l'attività di produzione dell'economia, l'uso del lavoro, della terra, delle risorse tecniche e di altro tipo e solo dopo includerne i volumi nelle restrizioni.
Il lato destro delle restrizioni riflette non solo la quantità di risorse, ma anche il volume dei prodotti prodotti al livello superiore o inferiore. Il livello inferiore è indicato nei casi in cui il volume di produzione è noto in anticipo, inferiore a quello che l'azienda non dovrebbe produrre, e quello superiore non consente la produzione di prodotti al di sopra di un determinato volume. Queste restrizioni non sono sempre richieste. Tuttavia, quasi nessun problema relativo alla definizione di una combinazione di settori può fare a meno di adeguate restrizioni sui prodotti, altrimenti il risultato sarà una soluzione unilaterale. Ciò è dovuto al fatto che l'efficienza delle industrie non è la stessa.
In tutte le altre restrizioni, gli zeri sono posti sul lato destro, poiché formulano le condizioni per la produzione e l'uso dei prodotti o riflettono le restrizioni della comunicazione proporzionale.
Limitazioneè un'espressione matematica che mette in relazione variabili sotto forma di uguaglianze e disuguaglianze. Tutte le restrizioni si formano sistema di restrizioni compiti. Il sistema dei vincoli in forma matematica caratterizza le condizioni del problema. La completezza della riflessione di queste condizioni dipende dalla composizione delle restrizioni. Pertanto, nel determinare il numero di restrizioni, devono essere prese in considerazione due circostanze:
v riflettere nel problema solo quelle condizioni che limitano realmente le possibilità di produzione;
v troppi vincoli aumentano la dimensione del problema e lo rendono intrattabile
I vincoli sono di tre tipi: uguali (=), disuguaglianze di tipo minore o uguale a (≤), disuguaglianze di tipo maggiore o uguale a (≥). Per esempio,
dove io = 1, 2, … , m. I coefficienti per le variabili sono indicati aij, dove l'indice io– numero di restrizione, indice jè il numero della variabile, sono indicati i membri liberi (il lato destro delle restrizioni). b io, indice io– numero di restrizione.
I vincoli del primo tipo sono detti vincoli superiori, poiché il lato sinistro della disuguaglianza non può superare un certo valore (costante). I vincoli del terzo tipo sono detti vincoli inferiori, poiché il lato sinistro della disuguaglianza non può essere inferiore a un certo valore (costante).
In termini di significato, tutte le restrizioni possono essere suddivise in di base, aggiuntive e ausiliarie.
I limiti principali sono questi sono quelli che si sovrappongono a tutte o alla maggior parte delle variabili di attività. Di norma, con il loro aiuto, si riflettono le condizioni principali del compito: terra, lavoro, mangimi, sostanze nutritive, tecnologia, ecc.
Ulteriori restrizioni sono sovrapposti ad una parte delle variabili o ad una variabile. Tali restrizioni sono introdotte nei casi in cui sia necessario limitare la dimensione delle singole variabili dall'alto o dal basso, ad esempio tenendo conto delle esigenze di rotazione delle colture o tenendo conto dei limiti fisiologici di saturazione della dieta con i singoli mangimi o loro gruppi. Pertanto, vincoli aggiuntivi riflettono varie condizioni aggiuntive che si verificano durante il processo di modellazione. Ma ogni restrizione aggiuntiva restringe l'area della libertà di scelta. Pertanto, dovrebbero essere introdotti nel problema con attenzione, entro limiti ragionevoli e nei casi necessari.
Restrizioni ausiliarie, di regola, non hanno un significato autonomo e vengono introdotti nel problema per formalizzare le condizioni individuali. Questi includono restrizioni che stabiliscono una relazione proporzionale tra le singole variabili oi loro gruppi.
Valutazione delle variabili nella funzione obiettivo (con j) sono coefficienti che esprimono l'importo del reddito o dei costi totali per unità di misura della variabile. La valutazione della variabile, di regola, esprime il criterio accettato di ottimalità. Può essere presentato sia in natura che in contanti, ad es. costi per unità di produzione (costo di produzione).
La condizione di non negatività delle variabili si scrive come
xj≥ 0, j = 1, 2, …, n.
Nella vita reale della produzione, in base alle condizioni del compito, in base a questo record del modello economico e matematico strutturale (EMM), viene compilato un elenco di variabili e restrizioni, vengono preparate le informazioni iniziali, viene costruito un compito EMM dettagliato , che viene quindi scritta sotto forma di una matrice (tabella), inserita in un computer e in base al programma corrispondente, i risultati vengono calcolati e analizzati. i = 1, …, m, (1.5)
j = 1, …, n. (1.6)
Vettore X = (X 1 , X 2 , …, X n), componenti xj che soddisfano i vincoli (1.2) e (1.3) [o (1.5) e (1.6) nel problema minimo] si dice soluzione accettabile o piano accettabile Compiti LP. Viene chiamato l'insieme di tutti i piani ammissibili molti progetti possibili.
Canonico la forma di un problema di programmazione lineare è caratterizzata dal fatto che contiene la funzione obiettivo, tutte le restrizioni uguaglianza, tutte le variabili sono non negative.
Qualsiasi problema di programmazione lineare può essere ridotto a un problema di programmazione lineare in forma canonica. Per fare questo, nel caso generale, bisogna saper ridurre il problema della massimizzazione al problema della minimizzazione; passare dai vincoli di disuguaglianza ai vincoli di uguaglianza e sostituire le variabili che non obbediscono alla condizione di non negatività.
Regola per ridurre un problema di programmazione lineare a forma canonicaè composto da quanto segue:
1) se nel problema originale è necessario determinare il massimo di una funzione lineare, è necessario modificare il segno e cercare il minimo di questa funzione;
2) se il lato destro delle restrizioni è negativo, allora questa restrizione deve essere moltiplicata per -1;
3) se ci sono disuguaglianze tra i vincoli, allora introducendo variabili aggiuntive di variabili non negative si trasformano in uguaglianze. Ad esempio, variabili aggiuntive Sj i vincoli di tipo minore o uguale a (£) vengono inseriti con un segno più:
Variabili aggiuntive Sj i vincoli di tipo maggiore o uguale a (≥) vengono inseriti con un segno meno:
Per eliminare la negatività di variabili aggiuntive − Sj introdurre variabili artificiali con un segno più + Mj con valori molto grandi.
T10. Enunciato del problema di programmazione lineare
modello matematico Un problema economico è un insieme di relazioni matematiche che descrivono il processo economico.
Per compilare un modello matematico è necessario:
1. selezionare le variabili dell'attività;
2. elaborare un sistema di restrizioni;
3. impostare la funzione obiettivo.
Variabili di attività si chiamano le quantità x 1 , x 2 ,…, x n che caratterizzano pienamente il processo economico. Di solito sono scritti come un vettore X \u003d (x 1, x 2, ..., x n).
Sistema di vincoli di attivitàè un insieme di equazioni e disuguaglianze che sono soddisfatte dalle variabili del problema e che derivano dalle risorse limitate e da altre condizioni economiche, ad esempio la positività delle variabili. In generale, sembrano:
Viene chiamata la funzione obiettivo funzione F(X) = f(x 1 , x 2 ,…, x n) delle variabili del compito, che caratterizza la qualità del compito e il cui estremo deve essere trovato.
Problema generale di programmazione matematicaè formulato come segue: trova le variabili del compito x 1 , x 2 ,…, x n che forniscono l'estremo della funzione obiettivo
F (X) \u003d f (x 1, x 2, ..., x n) ® max (min) (2)
e soddisfare il sistema di vincoli (1).
Se la funzione obiettivo (2) e il sistema di vincoli (1) sono lineari, allora viene chiamato il problema della programmazione matematica problema di programmazione lineare (LPP).
Viene chiamato il vettore X (un insieme di variabili di attività). soluzione accettabile, o il piano PLP, se soddisfa il sistema di restrizioni (1). Viene chiamato un piano fattibile X che fornisce un estremo della funzione obiettivo soluzione ottimale ZLP.
2. Esempi di compilazione di modelli matematici di problemi economici
Lo studio di specifiche situazioni produttive porta alle ZLP, che vengono interpretate come problemi di utilizzo ottimale di risorse limitate.
1.Il problema del piano di produzione ottimale
Per la produzione di due tipi di prodotti T 1 e T 2, vengono utilizzati tre tipi di risorse S 1 , S 2 , S 3. Le scorte di risorse, il numero di unità di risorse spese per la fabbricazione di un'unità di produzione, nonché il profitto dalla vendita di un'unità di produzione sono mostrate nella tabella:
È necessario trovare un tale piano per la produzione di prodotti in cui il profitto dalla sua vendita sarà massimo.
Soluzione.
Indichiamo x 1, x 2 - il numero di unità di produzione, rispettivamente, T 1 e T 2, pianificate per la produzione. Per la loro fabbricazione, saranno necessarie (x 1 + x 2) unità di risorsa S 1, (x 1 + 4x 2) unità di risorsa S 2, (x 1) unità di risorsa S 3. Il consumo di risorse S 1 , S 2 , S 3 non dovrebbe superare le loro riserve, rispettivamente 8, 20 e 5 unità.
Allora il modello economico-matematico del problema può essere formulato come segue:
Trova un piano di produzione X \u003d (x 1, x 2) che soddisfi il sistema di restrizioni: 
e la condizione
sotto cui la funzione assume il valore massimo.
Il problema può essere facilmente generalizzato al caso di produrre n tipi di prodotti utilizzando m tipi di risorse.
2.Il problema della dieta ottimale
Esistono due tipi di alimenti K 1 e K 2 contenenti nutrienti S 1 , S 2 e S 3 . Nella tabella sono riportati il contenuto del numero di unità nutritive in 1 kg di ogni tipo di mangime, il minimo richiesto di nutrienti e il costo di 1 kg di mangime:
È necessario stilare una razione giornaliera che abbia un costo minimo, in cui il contenuto di ogni tipo di nutriente non sia inferiore al limite stabilito.
Soluzione.
Indichiamo x 1, x 2 - la quantità di mangime K 1 e K 2 inclusa nella dieta quotidiana. Quindi questa dieta includerà (3x 1 + x 2) unità di nutriente S 1, (x 1 + 2x 2) unità di sostanza S 2, (x 1 + 6x 2) unità di nutriente S 3. Poiché il contenuto di nutrienti S 1 , S 2 e S 3 nella dieta dovrebbe essere rispettivamente di 9, 8 e 12 unità, il modello economico-matematico del problema può essere formulato come segue:
Componi una dieta quotidiana X \u003d (x 1, x 2), soddisfacendo il sistema di restrizioni:
e la condizione
sotto cui la funzione prende il valore minimo.
Moduli di registrazione PLP
In LLP, è necessario trovare l'estremo della funzione obiettivo lineare:
con restrizioni:
e la condizione di non negatività
dove a ij , b i , c j ( , ) sono date costanti.
Ecco come è scritto lo ZLP generale modulo. Se il sistema di vincoli contiene solo disuguaglianze, l'LLP è rappresentato in standard modulo. Canonico (principale) la forma della notazione ZLP è la notazione quando il sistema di vincoli contiene solo uguaglianze. Quindi i suddetti LLP sono scritti in forma standard.
Le forme generale, standard e canonica del LLP sono equivalenti nel senso che ciascuna di esse, con l'ausilio di semplici trasformazioni, può essere riscritta in una forma diversa. Ciò significa che se esiste un modo per risolvere uno di questi problemi, è possibile determinare il piano ottimale per ciascuno di essi.
Per passare da una forma di notazione LLP a un'altra, è necessario essere in grado di passare da vincoli di disuguaglianza a vincoli di uguaglianza e viceversa.
Un vincolo di disuguaglianza (£) può essere convertito in un vincolo di uguaglianza aggiungendo un'ulteriore variabile non negativa al suo lato sinistro e un vincolo di disuguaglianza (³) può essere convertito in un vincolo di uguaglianza sottraendo un'ulteriore variabile non negativa dalla sua lato sinistro. Il numero di variabili aggiuntive non negative introdotte è uguale al numero di vincoli di disuguaglianza trasformati.
Introdotto variabili aggiuntive hanno un senso economico. Pertanto, se i vincoli del PLP originale riflettono il consumo e la disponibilità di risorse, il valore della variabile aggiuntiva PLP in forma canonica è uguale al volume della risorsa corrispondente non utilizzata.
Esempio 1. Scrivi nella forma canonica ZLP:
con restrizioni:
Soluzione.
La funzione obiettivo rimane invariata:
Il sistema delle disuguaglianze si trasforma in un sistema di uguaglianze:
Quando si risolve l'LLP con un metodo grafico, è necessaria una transizione dalla forma canonica alla forma standard.
Per portare l'LLP a un modulo standard, utilizzare Metodo Jordan-Gauss Soluzioni SLAU. Contrariamente al metodo di Gauss, in cui la matrice estesa del sistema è ridotta a una forma a gradini, nel metodo Jordan-Gauss, come parte della matrice estesa viene formata una matrice di identità. Pertanto, qui non è richiesta una mossa inversa.
Per convertire l'LLP canonico originale nell'LLP standard equivalente:
a) un elemento diverso da zero a qp viene scelto nella matrice estesa del sistema di vincoli. Questo elemento è chiamato permissivo e q - i riga e p-esima colonna chiamato abilita riga e abilita colonna.
b) la stringa risolutiva viene riscritta senza modifiche e tutti gli elementi della colonna risolutiva, ad eccezione della colonna risolutiva, vengono sostituiti con zeri. Gli elementi rimanenti della matrice aumentata sono determinati utilizzando la "regola del rettangolo":
Consideriamo quattro elementi della matrice espansa: l'elemento a ij da trasformare, l'elemento risolutivo a qp e gli elementi a i p e a qj . Per trovare l'elemento a ij, dall'elemento a ij segue sottrarre il prodotto degli elementi a i p e a qj posti ai vertici opposti del rettangolo, diviso per l'elemento risolvente a qp:
c) le incognite ammesse sono contemporaneamente escluse dalla funzione obiettivo. Per fare ciò, i coefficienti della funzione obiettivo vengono scritti nella matrice espansa nell'ultima riga. I calcoli tengono conto che l'elemento di abilitazione nell'ultima riga non può essere selezionato.
Esempio 2. Modifica al modulo standard:
Soluzione.
Usando il metodo di Jordan-Gauss, portiamo il sistema di equazioni di vincolo LLP a un sistema equivalente di disequazioni. Scegliamo il terzo elemento della prima riga come elemento risolutivo:
Il numero -9 ottenuto nell'ultima colonna dell'ultima riga deve essere scritto nella funzione obiettivo con il segno opposto. A seguito delle trasformazioni, il LLP assume la forma:
Perché le variabili x 2 e x 3 non sono negative, quindi scartandole, possiamo scrivere lo ZLP in forma simmetrica:
Nella forma canonica del LLP, la funzione obiettivo può essere sia minimizzata che massimizzata. Per passare dalla ricerca del massimo alla ricerca del minimo o viceversa, è sufficiente modificare i segni dei coefficienti della funzione obiettivo: F 1 = - F. Il problema risultante e l'LLP originale hanno la stessa soluzione ottima e i valori delle funzioni obiettivo su questa soluzione differiscono solo in cartello.
proprietà ZLP
1. L'insieme di tutte le soluzioni ammissibili del sistema di vincoli di un problema di programmazione lineare è convesso.
Viene chiamato l'insieme dei punti convesso, se contiene l'intero segmento che collega due punti qualsiasi di questo insieme.
Secondo questa definizione, il poligono in Fig. 1a è un insieme convesso, mentre il poligono in Fig. 1b non lo è, perché il segmento MN compreso tra i suoi due punti M e N non appartiene completamente a questo poligono.
Gli insiemi convessi possono essere non solo poligoni. Esempi di insiemi convessi sono cerchio, settore, segmento, cubo, piramide, ecc.
2. Se l'LLP ha una soluzione ottima, la funzione lineare assume il valore massimo (minimo) in uno dei punti d'angolo del poliedro decisionale. Se una funzione lineare assume un valore massimo (minimo) in più di un punto d'angolo, lo prende in qualsiasi punto che sia una combinazione lineare convessa di questi punti.
Viene chiamato il punto X combinazione lineare convessa punti X 1 , X 2 ,…, X n se sono soddisfatte le seguenti condizioni:
X \u003d α 1 X 1 + α 2 X 2 + ... + α n X n,
αj ≥ 0, Σαj = 1.
È ovvio che nel caso speciale per n = 2 una combinazione lineare convessa di due punti è un segmento che li collega.
3. Ad ogni soluzione di base ammissibile del sistema di vincoli LLP canonico corrisponde un punto d'angolo del poliedro in soluzione, e viceversa, ad ogni punto d'angolo del poliedro in soluzione corrisponde una soluzione di base ammissibile.
Dalle ultime due proprietà consegue che se un LLP ha una soluzione ottima, allora coincide con almeno una delle sue soluzioni di base ammissibili.
Pertanto, l'estremo della funzione lineare LLP deve essere ricercato tra un numero finito di sue soluzioni di base ammissibili.
In pratica, i vincoli in un problema di programmazione lineare sono spesso dati non da equazioni, ma da disuguaglianze.
Mostriamo come si può passare da un problema con vincoli di disuguaglianza al problema principale della programmazione lineare.
Sia un problema di programmazione lineare con variabili, in cui i vincoli imposti alle variabili hanno la forma di disuguaglianze lineari. In alcuni di essi può esserci il segno di disuguaglianza ed altri (il secondo tipo si riduce al primo con un semplice cambiamento del segno di entrambe le parti). Pertanto, impostiamo tutti i vincoli di disuguaglianza nella forma standard:
È necessario trovare un tale insieme di valori non negativi che soddisfi le disuguaglianze (4.1) e, inoltre, minimizzi la funzione lineare:
Dal problema così posto è facile passare al problema principale della programmazione lineare. Introduciamo infatti la notazione:
dove ci sono alcune nuove variabili, che chiameremo "aggiuntive". Secondo le condizioni (4.1), queste variabili aggiuntive, come dovrebbero essere, devono essere non negative.
Pertanto, affrontiamo il problema della programmazione lineare nella seguente formulazione: trovare valori non negativi delle variabili tali da soddisfare il sistema di equazioni (4.3) e allo stesso tempo minimizzare la funzione lineare di queste variabili:
Come puoi vedere, abbiamo davanti a noi nella sua forma pura il problema principale della programmazione lineare (LPP). Le equazioni (4.3) sono date nella forma già risolta rispetto alle variabili di base, che sono espresse in termini di variabili libere. La funzione L è espressa solo in termini di variabili "iniziali" (i coefficienti delle variabili "addizionali" in essa contenute sono pari a zero).
Pertanto, abbiamo ridotto il problema della programmazione lineare con vincoli di disuguaglianza al problema principale della programmazione lineare, ma con un numero di variabili maggiore di quello originariamente previsto nel problema.
Esempio 1 Esiste un problema di programmazione lineare con vincoli di disuguaglianza: trova i valori non negativi delle variabili che soddisfano le condizioni
e minimizzare la funzione lineare
È necessario ridurre questo problema alla forma dell'OLP.
Soluzione. Portiamo le disuguaglianze (4.4) nella forma standard;
Introduciamo variabili aggiuntive:
Il compito è trovare valori non negativi delle variabili
soddisfacendo le equazioni (4.6) e minimizzando la funzione lineare (4.5).
Abbiamo mostrato come sia possibile passare da un problema di programmazione lineare con vincoli di disuguaglianza ad un problema con vincoli di uguaglianza (ELP). La transizione inversa è sempre possibile: dall'LLP al problema dei vincoli di disuguaglianza. Se nel primo caso abbiamo aumentato il numero di variabili, nel secondo caso lo diminuiremo, eliminando le variabili di base e lasciando libere solo quelle.
Esempio 2. Esiste un problema di programmazione lineare con vincoli di uguaglianza (OLP):
e la funzione da minimizzare
È necessario scriverlo come un problema di programmazione lineare con vincoli di disuguaglianza.
Soluzione. Poiché , scegliamo alcune due variabili come libere. Si noti che le variabili non possono essere scelte come libere, poiché sono legate dalla prima delle equazioni (4 7): il valore di una di esse è completamente determinato dal valore dell'altra e le variabili libere devono essere indipendenti
Per lo stesso motivo, è impossibile scegliere variabili come libere (sono collegate dalla seconda equazione). Scegliamo come variabili libere ed esprimiamo tutto il resto in termini di:
Poiché le condizioni (4 9) possono essere sostituite da disuguaglianze:
Passiamo nell'espressione della funzione lineare L a variabili libere Sostituendo in L invece di e le loro espressioni (4.9). ottenere.
