Nel secolo scorso Ivan Bernoulli, Leonard Euler e poi Jean-Baptiste Fourier hanno applicato per la prima volta la rappresentazione delle funzioni periodiche per serie trigonometriche. Questa visione è studiata con sufficiente dettaglio in altri corsi, quindi richiamiamo solo le relazioni e le definizioni di base.

Come notato sopra, qualsiasi funzione periodica u (t) per cui l'uguaglianza u (t) \u003d u (t + T) dove T \u003d 1 / F \u003d 2p / W , può essere rappresentato da una serie di Fourier:

Ogni termine in questa serie può essere espanso utilizzando la formula del coseno per la differenza tra due angoli e rappresentato come due termini:

,

dove: A n \u003d C n cosφ n, B n \u003d C n sinφ n , così che , e

Probabilità Un e Locanda sono determinati dalle formule di Eulero:

;
.

quando n \u003d 0 :

e B 0 \u003d 0.

Probabilità Un e Locanda , sono i valori medi del prodotto della funzione u (t) e oscillazioni armoniche con la frequenza nw su un intervallo di durata T ... Sappiamo già (Sezione 2.5) che queste sono funzioni di correlazione incrociata che determinano la misura della loro relazione. Pertanto, i coefficienti Un e B n mostraci "quante" sinusoidi o coseni con frequenza nW contenuto in questa funzione u (t) , ampliato in una serie di Fourier.

Quindi, possiamo rappresentare la funzione periodica u (t) come somma di vibrazioni armoniche, dove i numeri C n sono le ampiezze e i numeri φ n - fasi. Di solito in letteratura è chiamato spettro di ampiezza e - lo spettro delle fasi. Spesso viene considerato solo lo spettro delle ampiezze, che è rappresentato come linee situate in punti nW sull'asse delle frequenze e di altezza corrispondente al numero C n ... Tuttavia, va ricordato che per ottenere una corrispondenza uno a uno tra la funzione temporale u (t) e il suo spettro è necessario utilizzare sia lo spettro di ampiezza che lo spettro di fase. Questo può essere visto da un esempio così semplice. I segnali avranno lo stesso spettro di ampiezza, ma tipi di funzioni temporali completamente differenti.

Uno spettro discreto può avere non solo una funzione periodica. Ad esempio, il segnale: non è periodico, ma ha uno spettro discreto costituito da due righe spettrali. Inoltre, non ci sarà un segnale strettamente periodico costituito da una sequenza di impulsi radio (impulsi con riempimento ad alta frequenza), in cui il periodo di ripetizione è costante, ma la fase iniziale del riempimento ad alta frequenza cambia da impulso a impulso secondo una legge. Tali segnali sono chiamati quasi periodici. Come vedremo in seguito, hanno anche uno spettro discreto. Indagine sulla natura fisica degli spettri di tali segnali, effettueremo allo stesso modo di quelli periodici.

Moduli di registrazione della serie di Fourier. Il segnale è chiamato periodico,se la sua forma si ripete ciclicamente nel tempo Segnale periodico u (t)in forma generale è scritto come segue:

u (t) \u003d u (t + mT), m \u003d 0, ± 1, ± 2, ...

Ecco il periodo T del segnale. I segnali periodici possono essere semplici o complessi.

Per la rappresentazione matematica di segnali periodici con punto Tviene spesso utilizzata la serie (2.2), in cui le oscillazioni armoniche (sinusoidali e coseno) di più frequenze vengono scelte come funzioni di base

y 0 (t) \u003d 1; y 1 (t) \u003d sinw 1 t; y 2 (t) \u003d cosw 1 t;

y 3 (t) \u003d sin2w 1 t; y 4 (t) \u003d cos2w 1 t; ..., (2.3)

dove w 1 \u003d 2p / T è la frequenza angolare fondamentale della sequenza

funzioni. Per le funzioni di base armonica, dalla serie (2.2) si ottiene la serie di Fourier (Jean Fourier è un matematico e fisico francese del XIX secolo).

Le funzioni armoniche della forma (2.3) nella serie di Fourier hanno i seguenti vantaggi: 1) semplice descrizione matematica; 2) invarianza alle trasformazioni lineari, cioè se un'oscillazione armonica agisce all'ingresso di un circuito lineare, anche la sua uscita avrà un'oscillazione armonica, che differisce dall'ingresso solo in ampiezza e fase iniziale; 3) come un segnale, le funzioni armoniche sono periodiche e hanno durata infinita; 4) la tecnica per generare funzioni armoniche è abbastanza semplice.

È noto dal corso di matematica che per l'espansione di un segnale periodico in una serie in funzioni armoniche (2.3), è necessario soddisfare le condizioni di Dirichlet. Ma tutti i segnali periodici reali soddisfano queste condizioni e possono essere rappresentati come una serie di Fourier, che può essere scritta in una delle seguenti forme:

u (t) \u003d A 0/2 + (A ’mn cosnw 1 t + A" mn nw 1 t), (2.4)

dove i coefficienti

A mn "\u003d (2.5)

u (t) \u003d A 0/2 + (2.6)

A mn \u003d (2.7)

o in forma complessa

u (t) \u003d (2.8)

C n \u003d (2.9)

Segue da (2.4) - (2.9) che, nel caso generale, il segnale periodico u (t) contiene una componente costante A 0/2 e un insieme di oscillazioni armoniche della frequenza fondamentale w 1 \u003d 2pf 1 e sue armoniche con frequenze wn \u003d nw 1, n \u003d 2 , 3,4, ... Ciascuna delle armoniche

le oscillazioni della serie di Fourier sono caratterizzate dall'ampiezza e dalla fase iniziale y n .nn

Diagramma spettrale e spettro di un segnale periodico. Se un segnale viene presentato come una somma di oscillazioni armoniche con frequenze diverse, lo dicono decomposizione spettralesegnale.

Diagramma spettraleil segnale è solitamente chiamato una rappresentazione grafica dei coefficienti della serie di Fourier di questo segnale. Distinguere tra ampiezza e diagrammi di fase. Nella fig. 2.6 su una certa scala lungo l'asse orizzontale vengono tracciati i valori delle frequenze armoniche, lungo l'asse verticale - le loro ampiezze A mn e le fasi y n. Inoltre, le ampiezze delle armoniche possono assumere solo valori positivi, le fasi - valori sia positivi che negativi nell'intervallo -p £ y n £ p

Spettro del segnaleè un insieme di componenti armoniche con valori specifici di frequenze, ampiezze e fasi iniziali, che formano un segnale in totale. Nelle applicazioni tecniche, in pratica, i diagrammi spettrali sono chiamati più brevemente: spettro di ampiezza, spettro di fase.Molto spesso sono interessati al diagramma spettrale dell'ampiezza. Può essere utilizzato per stimare la percentuale di armoniche nello spettro.

Esempio2.3. Espandere una sequenza periodica di impulsi video rettangolari in una serie di Fourier a partire dalparametri noti (U m, T, t z),anche "Rispetto al punto t \u003d 0. Costruire un diagramma spettrale di ampiezze e fasi a U m \u003d 2B, T \u003d 20ms, S \u003d T / te \u003d 2 e 8.

Un dato segnale periodico su un intervallo di un periodo può essere scritto come

Per rappresentare questo segnale, usiamo la forma di scrittura della serie di Fourier nelmodulo (2.4). Poiché il segnale è uniforme, solo i componenti del coseno rimarranno nell'espansione.

Figura: 2.6. Diagrammi spettrali di un segnale periodico:

a - ampiezza; b- fase

L'integrale di una funzione dispari su un periodo è uguale a zero. Usando le formule (2.5), troviamo i coefficienti

permettendo di scrivere la serie di Fourier:

Per costruire diagrammi spettrali per dati numerici specifici, impostiamo i \u003d 0, 1, 2, 3, ... e calcoliamo i coefficienti armonici. I risultati del calcolo delle prime otto componenti dello spettro sono riassunti nella tabella. 2.1. Nella serie (2.4) A "mn \u003d 0e secondo (2.7) A mn \u003d | A ’mn |, la frequenza fondamentale f 1 \u003d 1 / T \u003d 1 / 20-10 -3 \u003d 50 Hz, w 1 \u003d 2pf 1 \u003d 2p * 50 \u003d 314 rad / s. Lo spettro di ampiezza in Fig.

2.7 è costruito per tale n,al quale A mnpiù del 5% del valore massimo.

Dall'esempio fornito 2.3 segue che con un aumento del duty cycle, il numero di componenti spettrali aumenta e le loro ampiezze diminuiscono. Si dice che un tale segnale abbia uno spettro ricco. Va notato che per molti segnali praticamente utilizzati non è necessario calcolare le ampiezze e le fasi delle armoniche secondo le formule fornite in precedenza.

Tabella 2.1. Ampiezze dei componenti della serie di Fourier di una sequenza periodica di impulsi rettangolari

Figura: 2.7. Diagrammi spettrali di una sequenza periodica di impulsi: e-con duty cycle S-2; - b-quando duty cycle S \u003d 8

Nei libri di consultazione matematica ci sono tabelle di espansioni del segnale nella serie di Fourier. Una di queste tabelle è riportata in appendice (Tabella A.2).

La domanda sorge spesso: quante componenti spettrali (armoniche) prendere per rappresentare un segnale reale come una serie di Fourier? Dopo tutto, la serie è, a rigor di termini, infinita. Non è possibile dare una risposta univoca qui. Tutto dipende dalla forma del segnale e dall'accuratezza della sua rappresentazione da parte della serie di Fourier. Cambio di segnale più fluido - meno armoniche richieste. Se il segnale presenta salti (discontinuità), è necessario sommare più armoniche per ottenere lo stesso errore. Tuttavia, in molti casi, ad esempio nella telegrafia, si ritiene che tre armoniche siano sufficienti anche per la trasmissione di impulsi rettangolari con bordi ripidi.

Corsi di analisi matematica

Argomento: calcolo delle somme parziali e delle caratteristiche spettrali della serie di Fourier per una funzione esplicita

funzione di Fourier dello spettro del segnale

1.Modello del processo fisico

Soluzione del problema con calcoli teorici

Un esempio per risolvere il problema

Un esempio di risoluzione di un problema nell'ambiente Matlab R2009a

Lista di referenze

1.Modello del processo fisico

Modello matematico un segnale radio può servire come funzione del tempo f(t) . Questa funzione può essere reale o complessa, unidimensionale o multidimensionale, deterministica o casuale (segnali rumorosi). Nell'ingegneria radio, lo stesso modello matematico descrive corrente, voltaggio, intensità del campo elettrico, ecc. Con uguale successo.

Considera i segnali deterministici unidimensionali reali

Gli insiemi di funzioni (segnali) sono generalmente considerati come spazi normati funzionali lineari, in cui vengono introdotti i seguenti concetti e assiomi:

) tutti gli assiomi dello spazio lineare sono soddisfatti;

) il prodotto scalare di due segnali reali è definito come segue:

) due segnali sono detti ortogonali se il loro prodotto scalare è uguale a zero;

) il sistema di segnali ortogonali forma una base di coordinate a dimensione infinita, secondo la quale qualsiasi segnale periodico appartenente allo spazio lineare può essere scomposto;

Tra i vari sistemi di funzioni ortogonali che possono essere utilizzati per scomporre il segnale, il più comune è il sistema di funzioni armoniche (sinusoidali e coseno):

La rappresentazione di un certo segnale periodico come somma di oscillazioni armoniche con frequenze diverse è chiamata rappresentazione spettrale del segnale. Le singole componenti armoniche del segnale formano il suo spettro. Da un punto di vista matematico, la rappresentazione spettrale è equivalente all'espansione di una funzione periodica (segnale) in una serie di Fourier.

L'importanza della scomposizione spettrale delle funzioni nell'ingegneria radio è dovuta a una serie di ragioni:

) facilità di studio delle proprietà del segnale, perché le funzioni armoniche sono ben comprese;

) la capacità di generare un segnale arbitrario, perché la tecnica per generare segnali armonici è abbastanza semplice;

) facilità di trasmissione e ricezione di un segnale sul canale radio, perché l'oscillazione armonica è l'unica funzione del tempo che mantiene la sua forma quando attraversa un circuito lineare. Il segnale all'uscita del circuito rimane armonico con la stessa frequenza, cambiano solo l'ampiezza e la fase iniziale dell'oscillazione;

) la scomposizione del segnale in seno e coseno consente di utilizzare il metodo simbolico sviluppato per analizzare la trasmissione di oscillazioni armoniche attraverso circuiti lineari.

Consideriamo un elettrocardiogramma del cuore come un modello del processo fisico.

2.Soluzione del problema con calcoli teorici

Obiettivo 1:

Descriviamo, con l'aiuto della serie di Fourier, un impulso che si ripete periodicamente nell'area dell'elettrocardiogramma, il cosiddetto complesso QRS.

Il complesso QRS può essere definito dalla seguente funzione lineare a tratti

Dove

Questa funzione può essere continuata periodicamente con un punto T \u003d 2l.

Serie di funzioni di Fourier:

Definizione 1: La funzione viene chiamata continuo a tratti sul segmento [a, b], se è continuo in tutti i punti di questo segmento, eccetto per un numero finito di punti in cui esistono i suoi limiti unilaterali finiti.

Definizione 2:La funzione viene chiamata liscio a tratti su qualche segmento se esso e la sua derivata sono continui a tratti.

Teorema 1 (test di Dirichlet): Serie di Fourier di una funzione regolare a tratti su un intervallo f (x) converge in ogni punto di continuità al valore della funzione in questo punto e al valore in ogni punto di discontinuità.

La nostra funzione soddisfa le condizioni del teorema.

Per una data funzione, otteniamo i seguenti coefficienti della serie di Fourier:

Forma complessa della serie di Fourier

Per rappresentare la serie in forma complessa, useremo le formule di Eulero:

Introduciamo la notazione:

Quindi la serie può essere riscritta come

Inoltre, i coefficienti della serie complessa di Fourier possono essere ottenuti direttamente calcolandoli con la formula

Scriviamo in forma complessa la serie di Fourier di una data funzione

Caratteristiche spettrali della serie

Espressione nella serie di Fourier si chiama nesima armonica.È risaputo che

dove o

,

Collezioni, chiamate di conseguenza ampiezza e spettro di fasefunzione periodica.

Gli spettri sono rappresentati graficamente come segmenti di lunghezza disegnati perpendicolarmente all'asse su cui è applicato il valore n= 1,2 ... o.

Una rappresentazione grafica dello spettro corrispondente è chiamata ampiezza o diagramma di fase. In pratica, lo spettro di ampiezza è più spesso utilizzato.

.Un esempio per risolvere il problema

Problema 2: Considera un esempio specifico di un problema per il modello selezionato di un processo fisico.

Estendiamo questa funzione all'intero asse dei numeri, otteniamo la funzione periodica f(x) con periodo T \u003d 2 l\u003d 18 (Fig. 1.).

Figura: 1. Grafico di una funzione continuata periodicamente

Calcoliamo i coefficienti di Fourier della funzione data.

Scriviamo le somme parziali della serie:

Figura: 2. Grafici di somme parziali della serie di Fourier

Con la crescita n i grafici delle somme parziali nei punti di continuità si avvicinano al grafico della funzione f(x) ... Nei punti di interruzione, i valori delle somme parziali si avvicinano .

Costruiamo l'ampiezza e i diagrammi di fase.

dato un quarto.

tavolo

4. Un esempio di risoluzione di un problema nell'ambiente Matlab R2009a

Obiettivo 3: Ad esempio, considera gli interi intervalli PR e QT.

Riso

Per questa funzione, creare grafici di somme parziali, nonché ampiezza e diagrammi di fase.

Prendiamo valori specifici dei parametri per il nostro compito:

Uno script per la creazione dei grafici e dei grafici richiesti.

Lo script consente di risolvere una serie di problemi simili scegliendo parametri e coordinate dei punti Q, R, S.

CALCOLO% SOMME PARZIALI E CARATTERISTICHE SPETTRALI DELLA SERIE FOURIER PER EXPRESS

% Analisi spettrale L I1 I2 Q R S I3 I4 I5 P T w v a b c d q r Qy Ry Sy nCase \u003d 18; \u003d 6; I2 \u003d 10; Q \u003d 11; Qy \u003d -2; R \u003d 12; Ry \u003d 17; S \u003d 13; Sy \u003d -4; I3 \u003d 15; I4 \u003d 20; I5 \u003d 26; \u003d 2; T \u003d 3; ExprNum \u003d 9; \u003d 250; \u003d 30; \u003d 0; flag \u003d\u003d 0 \u003d 1; (k<15)

k \u003d menu ("Modifica parametri", ...

sprintf ("Parameter1 P \u003d% g", P), ... ("Parameter2 I1 \u003d% g", I1), ... ("Parameter3 I2 \u003d% g", I2), ... ("Parameter4 Qx \u003d% g ", Q), ... (" Parametro5 Qy \u003d% g ", Qy), ... (" Parametro6 Rx \u003d% g ", R), ... (" Parametro7 Ry \u003d% g ", Ry), ... ("Parametro8 Sx \u003d% g", S), ... ("Parametro9 Sy \u003d% g", Sy), ... ("Parametro10 I3 \u003d% g", I3), .. . ("Parametro11 I4 \u003d% g", I4), ... ("Parametro12 T \u003d% g", T), ... ("Parametro13 I5 \u003d% g", I5), ... ("Parametro13 Ns \u003d% g ", Ns), ...

"Continua"); k \u003d\u003d 1, \u003d input ();

endk \u003d\u003d 2, \u003d input ();

endk \u003d\u003d 3, \u003d input ();

endk \u003d\u003d 4, \u003d input ();

endk \u003d\u003d 5, \u003d input ();

endk \u003d\u003d 6, \u003d input ();

endk \u003d\u003d 7, \u003d input ();

"Nuovo valore Sx \u003d"]);

endk \u003d\u003d 9, \u003d input ();

endk \u003d\u003d 10, \u003d input ();

endk \u003d\u003d 11, \u003d input ();

endk \u003d\u003d 12, \u003d input ();

endk \u003d\u003d 13, \u003d input ()

endk \u003d\u003d 14, \u003d input ()

% Applicazione dei parametri \u003d Qy / (Q-I2);

v \u003d Qy * I2 / (I2-Q); \u003d (Ry-Qy) / (RQ); \u003d (Qy * RQ * Ry) / (RQ); \u003d (Sy-Ry) / (SR); \u003d (Ry * SR * Sy) / (SR); \u003d Sy / (S-I3); \u003d I3 * Sy / (I3-S); \u003d 2 * L / N; \u003d 0: Ts: 2 * L; \u003d lunghezza (t ); \u003d zeri (1, Dim); \u003d floor (I1 * N / 2 / L) +1; \u003d floor ((I2-I1) * N / 2 / L) +1; \u003d floor ((Q-I2) * N / 2 / L) +1; \u003d piano ((RQ) * N / 2 / L) +1; \u003d piano ((SR) * N / 2 / L) +1; \u003d piano ((I3-S) * N / 2 / L) +1; \u003d piano ((I4-I3) * N / 2 / L) +1; \u003d piano ((I5-I4) * N / 2 / L) +1; \u003d piano (( 2 * L-I4) * N / 2 / L) +1; i \u003d 1: u1 (i) \u003d P * sin (pi * t (i) / I1); i \u003d u1: u2 (i) \u003d 0; i \u003d (u2 + u1) :( u3 + u2 + u1) (i) \u003d w * t (i) + v; i \u003d (u3 + u2 + u1): (u4 + u3 + u2 + u1) (i) \u003d a * t (i) + b; i \u003d (u4 + u3 + u2 + u1): (u5 + u4 + u3 + u2 + u1) (i) \u003d c * t (i) + d; i \u003d (u5 + u4 + u3 + u2 + u1): (u6 + u5 + u4 + u3 + u2 + u1) (i) \u003d q * t (i) + r; i \u003d (u6 + u5 + u4 + u3 + u2 + u1 ): (u7 + u6 + u5 + u4 + u3 + u2 + u1) (i) \u003d 0; i \u003d (u7 + u6 + u5 + u4 + u3 + u2 + u1): (u8 + u7 + u6 + u5 + u4 + u3 + u2 + u1) (i) \u003d T * sin (pi * (t (i) -I4) / (I5-I4)); (t, y, "LineWidth", 2), griglia, set ( gca, "FontName", "Arial Cyr", "FontSize", 16);

titolo ("Grafico di processo"); xlabel ("Time (s)"); ylabel ("Y (t)");

% Grafico somma parziale n

n \u003d 0; j \u003d 1: ExprNum \u003d j; j1 \u003d quad (@f, 0, I1); 2 \u003d a0 + quad (@f, I1, I2); 3 \u003d a0 + quad (@f, I2, Q ); 4 \u003d a0 + quad (@f, Q, R); 5 \u003d a0 + quad (@f, R, S); 6 \u003d a0 + quad (@f, S, I3); 7 \u003d a0 + quad ( @f, I3, I4); 8 \u003d a0 + quad (@f, I4, I5); 9 \u003d a0 + quad (@f, I5, 2 \u200b\u200b* L); \u003d a0 / L; \u003d zeri (1, Ns) ; \u003d zeri (1, Ns); i \u003d 1: Ns \u003d i; j \u003d 1: ExprNum \u003d j; j1 (i) \u003d quad (@f, 0, I1); (i) \u003d quad (@g, 0 , I1); 2 (i) \u003d an (i) + quad (@f, I1, I2); (i) \u003d bn (i) + quad (@g, I1, I2); 3 (i) \u003d an ( i) + quad (@f, I2, Q); (i) \u003d bn (i) + quad (@g, I2, Q); 4 (i) \u003d an (i) + quad (@f, Q, R ); (i) \u003d bn (i) + quad (@g, Q, R); 5 (i) \u003d an (i) + quad (@f, R, S); (i) \u003d bn (i) + quad (@g, R, S); 6 (i) \u003d an (i) + quad (@f, S, I3); (i) \u003d bn (i) + quad (@g, S, I3); 7 (i) \u003d an (i) + quad (@f, I3, I4); (i) \u003d bn (i) + quad (@g, I3, I4); 8 (i) \u003d an (i) + quad ( @f, I4, I5); (i) \u003d bn (i) + quad (@g, I4, I5); 9 (i) \u003d an (i) + quad (@f, I5, 2 \u200b\u200b* L); ( i) \u003d bn (i) + quad (@g, I5, 2 \u200b\u200b* L); (i) \u003d an (i) / L; (i) \u003d bn (i) / L; \u003d t; \u003d zeri (1, length (x)); \u003d fn + a0 / 2; i \u003d 1: Ns \u003d i; \u003d fn + an (i) * cos (n * pi * x / L) + bn (i) * sin (n * pi * x / L); (t, y, x, fn, "LineWidth", 2), grid, set (gca, "FontName", "Arial Cyr", "FontSize", 16);

titolo ("Grafico del segnale e della somma parziale"); xlabel ("Time (s)"); ylabel (sprintf ("Sn (t)"));

% Tracciare il diagramma di ampiezza \u003d zeri (1, Ns);

wn \u003d pi / L; \u003d wn: wn: wn * Ns; i \u003d 1: Ns (i) \u003d sqrt (an (i). ^ 2 + bn (i). ^ 2); (Gn, A, ". "), grid, set (gca," FontName "," Arial Cyr "," FontSize ", 16); (" Diagramma di ampiezza del segnale "); xlabel ("n"); ylabel ("An");

% Costruzione del diagramma di fase del segnale \u003d zeri (1, Ns);

per i \u003d 1: Ns (an (i)\u003e 0) (i) \u003d atan (bn (i) / an (i)); ((an (i)<0)&&(bn(i))>0) (i) \u003d atan (bn (i) / an (i)) + pi; ((an (i)<0)&&(bn(i))<0)(i)=pi-atan(bn(i)/an(i));((an(i)==0)&&(bn(i))>0) (i) \u003d pi / 2; ((an (i) \u003d\u003d 0) && (bn (i))<0)(i)=-pi/2;(Gn,Fi,"."), grid, set(gca,"FontName","Arial Cyr","FontSize",16);("Фазовая диаграмма сигнала"); xlabel("n"); ylabel("Fi");Figure 1;Figure 2;Figure 3;Figure 4;=0;=input("Закончить работу-<3>, procedere - ");

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Tra i vari sistemi di funzioni ortogonali che possono essere utilizzati come basi per la presentazione di segnali di radioingegneria, occupano un posto eccezionale le funzioni armoniche (sinusoidali e coseno). L'importanza dei segnali armonici per l'ingegneria radio è dovuta a una serie di ragioni.

In particolare:

1. I segnali armonici sono invarianti rispetto alle trasformazioni effettuate dai circuiti elettrici lineari stazionari. Se un tale circuito è eccitato da una sorgente di oscillazioni armoniche, il segnale all'uscita del circuito rimane armonico con la stessa frequenza, differendo dal segnale di ingresso solo in ampiezza e fase iniziale.

2. La tecnica per generare segnali armonici è relativamente semplice.

Se un qualsiasi segnale viene presentato come una somma di oscillazioni armoniche con frequenze diverse, si dice che è stata eseguita la decomposizione spettrale di questo segnale. Le singole componenti armoniche del segnale formano il suo spettro.

2.1. Segnali periodici e serie di Fourier

Il modello matematico di un processo che si ripete nel tempo è un segnale periodico con la seguente proprietà:

Qui T è il periodo del segnale.

Il compito è trovare la decomposizione spettrale di un tale segnale.

Serie di Fourier.

Impostiamo l'intervallo di tempo considerato nel cap. I base ortonormale formata da funzioni armoniche a frequenze multiple;

Qualsiasi funzione da questa base soddisfa la condizione di periodicità (2.1). Pertanto, - avendo eseguito la decomposizione ortogonale del segnale in questa base, cioè calcolando i coefficienti

otteniamo la decomposizione spettrale

che è valido sull'intero infinito dell'asse temporale.

Una serie della forma (2.4) è chiamata serie di Fourier del segnale dato. Introduciamo la frequenza fondamentale della sequenza che forma un segnale periodico. Calcolando i coefficienti di espansione con la formula (2.3), scriviamo la serie di Fourier per un segnale periodico

con coefficienti

(2.6)

Quindi, nel caso generale, un segnale periodico contiene una componente costante indipendente dal tempo e un insieme infinito di oscillazioni armoniche, le cosiddette armoniche con frequenze che sono multipli della frequenza fondamentale della sequenza.

Ogni armonica può essere descritta dalla sua ampiezza e fase iniziale Per questo, i coefficienti della serie di Fourier dovrebbero essere scritti nella forma

Sostituendo queste espressioni nella (2.5), ne otteniamo un'altra, - una forma equivalente della serie di Fourier:

che a volte è più conveniente.

Diagramma spettrale di un segnale periodico.

Quindi è consuetudine chiamare la rappresentazione grafica dei coefficienti della serie di Fourier per un particolare segnale. Distinguere tra ampiezza e diagramma spettrale di fase (Fig. 2.1).

Qui, sull'asse orizzontale, su una certa scala, vengono tracciate le frequenze delle armoniche e sull'asse verticale vengono tracciate le loro ampiezze e fasi iniziali.

Figura: 2.1. Diagrammi spettrali di alcuni segnali periodici: a - ampiezza; b - fase

Sono particolarmente interessati al diagramma di ampiezza, che consente di giudicare la percentuale di alcune armoniche nello spettro di un segnale periodico.

Diamo un'occhiata ad alcuni esempi specifici.

Esempio 2.1. Serie di Fourier di una sequenza periodica di impulsi video rettangolari con parametri noti, anche relativi al punto t \u003d 0.

Nell'ingegneria radio, il rapporto è chiamato ciclo di lavoro della sequenza. Usando le formule (2.6), troviamo

È conveniente scrivere la formula finale della serie di Fourier nella forma

Nella fig. 2.2 mostra i diagrammi di ampiezza della sequenza considerata in due casi estremi.

È importante notare che una sequenza di brevi impulsi, che si susseguono piuttosto raramente, ha una ricca composizione spettrale.

Figura: 2.2. Spettro di ampiezza di una sequenza periodica di impulsi video rettangolari: a - ad alto duty cycle; b - con ciclo di lavoro basso

Esempio 2.2. Serie di Fourier di un treno di impulsi periodici formato da un segnale armonico di forma limitata al livello (assunto che).

Introduciamo un parametro speciale: l'angolo di cutoff, determinato dalla relazione da cui proviene

In accordo con ciò, il valore è uguale alla durata di un impulso, espresso in misura angolare:

La registrazione analitica dell'impulso che genera la sequenza in esame ha la forma

Componente costante della sequenza

Coefficiente di ampiezza della prima armonica

Allo stesso modo, vengono calcolate le ampiezze - le componenti armoniche a

I risultati ottenuti sono solitamente scritti come segue:

dove le cosiddette funzioni Berg:

I grafici di alcune funzioni Berg sono mostrati in Fig. 2.3.

Figura: 2.3. Grafici delle prime poche funzioni di Berg

Forma complessa della serie di Fourier.

La decomposizione spettrale di un segnale periodico può anche essere eseguita in modo alquanto ionico, utilizzando un sistema di funzioni di base, costituito da esponenziali con esponenti immaginari:

È facile vedere che le funzioni di questo sistema sono periodiche con un periodo ortonormalizzato su un intervallo di tempo da allora

La serie di Fourier di un segnale periodico arbitrario in questo caso assume la forma

con coefficienti

Di solito viene utilizzata la seguente forma di notazione:

L'espressione (2.11) è una serie di Fourier in forma complessa.

Lo spettro del segnale secondo la formula (2.11) contiene componenti sul semiasse della frequenza negativa, e. Nella serie (2.11), i termini con frequenze positive e negative sono combinati in coppie, ad esempio.

In molti casi, il compito di ottenere (calcolare) lo spettro del segnale è il seguente. C'è un ADC, che con una frequenza di campionamento Fd converte un segnale continuo che arriva al suo ingresso durante il tempo T in campioni digitali - N pezzi. Successivamente, la matrice di campioni viene inserita in un determinato programma che restituisce N / 2 alcuni valori numerici (un programmatore che estratto da Internet ha scritto un programma, assicura di eseguire la trasformata di Fourier).

Per verificare se il programma funziona correttamente, formiamo una matrice di campioni come la somma di due sinusoidi sin (10 * 2 * pi * x) + 0,5 * sin (5 * 2 * pi * x) e inseriamola nel programma. Il programma ha disegnato quanto segue:

fig. 1 Grafico della funzione tempo del segnale

fig. 2 Grafico dello spettro del segnale

Sul grafico dello spettro ci sono due stick (armoniche) di 5 Hz con un'ampiezza di 0,5 V e 10 Hz - con un'ampiezza di 1 V, tutto è come nella formula del segnale originale. Va tutto bene, programmatore ben fatto! Il programma funziona correttamente.

Ciò significa che se inviamo un segnale reale da una miscela di due sinusoidi all'ingresso ADC, otteniamo uno spettro simile costituito da due armoniche.

Totale, nostro vero segnale misurato, durata 5 sec, ADC digitalizzato, cioè presentato discreto conta, ha discreto non periodico gamma.

Da un punto di vista matematico, quanti errori ci sono in questa frase?

Ora i boss hanno deciso che abbiamo deciso che 5 secondi sono troppo lunghi, misuriamo il segnale in 0,5 secondi.



fig.3 Grafico della funzione sin (10 * 2 * pi * x) + 0,5 * sin (5 * 2 * pi * x) in un periodo di misurazione di 0,5 sec

fig.4 Spettro delle funzioni

Qualcosa sembra essere sbagliato! L'armonica a 10 Hz viene tracciata normalmente e al posto dello stick da 5 Hz sono apparse alcune armoniche incomprensibili. Guardiamo su Internet, cosa e come ...

In, dicono che gli zeri devono essere aggiunti alla fine del campione e lo spettro sarà disegnato normale.

fig. 5 Abbiamo terminato gli zeri fino a 5 sec

fig.6 Ricevuto lo spettro

Ancora non quello che era a 5 secondi. Dovremo affrontare la teoria. Vai a Wikipedia - fonte di conoscenza.

2. Funzione continua e sua rappresentazione dalla serie di Fourier

Matematicamente, il nostro segnale con una durata di T secondi è una funzione f (x) definita sull'intervallo (0, T) (X in questo caso è il tempo). Tale funzione può sempre essere rappresentata come una somma di funzioni armoniche (sinusoidi o coseni) della forma:

(1), dove:

K - numero della funzione trigonometrica (numero di componenti armoniche, numero di armoniche)
T - il segmento in cui è definita la funzione (durata del segnale)
Ak è l'ampiezza della k-esima componente armonica,
θk è la fase iniziale della k-esima componente armonica

Cosa significa "rappresentare una funzione come somma di una serie"? Ciò significa che sommando in ogni punto i valori delle componenti armoniche della serie di Fourier, otteniamo il valore della nostra funzione a questo punto.

(Più strettamente, la deviazione radice quadratica media della serie dalla funzione f (x) tenderà a zero, ma nonostante la convergenza radice quadratica media, la serie di Fourier della funzione, in generale, non è obbligata a convergere ad essa in senso puntuale. Vedi https://ru.wikipedia.org/ wiki / Fourier_Row.)

Questa serie può anche essere scritta come:

(2),
dove, k-esima ampiezza complessa.

La relazione tra i coefficienti (1) e (3) è espressa dalle seguenti formule:

Si noti che tutte queste tre rappresentazioni della serie di Fourier sono completamente equivalenti. A volte, quando si lavora con le serie di Fourier, è più conveniente usare esponenti di un argomento immaginario invece di seno e coseno, cioè usare la trasformata di Fourier in forma complessa. Ma è conveniente per noi usare la formula (1), dove la serie di Fourier è presentata come una somma di onde del coseno con le corrispondenti ampiezze e fasi. In ogni caso, non è corretto affermare che il risultato della trasformata di Fourier di un segnale reale saranno le ampiezze complesse delle armoniche. Come dice il Wiki, "La trasformata di Fourier (ℱ) è un'operazione che assegna una funzione a una variabile reale a un'altra funzione, anch'essa una variabile reale".

Totale:
La base matematica per l'analisi spettrale dei segnali è la trasformata di Fourier.

La trasformata di Fourier permette di rappresentare una funzione continua f (x) (segnale), definita sul segmento (0, T) come la somma di un numero infinito (serie infinite) di funzioni trigonometriche (sinusoidi e \\ o coseni) con determinate ampiezze e fasi, considerate anche sul segmento (0, T). Una tale serie è chiamata serie di Fourier.

Notiamo alcuni altri punti, la cui comprensione è richiesta per la corretta applicazione della trasformata di Fourier all'analisi dei segnali. Se consideriamo la serie di Fourier (la somma delle sinusoidi) sull'intero asse X, allora possiamo vedere che fuori dal segmento (0, T) la funzione rappresentata dalla serie di Fourier ripeterà periodicamente la nostra funzione.

Ad esempio, nel grafico in Fig. 7, la funzione originale è definita sull'intervallo (-T \\ 2, + T \\ 2) e la serie di Fourier rappresenta una funzione periodica definita sull'intero asse x.

Questo perché i sinusoidi stessi sono funzioni periodiche e, di conseguenza, la loro somma sarà una funzione periodica.

fig. 7 Rappresentazione di una funzione originale non periodica dalla serie di Fourier

Quindi:

La nostra funzione originaria è continua, non periodica, definita su qualche segmento di lunghezza T.
Lo spettro di questa funzione è discreto, cioè si presenta sotto forma di una serie infinita di componenti armoniche: la serie di Fourier.
Infatti la serie di Fourier definisce una certa funzione periodica che coincide con la nostra sul segmento (0, T), ma questa periodicità per noi non è essenziale.

I periodi delle componenti armoniche sono multipli del segmento (0, T), su cui è definita la funzione originaria f (x). In altre parole, i periodi armonici sono multipli della durata della misurazione del segnale. Ad esempio, il periodo della prima armonica della serie di Fourier è uguale all'intervallo T, su cui è definita la funzione f (x). Il periodo della seconda armonica della serie di Fourier è uguale all'intervallo T / 2. E così via (vedi fig. 8).

fig.8 Periodi (frequenze) di componenti armoniche della serie di Fourier (qui T \u003d 2π)

Di conseguenza, le frequenze delle componenti armoniche sono multipli di 1 / T. Ovvero le frequenze delle componenti armoniche Fk sono uguali a Fk \u003d k \\ T, dove k va da 0 a ∞, ad esempio k \u003d 0 F0 \u003d 0; k \u003d 1 F1 \u003d 1 \\ T; k \u003d 2 F2 \u003d 2 \\ T; k \u003d 3 F3 \u003d 3 \\ T;… Fk \u003d k \\ T (a frequenza zero - componente costante).

Sia la nostra funzione originale un segnale registrato per T \u003d 1 sec. Quindi il periodo della prima armonica sarà uguale alla durata del nostro segnale T1 \u003d T \u003d 1 sec e la frequenza dell'armonica è 1 Hz. Il periodo della seconda armonica sarà uguale alla durata del segnale divisa per 2 (T2 \u003d T / 2 \u003d 0,5 sec) e la frequenza è 2 Hz. Per la terza armonica, T3 \u003d T / 3 sec e la frequenza è 3 Hz. Eccetera.

Il passo tra le armoniche in questo caso è di 1 Hz.

Pertanto, un segnale di 1 secondo può essere scomposto in componenti armoniche (per ottenere uno spettro) con una risoluzione di frequenza di 1 Hz.
Per aumentare la risoluzione di 2 volte a 0,5 Hz, è necessario aumentare la durata della misurazione di 2 volte - fino a 2 sec. Un segnale con una durata di 10 secondi può essere scomposto in componenti armoniche (per ottenere uno spettro) con una risoluzione in frequenza di 0,1 Hz. Non ci sono altri modi per aumentare la risoluzione della frequenza.

C'è un modo per aumentare artificialmente la durata del segnale aggiungendo zeri all'array di campionamento. Ma non aumenta la risoluzione della frequenza reale.

3. Segnali discreti e trasformata discreta di Fourier

Con lo sviluppo della tecnologia digitale, anche i metodi di memorizzazione dei dati di misura (segnali) sono cambiati. Se prima il segnale poteva essere registrato su un registratore a nastro e memorizzato su nastro in forma analogica, ora i segnali vengono digitalizzati e archiviati in file nella memoria del computer come un insieme di numeri (letture).

Uno schema tipico per misurare e digitalizzare un segnale è il seguente.

fig. 9 Diagramma del canale di misurazione

Il segnale dal trasduttore di misura viene inviato all'ADC per un periodo di tempo T. I campioni del segnale (campione) ottenuti durante il tempo T vengono trasferiti al computer e archiviati in memoria.

fig. 10 Segnale digitalizzato - N campioni ottenuti durante T

Quali sono i requisiti per i parametri di digitalizzazione del segnale? Un dispositivo che converte un segnale analogico in ingresso in un codice discreto (segnale digitale) è chiamato convertitore analogico-digitale (ADC) (Wiki).

Uno dei parametri principali dell'ADC è la velocità di campionamento massima (o velocità di campionamento, velocità di campionamento inglese) - la velocità di campionamento di un segnale continuo nel tempo durante il suo campionamento. Misurato in hertz. ((Wiki))

Secondo il teorema di Kotelnikov, se un segnale continuo ha uno spettro limitato dalla frequenza Fmax, allora può essere completamente e inequivocabilmente ricostruito dai suoi campioni discreti presi ad intervalli di tempo , cioè con una frequenza di Fd ≥ 2 * Fmax, dove Fd è la frequenza di campionamento; Fmax è la frequenza massima dello spettro del segnale. In altre parole, la frequenza di campionamento del segnale (frequenza di campionamento ADC) deve essere almeno 2 volte superiore alla frequenza massima del segnale che si desidera misurare.

E cosa succederà se preleviamo campioni con una frequenza inferiore a quella richiesta dal teorema di Kotelnikov?

In questo caso, si verifica l'effetto di "aliasing" (noto anche come effetto stroboscopico, effetto moiré), in cui un segnale ad alta frequenza dopo la digitalizzazione si trasforma in un segnale a bassa frequenza, che di fatto non esiste. Nella fig. 11 onda sinusoidale rossa ad alta frequenza è un segnale reale. Una sinusoide blu di una frequenza inferiore è un segnale fittizio che nasce dal fatto che durante il tempo di campionamento riesce a far passare più di mezzo periodo del segnale ad alta frequenza.

Figura: 11. La comparsa di un falso segnale di bassa frequenza con una frequenza di campionamento non sufficientemente alta

Per evitare l'effetto dell'aliasing, uno speciale filtro anti-aliasing è installato davanti all'ADC: un filtro passa-basso (filtro passa-basso), che fa passare le frequenze al di sotto della metà della frequenza di campionamento dell'ADC e taglia le frequenze più alte.

Per calcolare lo spettro del segnale dai suoi campioni discreti, viene utilizzata la trasformata discreta di Fourier (DFT). Notare ancora che lo spettro del segnale discreto è "per definizione" limitato dalla frequenza Fmax, meno della metà della frequenza di campionamento Fd. Pertanto, lo spettro di un segnale discreto può essere rappresentato dalla somma di un numero finito di armoniche, in contrasto con la somma infinita per la serie di Fourier di un segnale continuo, il cui spettro può essere illimitato. Secondo il teorema di Kotelnikov, la frequenza massima di un'armonica deve essere tale da avere almeno due letture, quindi il numero di armoniche è uguale alla metà del numero di campioni di un segnale discreto. Cioè, se ci sono N campioni nel campione, il numero di armoniche nello spettro sarà uguale a N / 2.

Considera ora la trasformata discreta di Fourier (DFT).

Confronto con la serie di Fourier

Vediamo che coincidono, tranne per il fatto che il tempo nel DFT è discreto e il numero di armoniche è limitato a N / 2, che è la metà del numero di campioni.

Le formule DFT sono scritte in variabili intere adimensionali k, s, dove k sono i numeri di campioni di segnale, s sono i numeri di componenti spettrali.
Il valore s mostra il numero di oscillazioni armoniche totali nel periodo T (la durata della misura del segnale). La trasformata discreta di Fourier viene utilizzata per trovare numericamente le ampiezze e le fasi delle armoniche, ad es. "sul computer"

Tornando ai risultati all'inizio. Come accennato in precedenza, quando si espande una funzione non periodica (il nostro segnale) in una serie di Fourier, la serie di Fourier risultante corrisponde effettivamente a una funzione periodica con un periodo T. (Fig. 12).

fig.12 Funzione periodica f (x) con periodo T0, con periodo di misura T\u003e T0

Come si può vedere in Fig. 12, la funzione f (x) è periodica con un periodo T0. Tuttavia, a causa del fatto che la durata del campione di misura T non coincide con il periodo della funzione T0, la funzione ottenuta come serie di Fourier presenta una discontinuità nel punto T. Di conseguenza, lo spettro di questa funzione conterrà un gran numero di armoniche ad alta frequenza. Se la durata del campione di misura T coincidesse con il periodo della funzione T0, allora nello spettro ottenuto dopo la trasformata di Fourier sarebbe presente solo la prima armonica (una sinusoide con periodo uguale alla durata del campione), poiché la funzione f (x) è una sinusoide.

In altre parole, il programma DFT "non sa" che il nostro segnale è un "pezzo di una sinusoide", ma cerca di rappresentare una funzione periodica come una serie, che ha una discontinuità dovuta alla discrepanza tra i singoli pezzi di una sinusoide.

Di conseguenza, le armoniche appaiono nello spettro, che dovrebbe riassumere la forma della funzione, compresa questa discontinuità.

Pertanto, per ottenere uno spettro "corretto" di un segnale, che è la somma di più sinusoidi con periodi diversi, è necessario che un numero intero di periodi di ciascuna sinusoide si adatti al periodo di misurazione del segnale. In pratica, questa condizione può essere soddisfatta per una durata di misurazione del segnale sufficientemente lunga.

Fig. 13 Un esempio di una funzione e spettro di un segnale di un errore cinematico di un riduttore

Con una durata inferiore, l'immagine apparirà "peggiore":

Fig. 14 Esempio di funzione e spettro del segnale di vibrazione del rotore

In pratica, può essere difficile capire dove sono i "componenti reali" e dove sono gli "artefatti" causati dal fatto che i periodi dei componenti e la durata del campionamento del segnale non sono multipli o dai "salti e interruzioni" della forma d'onda. Naturalmente, le parole "componenti reali" e "artefatti" non sono invano prese tra virgolette. La presenza di molte armoniche sul grafico dello spettro non significa che il nostro segnale in realtà "consista" di esse. È come pensare che il numero 7 "consiste" dei numeri 3 e 4. Il numero 7 può essere rappresentato come la somma dei numeri 3 e 4 - è corretto.

Quindi il nostro segnale ... o meglio nemmeno "il nostro segnale", ma una funzione periodica composta dalla ripetizione del nostro segnale (campione) può essere rappresentata come una somma di armoniche (sinusoidi) con determinate ampiezze e fasi. Ma in molti casi importanti per la pratica (vedi le figure sopra), è davvero possibile associare le armoniche ottenute nello spettro a processi reali che hanno natura ciclica e danno un contributo significativo alla forma del segnale.

Alcuni risultati

1. Il segnale reale misurato, durata T sec, digitalizzato dall'ADC, cioè rappresentato da un insieme di campioni discreti (N pezzi), ha uno spettro discreto non periodico rappresentato da un insieme di armoniche (N / 2 pezzi).

2. Il segnale è rappresentato da un insieme di valori reali e il suo spettro è rappresentato da un insieme di valori reali. Le frequenze armoniche sono positive. Il fatto che i matematici trovino più conveniente rappresentare lo spettro in una forma complessa usando frequenze negative non significa che "questo è corretto" e "questo dovrebbe sempre essere fatto".

3. Il segnale misurato all'intervallo di tempo T è determinato solo all'intervallo di tempo T. Cosa c'era prima di iniziare a misurare il segnale e cosa accadrà dopo - questo è sconosciuto alla scienza. E nel nostro caso non è interessante. La DFT di un segnale a tempo limitato fornisce il suo spettro “vero”, nel senso che, in determinate condizioni, permette di calcolare l'ampiezza e la frequenza delle sue componenti.

Materiali usati e altri materiali utili.