Test sul tema delle funzioni di più variabili. Test: limite e continuità di funzioni di più variabili. Dipartimento: Matematica Superiore

Dipartimento: Matematica Superiore

astratto

nella disciplina "Matematica superiore"

Argomento: "Limite e continuità di funzioni di più variabili"

Togliatti, 2008

introduzione

Il concetto di una funzione di una variabile non copre tutte le dipendenze che esistono in natura. Anche nei problemi più semplici, ci sono quantità i cui valori sono determinati dalla combinazione di valori di più quantità.

Per studiare tali dipendenze, viene introdotto il concetto di una funzione di più variabili.

Il concetto di una funzione di più variabili

Definizione. La quantità u è chiamata funzione di diverse variabili indipendenti ( x, y, z, …, t), se ogni insieme di valori di queste variabili è associato a un determinato valore della quantità u.

Se una variabile è una funzione di due variabili xe a, quindi viene indicata la dipendenza funzionale

z= f(x, y).

Simbolo f definisce qui un insieme di azioni o una regola per il calcolo di un valore z per una data coppia di valori xe a.

Quindi, per la funzione z= x2 + 3xy

a x \u003d 1 e a \u003d 1 che abbiamo z = 4,

a x \u003d 2 e a \u003d 3 abbiamo z = 22,

a x \u003d 4 e a \u003d 0 abbiamo z \u003d 16, ecc.

La quantità ufunzione di tre variabili x, y, z, se viene data una regola, come per una data tripla di valori x, y e z calcolare il valore corrispondente u:

u= F(x, y, z).

Qui il simbolo F definisce un insieme di azioni o una regola per il calcolo di un valore ucorrispondenti a questi valori x, y e z.

Quindi, per la funzione u= xy+ 2xz– 3yz

a x = 1, a \u003d 1 e z \u003d 1 che abbiamo u= 0,

a x = 1, a \u003d -2 e z \u003d 3 abbiamo u= 22,

a x = 2, a \u003d -1 e z \u003d -2 abbiamo u= -16, ecc.

Quindi, se in virtù di una legge di ogni insieme p numeri ( x, y, z, …, t) da alcuni set Eassegna un valore specifico a una variabile u, poi u chiamata una funzione di p variabili x, y, z, …, tdefinito sul set E, e indicato

u= f(x, y, z, …, t).

Variabili x, y, z, …, t sono chiamati argomenti di funzione, l'insieme E - l'ambito della funzione.

Il valore particolare di una funzione è il valore di una funzione a un certo punto M0(x0, y0, z0, …, t0) ed è indicato f (M0) = f (x0, y0, z0, …, t0).

Il dominio di una funzione è l'insieme di tutti i valori degli argomenti che corrispondono a qualsiasi valore effettivo della funzione.

Funzione di due variabili z= f(x, y) nello spazio è rappresentato da una certa superficie. Cioè, quando il punto con le coordinate x, a percorre l'intero dominio della funzione situata nel piano hoy, il punto spaziale corrispondente, in generale, descrive la superficie.

Funzione di tre variabili u= F(x, y, z) considerato in funzione di un punto di un insieme di punti nello spazio tridimensionale. Allo stesso modo, la funzione p variabili u= f(x, y, z, …, t) è considerato in funzione di un punto di alcuni p-spazio dimensionale.

Limite di una funzione di più variabili

Per dare il concetto di limite di una funzione di più variabili, ci limitiamo al caso di due variabili x e a... Per definizione, la funzione f(x, y) ha un limite nel punto ( x0, a0) uguale al numero E, indicato in questo modo:

(scrivi di più f(x, y) →Ea (x, y) → (x, a)) se è definito in qualche intorno al punto ( x, a), con la possibile eccezione di questo punto stesso e se esiste un limite

qualunque sia la tendenza verso ( x, a) una sequenza di punti ( xk, yk).

Proprio come nel caso di una funzione di una variabile, si può introdurre un'altra definizione equivalente del limite di una funzione di due variabili: la funzione fha al punto ( x, a) limite pari a Ese è definito in qualche vicinanza del punto ( x, a) tranne, forse, per questo punto stesso, e per ogni ε\u003e 0 c'è δ\u003e 0 tale che

| f(x, y) – UN| < ε(3)

per tutti (x, y)

0 < />< δ. (4)

Questa definizione, a sua volta, è equivalente alla seguente: per ogni ε\u003e 0 c'è un δ-intorno del punto ( x, a) tale che per tutti ( x, y) da questo quartiere, diverso da ( x, a), vale la disuguaglianza (3).

INTERRUZIONE DI PAGINA--

Poiché le coordinate di un punto arbitrario ( x, y) il quartiere del punto ( x, a) può essere scritto come x \u003d x+ Δ x, y \u003d y+ Δ a, allora l'uguaglianza (1) è equivalente alla seguente uguaglianza:

Considera una funzione definita in un intorno del punto ( x, a), tranne forse per questo punto stesso.

Sia ω \u003d (ω x, ω a) È un vettore arbitrario di lunghezza uno (| ω | 2 \u003d ω x2+ ω a2 \u003d 1) e t\u003e 0 è uno scalare. Visualizza i punti

(x0+ tω x, y0+ tω a) (0 < t)

forma un raggio in uscita da ( x0, a0) in direzione del vettore ω. Per ogni ω, possiamo considerare la funzione

f(x0+ tω x, y0+ tω a) (0 < t< δ)

dalla variabile scalare t, dove δ è un numero sufficientemente piccolo.

Il limite di questa funzione (una variabile t)

/> f(x+ tω x, y+ tω a),

fal punto ( x, a) nella direzione ω.

Esempio 1.Funzioni

definito sull'aereo ( x, y) ad eccezione del punto x= 0, a\u003d 0. Abbiamo (tieni presente che /\u003e e /\u003e):

(per ε\u003e 0 mettiamo δ \u003d ε / 2 e quindi | f(x, y) | < ε, если />< δ).

da cui si può vedere che il limite φ nel punto (0, 0) in direzioni diverse è generalmente diverso (il vettore raggio unitario y= kx, x\u003e 0, ha la forma

Esempio 2.Considera in R2 funzioni

/> (x4+ a2≠ 0).

Questa funzione nel punto (0, 0) su qualsiasi riga y= kxpassando per l'origine ha un limite pari a zero:

/\u003e per x→ 0.

Tuttavia, questa funzione non ha limiti nei punti (0, 0), perché per y \u003d x2

Scriveremo /\u003e se la funzione fè definito in qualche vicinanza del punto ( x, a), con la possibile eccezione del punto stesso ( x, a) e per tutti N\u003e 0 c'è δ\u003e 0 tale che

|f(x, y) | > N,

da 0< />< δ.

Continuazione
--INTERRUZIONE DI PAGINA--

Puoi anche parlare del limite fquando x, a→ ∞:

El'uguaglianza (5) deve essere intesa nel senso che per ogni ε\u003e 0 esiste tale N\u003e 0, che per tutti x, aper cui | x| > N, |y| > N, funzione fè definita e la disuguaglianza

|f(x, y) – E| < ε.

Le uguaglianze sono vere

dove può essere x→ ∞, a→ ∞. Inoltre, come al solito, esistono limiti (finiti) nel loro lato sinistro se ci sono limiti fe φ.

Dimostriamo (7) per esempio.

Lascia che sia ( xk, yk) → (x, a) ((xk, yk) ≠ (x, a)); poi

Pertanto, il limite sul lato sinistro di (9) esiste ed è uguale al lato destro di (9), e poiché la sequenza ( xk, yk) tende a ( x, a) secondo qualsiasi legge, allora questo limite è uguale al limite della funzione f(x, y) ∙φ (x, y) al punto ( x, a).

Teorema.se funzione f(x, y) ha un limite che non è uguale a zero nel punto ( x, a), cioè

allora esiste δ\u003e 0 tale che per tutti x, asoddisfare le disuguaglianze

0 < />< δ, (10)

soddisfa la disuguaglianza

Pertanto, per tale (x, y)

quelli. la disuguaglianza (11) vale. Dalla disuguaglianza (12) per l'indicato (x, y) segue /\u003e da dove /\u003e per UN\u003e 0 e /\u003e per

UN< 0 (сохранение знака).

Per definizione, la funzione f(x) = f(x1, …, xn) = UNha un limite al punto

x\u003d /\u003e uguale al numero E, indicato in questo modo:

(scrivi di più f(x) → UN(x→ x)) se è definito su qualche vicinanza del punto x, tranne, forse, per se stessa, e se c'è un limite

qualunque sia lo sforzo per xsequenza di punti xkdal quartiere specificato ( k\u003d 1, 2, ...) diverso da x.

Un'altra definizione equivalente è la seguente: funzione fha a che fare xlimite uguale Ese è definito in qualche quartiere del punto x, tranne, forse, per se stesso, e per ogni ε\u003e 0 c'è δ\u003e 0 tale che

Continuazione
--INTERRUZIONE DI PAGINA--

per tutti xsoddisfare le disuguaglianze

0 < |x– x| < δ.

Questa definizione, a sua volta, è equivalente alla seguente: per ogni ε\u003e 0 c'è un intorno U(x) punti xtale che per tutti x/>U(x) , x≠ x, vale la disuguaglianza (13).

Ovviamente, se il numero Ec'è un limite f(x) nel xpoi Ec'è un limite di funzione f(x0 + h) a partire dal hal punto zero:

e viceversa.

Considera qualche funzione fdato in tutti i punti nelle vicinanze del punto x, tranne forse il punto x; sia ω \u003d (ω1, ..., ω p) È un vettore arbitrario di lunghezza uno (| ω | \u003d 1) e t\u003e 0 è uno scalare. Visualizza i punti x+ tω (0 < t) in uscita da xraggio nella direzione del vettore ω. Per ogni ω, possiamo considerare la funzione

/> (0 < t< δω)

dalla variabile scalare t, dove δω è un numero che dipende da ω. Il limite di questa funzione (da una variabile t)

se esiste, è naturale chiamarlo limite fal punto xnella direzione del vettore ω.

Scriveremo /\u003e se la funzione fdefinito in qualche quartiere xtranne forse xe per tutti N\u003e 0 c'è δ\u003e 0 tale che | f(x) | >N, da 0< |x– x| < δ.

Puoi parlare del limite fquando x→ ∞:

Ad esempio, nel caso di un numero finito El'uguaglianza (14) deve essere intesa nel senso che per ogni ε\u003e 0 si può indicare tale N\u003e 0, che per i punti xper cui | x| > N, funzione fè definito e la disuguaglianza /\u003e vale.

Quindi il limite della funzione f(x) = f(x1, ..., xp) a partire dal ple variabili sono definite per analogia allo stesso modo di una funzione di due variabili.

Quindi, passiamo alla definizione del limite di una funzione di più variabili.

Numero Echiamato il limite della funzione f(M) a M→ Mse per ogni numero ε\u003e 0 c'è sempre un numero tale δ\u003e 0 che per ogni punto Mdiverso da Me soddisfacendo la condizione | MM| < δ, будет иметь место неравенство |f(M) – E| < ε.

Il limite è indicato da /\u003e Nel caso di una funzione di due variabili /\u003e

Teoremi limite.If functions f1(M) e f2(M) a M→ Mognuno tende a un limite finito, quindi:

Continuazione
--INTERRUZIONE DI PAGINA--

Esempio 1.Trova il limite di una funzione: /\u003e

Decisione. Trasformiamo il limite come segue:

Lascia stare y= kx, quindi /\u003e

Esempio 2.Trova il limite di una funzione: /\u003e

Decisione. Useremo il primo limite notevole /\u003e Allora /\u003e

Esempio 3.Trova il limite di una funzione: /\u003e

Decisione. Useremo il secondo limite notevole /\u003e Allora /\u003e

Continuità di una funzione di più variabili

Per definizione, la funzione f(x, y) è continuo nel punto ( x, a) se è definito in alcuni dei suoi dintorni, incluso nel punto stesso ( x, a) e se il limite f(x, y) a questo punto è uguale al suo valore in esso:

Condizione di continuità fal punto ( x, a) può essere scritto in una forma equivalente:

quelli. funzione fè continuo nel punto ( x, a) se la funzione f(X+ Δ x, a+ Δ y)sulle variabili Δ x, Δ aa Δ x= Δ y \u003d0.

È possibile immettere l'incremento Δ efunzione e= f(x, y) al punto (x, y) corrispondente agli incrementi Δ x, Δ aargomenti

Δ e= f(X+ Δ x, a+ Δ y)– f(x, y)

e in questo linguaggio definire la continuità fnel (x, y) : funzione fcontinuo nel punto (x, y) , se una

Teorema.La somma, la differenza, il prodotto e il quoziente del continuo nel punto ( x, a) funzioni fe φ è una funzione continua a questo punto, se, ovviamente, nel caso del quoziente φ ( x, a) ≠ 0.

Costante a partire dal può essere visto come una funzione f(x, y) = a partire dal dalle variabili x, y... È continuo in queste variabili, perché

/>|f(x, y) – f(x, a) | = |s - s| = 0 0.

Le successive funzioni più complesse sono f(x, y) = xe f(x, y) = a... Possono anche essere visti come funzioni di (x, y) e sono continui. Ad esempio, la funzione f(x, y) = xcorrisponde a ogni punto (x, y) numero uguale a x... Continuità di questa funzione in un punto arbitrario (x, y) può essere dimostrato in questo modo:

Continuazione
--INTERRUZIONE DI PAGINA--

/>| f(X+ Δ x, a+ Δ y)– f(x, y) | = |f(X+ Δ x) - x| = | Δ x| ≤ />0.

Se esegui funzioni x, ye azioni costanti di addizione, sottrazione e moltiplicazione in un numero finito, quindi riceveremo funzioni chiamate polinomi in x, y... Sulla base delle proprietà formulate sopra, i polinomi nelle variabili x, y- funzioni continue di queste variabili per tutti i punti (x, y) />R2.

Atteggiamento P/ Qdue polinomi in (x, y) c'è una funzione razionale di (x, y) è ovviamente continuo ovunque R2, esclusi i punti (x, y) dove Q(x, y) = 0.

R(x, y) = x3– a2+ x2a– 4

potrebbe essere un esempio di un polinomio in (x, y) terzo grado e la funzione

R(x, y) = x4– 2x2a2+a4

c'è un esempio di polinomio da (x, y) quarto grado.

Facciamo un esempio di un teorema che afferma la continuità di una funzione di funzioni continue.

Teorema.Lascia la funzione f(x, y, z) continuo nel punto (x, y, z) spazio R3 (punti (x, y, z) ) e le funzioni

x= φ (u, v), y= ψ (u, v), z= χ (u, v)

continuo nel punto (u, v) spazio R2 (punti (u, v) ). Lascia, inoltre,

x= φ (u, v), y= ψ (u, v), z= χ (u, v) .

Quindi la funzione F(u, v) = f[ φ (u, v), ψ (u, v), χ (u, v) ] è continuo (di

(u, v) ) al punto (u, v) .

Prova. Poiché il segno del limite può essere introdotto sotto il segno della caratteristica di una funzione continua, allora

Teorema.Funzione f(x, y) continuo nel punto ( x, a) e non uguale a zero a questo punto, conserva il segno del numero f(x, a) in qualche quartiere del punto ( x, a).

Per definizione, la funzione f(x) = f(x1, ..., xp) continuo nel punto x= (X1, ..., xp) se è definito in alcuni dei suoi dintorni, compreso nel punto stesso xe se il suo limite nel punto xè uguale al suo valore in esso:

Condizione di continuità fal punto xpuò essere scritto in una forma equivalente:

quelli. funzione f(x) continuo nel punto xse la funzione è continua f(X+ h) a partire dal hal punto h= 0.

Continuazione
--INTERRUZIONE DI PAGINA--

Puoi inserire un incremento fal punto xcorrispondente all'incremento h= (h1, ..., hp) ,

Δ hf(X) = f(X+ h) – f(X)

e nel suo linguaggio definiscono la continuità fnel x: funzione fcontinuo in x, se una

Teorema.Somma, differenza, prodotto e quoziente di punti continui xfunzioni f(x) e φ (x) è una funzione continua a questo punto, se, ovviamente, nel caso del quoziente φ (X) ≠ 0.

Commento. Incremento Δ hf(X) chiamato anche incremento della funzione totale fal punto x.

Nello spazio Rnpunti x= (x1, ..., xp) impostare una serie di punti G.

A-priory x= (X1, ..., xp) è un punto interiore dell'insieme G, se c'è una palla aperta centrata in essa, completamente appartenente a G.

Un mucchio di G/>Rnsi dice aperto se tutti i suoi punti sono interni.

Dicono che funzioni

x1 \u003d φ1 (t), ..., xp= φ p(t)(a ≤ t ≤ b)

continuo sul segmento [ un', b], definisce una curva continua in Rnpunti di collegamento x1= (X11, ..., x1p) e x2= (X21, ..., x2p) dove x11 \u003d φ1 (e), ..., x1p= φ p(e), x21 \u003d φ1 (b) , ..., x2p= φ p(b) ... Lettera tchiamato il parametro della curva.

Un mucchio di Gè chiamato connesso se qualsiasi due punti x1, x2può essere collegato da una curva continua appartenente a G.

Un insieme aperto connesso è chiamato regione.

Teorema.Lascia la funzione f(x) definito e continuo Rn(in tutti i punti Rn). Poi il set Gpunti xdove soddisfa la disuguaglianza

f(x) > a partire dal(o f(x) < a partire dal), qualunque sia la costante a partire dal, c'è un set aperto.

In effetti, la funzione F(x) = f(x) – a partire dalcontinua Rne l'insieme di tutti i punti xdove F(x) \u003e 0, coincide con G... Lascia stare x/>Gpoi c'è una palla

| x–x| < δ,

in cui F(x) \u003e 0, cioè a cui appartiene Ge punto x/>G- interno per G.

Caso con f(x) < a partire dalè dimostrato in modo simile.

Quindi, la funzione di diverse variabili f(M)è chiamato continuo nel punto Mse soddisfa le seguenti tre condizioni:

una funzione f(M)definito al punto Me vicino a questo punto;

b) c'è un limite /\u003e;

Se al punto Mse almeno una di queste condizioni viene violata, allora la funzione subisce una discontinuità a questo punto. I punti di interruzione possono formare linee di interruzione, superfici di interruzione, ecc. Funzione f(M)è chiamato continuo nella regione Gse è continuo in ogni punto di quest'area.

Esempio 1.Trova i punti di interruzione di una funzione: z= ln(x2+ y2) .

Decisione. Funzione z= ln(x2+ y2) si rompe in un punto x= 0, a\u003d 0. Pertanto, il punto DI(0, 0) è il punto di interruzione.

Esempio 2.Trova i punti di interruzione di una funzione: /\u003e

Decisione. La funzione è indefinita nei punti in cui il denominatore scompare, ad es. x2+ y2– z2 \u003d 0. Pertanto, la superficie del cono

x2+ y2= z2è una superficie di rottura.

Conclusione

Le informazioni di base sui limiti e la continuità si trovano nel corso di matematica della scuola.

Nel corso dell'analisi matematica, il concetto di limite è uno dei principali. Con l'aiuto del limite si introduce una derivata e un integrale definito; i limiti sono lo strumento principale nella costruzione della teoria delle serie. La nozione di limite, introdotta per la prima volta nel XVII secolo da Newton, viene utilizzata e ulteriormente sviluppata nella teoria delle serie. Questa sezione dell'analisi esamina le questioni relative alla somma di una sequenza infinita di quantità (sia costanti che funzioni).

La continuità di una funzione dà un'idea del suo grafico. Ciò significa che il grafico è una linea continua e non è costituito da aree sparse separate. Questa proprietà della funzione è ampiamente utilizzata nel campo dell'economia.

Pertanto, i concetti di limite e continuità giocano un ruolo importante nello studio delle funzioni di più variabili.

Elenco della letteratura utilizzata

1. Bugrov Y.S., Nikolsky S.M. Matematica superiore: libro di testo per le università. Volume 2: calcolo differenziale e integrale. Mosca: Bustard, 2004, 512 p.

2. Kremer N.Sh., Putko B.A., Trishin I.M., Fridma M.N. Matematica superiore per economisti. Mosca: Unity, 2000, 271 p.

3. Chernenko V.D. Matematica superiore in esempi e problemi. Libro di testo per le università. San Pietroburgo: Politecnico, 2003, 703 p.

4.elib.ispu.ru/library/math/sem2/index.html

5.www.academiaxxi.ru/WWW_Books/HM/Fn/toc.htm

L'argomento "Funzioni di più variabili"

Argomento 3.Funzioni di più variabili

Definizione di una funzione di due variabili, modi di impostazione.

Derivati \u200b\u200bparziali.

Estremo di una funzione di due variabili

Un gradiente di funzione variabile

I valori più grandi e più piccoli di una funzione di due variabili nel dominio

COSA DEVE SAPERE UNO STUDENTE

Domande di prova

TEST DI CONTROLLO

1. Definizione di una funzione di più variabili, metodi di impostazione

La variabile viene chiamata funzione di due variabili le quantità e sul set
se ogni coppia di valori
corrisponde a un unico valore della quantità.

Simbolicamente, una funzione di due variabili è indicata come segue:


eccetera.

Variabili e vengono chiamate variabili indipendenti o argomenti della funzione , e molto
- ambito della funzione ... Per funzioni di due variabili
scopo è un po ' insieme di punti su un piano
e l'intervallo di valori è l'intervallo sull'asse
.

Ad esempio, è una funzione di due variabili.

Per una rappresentazione visiva funzioni di due modifichesono applicate linee di livello.

Esempio 1. Per la funzione
costruire un grafico e linee di livello. Annota l'equazione di una linea di livello che passa per un punto
.

Grafico delle funzioni lineari è un aereo nello spazio.

Per una funzione, il grafico è un piano che passa per i punti
,
,
.

Linee del livello di funzione sono rette parallele, la cui equazione
.

Per funzione lineare di due variabili
le linee di livello sono date dall'equazione
e rappresentano famiglia di rette parallele nel piano.

4

Grafico delle funzioni 0 1 2 X

Linee del livello di funzione

Derivati \u200b\u200bparziali

Considera la funzione
... Diamo la variabile al punto
incremento arbitrario
in partenza valore variabile invariato... Viene chiamato l'incremento della funzione corrispondente dall'incremento parziale della funzione rispetto alla variabile al punto
.

Allo stesso modo, incremento parziale della funzioneper variabile: .

Notazione derivata parziale di : , ,
,
... Per trovare la derivata parziale
da una variabile, vengono utilizzate le regole per differenziare una funzione di una variabile, assumendo variabile costante.

Derivata parziale di una funzione rispetto a una variabilechiamato il limite :

.

Leggenda: , ,
,
... Trovare la derivata parziale rispetto a una variabile la variabile è considerata costante .

Esempio 2... Trova i valori delle derivate parziali della funzione nel punto
.

Considerando costante e differenziando in funzione della variabile, troviamo la derivata parziale rispetto a:

.

Calcoliamo il valore di questa derivata nel punto
: .

Assumendo costante e differenziando in funzione, troviamo la derivata parziale rispetto a:

.

Calcoliamo il valore della derivata nel punto:

Esempio 3... Per la funzione
trova derivate parziali
,
e calcola i loro valori nel punto
.

Derivata parziale di una funzione
su una variabile è presupposto che sia costante:

Troviamo la derivata parziale della funzione rispetto alla costante:

Calcoliamo i valori delle derivate parziali in
,
:

;
.

Vengono anche chiamate derivate parziali di funzioni di più variabili privato derivati \u200b\u200bdel primo ordine o le prime derivate parziali.

Derivate parziali del secondo ordine le funzioni di più variabili sono chiamate derivate parziali di derivate parziali del primo ordine, se esistono.

Scriviamo le derivate parziali del 2 ° ordine per la funzione:

;
;

;
.

;
eccetera.

Se le derivate parziali miste di una funzione di più variabili sono continue ad un certo punto
Allora loro uguali tra loro a questo punto. Quindi, per una funzione di due variabili, i valori delle derivate parziali miste non dipendono dall'ordine di differenziazione:
.

Esempio 4. Per la funzione trova le derivate parziali del secondo ordine
e
.

La derivata parziale mista si trova per differenziazione sequenziale prima della funzione rispetto a (assumendo costante), quindi differenziando la derivata
da (assumendo costante).

Derivato
si trova differenziando prima la funzione rispetto a , quindi la derivata di.

Le derivate parziali miste sono uguali tra loro:
.

Differenziando derivate parziali del secondo ordine sia rispetto a xe da a, otteniamo derivate parziali del terzo ordine.

Esempio 5. Trova le derivate parziali del secondo ordine di una funzione
.

Troviamo costantemente

3. Estremo di una funzione di due variabili

Massimo (minimo ) funzioni
al punto M 0 (x 0 ,y 0) è chiamato il suo valore
, che è maggiore (minore) di tutti gli altri valori presi nei punti
sufficientemente vicino al punto
e diverso da esso.

I punti massimo e minimo sono chiamati punti estremo, e vengono chiamati i valori della funzione in questi punti estremo .

Condizioni necessarie per un estremo. Se la funzione differenziabili
ha un estremo nel punto
, quindi le sue derivate parziali a questo punto sono uguali a zero, ad es.

. I punti in cui
e
sono chiamati stazionario punti funzione
.

Condizioni sufficienti per un estremo... Sia un punto stazionario della funzione e sia
,
,
... Componiamo il determinante
... Poi:

se una
, quindi nel punto stazionario
nessun estremo;

se una
, allora c'è un estremo nel punto, e il massimo, se A< 0, minimo se
;

se una
, quindi sono necessarie ulteriori ricerche.

Esempio 6. Esamina la funzione
.

Trova le derivate parziali del primo ordine:
;
Risolvere il sistema di equazioni
otteniamo due punti stazionari:
e
... Troviamo le derivate parziali del secondo ordine:
,
,
... Esaminiamo ogni punto stazionario.

4. Gradiente di una funzione di due variabili

.

Proprietà gradiente

Esempio 7... La funzione è data
... Trova il gradiente di una funzione in un punto
e costruiscilo.

Trova le coordinate del gradiente - derivate parziali.

Al punto
pendenza è uguale. Inizio del vettore
nel punto e la fine nel punto.

5

5. I valori più grande e più piccolo di una funzione di due variabili nel dominio

Formulazione del problema. Sia dato un dominio chiuso delimitato sul piano da un sistema di disuguaglianze della forma
... È necessario trovare nella regione i punti in cui la funzione assume i valori più grandi e più piccoli.

L'importante è problema estremo, il cui modello matematico contiene vincoli lineari (equazioni, disequazioni) e lineare funzione
.

Formulazione del problema. Trova i valori di funzione più grandi e più piccoli
con limitazioni

Poiché per lineare funzioni di più variabili senza punti critici dentro le zone
, allora si ottiene solo la soluzione ottimale che fornisce un estremo alla funzione obiettivo al confine della regione... Per l'area definita da vincoli lineari, i punti di possibile estremo sono punti d'angolo... Questo ci permette di considerare la soluzione al problema graficamente.

Formulazione geometrica del problema. Trova nel dominio della soluzione del sistema di disuguaglianze lineari il punto attraverso il quale passa la linea di livello corrispondente al valore più grande (più piccolo) di una funzione lineare in due variabili.

Sequenziamento:

punto A dell '"ingresso" della linea di livello nell'area. Questo punto definisce il punto del valore più basso della funzione;

punto B dell '"uscita" della linea di livello dall'area. Questo punto definisce il punto di maggior valore della funzione.

4. Trova le coordinate del punto A, risolvendo il sistema di equazioni delle rette che si intersecano nel punto A, e calcola il valore più piccolo della funzione
... Allo stesso modo - per il punto B e il valore più grande della funzione
.

Esempio 8... Trova i valori di funzione più grandi e più piccoli
nel dominio delle soluzioni del sistema delle disuguaglianze lineari

1. Costruiamo dominio della soluzione di un sistema di disuguaglianze lineari... Per fare ciò, costruisci semipiani e trova la loro intersezione. Prendi il punto come un "punto di controllo"
quale non appartenere linee rette di confine.

a

1

Dritto ()
- punti da costruire
e
... Come
vero, allora il semipiano è rivolto verso il punto di controllo.

Diretto ()
costruire per punti
e
; disuguaglianza
corretto, il semipiano è diretto verso il punto di controllo.

Dritto ()
tracciato per punti
e
; il semipiano è rivolto verso il punto di controllo.

Disuguaglianze
e
mostrare che la regione desiderata (intersezione di tutti i semipiani) si trova nel primo quarto di coordinate.

2. Costruiamo gradiente di funzione - vettore con coordinate
con origine all'origine. Disegna uno dei seguenti perpendicolari al gradiente linee di livello.

3. Movimento parallelo della linea di livello nella direzione della pendenza trova il punto di "entrata" della linea di livello nell'area - questo è il punto O (0,0). Calcoliamo il valore della funzione a questo punto :.

4. Continuando il movimento della linea di livello nella direzione del gradiente, troviamo il punto di "uscita" della linea di livello dall'area - questo è il punto A. Per determinarne le coordinate, risolviamo il sistema di equazioni delle rette e:
Risolvere un sistema di equazioni
e
.

5. Calcoliamo il valore della funzione nel punto
: .

Risposta:
,
.

COSA DEVE SAPERE UNO STUDENTE

1. Il concetto di una funzione di più variabili.

2. Dominio e insieme di valori di una funzione di più variabili.

3. Il concetto di una linea di livello.

4. Derivate parziali di funzioni di più variabili.

5. Derivate parziali di ordini superiori di funzioni di più variabili.

6. Estremo di una funzione di più variabili.

7. I valori più grande e più piccolo della funzione di due variabili nella regione.

Domande di prova

Il concetto di una funzione di più variabili. Dominio di definizione, metodi di impostazione, linee di livello di una funzione di due variabili

Derivate parziali di funzioni di più variabili

Estremo di una funzione di più variabili

I valori più grandi e più piccoli di una funzione di due variabili nel dominio

TEST DI CONTROLLO

Quale delle funzioni date è una funzione che dipende da due variabili:

un)
; b)
; nel)
; d)
.

2. Per la funzione
derivata parziale rispetto a una variabile è uguale a:

un)
; b)
; nel)
; d)
., nel punto è uguale a ... a) 1; b) 0; in 1; d) 4.

12. Il gradiente del campo scalare in un punto è un vettore ...

e) b)

c) d)

13. La derivata parziale di una funzione rispetto a una variabile in un punto è uguale a ...

e) e b) 2 f c)3f d)3

14. Valore massimo della funzione con limitazioni

Allo stesso modo ... (scrivi la tua risposta).

15. La regione delle soluzioni ammissibili del problema di programmazione lineare è la seguente:

Quindi il valore massimo della funzione è ...

A) 10 b) 14 c) 13 d) 11

16. La regione delle soluzioni ammissibili del problema di programmazione lineare è la seguente:

Quindi il valore massimo della funzione allo stesso modo ...

A) 29 b) 31 c) 27 d) 20

17. Il valore massimo della funzione obiettivo z \u003d x 1 + 2x 2 sotto vincoli è uguale a: a) 13 b) 12 c) 8 d) 6

18. Il valore massimo della funzione sotto vincoli è… (scrivi nella risposta).

funzioni parecchivariabili 4.1. Compiti per soggetto "Differenziazione funzioniparecchivariabili " Attività 1. Trova e rappresenta sul piano la regione di esistenza funzione ... 3. Trova i valori più grandi e più piccoli funzione z \u003d f (x, y) definito ...

Topic 5 funzioni di due variabili derivate parziali

Documento

Valori funzione Due variabili in un'area delimitata chiusa 1. Definizione funzioneparecchivariabili, modi di ambientazione Funzione Due variabili chiamato ...

Parte 4 matematica calcolo differenziale di funzioni di più variabili serie di equazioni differenziali

Tutorial

Determinato funzioneparecchivariabili? Qual è il grafico funzione Due variabili? Formulare definizioni del limite funzione Due variabili ...

CAPITOLO 3 Funzioni di più variabili § 1 Funzioni di più variabili Concetti di base 1 Definizione di una funzione di più variabili

Legge

CAPITOLO 3. Funzioniparecchivariabili § 1. Funzioniparecchivariabili... Concetti di base 1. Definizione funzioneparecchivariabili... DEFINIZIONE. Sia ℝ. Funzionedefinito su un set e con una regione ...

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Didascalie delle diapositive:

Argomento del test di algebra "funzione" grado 7

Fai il test e determina il livello della tua conoscenza sull'argomento "funzione"

Attività numero 1 Cos'è una funzione? La dipendenza di una variabile da un'altra se la variabile indipendente corrisponde a un singolo valore della variabile dipendente. Una variabile il cui valore è scelto arbitrariamente. Dominio.

Attività numero 2 Nella funzione, l'argomento è chiamato ... Variabile indipendente. Valore della funzione. Variabile dipendente. Hai segnato 0 punti

Attività numero 2 Nella funzione, l'argomento è chiamato ... Variabile indipendente. Valore della funzione. Variabile dipendente. Hai segnato 1 punto

Compito n. 3 La temperatura dell'aria è stata misurata durante il giorno. Specificare l'ambito della funzione. Da 0 a 24. Da 0 a 12. Da 1 a 24. Hai totalizzato 0 punti

Compito n. 3 La temperatura dell'aria è stata misurata durante il giorno. Specificare l'ambito della funzione. Da 0 a 24. Da 0 a 12. Da 1 a 24. Hai ottenuto 1 punto

Compito n. 3 La temperatura dell'aria è stata misurata durante il giorno. Specificare l'ambito della funzione. Da 0 a 24. Da 0 a 12. Da 1 a 24. Hai totalizzato 2 punti

Attività numero 4 La funzione è data dalla formula y \u003d 12x. Trova il valore della funzione se l'argomento è 2.24.2.6 Hai ottenuto 0 punti

Attività numero 4 La funzione è data dalla formula y \u003d 12x. Trova il valore della funzione se l'argomento è 2 .. 24.2.6 Hai segnato 1 punto

Attività numero 4 La funzione è data dalla formula y \u003d 12x. Trova il valore della funzione se l'argomento è 2.24.2.6 Hai ottenuto 2 punti

Attività numero 4 La funzione è data dalla formula y \u003d 12x. Trova il valore della funzione se l'argomento è 2.24.2.6 Hai ottenuto 3 punti

Attività numero 5 La funzione è data dalla formula y \u003d 12x. A quale valore dell'argomento la funzione è uguale a 24? 2. 12. 24. Hai segnato 0 punti

Attività numero 5 La funzione è data dalla formula y \u003d 12x. A quale valore dell'argomento la funzione è uguale a 24? 2. 12. 24. Hai segnato 1 punto

Attività numero 5 La funzione è data dalla formula y \u003d 12x. A quale valore dell'argomento la funzione è uguale a 24? 2. 12. 24. Hai segnato 2 punti

Attività numero 5 La funzione è data dalla formula y \u003d 12x. A quale valore dell'argomento la funzione è uguale a 24? 2. 12. 24. Hai segnato 3 punti

Attività numero 5 La funzione è data dalla formula y \u003d 12x. A quale valore dell'argomento è il valore della funzione 24? 2. 12. 24. Hai segnato 4 punti

Il tuo voto "2" Purtroppo oggi hai dimostrato una scarsa conoscenza di questo argomento. Ti consiglio di ripetere le regole. Assicurati di riuscirci!

Il tuo voto "3" Oggi hai mostrato un livello medio di conoscenza su questo argomento. Ti consiglio di ripetere le regole. Assicurati di riuscirci!

Il tuo voto è "4" Il tuo livello di conoscenza su questo argomento è abbastanza buono.

Il tuo voto è "5" Ben fatto! Hai dimostrato un alto livello di conoscenza su questo argomento. Ti auguro un successo continuo!

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