Test na temat funkcji kilku zmiennych. Test: Granica i ciągłość funkcji wielu zmiennych. Wydział: Wyższa Matematyka

Wydział: Wyższa Matematyka

abstrakcyjny

w dyscyplinie „Matematyka wyższa”

Temat: „Granica i ciągłość funkcji wielu zmiennych”

Togliatti, 2008

Wprowadzenie

Pojęcie funkcji jednej zmiennej nie obejmuje wszystkich zależności, które istnieją w przyrodzie. Nawet w najprostszych problemach istnieją wielkości, których wartości są określone przez kombinację wartości kilku wielkości.

Aby zbadać takie zależności, wprowadza się pojęcie funkcji kilku zmiennych.

Pojęcie funkcji wielu zmiennych

Definicja. Ilość u nazywana jest funkcją kilku niezależnych zmiennych ( x, y, z, …, t), jeśli każdy zestaw wartości tych zmiennych jest powiązany z określoną wartością wielkości u.

Jeśli zmienna jest funkcją dwóch zmiennych xi w, następnie oznaczamy zależność funkcjonalną

z= fa(x, y).

Symbol fa definiuje w tym miejscu zbiór działań lub regułę obliczania wartości z dla danej pary wartości xi w.

A więc dla funkcji z= x2 + 3xy

w x \u003d 1 i w \u003d 1 mamy z = 4,

w x \u003d 2 i w \u003d 3 mamy z = 22,

w x \u003d 4 i w \u003d 0 mamy z \u003d 16 itd.

Ilość ufunkcja trzech zmiennych x, y, z, jeśli dana jest reguła, jak dla danej potrójnej wartości x, y i z obliczyć odpowiednią wartość u:

u= fa(x, y, z).

Tutaj symbol fa definiuje zestaw działań lub regułę obliczania wartości uodpowiadające tym wartościom x, y i z.

A więc dla funkcji u= xy+ 2xz– 3yz

w x = 1, w \u003d 1 i z \u003d 1 mamy u= 0,

w x = 1, w \u003d -2 i z \u003d 3 mamy u= 22,

w x = 2, w \u003d -1 i z \u003d -2 mamy u= -16 itp.

Tak więc, jeśli na mocy jakiegoś prawa każdego zbioru p. liczby ( x, y, z, …, t) z jakiegoś zestawu miprzypisuje określoną wartość do zmiennej u, następnie u nazywana funkcją p. zmienne x, y, z, …, tzdefiniowane na planie mii oznaczono

u= fa(x, y, z, …, t).

Zmienne x, y, z, …, t nazywane są argumentami funkcji, czyli zestawem mi - zakres funkcji.

Określona wartość funkcji jest w pewnym momencie wartością funkcji M0(x0, y0, z0, …, t0) i jest oznaczony fa (M0) = fa (x0, y0, z0, …, t0).

Dziedziną funkcji jest zbiór wszystkich wartości argumentów, które odpowiadają jakimkolwiek faktycznym wartościom funkcji.

Funkcja dwóch zmiennych z= fa(x, y) w przestrzeni jest reprezentowana przez określoną powierzchnię. To znaczy, gdy punkt ze współrzędnymi x, w przebiega przez całą dziedzinę funkcji znajdującej się w płaszczyźnie hoy, odpowiadający mu punkt przestrzenny, ogólnie mówiąc, opisuje powierzchnię.

Funkcja trzech zmiennych u= fa(x, y, z) rozpatrywane jako funkcja punktu pewnego zbioru punktów w przestrzeni trójwymiarowej. Podobnie funkcja p. zmienne u= fa(x, y, z, …, t) jest uważana za funkcję jakiegoś punktu p.-przestrzeń wymiarowa.

Granica funkcji wielu zmiennych

Aby podać pojęcie granicy funkcji kilku zmiennych, ograniczymy się do przypadku dwóch zmiennych x i w... Z definicji funkcja fa(x, y) ma limit w punkcie ( x0, w0) równa liczbie Ioznaczony następująco:

(Napisz więcej fa(x, y) →Iw (x, y) → (x, w)), jeśli jest zdefiniowany w jakimś sąsiedztwie punktu ( x, w), z możliwym wyjątkiem samego tego punktu i jeśli istnieje limit

niezależnie od tendencji do ( x, w) ciąg punktów ( xk, yk).

Podobnie jak w przypadku funkcji jednej zmiennej, można wprowadzić inną równoważną definicję granicy funkcji dwóch zmiennych: funkcję fama w punkcie ( x, w) limit równy Ijeśli jest zdefiniowany w jakimś sąsiedztwie punktu ( x, w) z wyjątkiem, być może, samego tego punktu, a dla każdego ε\u003e 0 istnieje δ\u003e 0 takie, że

| fa(x, y) – ZA| < ε(3)

dla wszystkich (x, y)

0 < />< δ. (4)

Ta definicja z kolei jest równoważna z następującą: dla każdego ε\u003e 0 istnieje δ-sąsiedztwo punktu ( x, w) takie, że dla wszystkich ( x, y) z tej okolicy, inne niż ( x, w) zachodzi nierówność (3).

PODZIAŁ STRONY--

Ponieważ współrzędne dowolnego punktu ( x, y) sąsiedztwo punktu ( x, w) można zapisać jako x \u003d x+ Δ x, y \u003d y+ Δ w, to równość (1) jest równoważna następującej równości:

Rozważmy jakąś funkcję zdefiniowaną w sąsiedztwie punktu ( x, w), z wyjątkiem być może samego tego punktu.

Niech ω \u003d (ω x, ω w) Jest dowolnym wektorem o długości jeden (| ω | 2 \u003d ω x2+ ω w2 \u003d 1) i t\u003e 0 jest skalarem. Punkty widokowe

(x0+ tω x, y0+ tω w) (0 < t)

tworzą promień wychodzący z ( x0, w0) w kierunku wektora ω. Dla każdego ω możemy rozważyć funkcję

fa(x0+ tω x, y0+ tω w) (0 < t< δ)

ze zmiennej skalarnej t, gdzie δ jest dostatecznie małą liczbą.

Granica tej funkcji (jedna zmienna t)

/> fa(x+ tω x, y+ tω w),

faw punkcie ( x, w) w kierunku ω.

Przykład 1.Funkcje

zdefiniowane na płaszczyźnie ( x, y) z wyjątkiem punktu x= 0, w\u003d 0. Mamy (weź pod uwagę, że /\u003e i /\u003e):

(dla ε\u003e 0 stawiamy δ \u003d ε / 2, a następnie | fa(x, y) | < ε, если />< δ).

z którego widać, że granica φ w punkcie (0, 0) w różnych kierunkach jest ogólnie różna (wektor promienia jednostkowego y= kx, x\u003e 0, ma postać

Przykład 2.Rozważ w R2 funkcje

/> (x4+ w2≠ 0).

Ta funkcja w punkcie (0, 0) w dowolnej linii y= kxprzechodzenie przez początek ma granicę równą zero:

/\u003e dla x→ 0.

Jednak ta funkcja nie ma ograniczeń w punktach (0, 0), ponieważ for y \u003d x2

Napiszemy /\u003e, jeśli funkcja fajest zdefiniowany w pewnym sąsiedztwie punktu ( x, w), z możliwym wyjątkiem samego punktu ( x, w) i dla każdego N\u003e 0 istnieje δ\u003e 0 takie, że

|fa(x, y) | > N,

od 0< />< δ.

Kontynuacja
--PODZIAŁ STRONY--

Możesz też porozmawiać o limicie fakiedy x, w→ ∞:

Irówność (5) należy rozumieć w tym sensie, że dla każdego ε\u003e 0 istnieje taka N\u003e 0, co dla wszystkich x, wdla którego | x| > N, |y| > N, funkcja fajest zdefiniowana i nierówność

|fa(x, y) – I| < ε.

Równości są prawdziwe

gdzie może być x→ ∞, w→ ∞. Ponadto, jak zwykle, granice (skończone) po ich lewej stronie istnieją, jeśli są granice fai φ.

Udowodnijmy na przykład (7).

Niech będzie ( xk, yk) → (x, w) ((xk, yk) ≠ (x, w)); następnie

Zatem granica po lewej stronie (9) istnieje i jest równa prawej stronie (9), a ponieważ sekwencja ( xk, yk) ma zwyczaj ( x, w) zgodnie z dowolnym prawem, to granica ta jest równa granicy funkcji fa(x, y) ∙φ (x, y) w punkcie ( x, w).

Twierdzenie.jeśli funkcja fa(x, y) ma granicę, która nie jest równa zeru w punkcie ( x, w), czyli

wtedy istnieje δ\u003e 0 takie, że dla wszystkich x, wzaspokajanie nierówności

0 < />< δ, (10)

spełnia nierówność

Dlatego dla takich (x, y)

te. nierówność (11) utrzymuje się. Od nierówności (12) dla wskazanych (x, y) wynika z /\u003e skąd /\u003e dla ZA\u003e 0 i /\u003e dla

ZA< 0 (сохранение знака).

Z definicji funkcja fa(x) = fa(x1, …, xn) = ZAma limit w tym punkcie

x\u003d /\u003e równe liczbie Ioznaczony następująco:

(Napisz więcej fa(x) → ZA(x→ x)), jeśli jest zdefiniowany w jakimś sąsiedztwie punktu xz wyjątkiem, być może, dla siebie i jeśli jest granica

bez względu na to, do czego dążysz xsekwencja punktów xkz określonego sąsiedztwa ( k\u003d 1, 2, ...) inne niż x.

Inna równoważna definicja jest następująca: funkcja fama w punkcie xlimit równy Ijeśli jest zdefiniowany w jakimś sąsiedztwie punktu x, z wyjątkiem, być może, dla siebie i dla każdego ε\u003e 0 istnieje δ\u003e 0 takie, że

Kontynuacja
--PODZIAŁ STRONY--

dla wszystkich xzaspokajanie nierówności

0 < |x– x| < δ.

Ta definicja z kolei jest równoważna następującej: dla każdego ε\u003e 0 istnieje sąsiedztwo U(x) zwrotnica xtakie, że dla każdego x/>U(x) , x≠ xzachodzi nierówność (13).

Oczywiście, jeśli liczba Iistnieje limit fa(x) w xnastępnie Iistnieje ograniczenie funkcji fa(x0 + godz) z godzw punkcie zerowym:

i wzajemnie.

Rozważ jakąś funkcję fapodane we wszystkich punktach sąsiedztwa punktu xz wyjątkiem być może punktu x; niech ω \u003d (ω1, ..., ω p.) Jest dowolnym wektorem o długości jeden (| ω | \u003d 1) i t\u003e 0 jest skalarem. Punkty widokowe x+ tω (0 < t) formularz wychodzący z xpromień w kierunku wektora ω. Dla każdego ω możemy rozważyć funkcję

/> (0 < t< δω)

ze zmiennej skalarnej t, gdzie δω jest liczbą zależną od ω. Granica tej funkcji (z jednej zmiennej t)

jeśli istnieje, to naturalne jest nazywanie go granicą faw punkcie xw kierunku wektora ω.

Napiszemy /\u003e, jeśli funkcja fazdefiniowane w jakiejś okolicy xz wyjątkiem może xi dla każdego N\u003e 0 istnieje δ\u003e 0 takie, że | fa(x) | >N, od 0< |x– x| < δ.

Możesz porozmawiać o limicie fakiedy x→ ∞:

Na przykład w przypadku liczby skończonej Irówność (14) należy rozumieć w tym sensie, że dla każdego ε\u003e 0 można ją wskazać N\u003e 0, czyli za punkty xdla którego | x| > N, funkcja fajest zdefiniowana i nierówność /\u003e utrzymuje się.

Więc limit funkcji fa(x) = fa(x1, ..., xp.) z p.zmienne są definiowane przez analogię w taki sam sposób, jak dla funkcji dwóch zmiennych.

W ten sposób przechodzimy do definicji granicy funkcji kilku zmiennych.

Numer Inazywany granicą funkcji fa(M) w M→ Mjeśli dla dowolnej liczby ε\u003e 0 jest zawsze taka liczba δ\u003e 0, że dla dowolnych punktów Minny niż Mi spełniający warunek | MM| < δ, будет иметь место неравенство |fa(M) – I| < ε.

Granica jest oznaczona przez /\u003e W przypadku funkcji dwóch zmiennych /\u003e

Twierdzenia graniczne.Jeśli funkcje fa1(M) i fa2(M) w M→ Mkażdy dąży do skończonej granicy, a następnie:

Kontynuacja
--PODZIAŁ STRONY--

Przykład 1.Znajdź granicę funkcji: /\u003e

Decyzja. Przekształcamy granicę w następujący sposób:

Zostawiać y= kx, a następnie /\u003e

Przykład 2.Znajdź granicę funkcji: /\u003e

Decyzja. Użyjemy pierwszego znaczącego limitu /\u003e Wtedy /\u003e

Przykład 3.Znajdź granicę funkcji: /\u003e

Decyzja. Użyjemy drugiego znaczącego limitu /\u003e Wtedy /\u003e

Ciągłość funkcji wielu zmiennych

Z definicji funkcja fa(x, y) jest ciągła w punkcie ( x, w) jeśli jest zdefiniowany w jakimś sąsiedztwie, w tym w samym punkcie ( x, w) i jeśli limit fa(x, y) w tym momencie jest równa jego wartości w nim:

Warunek ciągłości faw punkcie ( x, w) można zapisać w równoważnej formie:

te. funkcjonować fajest ciągła w punkcie ( x, w) jeśli funkcja fa(x+ Δ x, w+ Δ y)na zmiennych Δ x, Δ wprzy Δ x= Δ y \u003d0.

Możesz wprowadzić przyrost Δ ifunkcjonować i= fa(x, y) w punkcie (x, y) odpowiadające przyrostom Δ x, Δ wargumenty

Δ i= fa(x+ Δ x, w+ Δ y)– fa(x, y)

iw tym języku określamy ciągłość faw (x, y) : funkcja faciągły w punkcie (x, y) , Jeśli

Twierdzenie.Suma, różnica, iloczyn i iloraz ciągłości w punkcie ( x, w) Funkcje fai φ jest w tym miejscu funkcją ciągłą, jeśli oczywiście w przypadku ilorazu φ ( x, w) ≠ 0.

Stały z można postrzegać jako funkcję fa(x, y) = z ze zmiennych x, y... W tych zmiennych jest ciągła, ponieważ

/>|fa(x, y) – fa(x, w) | = |s - s| = 0 0.

Kolejnymi najbardziej złożonymi funkcjami są fa(x, y) = xi fa(x, y) = w... Można je również traktować jako funkcje (x, y) i są ciągłe. Na przykład function fa(x, y) = xpasuje do każdego punktu (x, y) liczba równa x... Ciągłość tej funkcji w dowolnym punkcie (x, y) można udowodnić w ten sposób:

Kontynuacja
--PODZIAŁ STRONY--

/>| fa(x+ Δ x, w+ Δ y)– fa(x, y) | = |fa(x+ Δ x) - x| = | Δ x| ≤ />0.

Jeśli wykonujesz funkcje x, yi ciągłe działania dodawania, odejmowania i mnożenia w liczbie skończonej, wtedy otrzymamy funkcje zwane wielomianami w x, y... Bazując na właściwościach sformułowanych powyżej, wielomiany w zmiennych x, y- ciągłe funkcje tych zmiennych dla wszystkich punktów (x, y) />R2.

Nastawienie P./ Qdwa wielomiany w (x, y) istnieje racjonalna funkcja (x, y) jest oczywiście ciągły wszędzie R2, z wyłączeniem pkt (x, y) gdzie Q(x, y) = 0.

R(x, y) = x3– w2+ x2w– 4

może być przykładem wielomianu w formacie (x, y) trzeci stopień i funkcja

R(x, y) = x4– 2x2w2+w4

jest przykład wielomianu z (x, y) czwarty stopień.

Podajmy przykład twierdzenia stwierdzającego ciągłość funkcji funkcji ciągłych.

Twierdzenie.Niech funkcja fa(x, y, z) ciągły w punkcie (x, y, z) przestrzeń R3 (pkt (x, y, z) ) i funkcje

x= φ (u, v), y= ψ (u, v), z= χ (u, v)

ciągły w punkcie (u, v) przestrzeń R2 (pkt (u, v) ). Niech dodatkowo

x= φ (u, v), y= ψ (u, v), z= χ (u, v) .

Następnie funkcja fa(u, v) = fa[ φ (u, v), ψ (u, v), χ (u, v) ] jest ciągła (wg

(u, v) ) w punkcie (u, v) .

Dowód. Skoro znak granicy można wprowadzić pod znakiem cechy funkcji ciągłej, to

Twierdzenie.Funkcjonować fa(x, y) ciągły w punkcie ( x, w) i nie równa się zero w tym miejscu, zachowuje znak liczby fa(x, w) w jakimś sąsiedztwie punktu ( x, w).

Z definicji funkcja fa(x) = fa(x1, ..., xp.) ciągły w punkcie x= (x1, ..., xp.) jeśli jest zdefiniowany w jakimś sąsiedztwie, w tym w samym punkcie xi jeśli jego granica w tym momencie xjest równa swojej wartości w nim:

Warunek ciągłości faw punkcie xmożna zapisać w równoważnej formie:

te. funkcjonować fa(x) ciągły w punkcie xjeśli funkcja jest ciągła fa(x+ godz) z godzw punkcie godz= 0.

Kontynuacja
--PODZIAŁ STRONY--

Możesz wprowadzić przyrost faw punkcie xodpowiadający przyrostowi godz= (godz1, ..., godzp.) ,

Δ godzfa(x) = fa(x+ godz) – fa(x)

iw jego języku określają ciągłość faw x: funkcja faciągłe w x, Jeśli

Twierdzenie.Suma, różnica, iloczyn i iloraz punktów ciągłych xfunkcje fa(x) i φ (x) jest w tym miejscu funkcją ciągłą, jeśli oczywiście w przypadku ilorazu φ (x) ≠ 0.

Komentarz. Przyrost Δ godzfa(x) zwany także całkowitym przyrostem funkcji faw punkcie x.

W kosmosie Rnzwrotnica x= (x1, ..., xp.) ustawić zestaw punktów sol.

A-priory x= (x1, ..., xp.) jest wewnętrznym punktem zestawu sol, jeśli w środku znajduje się otwarta kula, całkowicie należąca do sol.

Pęczek sol/>Rnnazywa się otwartym, jeśli wszystkie jego punkty są wewnętrzne.

Mówią, że to działa

x1 \u003d φ1 (t), ..., xp.= φ p.(t)(a ≤ t ≤ b)

ciągły na segmencie [ za, b], zdefiniuj ciągłą krzywą w Rnpunkty łączące x1= (x11, ..., x1p.) i x2= (x21, ..., x2p.) gdzie x11 \u003d φ1 (i), ..., x1p.= φ p.(i), x21 \u003d φ1 (b) , ..., x2p.= φ p.(b) ... List tnazywany parametrem krzywej.

Pęczek soljest nazywany połączonym, jeśli jakiekolwiek dwa punkty x1, x2można łączyć ciągłą krzywą należącą do sol.

Połączony otwarty zbiór nazywany jest regionem.

Twierdzenie.Niech funkcja fa(x) zdefiniowane i ciągłe Rn(we wszystkich punktach Rn). Następnie zestaw solzwrotnica xgdzie spełnia nierówność

fa(x) > z(lub fa(x) < z), niezależnie od stałej z, jest otwarty zestaw.

Rzeczywiście, funkcja fa(x) = fa(x) – zciągłe Rni zbiór wszystkich punktów xgdzie fa(x) \u003e 0, pokrywa się z sol... Zostawiać x/>solwtedy jest piłka

| x–x| < δ,

na którym fa(x) \u003e 0, tj. on należy do soli wskaż x/>sol- wewnętrzne dla sol.

Sprawa z fa(x) < zjest udowodnione podobnie.

Zatem funkcja kilku zmiennych fa(M)nazywane jest ciągłym w punkcie Mjeśli spełnia następujące trzy warunki:

funkcja fa(M)zdefiniowane w pkt Mi blisko tego punktu;

b) istnieje limit /\u003e;

Jeśli w punkcie Mjeśli przynajmniej jeden z tych warunków zostanie naruszony, wówczas funkcja ma w tym momencie nieciągłość. Punkty przerwania mogą tworzyć linie przerwania, powierzchnie przerwania itp. Funkcja fa(M)nazywane jest ciągłym w regionie soljeśli jest ciągły w każdym punkcie tego obszaru.

Przykład 1.Znajdź punkty przerwania funkcji: z= ln(x2+ y2) .

Decyzja. Funkcjonować z= ln(x2+ y2) pęka w pewnym momencie x= 0, w\u003d 0. Dlatego chodzi o O(0, 0) jest punktem przerwania.

Przykład 2.Znajdź punkty przerwania funkcji: /\u003e

Decyzja. Funkcja jest niezdefiniowana w punktach, w których zanika mianownik, tj. x2+ y2– z2 \u003d 0. Zatem powierzchnia stożka

x2+ y2= z2 to powierzchnia pęknięcia.

Wniosek

Podstawowe informacje o granicach i ciągłości można znaleźć w szkolnym kursie matematyki.

W toku analizy matematycznej jednym z głównych jest pojęcie granicy. Za pomocą granicy wprowadza się pochodną i całkę oznaczoną; granice są głównym narzędziem konstrukcji teorii szeregów. Pojęcie granicy, wprowadzone po raz pierwszy w XVII wieku przez Newtona, jest używane i dalej rozwijane w teorii szeregów. Ta część analizy dotyczy zagadnień związanych z sumą nieskończonej sekwencji wielkości (zarówno stałych, jak i funkcji).

Ciągłość funkcji daje wyobrażenie o jej wykresie. Oznacza to, że wykres jest linią ciągłą i nie składa się z oddzielnych rozproszonych obszarów. Ta właściwość funkcji jest szeroko stosowana w ekonomii.

Dlatego pojęcia granicy i ciągłości odgrywają ważną rolę w badaniu funkcji wielu zmiennych.

Lista wykorzystanej literatury

1. Bugrov Y.S., Nikolsky S.M. Wyższa matematyka: podręcznik dla uniwersytetów. Tom 2: Rachunek różniczkowy i całkowy. Moskwa: Bustard, 2004, 512 s.

2. Kremer N.Sh., Putko B.A., Trishin I.M., Fridma M.N. Wyższa matematyka dla ekonomistów. Moskwa: Unity, 2000, 271 str.

3. Chernenko V.D. Wyższa matematyka w przykładach i problemach. Podręcznik dla uniwersytetów. St. Petersburg: Polytechnic, 2003, 703 str.

4.elib.ispu.ru/library/math/sem2/index.html

5. www.academiaxxi.ru/WWW_Books/HM/Fn/toc.htm

Temat „Funkcje kilku zmiennych”

Temat 3.Funkcje wielu zmiennych

Definicja funkcji dwóch zmiennych, sposoby ustawiania.

Częściowe pochodne.

Ekstremum funkcji dwóch zmiennych

Jeden zmienny gradient funkcji

Największe i najmniejsze wartości funkcji dwóch zmiennych w dziedzinie

CO POWINIEN WIEDZIEĆ STUDENT

Pytania testowe

TEST KONTROLNY

1. Definicja funkcji wielu zmiennych, metody ustawiania

Zmienna nazywa się funkcja dwóch zmiennych wielkie ilości i na planie
jeśli każda para wartości
odpowiada pojedynczej wartości ilości.

Symbolicznie funkcja dwóch zmiennych jest oznaczona następująco:


itp.

Zmienne i nazywane niezależne zmienne lub argumenty funkcji , i sporo
- zakres funkcji ... Dla funkcje dwóch zmiennych
zakres jest trochę zbiór punktów na płaszczyźnie
, a zakres wartości to przedział na osi
.

Na przykład jest funkcją dwóch zmiennych.

Do wizualnej reprezentacji funkcje dwóch zmiansą stosowane linie poziomu.

Przykład 1. Funkcjonalność
zbuduj wykres i linie poziomu. Zapisz równanie linii poziomu przechodzącej przez punkt
.

Liniowy wykres funkcji jest samolot w kosmosie.

W przypadku funkcji wykres jest płaszczyzną przechodzącą przez punkty
,
,
.

Linie poziomu funkcji są równoległymi liniami prostymi, których równanie
.

Dla funkcja liniowa dwóch zmiennych
linie poziomu są podane przez równanie
i reprezentować rodzina równoległych linii w płaszczyźnie.

4

Wykres funkcji 0 1 2 X

Linie poziomu funkcji

Częściowe pochodne

Rozważ funkcję
... Podajmy zmienną w punkcie
dowolny przyrost
odejście wartość zmiennej niezmieniony... Wywoływany jest odpowiedni przyrost funkcji przez częściowy przyrost funkcji w stosunku do zmiennej w punkcie
.

Podobnie, częściowy przyrost funkcjiwedług zmiennej: .

Zapis częściowej pochodnej wg : , ,
,
... Aby znaleźć pochodną cząstkową
przez zmienną stosuje się zasady różniczkowania funkcji jednej zmiennej, zakładając zmienną stały.

Pochodna cząstkowa funkcji względem zmiennejzwany limitem :

.

Legenda: , ,
,
... Aby znaleźć pochodną cząstkową w odniesieniu do zmiennej zmienna jest uważana za stałą .

Przykład 2... Znajdź wartości pochodnych cząstkowych funkcji w punkcie
.

Biorąc pod uwagę stałą i różniczkowanie jako funkcję zmiennej, znajdujemy pochodną cząstkową ze względu na:

.

Obliczamy wartość tej pochodnej w punkcie
: .

Zakładając stałą i różniczkując jako funkcję, znajdujemy pochodną cząstkową względem:

.

Obliczmy wartość pochodnej w punkcie:

Przykład 3... Funkcjonalność
znajdź pochodne cząstkowe
,
i oblicz ich wartości w punkcie
.

Pochodna cząstkowa funkcji
na zmiennej jest przy założeniu, że jest stała:

Znajdźmy pochodną cząstkową funkcji ze względu na stałą:

Obliczmy wartości pochodnych cząstkowych w
,
:

;
.

Nazywa się także częściowe pochodne funkcji kilku zmiennych prywatny pochodne pierwszego rzędu lub pierwsze pochodne cząstkowe.

Częściowe pochodne drugiego rzędu funkcje wielu zmiennych nazywamy pochodnymi cząstkowymi pochodnych cząstkowych pierwszego rzędu, jeśli istnieją.

Zapiszmy pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji:

;
;

;
.

;
itp.

Jeśli mieszane pochodne cząstkowe funkcji kilku zmiennych są w pewnym momencie ciągłe
wtedy oni równe sobie w tym momencie. Stąd dla funkcji dwóch zmiennych wartości mieszanych pochodnych cząstkowych nie zależą od kolejności różnicowania:
.

Przykład 4. Dla funkcji znajdź pochodne cząstkowe drugiego rzędu
i
.

Mieszaną pochodną cząstkową znajdujemy najpierw przez sekwencyjne różniczkowanie funkcji względem (zakładając stałą), a następnie różniczkując pochodną
przez (zakładając stałą).

Pochodna
znajduje się, najpierw różnicując funkcję względem , a następnie pochodna przez .

Mieszane pochodne cząstkowe są sobie równe:
.

Różniczkowanie pochodnych cząstkowych drugiego rzędu zarówno w odniesieniu do xi przez wotrzymujemy pochodne cząstkowe trzeciego rzędu.

Przykład 5. Znajdź pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji
.

Konsekwentnie znajdujemy

3. Ekstremum funkcji dwóch zmiennych

Maksymalny (minimum ) Funkcje
w punkcie M 0 (x 0 ,y 0) nazywa się jego wartością
, która jest większa (mniejsza) niż wszystkie jej inne wartości wzięte w punktach
wystarczająco blisko punktu
i różni się od niej.

Punkty maksymalne i minimalne nazywane są punktami ekstremum, i nazywane są wartości funkcji w tych punktach skrajny .

Niezbędne warunki ekstremum. Jeśli funkcja różniczkowalna
ma w tym punkcie ekstremum
, to jego częściowe pochodne w tym miejscu są równe zero, tj.

. Punkty, w których
i
są nazywane nieruchomy punkty funkcyjne
.

Wystarczające warunki dla ekstremum... Niech będzie stacjonarnym punktem funkcji i niech
,
,
... Ułóżmy wyznacznik
... Następnie:

jeśli
, a następnie w punkcie stacjonarnym
bez ekstremum;

jeśli
, to w punkcie jest ekstremum i maksimum, jeśli A< 0, minimum, jeśli
;

jeśli
, wymagane są dodatkowe badania.

Przykład 6. Zbadaj funkcję
.

Znajdź częściowe pochodne pierwszego rzędu:
;
Rozwiązywanie układu równań
otrzymujemy dwa punkty stacjonarne:
i
... Znajdujemy pochodne cząstkowe drugiego rzędu:
,
,
... Przeanalizujmy każdy nieruchomy punkt.

4. Gradient funkcji dwóch zmiennych

.

Właściwości gradientu

Przykład 7... Funkcja jest podana
... Znajdź gradient funkcji w punkcie
i zbuduj to.

Znajdź współrzędne gradientu - pochodne cząstkowe.

W tym momencie
gradient jest równy. Początek wektora
w punkcie i koniec w punkcie.

5

5. Największe i najmniejsze wartości funkcji dwóch zmiennych w dziedzinie

Sformułowanie problemu. Niech zamknięta ograniczona dziedzina na płaszczyźnie będzie dana przez system nierówności postaci
... Konieczne jest znalezienie w regionie punktów, w których funkcja przyjmuje największe i najmniejsze wartości.

Ważne jest problem ekstremum, którego model matematyczny zawiera więzy liniowe (równania, nierówności) i liniowy funkcjonować
.

Sformułowanie problemu. Znajdź największe i najmniejsze wartości funkcji
z ograniczeniami

Ponieważ od liniowy funkcje kilku zmiennych bez punktów krytycznych wewnątrz obszary
, wówczas optymalne rozwiązanie, które zapewnia ekstremum funkcji celu, jest osiągane tylko na granicy regionu... Dla obszaru zdefiniowanego przez więzy liniowe punktami możliwego ekstremum są punkty narożne... To pozwala nam rozważyć rozwiązanie problemu graficznie.

Geometryczne sformułowanie problemu. Znajdź w dziedzinie rozwiązań układu nierówności liniowych punkt, przez który przechodzi linia poziomu, odpowiadający największej (najmniejszej) wartości funkcji liniowej w dwóch zmiennych.

Sekwencjonowanie:

punkt A „wejścia” linii poziomej na obszar. Ten punkt definiuje punkt najniższej wartości funkcji;

punkt B „wyjścia” linii poziomej z obszaru. Ten punkt określa punkt największej wartości funkcji.

4. Znajdź współrzędne punktu A, rozwiązując układ równań prostych przecinających się w punkcie A i oblicz najmniejszą wartość funkcji
... Podobnie - dla punktu B i największej wartości funkcji
.

Przykład 8... Znajdź największe i najmniejsze wartości funkcji
w dziedzinie rozwiązań układu nierówności liniowych

1. Budujmy dziedzina rozwiązań układu nierówności liniowych... Aby to zrobić, skonstruuj półpłaszczyzny i znajdź ich przecięcie. Traktuj punkt jako „punkt kontrolny”
który nie należy graniczne linie proste.

w

1

Prosto ()
- punkty do zbudowania
i
... Tak jak
prawda, wtedy półpłaszczyzna jest zwrócona w stronę punktu kontrolnego.

Bezpośredni ()
budowanie punktami
i
; nierówność
prawda, półpłaszczyzna jest skierowana w stronę punktu kontrolnego.

Prosto ()
wykreślone przez punkty
i
; półpłaszczyzna jest zwrócona w stronę punktu kontrolnego.

Nierówności
i
pokazują, że żądany region (przecięcie wszystkich półpłaszczyzn) znajduje się w pierwszej ćwiartce współrzędnych.

2. Zbudujmy gradient funkcji - wektor ze współrzędnymi
z pochodzeniem na początku. Narysuj jedną z następujących prostopadle do gradientu linie poziomu.

3. Równoległy ruch linii poziomej w kierunku nachylenia znajdź punkt „wejścia” linii poziomu w teren - jest to punkt O (0,0). Obliczmy wartość funkcji w tym miejscu:

4. Kontynuując ruch linii poziomu w kierunku nachylenia znajdujemy punkt „wyjścia” linii poziomu z terenu - jest to punkt A. Aby wyznaczyć jego współrzędne rozwiązujemy układ równań prostych i:
Rozwiązywanie układu równań
i
.

5. Obliczmy wartość funkcji w punkcie
: .

Odpowiedź:
,
.

CO POWINIEN WIEDZIEĆ STUDENT

1. Pojęcie funkcji wielu zmiennych.

2. Dziedzina i zbiór wartości funkcji wielu zmiennych.

3. Pojęcie linii poziomu.

4. Pochodne cząstkowe funkcji wielu zmiennych.

5. Pochodne cząstkowe wyższych rzędów funkcji wielu zmiennych.

6. Ekstremum funkcji wielu zmiennych.

7. Największe i najmniejsze wartości funkcji dwóch zmiennych w regionie.

Pytania testowe

Pojęcie funkcji wielu zmiennych. Dziedzina definicji, metody ustalania, linie poziomów funkcji dwóch zmiennych

Pochodne cząstkowe funkcji wielu zmiennych

Ekstremum funkcji wielu zmiennych

Największe i najmniejsze wartości funkcji dwóch zmiennych w dziedzinie

TEST KONTROLNY

Która z podanych funkcji jest funkcją zależną od dwóch zmiennych:

za)
; b)
; w)
; re)
.

2. Funkcjonalność
pochodna cząstkowa w odniesieniu do zmiennej jest równe:

za)
; b)
; w)
; re)
., w punkcie jest równa ... a) 1; b) 0; w 1; d) 4.

12. Gradient pola skalarnego w punkcie jest wektorem ...

i) b)

płyta CD)

13. Pochodna cząstkowa funkcji w odniesieniu do zmiennej w punkcie jest równa ...

i) mi b) 2 f c)3f d)3

14. Maksymalna wartość funkcji z ograniczeniami

Równie dobrze ... (napisz swoją odpowiedź).

15. Region możliwych rozwiązań problemu programowania liniowego przedstawia się następująco:

Wtedy maksymalna wartość funkcji to ...

A) 10 b) 14 c) 13 d) 11

16. Region możliwych do rozwiązania problemu programowania liniowego przedstawia się następująco:

Następnie maksymalna wartość funkcji na równi…

A) 29 b) 31 c) 27 d) 20

17. Maksymalna wartość funkcji celu z \u003d x 1 + 2x 2 pod ograniczeniami wynosi: a) 13 b) 12 c) 8 d) 6

18. Maksymalna wartość funkcji podlegającej ograniczeniom to… (wpisz odpowiedź).

funkcje kilkazmienne 4.1. Zadania dla przedmiot "Różnicowanie funkcjekilkazmienne " Zadanie 1. Znajdź i zobrazuj na płaszczyźnie obszar istnienia funkcjonować ... 3. Znajdź największe i najmniejsze wartości funkcjonować z \u003d f (x, y) zdefiniowane ...

Temat 5 Funkcje pochodnych cząstkowych dwóch zmiennych

Dokument

Wartości funkcjonować dwa zmienne w zamkniętym obszarze ograniczonym 1. Definicja funkcjonowaćkilkazmienne, sposoby ustawienia Funkcjonować dwa zmienne nazywa ...

Matematyka cz. 4 rachunek różniczkowy funkcji szeregu równań różniczkowych wielu zmiennych

Instruktaż

Ustalona funkcjonowaćkilkazmienne? Jaki jest wykres funkcjonować dwa zmienne? Sformułuj definicje limitu funkcjonować dwa zmienne ...

ROZDZIAŁ 3 Funkcje wielu zmiennych § 1 Funkcje wielu zmiennych Podstawowe pojęcia 1 Definicja funkcji wielu zmiennych

Prawo

ROZDZIAŁ 3. Funkcjekilkazmienne § 1. Funkcjekilkazmienne... Podstawowe pojęcia 1. Definicja funkcjonowaćkilkazmienne... DEFINICJA. Niech ℝ. Funkcjonowaćzdefiniowane na planie i posiadające region ...

Aby skorzystać z podglądu prezentacji, utwórz sobie konto Google (konto) i zaloguj się do niego: https://accounts.google.com

Podpisy slajdów:

Test z algebry temat "funkcja" ocena 7

Zrób test i określ poziom swojej wiedzy na temat „funkcja”

Zadanie numer 1 Co to jest funkcja? Zależność jednej zmiennej od drugiej, jeśli zmienna niezależna odpowiada pojedynczej wartości zmiennej zależnej. Zmienna, której wartość jest wybierana arbitralnie. Domena.

Zadanie numer 2 W funkcji argument nosi nazwę ... Zmienna niezależna. Wartość funkcji. Zmienna zależna. Zdobyłeś 0 punktów

Zadanie numer 2 W funkcji argument nosi nazwę ... Zmienna niezależna. Wartość funkcji. Zmienna zależna. Zdobyłeś 1 punkt

Zadanie nr 3 Temperaturę powietrza mierzono w ciągu dnia. Określ zakres funkcji. Od 0 do 24. Od 0 do 12. Od 1 do 24. Zdobyłeś 0 punktów

Zadanie nr 3 Temperaturę powietrza mierzono w ciągu dnia. Określ zakres funkcji. Od 0 do 24. Od 0 do 12. Od 1 do 24. Zdobyłeś 1 punkt

Zadanie nr 3 Temperaturę powietrza mierzono w ciągu dnia. Określ zakres funkcji. Od 0 do 24. Od 0 do 12. Od 1 do 24. Zdobyłeś 2 punkty

Zadanie numer 4 Funkcja jest określona wzorem y \u003d 12x. Znajdź wartość funkcji, jeśli argument to 2.24.2.6. Otrzymałeś 0 punktów

Zadanie numer 4 Funkcja jest określona wzorem y \u003d 12x. Znajdź wartość funkcji, jeśli argumentem jest 2 .. 24.2.6. Zdobyłeś 1 punkt

Zadanie numer 4 Funkcja jest określona wzorem y \u003d 12x. Znajdź wartość funkcji, jeśli argumentem jest 2.24.2.6. Masz 2 punkty

Zadanie numer 4 Funkcja jest określona wzorem y \u003d 12x. Znajdź wartość funkcji, jeśli argument to 2.24.2.6. Masz 3 punkty

Zadanie numer 5 Funkcja jest określona wzorem y \u003d 12x. Przy jakiej wartości argumentu funkcja jest równa 24? 2. 12. 24. Zdobyłeś 0 punktów

Zadanie numer 5 Funkcja jest określona wzorem y \u003d 12x. Przy jakiej wartości argumentu funkcja jest równa 24? 2. 12. 24. Zdobyłeś 1 punkt

Zadanie numer 5 Funkcja jest określona wzorem y \u003d 12x. Przy jakiej wartości argumentu funkcja jest równa 24? 2. 12. 24. Zdobyłeś 2 punkty

Zadanie numer 5 Funkcja jest określona wzorem y \u003d 12x. Przy jakiej wartości argumentu funkcja jest równa 24? 2. 12. 24. Zdobyłeś 3 punkty

Zadanie numer 5 Funkcja jest określona wzorem y \u003d 12x. Przy jakiej wartości argumentu funkcja jest równa 24? 2. 12. 24. Zdobyłeś 4 punkty

Twoja ocena „2” Niestety dzisiaj wykazałeś się niskim poziomem wiedzy na ten temat. Radzę powtórzyć zasady. Upewnij się, że odniesiesz sukces!

Twoja ocena "3" Dzisiaj wykazałeś się przeciętnym poziomem wiedzy na ten temat. Radzę powtórzyć zasady. Upewnij się, że odniesiesz sukces!

Twoja ocena to „4”. Twój poziom wiedzy na ten temat jest wystarczająco dobry.

Twoja ocena to „5” Dobra robota! Wykazałeś się wysokim poziomem wiedzy na ten temat. Życzę dalszych sukcesów!

Na temacie: opracowania metodologiczne, prezentacje i notatki

Testy z języka rosyjskiego, kolokwium końcowe na ocenę 5, test „Ekspresyjne środki”, lekcje z twórczości Woronkowej i Chivilikhina

Testy praktyczne przygotowujące do egzaminu. Może być stosowany jako test Sprawdzian sprawdzający znajomość zadań B8 Kolokwium końcowe na ocenę 5 Opracowanie metodyczne zajęć z prac ...

UŻYJ Angielski Toefl test ielts Testy CAE Testy ze słuchu Testy z czytania Słownictwo Co musisz wiedzieć, aby pomyślnie zaliczyć USE

Toefl testIeltsTesty CAETesty słuchaczyCzytanie testów Słownictwo Co musisz wiedzieć, aby pomyślnie zdać USE Cokolwiek dana osoba nauczy się przez całe życie, zawsze będzie ...