Il sistema MAXIMA ha molte funzioni integrate. Per ogni funzione incorporata, è possibile ottenere una descrizione nella documentazione contenuta nel sistema di guida. È possibile chiamare un certificato utilizzando il tasto funzione F1. Anche in Maxima c'è una funzione speciale che emette informazioni dalla documentazione per parole specifiche. Versione abbreviata di questa funzione: ?? Nome (fig.12). Qui?? - Questo è il nome dell'operatore e l'argomento deve essere separato da esso uno spazio. Operatore?? Fornisce un elenco di tali partizioni di aiuto e nomi dei nomi che contengono il testo specificato, dopo di che offrono di inserire il numero della partizione o la descrizione delle funzioni che si desidera vedere:
Fig.12. Chiamando i certificati per il team di interesse Maxima
Si noti che nel sistema MAXIMA non vi è alcuna chiara distinzione tra operatori e funzioni. Inoltre, ogni operatore è in realtà una funzione.
Tutte le funzioni e gli operatori Maxima funzionano non solo con numeri validi, ma anche complessi. I numeri complessi stessi sono registrati in forma algebrica, con un'unità immaginaria designata attraverso% I; cioè, sotto forma di A + B *% I, dove ma e B. - di conseguenza, le parti effettive e immaginarie del numero.
Tenere conto sintassi Funzioni di base. Maxima Systems.
1. Operatori aritmetici: +, -, *, /, -\u003e. Esempio:
3. Operatori logici: e, o, no. Esempio:
4. La funzione di trovare un numero fattoriale:!
Il fattoriale è impostato nella forma più generale ed è, infatti, la funzione gamma (più precisamente, x! \u003d Gamma (x + 1)), cioè, è definito sul set di tutti i numeri complessi, ad eccezione del negativo interi. Il fattoriale del numero naturale (e zero) viene automaticamente semplificato al numero naturale.
5. La funzione di trovare il semi-infactor chil: !! (Il prodotto di tutte le (anche per persino operando) o numeri dispari più piccoli di quelli uguali a questo).
6. Funzione negazionalità della sintassi:La registrazione di un # B è equivalente a non a \u003d B. Esempio: 
7. La funzione di trovare il modulo del numero X: ABS (X) Il modulo è definito per tutti i numeri complessi. Esempio:
8. Funzione Restituzione del numero X: Signum (X)
9. Funzioni che restituiscono i valori più piccoli e più piccoli dai numeri validi specificati: Max (x1, ..., xn) e min (x1, ..., xn).
10. Alcune funzioni matematiche integrate:
| Sqrt (x) | Radice quadrata da x |
| ACOS (X) | Arkkosinus Argument H. |
| Acosh (x) | Argument Arkkosinus iperbolico x |
| ACOT (X) | Arkkothangence Argument H. |
| ACOTI (X) | Argument Arkkothannse iperbolico x |
| ACSC (X) | Arkkosekans Argument H. |
| ACSCH (X) | Argumentato iperbolico Arkkosecans x |
| Asec (x) | Arksekans Argument H. |
| Asema (x) | ARKSSEKANS argomento iperbolico x |
| Asin (x) | Argksinus Argument H. |
| Astinh (x) | Argument Arksinus iperbolico x |
| ATAN (X) | Argomento arctangente H. |
| ATANH (X) | Argomento arctangente iperbolico x |
| Cosh (x) | Argomento di coseno iperbolico x |
| Coth (x) | Argomento cotangente iperbolico x |
| CSC (x) | Argomento cosneiss x. |
| Csch (x) | Sorceance iperbolico dell'argomento x |
| Sec (x) | Argomento sessione x. |
| Sech (x) | Sessioni iperboliche di argomento x |
| Peccato (x) | Argomento sinusale x. |
| Sinh (x) | Argomento sine iperbolico x |
| Tan (x) | Argomento tangente H. |
| Tanh (x) | Argomento tangente iperbolico x |
| log (x) | Logaritmo naturale x. |
| exp (x) | Espositore H. |
11. Funzioni per lavorare con matrici:
determinente - Trovare il determinante della matrice:
eigenValues \u200b\u200b- Trovare i tuoi valori di matrice:
invertire. - Ottenere una matrice inversa:
minore - Definisce la matrice minore. Il primo argomento è la matrice, il secondo e
indici e colonne di terza linea, rispettivamente:
rango. - Classifica matrice:
sommatrix. - Restituisce la matrice ottenuta dalla rimozione iniziale
righe corrispondenti e colonne (o). Seguito come parametri
le camere delle righe rimovibili, la matrice originale, il numero delle colonne viene rimosso.
trasporre. - Trasposizione della matrice:
Nel sistema MAXIMA, i principali operatori eseguibili che si trovano in qualsiasi linguaggio di programmazione sono posati. Considerali.
Operatori di assegnazione (espressioni di denominazione).
1. Operatore ":" (Impostare il valore del valore della variabile).
2. L'operatore ": \u003d" (operatore funzione utente).
3. Varianti di scarico degli operatori di assegnazione e impostazione della funzione, rispettivamente, da :: e :: \u003d.
L'utilizzo della funzione dell'operatore della funzione dell'utente rende più facile lavorare con esso, perché può essere accessibile per nome e calcolare facilmente e comodamente i valori della funzione ai punti specificati.
Esempio: trova il valore della funzione F. (x, y.) \u003d Cosx + peccato y. Al punto
Operatore ciclo.L'operatore del ciclo può essere impostato in diversi modi. Il metodo di impostazione dipende dal fatto che sia noto in anticipo quante volte è necessario eseguire il corpo del ciclo.
Esempio: impostazione di un ciclo per emettere valori variabili ma nell'intervallo da -3 a 10 in incrementi di 5:
La prossima Possibilità importante del sistema MAXIMA è lavora con liste e array.
Il comando Makeelist viene utilizzato per generare elenchi. Ad esempio, usando il comando
abbiamo formato una lista con il nome X, composto da dieci elementi, i cui valori sono nella formula.
Il comando dell'array viene utilizzato per generare array. Ad esempio, con l'aiuto del comando,
abbiamo formato un array bidimensionale A, composto da 10 linee e 5 colonne. Per riempire l'array per elementi, usiamo il ciclo con il parametro. Per esempio,
Per visualizzare gli elementi dell'array sullo schermo, è possibile utilizzare il comando:
Un array può essere formato senza preavviso. Nell'esempio seguente, abbiamo formato un array unidimensionale X, costituito da 5 elementi, i cui valori sono calcolati dalla formula X ( iO.) \u003d Peccato. iO.
L'inconveniente di lavorare con gli array è che l'output dei valori degli elementi dell'array viene eseguita nella colonna. È molto più conveniente se i valori dell'array (bidimensionale) vengono visualizzati sotto forma di una matrice. Per questi scopi, è possibile utilizzare il comando Genmatrix. Ad esempio, per formare un array bidimensionale (matrice), è necessario specificare il comando come segue:
Ritirare l'array risultante:
6. Le semplici trasformazioni delle espressioni.
Per impostazione predefinita, il sistema MAXIMA è la funzione ACTIVE Auto-Project, I.e. Il sistema cerca di semplificare l'espressione inserita stessa senza squadra.
Esempio. Lascia che sia richiesto di trovare il valore della prossima espressione numerica:
Desideriamo l'espressione in base alle regole del sistema MAXIMA.
Come puoi vedere, il sistema ha risposto al valore dell'espressione, anche se non abbiamo chiesto a nessuna squadra.
Come rendere il sistema non portare il risultato, ma l'espressione stessa? Per fare ciò, la funzione di semplificazione deve essere disabilitata utilizzando il comando SIMP: false $. Quindi otteniamo:
Per attivare la funzione di semplificazione, è necessario impostare il comando SIMP: True $. La funzione di recupero automatico può funzionare sia con numerico che con espressioni non numeriche. Per esempio,
Quando entri, possiamo contattare una qualsiasi delle cellule precedenti con il suo nome, sostituendolo in qualsiasi espressione. Inoltre, l'ultima cella dell'output è indicata dalla% e l'ultima cella di ingresso è tramite _. Ciò consente di rivolgersi all'ultimo risultato, senza distrarre qual è il suo numero. Ma tali ricorsi alle cellule non devono essere abusati, perché durante il sovrastima dell'intero documento o delle sue singole celle di ingresso, possono verificarsi disaccordi tra i numeri cellulari.
Esempio. Trova il valore dell'espressione e aumenta il risultato ottenuto 5 volte.
Preferibilmente, invece dei nomi delle celle, utilizzare le variabili e assegnare i loro nomi a qualsiasi espressione. In questo caso, nella forma del valore della variabile può agire qualsiasi espressione matematica.
I nomi del valore vengono salvati in tutto il lavoro con il documento. Richiamare che se è necessario rimuovere la definizione dalla variabile, questo può essere fatto usando la funzione Kill (Name), in cui il nome è il nome dell'espressione che viene distrutta; Inoltre, può essere sia il nome assegnato a te e qualsiasi input o cella di output. Allo stesso modo, è possibile cancellare tutta la memoria e rilasciare tutti i nomi inserendo il comando Kill (ALL) (o selezionare il menu Mahta-\u003e pulire la memoria (Cancella memoria)). In questo caso, tutte le cellule I / O vengono pulite e la loro numerazione ricomincerà dall'unità.
La funzione di recupero automatico non è sempre in grado di semplificare l'espressione. Inoltre, c'è un numero di team progettati per funzionare con espressioni: razionale e irrazionale. Considera alcuni di loro.
ratto (espressione) - converte un'espressione razionale in forma canonica: rivela tutte le parentesi, quindi porta tutto a un denominatore comune, riassume e riduce; Certifica tutti i numeri nell'ultimo record decimale a razionale. La forma canonica viene automaticamente "cancellata" in caso di trasformazioni che non sono razionali
ratSemp (espressione) - semplifica l'espressione a causa di trasformazioni razionali. Compreso "Deep in", cioè, le parti irrazionali dell'espressione non sono considerate atomiche, ma semplificate, compresi tutti gli elementi razionali all'interno di loro
fullratsimp (espressione) è una funzione di semplificare l'espressione razionale mediante il metodo di utilizzo seriale all'espressione trasmessa della funzione RatSemp (). A causa di ciò, la funzione funziona leggermente più del ratto (), ma dà un risultato più affidabile.
espandi (espressione) - rivela parentesi in espressione a tutti i livelli di nidificazione. A differenza della funzione TAYXPAND (), non conduce i componenti delle frazioni al denominatore generale.
radcan (espressione) è una funzione di semplificare le funzioni logaritmiche, esponenziali e potenza con indicatori razionali non target, cioè radici (radicali).
Spesso, solo la sua complicazione può verificarsi quando si tenta di semplificare l'espressione in Maxima. Un aumento del risultato può verificarsi dovuto al fatto che non è noto quali valori possono prendere variabili incluse nell'espressione. Per evitare ciò, è necessario essere limitati ai valori che la variabile può ricevere. Questo viene fatto usando la funzione Assutudine. Pertanto, in alcuni casi, il miglior risultato può essere ottenuto combinando Radcan () con RatSemp () o Fullratsimp ().
Soggetto: Sistema di comando, calcoli in massima.
Scopo: Continua la conoscenza con il programma MAXIMA, per conoscere il sistema di comando MAXIMA; sviluppare memoria, attenzione; educare la cultura delle informazioni.
Durante le classi:
Principio organizzativo:
Saluto.
Lavora con il dovere.
Inizio della formazione repertiva.
Lavoro individuale sulle carte.
Numero della carta 1.
Il concetto di un sistema di calcolo matematico.
Caratteristiche del sistema di calcoli matematici.
Numero della carta 2.
Il concetto di algebra del computer.
Caratteristiche del computer algebra.
Sondaggio individuale orale.
Concetto di Maxima. Caratteristiche. Avvio di un programma.
Interfaccia Maxima.
Lavorare sulla comprensione e l'apprendimento del nuovo materiale.
Annuncio dell'argomento e degli obiettivi della lezione.
Studiando un nuovo materiale.
Inserisci i team più semplici in wxmaxima
Dopo aver iniziato il wxmaxima, viene visualizzata una finestra del programma.
la parte grafica superiore della finestra di interfaccia massima afferma che la versione 5.14.0 viene caricata, che si applica alla licenza GNU, da quale sito è disponibile e chi è il suo genitore. Nella finestra inferiore nel campo Enter: Maxima preparato per percepire i comandi. Il separatore di comando è un simbolo; (punto e virgola). Dopo aver inserito il comando, è necessario premere il tasto Invio per elaborarlo e inuscitare il risultato.
Nelle versioni precedenti di Maxima e alcune delle sue conchiglie (ad esempio Xmaxima), e nella versione console, la presenza di un punto virgola dopo ogni comando è strettamente necessario. Pertanto, ti consigliamo vivamente quando si utilizza Maxim
non dimenticare di aggiungere un punto virgola; Dopo ogni squadra. Nel caso in cui l'espressione dovrebbe essere visualizzata, e non calcolare, è necessario inserire un segno (") (preventivo singolo). Ma questo metodo non funziona quando l'espressione è un valore esplicito,
ad esempio, l'espressione peccato (π) di Maxim ritiene che zero e in presenza di un apostrofo. È difficile fornire una varietà di possibili opzioni per l'utilizzo di Maxim per calcolare o convertire le espressioni. In casi difficili, puoi provare a ottenere un certificato in inglese. Chiamare l'aiuto abbastanza nel campo Enter da scrivere? E premere INVIO.
Designazione di comandi e risultati dei calcoli
Dopo aver inserito ciascun comando, viene assegnato il numero di sequenza. Nella figura seguente, i comandi inseriti hanno numeri 1-3 e sono riferiti a (% I1), (% I2), (% I3). I risultati dei calcoli sono rispettivamente il numero di sequenza (% O1), (% O2), ecc. Dove "I" è una riduzione dall'inglese. Input (input) e "o" - inglese. Uscita (uscita)
Questo meccanismo consente un'ulteriore registrazione dei comandi per fare riferimento a registrare in precedenza registrato, ad esempio (% I1) + (% I2) si intende aggiungendo all'espressione del primo comando di espressione con il successivo calcolo del risultato. È inoltre possibile utilizzare il numero di risultati di calcolo, ad esempio, quindi (% O1) * (% O2).
Per l'ultimo comando, Maxima ha una designazione speciale -%.
Esempio: calcolare il valore della funzione derivativa
al punto x \u003d 1.
La squadra (% I9) è stata eseguita e il risultato è stato ottenuto (% O9). Pertanto, il seguente comando (% I10) ha fatto riferimento al risultato risultante, ma ha chiarito il valore della variabile X, quindi il team è stato ottenuto (% I10) (% O9), x \u003d 1.
Immissione di informazioni numeriche
Le regole per entrare in numeri in Maxima sono esattamente come per molti altri programmi simili. La parte intera e frazionaria delle frazioni decimali è separata da un simbolo del punto. Prima che i numeri negativi siano un segno meno.
Il numeratore e il denominatore di frazioni ordinarie è diviso utilizzando un simbolo / (barra retta).
Si noti che se, come risultato dell'operazione, si ottiene una certa espressione del carattere, ed è necessario ottenere un valore numerico specifico sotto forma di una frazione decimale, l'applicazione dell'operatore numerico risolverà questa attività. In particolare, ti consente di passare dalle normali frazioni a decimale
Qui Maxima prima di tutto funzionava il valore predefinito. Ha piegato la frazione 3/7 e 5/3 in base alle regole dell'aritmetica accuratamente: ha trovato un denominatore comune, ha portato la frazione per un denominatore comune e piegato i numeri. Alla fine ha ottenuto
44/21. Solo dopo che la abbiamo chiesto di ottenere una risposta numerica, ha portato un approssimativo, con una precisione di 16 caratteri Risposta numerica 2,095238095238095.
Costanti
A Maxima, ci sono un certo numero di costanti integrate per comodità del calcolo, le più comuni sono mostrate nella seguente tabella (Tabella 1):
Operazioni aritmetiche
Le designazioni delle operazioni aritmetiche in Maxima non sono diverse dalla presentazione classica, vengono utilizzati segni matematici: + - * /.
La mostra può essere indicata in tre modi: ^, ^^, **. Rimozione del grado di radice N è registrato come il grado ^^ (1 / N). Richiama un altro funzionamento operativo di Maxima incorporato - il fatto del numero fattoriario. Questa operazione è indicata dall'esclamazione
Ad esempio, 6! \u003d 1⋅ 2⋅ 3⋅ 4⋅ 5⋅ 6 \u003d 120.
Per aumentare la priorità dell'operazione, come in matematica, quando si registrano i comandi per le parentesi di Maxima utilizzano ().
Variabili
Le variabili si applicano alla memorizzazione dei risultati dei calcoli intermedi. Si noti che quando si immette i nomi delle variabili, delle funzioni e delle costanti, un registro delle lettere è importante, quindi variabili X e X sono due diverse variabili.
L'assegnazione di un valore variabile viene eseguito utilizzando un simbolo: (colon), ad esempio X: 5;.
Se è necessario rimuovere il valore della variabile (pulire), viene utilizzato il metodo Kill:
uccidere (x) - rimuovere il valore della variabile X;
kill (ALL) - Elimina i valori di tutte le variabili precedentemente utilizzate.
E inoltre, il metodo Kill inizia una nuova numerazione per comandi eseguibili (si noti che la risposta al comando (% I 3), quanto sopra, si è rivelato una risposta al numero zero (% o 0) fatto, e quindi La numerazione dei comandi è proseguita da uno).
Funzioni matematiche
Maxima ha un insieme abbastanza grande di funzioni matematiche integrate. Ecco alcuni di loro (Tabella 2). Va tenuto presente che alcuni nomi delle caratteristiche differiscono dai nomi utilizzati nella letteratura interna: invece di TG - Tan, anziché ctg - culla, invece di ARCSIN - ASIN, invece di Arcos - ACOS invece di Arctg - Atan, anziché ARCCTG - ACOT, invece di ln - log, invece di COSEC - CSC.
Funzioni di registrazione delle regole
Per scrivere una funzione, è necessario specificare il suo nome, quindi, tra parentesi, scrivere attraverso la virgola degli argomenti. Se il valore dell'argomento è l'elenco, consiste in parentesi quadre e gli elementi dell'elenco sono anche separati da virgole.
integrazione (Sin (X), X, -5,5); Plot2D (,,);
Funzioni personalizzate
L'utente può specificare le proprie funzioni. Per fare ciò, indica innanzitutto il nome della funzione, i nomi degli argomenti sono elencati tra parentesi, dopo i segni: \u003d (colon e uguale) segue la funzione. Dopo l'attività, la funzione utente viene chiamata esattamente così come le funzioni massime incorporate.
Traduzione di espressioni complesse nella forma lineare
Una delle lezioni più difficili per gli utenti dei principianti del sistema MAXIMA è la registrazione di espressioni complesse contenenti gradi, frazioni e altri disegni, in forma lineare (nella forma del testo di registrazione, utilizzando caratteri ASCII, in una riga).
Per facilitare questo processo, è noto dare diverse raccomandazioni:
1. Non dimenticare di mettere un segno di moltiplicazione! Nella finestra grafica massima, in base alle regole matematiche, il valore due volte della variabile X è scritto come 2x, ma nella finestra ENTER: il comando per Maxima dovrebbe assomigliare a 2 * x.
2. In caso di dubbio, è sempre meglio mettere "extra", parentesi aggiuntive (). Il numeratore e l'espressione denominatore devono sempre entrare in parentesi.
E anche, quando viene sollevato, la base e il grado è meglio prendere sempre parentesi.
3. La funzione non esiste separatamente dai suoi argomenti (se presenti). Pertanto, ad esempio, quando viene eretto in una laurea, è possibile assumere l'intera funzione con argomenti tra parentesi, quindi costruire il design risultante nel grado desiderato: (Sin (X)) ** 2.
Ricordare inoltre che diversi argomenti di funzione sono scritti tra parentesi, attraverso virgole, ad esempio, min (x1, x2, x3, xn);
5. Registrazione non valida della funzione SIN (2 * X) come sin * 2 * x o sin2x.
6. Nel caso di registrazione di un'espressione complessa, scorrendolo in diversi componenti semplici, immettereli separatamente, quindi combina utilizzando i comandi precedentemente discussi.
Esempio: è necessario inserire la seguente espressione:
Dividiamo questa espressione in tre componenti: numeratore, espressione tra parentesi e laurea. Scriviamo ogni parte composita e li combiniamo nell'espressione.
Maxima semplificherà l'espressione
ratto (espressione). converte un'espressione razionale in forma canonica. Quella
esiste tutte le parentesi, quindi porta tutto a un denominatore comune, riassume e riduce; Inoltre, conduce tutti i numeri nell'ultimo record decimale a razionale.
Compito per la casa:
Stakhin n.a., da 10-18, estratto di riferimento.
L'esito della lezione.
Qual è il programma Maxima?
Elenca gli elementi principali dell'interfaccia del programma MAXIMA.
Elenca i principali comandi di Maxima.
wxmaxima è un programma che è una delle opzioni per l'incarnazione grafica del sistema di algebra del computer MAXIMA. Questo sistema può funzionare con espressioni numeriche e simboliche ed è completamente gratuita per l'uso, anche per scopi commerciali. Il beneficio di base di questa soluzione per gli utenti ordinari è che aiuta nella costruzione e risolvere formule e equazioni matematiche. Inoltre, WXMaxima esegue una serie di altre utili operazioni matematiche: integrazione, differenziazione, trasformazione della lapta, costruzione di righe e vettori numerici, che lavora con matrici e molto altro.
Il programma eccellente "comprende" la frazione, un numero punto di galleggiamento e contiene un grande strumento "arsenale" per l'informatica analitica. L'interfaccia wxmaxima è più comune e russificata. Consiste in un pannello di lavoro e strumenti che possono essere utilizzati per costruire espressioni, grafici, elenchi, tensori e simili. Incluso con Wxmaxima troverai tutte le necessarie documentazione e materiali di riferimento (parzialmente tradotti), che contribuiranno a gestire le funzionalità di questa soluzione software.
Caratteristiche e funzioni chiave
- rappresenta un guscio grafico molto conveniente del computer algebra maxima;
- serve a costruire e calcolare espressioni simboliche e numeriche;
- lavora con matrici, vettori, equazioni, tensori, grafici;
- produce operazioni di differenziazione, integrazione, trasformazione di laplace, decomposizione di una riga e così via;
- accompagnato da documentazione dettagliata.
Operazioni di analisi matematica
Quantità
Per trovare l'importo, la funzione della somma è intesa. Caratteristiche della sintassi:
Sum (espressione, variabile, variabile limite inferiore, limite di variabile limite superiore)
Per esempio:
Se si assegna il valore della variabile di sistema di infinito positivo "INF" all'ultimo argomento, questo sarà un segno della mancanza del limite superiore e verrà calcolato l'importo infinito. Inoltre, l'importo infinito verrà calcolato se il valore "Limite inferiore del cambiamento variabile" del valore della variabile del sistema infinità negativa "minf" assegnerà l'argomento. Questi stessi valori sono utilizzati in altre funzioni di analisi matematica.
Per esempio:
Lavoro
Per trovare le opere finali e infinite, utilizzare la funzione del prodotto. Ha gli stessi argomenti della funzione della somma.
Per esempio:
Limiti
Per trovare i limiti, utilizzare la funzione limite.
Caratteristiche della sintassi:
limite (espressione, variabile, punto di gap)
Se l'argomento "GAP Punto" assegna il valore "INF", questo sarà un segno della mancanza di confine.
Per esempio:
Per calcolare i limiti a senso unico, viene utilizzato un argomento aggiuntivo, che ha il valore di PLUS per calcolare i limiti a destra e meno a sinistra.
Ad esempio, eseguiremo la continuità della funzione ARCTG (1 / (x-4)). Questa funzione è incerta al punto x \u003d 4. Calcola i limiti a destra ea sinistra:
Come puoi vedere, il punto x \u003d 4 è un punto di rottura del primo tipo per questa funzione, dal momento che ci sono limiti a sinistra ea destra, che sono uguali a -pi / 2 e PI / 2, rispettivamente.
Differenziali
Per trovare differenziali, viene utilizzata la funzione diff. Caratteristiche della sintassi:
diff (espressione, variabile1, procedura per un derivato per una variabile1 [, variabile2, l'ordine del derivato per la variabile2, ...])
dove l'espressione è una funzione differenziata, il secondo argomento è una variabile in cui si deve prendere la derivata, il terzo (facoltativo) è l'ordine del derivato (per impostazione predefinita - il primo ordine).
Per esempio:
In generale, il primo argomento è obbligatorio per la funzione diff. In questo caso, la funzione restituisce l'espressione differenziale. Il differenziale della variabile corrispondente è denotato via del (nome della variabile):
Come puoi vedere dalla sintassi della funzione, l'utente ha la possibilità di determinare contemporaneamente diverse variabili di differenziazione e impostare l'ordine per ciascuno di essi:
Se si utilizza una funzione parametrica, il modulo di registrazione delle funzioni cambia: dopo il nome della funzione, i caratteri sono registrati ": \u003d", e l'appello alla funzione viene eseguito attraverso il suo nome con il parametro:
Il derivato può essere calcolato in un punto specificato. Questo è fatto così:
La funzione diff è anche utilizzata per designare derivati \u200b\u200bin equazioni differenziali, che stanno per essere discusse di seguito.
Integrali
Per trovare gli integrali nel sistema utilizza la funzione integrata. Per trovare un integrale indefinito nella funzione, vengono utilizzati due argomenti: il nome della funzione e della variabile a cui si verifica l'integrazione. Per esempio:
Nel caso di una risposta ambigua, Maxima può impostare una domanda aggiuntiva:
La risposta deve contenere testo dalla domanda. In questo caso, se il valore della variabile Y è maggiore di "0", sarà "positivo" (positivo), e altrimenti - negativo "negativo"). Allo stesso tempo, è consentita la prima lettera della parola.
Per trovare un integrale specifico nella funzione, è necessario specificare ulteriori argomenti: i limiti integrali:
Maxima consente compiti e limiti di integrazione infiniti. Per questo, i valori "-inf" e "inf" vengono utilizzati per la terza e quarta funzione Argomenti:
Per trovare un valore integrale approssimativo in una forma numerica, come notato in precedenza, è necessario selezionare il risultato nella cella di output, chiamarlo il menu di scelta rapida e selezionare la voce "per galleggiare" da esso (converti in un punto flottante).
Il sistema è in grado di calcolare più integrali. Per questo, la funzione integratore è investita l'una nell'altra. Di seguito sono riportati esempi di calcolare un doppio integrale indefinito e un integrale doppio specifico:
Soluzioni di equazioni differenziali
In termini di capacità in termini di risoluzione di equazioni differenziali, Maxima è significativamente inferiore, ad esempio, acero. Ma Maxima ci consente comunque di risolvere le normali equazioni differenziali del primo e del secondo ordine, così come i loro sistemi. Per fare ciò, a seconda dello scopo - utilizzare due funzioni. Per una soluzione generale di equazioni differenziali convenzionali, viene utilizzata la funzione ODE2 e per trovare soluzioni di equazioni o sistemi di equazioni mediante condizioni iniziali - la funzione Dosove.
La funzione ODE2 ha una tale sintassi:
ode2 (equazione, variabile dipendente, variabile indipendente);
Per fare riferimento a derivati \u200b\u200bin equazioni differenziali, viene utilizzata la funzione diff. Ma in questo caso, per visualizzare la dipendenza della funzione dal suo argomento, è scritto nel modulo "diff (f (x x), x), e la funzione stessa è f (x).
Esempio. Trova la soluzione generale della solita equazione differenziale del primo ordine Y "- AX \u003d 0.
Se il valore della parte destra dell'equazione è zero, può essere omesso affatto. Naturalmente, il lato destro dell'equazione può contenere un'espressione.
Come possiamo vedere, durante la soluzione di equazioni differenziali, Maxima utilizza una costante integrazione di% C, che in termini di matematica è una costante arbitraria determinata da condizioni aggiuntive.
La soluzione della solita equazione differenziale può essere eseguita a un'altra, più semplice per l'utente, nel modo. Per fare ciò, eseguire il comando dell'equazione\u003e Risolvi ODE (risolvere l'equazione differenziale abituale) e immettere gli argomenti della funzione ODE2 nella finestra "SOLVE ODU".
Maxima ti consente di risolvere equazioni differenziali del secondo ordine. Questo usa anche la funzione ODE2. Per designare derivati \u200b\u200bnelle equazioni differenziali, la funzione diff viene utilizzata in cui viene aggiunto un altro argomento - l'ordine dell'equazione: "diff (F (x), x, 2). Ad esempio, la soluzione della solita equazione differenziale del Secondo ordine A · Y "" + B · Y "\u003d 0 Guarderà:
Insieme alla funzione ODE2, è possibile utilizzare tre funzioni, l'uso del quale consente di trovare una soluzione in base a determinate restrizioni sulla base di una soluzione generale di equazioni differenziali ottenute dalla funzione ODE2:
- iC1 (il risultato della funzione ODE2, il valore iniziale di una variabile indipendente nel modulo x \u003d x 0, il valore della funzione sul punto x 0 nel modulo y \u003d y 0). Progettato per risolvere un'equazione differenziale del primo ordine con le condizioni iniziali.
- iC2 (il risultato della funzione ODE2, il valore iniziale di una variabile indipendente nel modulo X \u003d x 0, il valore della funzione nel punto x 0 nel modulo Y \u003d y 0, il valore iniziale per il primo derivato di La variabile dipendente rispetto alla variabile indipendente nel modulo (y, x) \u003d dy 0). Progettato per risolvere l'equazione differenziale del secondo ordine con le condizioni iniziali
- bC2 (il risultato della funzione ODE2, il valore iniziale di una variabile indipendente nel modulo x \u003d x 0, il valore della funzione nel punto x 0 nel modulo Y \u003d y 0, il valore finale di una variabile indipendente in Il modulo X \u003d Xn, il valore della funzione sul punto xn nel modulo y \u003d yn). Progettato per risolvere il problema del valore limite per l'equazione differenziale del secondo ordine.
I dettagli con la sintassi di queste funzioni sono disponibili nella documentazione per il sistema.
Eseguire una soluzione al problema di Cauchy per la prima equazione Y "- AX \u003d 0 con la condizione iniziale Y (N) \u003d 1.
Diamo un esempio di risolvere un problema del valore limite per un'equazione differenziale del secondo ordine Y "" + y \u003d x con le condizioni iniziali Y (O) \u003d 0; y (4) \u003d 1.
Va tenuto presente che molto spesso il sistema non può risolvere equazioni differenziali. Ad esempio, quando si tenta di trovare una soluzione generale della solita equazione differenziale del primo ordine, otteniamo:
In tali casi, Maxima o fornisce un messaggio di errore (come in questo esempio) o semplicemente restituisce il valore "falso".
Un'altra opzione per risolvere le normali equazioni differenziali del primo e del secondo ordine è progettato per cercare soluzioni con condizioni iniziali. È implementato utilizzando la funzione Dosove.
Caratteristiche della sintassi:
desolve (equazione differenziale, variabile);
Se un sistema di equazioni differenziali è risolto o ci sono diverse variabili, l'equazione e / o le variabili sono inviate come elenco:
desolve ([Elenco delle equazioni], [variabile1, variabile2, ...]);
Oltre alla versione precedente, la funzione diff viene utilizzata per designare derivati \u200b\u200bin equazioni differenziali, che ha il modulo "diff (F (x), x).
I valori iniziali per la variabile sono forniti dalla funzione ATValue. Questa funzione ha una tale sintassi:
attualmente (funzione, variabile \u003d punto, valore al punto);
In questo caso, è previsto che i valori delle funzioni e (o) dei loro derivati \u200b\u200bsiano impostati per zero, poiché la sintassi della funzione attualmente ha il modulo:
aTVALUE (funzione, variabile \u003d 0, valore al punto "0");
Esempio. Trova la soluzione dell'equazione differenziale del primo ordine Y "\u003d Sin (X) con la condizione iniziale.
Si noti che in assenza della condizione iniziale, la funzione funzionerà e distribuirà anche il risultato:
Ciò consente di verificare la soluzione per un valore iniziale specifico. Infatti, sostituendo il valore di Y (0) \u003d 4 al risultato, solo otteniamo Y (x) \u003d 5 - cos (x).
La funzione Dosove consente di risolvere il sistema di equazioni differenziali con condizioni iniziali.
Diamo un esempio di risolvere il sistema di equazioni differenziali 
con le condizioni iniziali y (0) \u003d 0; z (0) \u003d 1.
Elaborazione dati
analisi statistica
Il sistema consente di calcolare le principali statistiche descrittive statistiche con le quali vengono descritte le proprietà più comuni dei dati empirici. Le principali statistiche descrittive includono la deviazione media, dispersione, deviazione standard, mediana, moda, valore massimo e minimo, variazione e variazione di quartile. Le possibilità di Maxima in questo senso sono in qualche modo modeste, ma la maggior parte di queste statistiche con il suo aiuto per calcolare semplicemente semplicemente.
Il modo più semplice per calcolare statistiche descrittive statistiche è l'uso della tavolozza "Statistiche" (statistiche).
Il pannello contiene un numero di strumenti raggruppati in quattro gruppi.
- Indicatori statistici (statistiche descrittive):
- media (aritmetica media);
- mediana (mediana);
- varianza (dispersione);
- deviazione (deviazione quadratica secondaria).
- Test.
- Costruire cinque tipi di grafica:
- istogramma (istogramma). Utilizzato principalmente nelle statistiche per l'immagine della serie di distribuzione dell'intervallo. Durante la sua costruzione lungo l'asse ordinato, le parti o le frequenze sono depositate, e sull'asse Ascissa - i valori dei segni;
- diagramma di dispersione (diagramma di correlazione, campo di correlazione, grafico a dispersione) - Programma per punti quando i punti non sono collegati. Utilizzato per visualizzare i dati per due variabili, uno dei quali è un fattore e l'altro è efficace. Con il suo aiuto, viene eseguita una rappresentazione grafica di coppie di dati nella forma di un insieme di punti ("nuvole") sul piano di coordinate;
- diagramma del nastro (grafico a barre) - grafico sotto forma di colonne verticali;
- settoriale o circolare, diagramma (grafico a torta). Tale diagramma è diviso in diversi settori segmenti, l'area di ciascuno dei quali è proporzionale alla loro parte;
- diagramma della scatola (scatola con baffi, cofanetto con baffi, trama della scatola, diagramma di scatola-e-whisker). È precisamente utilizzato più spesso per l'immagine dei dati statistici. Le informazioni di questo grafico sono molto istruttive e utili. Mostra simultaneamente diverse quantità che caratterizzano la serie variazionale: valore minimo e massimo, mezzo e mediano, primo e terzo quartile.
- Strumenti per leggere o creare una matrice. Per utilizzare gli strumenti della tavolozza, è necessario disporre di dati iniziali sotto forma di una matrice - un array unidimensionale. Può essere creato nel documento con la sessione corrente e per sostituire ulteriormente il suo nome come dati di input nelle finestre dell'utensile della tavolozza in analogo alla soluzione delle equazioni utilizzando il Pannello Azione Matematica Generale (General Math). È possibile e impostare direttamente i dati nelle finestre di dati di input. In questo caso, vengono introdotti nel sistema adottato nel sistema, cioè in parentesi quadre e attraverso virgole. È chiaro che la prima opzione è significativamente migliore perché richiede solo un'introduzione di dati una tantum.
Oltre al pannello, tutti gli strumenti statistici possono essere utilizzati anche utilizzando funzioni appropriate.
Maxima Pacchetto matematico - una delle migliori sostituzioni gratuite di Matkada.
Questo manuale di formazione (in formato PDF) può essere utilizzato nel quadro delle discipline Analisi matematica, delle equazioni differenziali, dei pacchetti di applicazione, ecc. In diverse specialità in istituti di istruzione professionale più elevati, se lo standard educativo di stato prevede lo studio della sezione "differenziale Equazioni ", così come nei corsi di scelta. Può anche essere utile per la conoscenza dei sistemi di matematica informatica nelle classi di profili di istituti di istruzione generale con uno studio approfondito della matematica e della scienza informatica.
- Prefazione
- Capitolo 1. Fondamenti di lavoro in computer Mathematics Maxima
- 1.1. Informazioni su Maxima System.
- 1.2. Installazione di Maxima sul personal computer
- 1.3. Maxima Interfaccia della finestra principale
- 1.4. Lavorare con le cellule in Maxima
- 1.5. Lavora con il sistema di riferimento Maxima
- 1.6. Funzioni massime e funzioni di squadra
- 1.7. Gestisci il processo di elaborazione a Maxima
- 1.8. Trasformazioni più semplici di espressioni
- 1.9. Soluzione di equazioni algebriche e dei loro sistemi
- 1.10. Caratteristiche grafiche
- Capitolo 2. Metodi numerici per risolvere equazioni differenziali
- 2.1. Informazioni generali sulle equazioni differenziali
- 2.2. Metodi numerici per risolvere il problema di Cauchy per un'equazione differenziale ordinaria del primo ordine
- 2.2.1. Metodo Eulero
- 2.2.2. Metodo Eulero-Cauchy
- 2.2.3. Procedura di runge-kutta 4
- 2.3. Decisione dei problemi del valore limite per le equazioni differenziali ordinarie mediante il metodo delle differenze finite
- 2.4. Metodo metodo per risolvere equazioni differenziali in derivati \u200b\u200bprivati
- Capitolo 3. Trovare soluzioni di equazioni differenziali nel sistema MAXIMA
- 3.1. Funzioni integrate per trovare soluzioni di equazioni differenziali
- 3.2. Risolvere equazioni differenziali e i loro sistemi simbolici
- 3.3. Costruire traiettorie e campi di direzione delle equazioni differenziali.
- 3.4. Attuazione di metodi numerici per risolvere il problema di Cauchy per le equazioni differenziali ordinarie
- 3.4.1. Metodo Eulero
- 3.4.2. Metodo Eulero-Cauchy
- 3.4.3. Runge cuta.
- 3.5. Attuazione di un metodo di differenza finita per risolvere un problema del valore limite per le normali equazioni differenziali
- 3.6. Attuazione dei metodi di griglie per equazioni differenziali in derivati \u200b\u200bprivati
- Compiti per auto-decisioni
- Letteratura
Prefazione
La teoria delle equazioni differenziali è una delle sezioni più grandi della matematica moderna. Una delle caratteristiche principali delle equazioni differenziali è il collegamento diretto tra la teoria delle equazioni differenziali con le applicazioni. Studiando qualsiasi fenomeno fisico, il ricercatore, prima di tutto, crea la sua idealizzazione matematica o un modello matematico, registra le leggi di base che controllano questo fenomeno in forma matematica. Molto spesso, queste leggi possono essere espresse sotto forma di equazioni differenziali. Si tratta di modelli di vari fenomeni di meccanica di un mezzo continuo, reazioni chimiche, fenomeni elettrici e magnetici, ecc. Esplorando le equazioni differenziali risultanti insieme a condizioni aggiuntive, che, di regola, sono specificate sotto forma di condizioni iniziali e confine, Il matematico riceve informazioni sul verificarsi del fenomeno, a volte scopre il suo passato e il futuro.
Per compilare un modello matematico sotto forma di equazioni differenziali, è solitamente necessario conoscere solo i legami locali e non ha bisogno di informazioni sul fenomeno fisico nel suo complesso. Il modello matematico consente di studiare il fenomeno nel suo complesso, per prevedere il suo sviluppo, per rendere le stime qualitative delle misurazioni che si verificano nel tempo. Sulla base dell'analisi delle equazioni differenziali, sono state aperte onde elettromagnetiche.
Si può dire che la necessità di risolvere equazioni differenziali per le esigenze della meccanica, cioè, per trovare le traiettorie dei movimenti, a sua volta, sembrava creare il nuovo calcolo di Newton. Attraverso equazioni differenziali ordinarie, le applicazioni hanno ricevuto un nuovo calcolo ai compiti della geometria e della meccanica.
Dato lo sviluppo moderno delle apparecchiature per computer e lo sviluppo intensivo di una nuova direzione - Matematica informatica - ha acquisito complessi diffusi e richiesti di programmi, chiamati sistemi di matematica informatica.
La matematica del computer è una nuova direzione nella scienza e nell'educazione, che è sorto all'incrocio di matematica fondamentale, informazione e tecnologia informatica. Computer Mathematics System (SCM) è un programma di programmi che fornisce un trattamento automatizzato, tecnologicamente unificato e chiuso di problemi di matematica quando si specifica la condizione su un linguaggio appositamente stabilito.
I moderni sistemi di matematica informatica sono programmi con un'interfaccia grafica multi-digitale, un sistema di guida sviluppato, che facilita il loro sviluppo e l'uso. Le principali tendenze nello sviluppo di SCM sono la crescita delle capacità matematiche, in particolare nel campo dei calcoli analitici e simbolici, una significativa espansione degli strumenti di visualizzazione per tutte le fasi dei calcoli, l'uso diffuso di grafica 2D e 3D, integrazione di vari sistemi Con l'altro e altri software, ampio accesso a Internet, organizzazione della collaborazione su progetti educativi e scientifici su Internet, l'uso di animazione e lavorazione delle immagini, strumenti multimediali, ecc.
Una circostanza essenziale, che, fino a poco tempo fa, ha impedito l'uso diffuso di SCM nell'educazione è l'alto costo del supporto matematico scientifico professionale. Tuttavia, molte aziende sviluppano e distribuendo tali programmi sono (tramite Internet - http://www.software.ru) per l'uso gratuito delle versioni precedenti dei suoi programmi, ampiamente utilizzare un sistema di sconti per le istituzioni educative, distribuire versioni demo o di prova GRATUITO. Programmi.
Inoltre, appaiono analoghi gratuiti dei sistemi di matematica informatica, come Maxima, Scilab, Octave, ecc.
In questo libro di testo, le funzionalità del sistema Maxima Computer Mathematics sono considerate per trovare soluzioni di equazioni differenziali.
Perché Maxima?
Innanzitutto, il sistema MAXIMA è un progetto open source non commerciale. Maxima si riferisce alla classe dei prodotti software che si applicano alla licenza GNU GPL (Licenza Public General).In secondo luogo, Maxima è un programma per risolvere compiti matematici in forma numerica e simbolica. Lo spettro delle sue capacità è molto ampio: le azioni per trasformare le espressioni, lavorare con parti di espressioni, risolvere i problemi di algebra lineare, analisi matematiche, combinatorici, teoria dei numeri, analisi del tensore, problemi statistici, costruendo grafici di funzioni sul piano e in spazio in vari sistemi di coordinate, ecc. D.
In terzo luogo, attualmente al sistema MAXIMA ha un'interfaccia grafica integrata, efficiente e "amichevole", che si chiama Wxmaxima (http://wxmaxima.sourceforge.net).
Per dieci anni, sistemi di matematica informatica come Mathematica, Acero, Mathcad sono stati studiati dagli autori del libro. Pertanto, conoscendo le possibilità di questi prodotti software, in particolare, per trovare soluzioni di equazioni differenziali, volevo esaminare la questione relativa all'organizzazione dei calcoli in forma simbolica nei sistemi di matematica informatica distribuiti liberamente.
Questo manuale racconta le possibilità di organizzare il processo di ricerca di soluzioni di equazioni differenziali in base al sistema MAXIMA, contiene informazioni generali sull'organizzazione del lavoro nel sistema.
Il manuale è composto da 3 capitoli. Il primo capitolo introduce i lettori con l'interfaccia grafica wxmaxima del sistema MAXIMA, le caratteristiche del lavoro in esso, la sintassi della lingua del sistema. Il sistema inizia con il punto in cui è possibile trovare una distribuzione del sistema e come installarlo. Il secondo capitolo discute le questioni generali della teoria delle equazioni differenziali, metodi numerici per risolverli.
Il terzo capitolo è dedicato alle funzioni integrate del sistema Maxima Computer Mathematics per trovare soluzioni di equazioni differenziali ordinarie 1 e 2 dell'ordine in forma simbolica. Anche nel terzo capitolo mostra l'implementazione di metodi numerici per la risoluzione delle equazioni differenziali nel sistema MAXIMA. Alla fine del manuale, vengono forniti compiti per una decisione indipendente.
Speriamo che il beneficio sarà interessato a una vasta gamma di utenti e diventerà il loro assistente nello sviluppo di un nuovo strumento per risolvere i compiti Mate Matic.
Cosiddetto Gubina, E.V. Andropov.
Elets, luglio 2009
P.S. Avvio veloce: per eseguire comandi E le funzioni in MWMaxima devono immettere immediatamente il comando stesso e quindi premere CRTL + INVIO.
