У минулому столітті Іван Бернуллі, Леонард Ейлер, а потім і Жан-Батист Фур'є вперше застосували уявлення періодичних функцій тригонометричними рядами. Це уявлення вивчається досить докладно в інших курсах, тому нагадаємо лише основні співвідношення і визначення.

Як вже зазначалося вище, будь-яку періодичну функцію u (t) , Для якої виконується рівність u (t) = u (t + T) , де T = 1 / F = 2p / W , Можна уявити поруч Фур'є:

Кожне складова цього ряду можна розкласти по формулі косинуса для різниці двох кутів і представити у вигляді двох складових:

,

де: A n = C n cosφ n, B n = C n sinφ n , так що , а

коефіцієнти А n і В n визначаються за формулами Ейлера:

;
.

при n = 0 :

а B 0 = 0.

коефіцієнти А n і В n , Є середніми значеннями твори функції u (t) і гармонійного коливання з частотою nw на інтервалі тривалістю Т . Ми вже знаємо (розділ 2.5), що це функції взаємної кореляції, що визначають міру їх зв'язку. Отже, коефіцієнти A n і B n показують нам "скільки" синусоїди або косинусоид з частотою nW міститься в даній функції u (t) , Розкладається в ряд Фур'є.

Таким чином, ми можемо уявити періодичну функцію u (t) у вигляді суми гармонійних коливань, де числа C n є амплітудами, а числа φ n - фазами. Зазвичай в літературі називається спектром амплітуд, а - спектром фаз. Часто розглядається тільки спектр амплітуд, який зображується у вигляді ліній, розташованих в точках nW на осі частот і мають висоту, відповідну числу C n . Однак слід пам'ятати, що для отримання однозначного відповідності між тимчасової функцією u (t) і її спектром необхідно використовувати і спектр амплітуд, і спектр фаз. Це видно з такого простого прикладу. У сигналів і буде однаковий спектр амплітуд, але абсолютно різний вигляд тимчасових функцій.

Дискретний спектр може мати не тільки періодична функція. Наприклад, сигнал: не є періодичним, але має дискретний спектр, що складається з двох спектральних ліній. Також не буде строго періодичним сигнал, що складається з послідовності радіоімпульсів (імпульсів з високочастотним заповненням), у яких період проходження постійний, але початкова фаза високочастотного заповнення змінюється від імпульсу до імпульсу по якому-небудь закону. Такі сигнали називаються майже періодичними. Як ми побачимо надалі, вони також мають дискретний спектр. Дослідження фізичної природи спектрів таких сигналів, ми будемо виконувати так само, як і періодичних.

Форми запису ряду Фур'є. сигнал називається періодичним,якщо його форма циклічно повторюється в часі Періодичний сигнал u (t)в загальному вигляді записується так:

u (t) = u (t + mT), m = 0, ± 1, ± 2, ...

Тут Т-період сигналу. Періодичні сигнали можуть бути як простими, так і складними.

Для математичного уявлення періодичних сігналоа з періодом Тчасто користуються рядом (2.2), в якому як базисні функції вибираються гармонійні (синусоїдальні і косинусоидальной) коливання кратних частот

y 0 (t) = 1; y 1 (t) = sinw 1 t; y 2 (t) = cosw 1 t;

y 3 (t) = sin2w 1 t; y 4 (t) = cos2w 1 t; ..., (2.3)

де w 1 = 2p / T- основна кутова частота послідовності

функцій. При гармонійних базисних функціях з ряду (2.2) отримуємо ряд Фур'є (Жан Фур'є - французький математик і фізик XIX століття).

Гармонійні функції виду (2.3) в ряді Фур'є мають наступні переваги: ​​1) просте математичне опис; 2) інваріантність до лінійним перетворенням, т. Е. Якщо на вході лінійного ланцюга діє гармонійнеколивання, то і на виході її також буде гармонійнеколивання, що відрізняється від вхідного тільки амплітудою і початковою фазою; 3) як і сигнал, гармонійні функції періодичні і мають нескінченну тривалість; 4) техніка генерування гармонічних функцій досить проста.

З курсу математики відомо, що для розкладання періодичного сигналу в ряд по гармонійним функцій (2.3) необхідно виконання умов Діріхле. Але все реальні періодичні сигнали цим умовам задовольняють і їх можна представити у вигляді ряду Фур'є, який може бути записаний в одній з наступних форм:

u (t) = A 0/2 + (A 'mn cosnw 1 t + A "mn nw 1 t), (2.4)

де коефіцієнти

A mn "= (2.5)

u (t) = A 0/2 + (2.6)

A mn = (2.7)

або в комплексній формі

u (t) = (2.8)

C n = (2.9)

З (2.4) - (2.9) випливає, що в загальному випадку періодичний сигнал u (t) містить постійну складову A 0 / 2и набір гармонійних коливань основної частоти w 1 = 2pf 1 і її гармонік з частотами wn = nw 1, n = 2 , 3,4, ... Кожне з гармонійних

коливань ряду Фур'є характеризується амплітудойі початковою фазою y n .nn

Спектральна діаграма і спектр періодичного сигналу. Якщо який-небудь сигнал представлений у вигляді суми гармонійних коливань з різними частотами, то кажуть, що здійснено спектральне розкладаннясигналу.

спектральної діаграмоюсигналу прийнято називати графічне зображення коефіцієнтів ряду Фур'є цього сигналу. Розрізняють амплітудні і фазові діаграми. На рис. 2.6 в деякому масштабі по горизонтальній осі відкладені значення частот гармонік, по зертікальной осі - їх амплітуди A mn і фази y n. Причому амплітуди гармонік можуть приймати тільки позитивні значення, фази - як позитивні, так і негативні значення в інтервалі -p £ y n £ p

спектр сигналу- це сукупність гармонійних складових з конкретними значеннями частот, амплітуд і початкових фаз, що утворюють в сумі сигнал. У технічних додатках на практиці спектральні діаграми називають більш коротко - амплітудний спектр, фазовий спектр.Найчастіше цікавляться амплітудної спектральної діаграмою. По ній можна оцінити процентний вміст гармонік в спектрі.

приклад 2.3. Розкласти в ряд Фур'є періодичну послідовність прямокутних відеоімпульсів звідомими параметрами (U m, T, t z),парну "Щодо точки t = 0. Побудувати спектральну діаграму амплітуд і фаз при U m = 2B, T = 20мс, S = T / t і = 2 і 8.

Заданий періодичний сигнал на інтервалі одного періоду можна записати як

Скористаємося для подання цього сигналу формою записи ряду Фур'є ввигляді (2.4). Так як сигнал парний, то в розкладанні залишаться тільки косинусоидальной складові.

Мал. 2.6. Спектральні діаграми періодичного сигналу:

а - амплітудна; б- фазoвая

Інтеграл від непарної функції за період равеy нулю. За формулами (2.5) знаходимо коефіцієнти

що дозволяють записати ряд Фур'є:

Для побудови спектральних діаграм при конкретних числових даних задаємося я = 0, 1, 2, 3, ... і обчислюємо коефіцієнти гармонік. Результати розрахунку перших восьми складових спектра зведені в табл. 2.1. У ряді (2.4) А "mn = 0і відповідно до (2.7) A mn = | A 'mn |, основна частота f 1 = 1 / T = 1 / 20-10 -3 = 50 Гц, w 1 = 2pf 1 = 2p * 50 = 314рад / с. Амплітудний спектр на рис.

2.7 побудований для таких n,при яких А mnбільше 5% максимального значення.

З наведеного прикладу 2.3 слід, що зі збільшенням шпаруватості збільшується число спектральних складових і зменшуються їх амплітуди. Кажуть, що такий сигнал має багатий спектром. Необхідно відзначити, що для багатьох практично застосовуваних сигналів немає необхідності проводити обчислення амплітуд і фаз гармонік за наведеними раніше формулами.

Таблиця 2.1. Амплітуди складових ряду Фур'є періодичної послідовності прямокутних імпульсів

Мал. 2.7. Спектральні діаграми періодичної послідовності імпульсів: а-При скважности S-2; - б-прі скважности S = ​​8

У математичних довідниках є таблиці розкладів сигналів в ряд Фур'є. Одна з таких таблиць наведена в додатку (табл. П.2).

Часто виникає питання: скільки ж узяти спектральних со-складових (гармонік), щоб представити реальний сигнал поруч Фур'є? Адже ряд-то, строго кажучи, нескінченний. Однозначної відповіді тут не можна дати. Все залежить від форми сигналу і точності його уявлення поруч Фур'є. Більш плавну зміну сигналу - менше потрібно гармонік. Якщо сигнал має скачки (розриви), то необхідно підсумувати більше число гармонік для досягнення такої ж похибки. Однак у багатьох випадках, наприклад в телеграфії, вважають, що і для передачі прямокутних імпульсів з крутими фронтами досить трьох гармонік.

Курсова робота з математичного аналізу

Тема: Підрахунок часткових сум і спектральних характеристик ряду Фур'є для явної функції

сигнал спектр Фур'є функція

1.Модель фізичного процесу

Рішення завдання з теоретичними викладками

Приклад рішення задачі

Приклад рішення задачі в середовищі Matlab R2009a

Список літератури

1.Модель фізичного процесу

математичною моделлю радіотехнічного сигналу може служити деяка функція часу f(T) . Ця функція може бути речовій або комплексної, одновимірної або багатовимірної, детермінованою або випадковою (сигнали з перешкодами). У радіотехніці одна і та ж математична модельз рівним успіхом описує струм, напруга, напруженість електричного поляі т.п.

Розглянемо речові одномірні детерміновані сигнали

Безлічі функцій (сигналів) прийнято розглядати як лінійні функціональні нормовані простору, в яких введено такі поняття і аксіоми:

) Виконані всі аксіоми лінійного простору;

) Скалярний добуток двох дійсних сигналів визначається наступним чином:

) Два сигнали називаються ортогональними, якщо їх скалярний добуток дорівнює нулю;

) Система ортогональних сигналів утворює безконечномірний координатний базис, за яким можна розкласти будь періодичний сигнал, що належить лінійному простору;

Серед різноманітних систем ортогональних функцій, за якими можна розкласти сигнал, найбільш поширеною є система гармонійних (синусоїдальних і косинусоидальной) функцій:

Подання деякого періодичного сигналу у вигляді суми гармонійних коливань з різними частотами називається спектральним поданням сигналу. Окремі гармонійні компоненти сигналу утворюють його спектр. З математичної точки зору спектральне подання еквівалентно розкладанню періодичної функції (сигналу) в ряд Фур'є.

Значення спектрального розкладання функцій в радіотехніці обумовлено рядом причин:

) Простота вивчення властивостей сигналу, тому що гармонійні функції добре вивчені;

) Можливість генерування довільного сигналу, тому що техніка генерування гармонічних сигналів досить проста;

) Простота передачі і прийому сигналу по радіоканалу, тому що гармонійнеколивання є єдиною функцією часу, що зберігає свою форму при проходженні через будь-яку лінійну ланцюг. Сигнал на виході ланцюга залишається гармонійним з тією ж частотою, змінюється лише амплітуда і початкова фаза коливання;

) Розкладання сигналу по синусах і косинусам дозволяє використовувати символічний метод, розроблений для аналізу передачі гармонійних коливань через лінійні ланцюги.

В якості моделі фізичного процесу розглянемо електрокардіограму роботи серця.

2.Решеніе завдання з теоретичними викладками

Завдання 1:

Опишемо за допомогою рядів Фур'є, що періодично повторюється імпульс на ділянці електрокардіограми, так званий комплекс QRS.

Комплекс QRS можна задати наступною кусочно-лінійною функцією

де

дану функціюможна продовжити періодично з періодом T = 2l.

Ряд Фур'є функції:

визначення 1: Функція називається кусочно-безперервноюна відрізку [а, b], якщо вона неперервна в усіх точках цього відрізка, крім кінцевого числа точок, в яких існують її кінцеві односторонні межі.

Визначення 2:функція називається кусочно-гладкоюна деякому відрізку, якщо вона сама і її похідна кусочно-безперервні.

Теорема 1 (Ознака Діріхле): Ряд Фур'є кусочно-гладкою на відрізку функції f (x) сходиться в кожній точці безперервності до значення функції в даній точці і до значення в кожній точці розриву.

Наша функція задовольняє умовам теореми.

Для заданої функції отримуємо наступні коефіцієнти ряду Фур'є:

Комплексна форма ряду Фур'є

Для представлення низки в комплексній формі скористаємося формулами Ейлера:

Введемо позначення:

Тоді ряд можна переписати у вигляді

Крім того коефіцієнти комплексного ряду Фур'є можна отримати і безпосередньо, обчислюючи їх по формулі

Запишемо в комплексній формі ряд Фур'є заданої функції

Спектральні характеристики ряду

вираз в ряді Фур'є називається n-й гармонікою.Відомо що

де або

,

Сукупності, називається відповідно амплітудним і фазовим спектромперіодіческойфункціі.

Графічно спектри зображуються у вигляді відрізків довжини, проведених перпендикулярно осі, на яку наноситься значення n= 1,2 ... або.

Графічне зображеннявідповідного спектру називається амплітудною або фазової діаграмою. На практиці найчастіше застосовують амплітудний спектр.

.Приклад рішення задачі

завдання 2: Розглянемо конкретний прикладзавдання для обраної моделі фізичного процесу.

Продовжимо цю функцію на всю числову вісь, отримаємо періодичну функцію f(x) c періодом T = 2 l= 18 (Рис. 1.).

Мал. 1. Графік періодично продовженої функції

Обчислимо коефіцієнти Фур'є заданої функції.

Запишемо часткові суми ряду:

Мал. 2. Графіки часткових сум ряду Фур'є

З ростом nграфіки часткових сум в точках безперервності наближаються до графіка функції f(x) . У точках розриву значення часткових сум наближаються до .

Побудуємо амплитудную і фазову діаграми.

з урахуванням чверті.

Таблиця

4.Прімер рішення задачі в середовищі Matlab R2009a

Завдання 3:Як приклад розглянемо повністю інтервали PR і QT.

Мал

Для даної функції побудувати графіки часткових сум, а так само амплитудную і фазову діаграми.

Візьмемо конкретні значення параметрів для нашої задачі:

Скрипт для побудови необхідних графіків і діаграм.

Скрипт дозволяє вирішувати ряд подібних завдань шляхом вибору параметрів і координат точок Q, R, S.

% ПІДРАХУНОК ЧАСТКОВИХ СУМ І СПЕКТРАЛЬНИХ ХАРАКТЕРИСТИК РЯДУ ФУР'Е ДЛЯ НЕ НАДАЄ

% Спектральний аналіз.L I1 I2 Q R S I3 I4 I5 P T w v a b c d q r Qy Ry Sy nCase = 18; = 6; I2 = 10; Q = 11; Qy = -2; R = 12; Ry = 17; S = 13; Sy = -4; I3 = 15; I4 = 20; I5 = 26; = 2; T = 3; ExprNum = 9; = 250; = 30; = 0; flag == 0 = 1; (k<15)

k = menu ( "Зміна параметрів", ...

sprintf ( "параметр1 P =% g", P), ... ( "параметр2 I1 =% g", I1), ... ( "Параметр3 I2 =% g", I2), ... ( "Параметр4 Qx =% g ", Q), ... (" Параметр5 Qy =% g ", Qy), ... (" Параметр6 Rx =% g ", R), ... (" Параметр7 Ry =% g ", Ry), ... ( "Параметр8 Sx =% g", S), ... ( "Параметр9 Sy =% g", Sy), ... ( "Параметр10 I3 =% g", I3), .. . ( "Параметр11 I4 =% g", I4), ... ( "Параметр12 T =% g", T), ... ( "Параметр13 I5 =% g", I5), ... ( "Параметр13 Ns =% g ", Ns), ...

"Продовжити"); k == 1, = input ();

endk == 2, = input ();

endk == 3, = input ();

endk == 4, = input ();

endk == 5, = input ();

endk == 6, = input ();

endk == 7, = input ();

"Нове значення Sx ="]);

endk == 9, = input ();

endk == 10, = input ();

endk == 11, = input ();

endk == 12, = input ();

endk == 13, = input ()

endk == 14, = input ()

% Застосування параметрів = Qy / (Q-I2);

v = Qy * I2 / (I2-Q); = (Ry-Qy) / (RQ); = (Qy * RQ * Ry) / (RQ); = (Sy-Ry) / (SR); = (Ry * SR * Sy) / (SR); = Sy / (S-I3); = I3 * Sy / (I3-S); = 2 * L / N; = 0: Ts: 2 * L; = length (t ); = zeros (1, Dim); = floor (I1 * N / 2 / L) +1; = floor ((I2-I1) * N / 2 / L) +1; = floor ((Q-I2) * N / 2 / L) +1; = floor ((RQ) * N / 2 / L) +1; = floor ((SR) * N / 2 / L) +1; = floor ((I3-S) * N / 2 / L) +1; = floor ((I4-I3) * N / 2 / L) +1; = floor ((I5-I4) * N / 2 / L) +1; = floor (( 2 * L-I4) * N / 2 / L) +1; i = 1: u1 (i) = P * sin (pi * t (i) / I1); i = u1: u2 (i) = 0; i = (u2 + u1) :( u3 + u2 + u1) (i) = w * t (i) + v; i = (u3 + u2 + u1): (u4 + u3 + u2 + u1) (i) = a * t (i) + b; i = (u4 + u3 + u2 + u1): (u5 + u4 + u3 + u2 + u1) (i) = c * t (i) + d; i = (u5 + u4 + u3 + u2 + u1): (u6 + u5 + u4 + u3 + u2 + u1) (i) = q * t (i) + r; i = (u6 + u5 + u4 + u3 + u2 + u1 ): (u7 + u6 + u5 + u4 + u3 + u2 + u1) (i) = 0; i = (u7 + u6 + u5 + u4 + u3 + u2 + u1): (u8 + u7 + u6 + u5 + u4 + u3 + u2 + u1) (i) = T * sin (pi * (t (i) -I4) / (I5-I4)); (t, y, "LineWidth", 2), grid, set ( gca, "FontName", "Arial Cyr", "FontSize", 16);

title ( "Графік процесу"); xlabel ( "Час (с)"); ylabel ( "Y (t)");

% Графік часткової суммиn

n = 0; j = 1: ExprNum = j; j1 = quad (@f, 0, I1); 2 = a0 + quad (@f, I1, I2); 3 = a0 + quad (@f, I2, Q ); 4 = a0 + quad (@f, Q, R); 5 = a0 + quad (@f, R, S); 6 = a0 + quad (@f, S, I3); 7 = a0 + quad ( @f, I3, I4); 8 = a0 + quad (@f, I4, I5); 9 = a0 + quad (@f, I5, 2 ​​* L); = a0 / L; = zeros (1, Ns) ; = zeros (1, Ns); i = 1: Ns = i; j = 1: ExprNum = j; j1 (i) = quad (@f, 0, I1); (i) = quad (@g, 0 , I1); 2 (i) = an (i) + quad (@f, I1, I2); (i) = bn (i) + quad (@g, I1, I2); 3 (i) = an ( i) + quad (@f, I2, Q); (i) = bn (i) + quad (@g, I2, Q); 4 (i) = an (i) + quad (@f, Q, R ); (i) = bn (i) + quad (@g, Q, R); 5 (i) = an (i) + quad (@f, R, S); (i) = bn (i) + quad (@g, R, S); 6 (i) = an (i) + quad (@f, S, I3); (i) = bn (i) + quad (@g, S, I3); 7 (i) = an (i) + quad (@f, I3, I4); (i) = bn (i) + quad (@g, I3, I4); 8 (i) = an (i) + quad ( @f, I4, I5); (i) = bn (i) + quad (@g, I4, I5); 9 (i) = an (i) + quad (@f, I5, 2 ​​* L); ( i) = bn (i) + quad (@g, I5, 2 ​​* L); (i) = an (i) / L; (i) = bn (i) / L; = t; = zeros (1, length (x)); = fn + a0 / 2; i = 1: Ns = i; = fn + an (i) * cos (n * pi * x / L) + bn (i) * sin (n * pi * x / L); (t, y, x, fn, "LineWidth", 2), grid, set (gca, "FontName", "Arial Cyr", "FontSize", 16);

title ( "Графік сигналу і часткової суми"); xlabel ( "Час (с)"); ylabel (sprintf ( "Sn (t)"));

% Побудова амплітудної діаграми = zeros (1, Ns);

wn = pi / L; = wn: wn: wn * Ns; i = 1: Ns (i) = sqrt (an (i). ^ 2 + bn (i). ^ 2); (Gn, A, ". "), grid, set (gca," FontName "," Arial Cyr "," FontSize ", 16); (" Амплітудна діаграма сигналу "); xlabel ( "n"); ylabel ( "An");

% Побудова фазового діаграми сигналу = zeros (1, Ns);

for i = 1: Ns (an (i)> 0) (i) = atan (bn (i) / an (i)); ((an (i)<0)&&(bn(i))>0) (i) = atan (bn (i) / an (i)) + pi; ((an (i)<0)&&(bn(i))<0)(i)=pi-atan(bn(i)/an(i));((an(i)==0)&&(bn(i))>0) (i) = pi / 2; ((an (i) == 0) && (bn (i))<0)(i)=-pi/2;(Gn,Fi,"."), grid, set(gca,"FontName","Arial Cyr","FontSize",16);("Фазовая диаграмма сигнала"); xlabel("n"); ylabel("Fi");Figure 1;Figure 2;Figure 3;Figure 4;=0;=input("Закончить работу-<3>, Продовжити - ");

списоклітератури

1. Фихтенгольц, Г.М. Курс диференціального й інтегрального числення: в 3 т., М., 1997. 3 т.

Водний, В. Т., Наумович, А. Ф., Наумович, М. Ф., Основні математичні формули. Мінськ, 1998.

Харкевич, А.А, Спектри і аналіз. Москва, 1958

Лазарєв, Ю. Ф., Почала програмування в середовищі MatLAB. Київ 2003.

Демидович, Б.П. Збірник завдань і вправ з математичного аналізу, М., 1988.

Серед різноманітних систем ортогональних функцій, які можуть використовуватися в якості базисів для подання радіотехнічних сигналів, виняткове місце займають гармонійні (синусоїдальні і косинусоидальной) функції. Значення гармонійних сигналів для радіотехніки обумовлено рядом причин.

Зокрема:

1. Гармонійні сигнали інваріантні відносно перетворень, здійснюваних стаціонарними лінійними електричними ланцюгами. Якщо такий ланцюг збуджена джерелом гармонійних коливань, то сигнал на виході ланцюга залишається гармонійним з тією ж частотою, відрізняючись від вхідного сигналу лише амплітудою і початковою фазою.

2. Техніка генерування гармонічних сигналів відносно проста.

Якщо який-небудь сигнал представлений у вигляді суми гармонійних коливань з різними частотами, то кажуть, - що здійснено спектральне розкладання цього сигналу. Окремі гармонійні компоненти сигналу утворюють його спектр.

2.1. Періодичні сигнали і ряди Фур'є

Математичною моделлю процесу, що повторюється в часі, є періодичний сигнал з наступним властивістю:

Тут Т - період сигналу.

Ставиться завдання знайти спектральне розкладання такого сигналу.

Ряд Фур'є.

Задамо на відрізку часу розглянутий в гол. I ортонормірованций базис, утворений гармонійними функціями з кратними частотами;

Будь-яка функція з цього базису задовольняє умові періодичності (2.1). Тому, - виконавши ортогональное розкладання сигналу в цьому базисі, т. Е. Обчисливши коефіцієнти

отримаємо спектральне розкладання

справедливе на всій нескінченності осі часу.

Ряд виду (2.4) називається поруч Фур'є даннрго сигналу. Введемо основну частоту послідовності, що утворює періодичний сигнал. Обчислюючи коефіцієнти розкладання по формулі (2.3), запишемо ряд Фур'є для періодичного сигналу

з коефіцієнтами

(2.6)

Отже, в загальному випадку періодичний сигнал містить незалежну від часу постійну складову і нескінченний набір гармонійних коливань, так званих гармонік з частотами кратними основній частоті послідовності.

Кожну гармоніку можна описати її амплітудою і початковою фазою Для цього коефіцієнти ряду Фур'є слід записати у вигляді

Підставивши ці вирази в (2.5), отримаємо іншу, - еквівалентну форму ряду Фур'є:

яка іноді виявляється зручніше.

Спектральна діаграма періодичного сигналу.

Так прийнято називати графічне зображення коефіцієнтів ряду Фур'є для конкретного сигналу. Розрізняють амплітудні і фазові спектральні діаграми (рис. 2.1).

Тут по горизонтальній осі в деякому масштабі відкладені частоти гармонік, а по вертикальній осі представлені їх амплітуди і початкові фази.

Мал. 2.1. Спектральні діаграми деякого періодичного сигналу: а - амплітудна; б - фазова

Особливо цікавляться амплітудної діаграмою, яка дозволяє судити про процентний вміст тих чи інших гармонік в спектрі періодичного сигналу.

Вивчимо кілька конкретних прикладів.

Приклад 2.1. Ряд Фур'є періодичної послідовності прямокутних відеоімпульсів з відомими параметрами, парної щодо точки t = 0.

У радіотехніці відношення називають скважностью послідовності. За формулами (2.6) знаходимо

Остаточну формулу ряду Фур'є зручно записати у вигляді

На рис. 2.2 представлені амплітудні діаграми аналізованої послідовності в двох крайніх випадках.

Важливо відзначити, що послідовність коротких імпульсів, наступних один за одним досить рідко, має багатий спектральним складом.

Мал. 2.2. Амплітудний спектр періодичної послідовності ррямоугольних видеоимпульсов: а - при великій шпаруватості; б - при малій скважности

Приклад 2.2. Ряд Фур'є періодичної послідовності імпульсів, утвореної гармонійним сигналом виду обмеженим на рівні (передбачається, що).

Введемо спеціальний параметр - кут відсічення, який визначається зі співвідношення звідки

У соотаетствіі з цим величина дорівнює тривалості одного імпульсу, вираженої в кутовій мірі:

Аналітична запис імпульсу, що породжує розглянуту послідовність, має вигляд

Постійна складова послідовності

Амплітудний коефіцієнт першої гармоніки

Аналогічно обчислюють амплітуди - гармонійних складових при

Отримані результати зазвичай записують так:

де так звані функції Берга:

Графіки деяких функцій Берга наведені на рис. 2.3.

Мал. 2.3. Графіки кількох перших функцій Берга

Комплексна форма ряду Фур'є.

Спектральне розкладання періодичного сигналу можна виконати і кілька іонного, використовуючи систему базисних функцій, що складається з експонент з уявними показниками:

Легко бачити, що функції цієї системи періодичні з періодом ортонормированном на відрізку часу так як

Ряд Фур'є довільного періодичного сигналу в даному випадку приймає вид

з коефіцієнтами

Зазвичай використовують наступну форму запису:

Вираз (2.11) являє собою ряд Фур'є в комплексній формі.

Спектр сигналу відповідно до формули (2.11) містить компоненти на негативній півосі частот, причому. У ряді (2.11) доданки з позитивними і негативними частотами об'єднуються в пари, наприклад.

У багатьох випадках завдання отримання (обчислення) спектра сигналу виглядає наступним чином. Є АЦП, який з частотою дискретизації Fd перетворює безперервний сигнал, що надходить на його вхід протягом часу Т, в цифрові відліки - N штук. Далі масив відліків подається в якусь програму, яка видає N / 2 якихось числових значень (програміст, який поцупив з инетанаписав програмку, запевняє, що вона робить перетворення Фур'є).

Щоб перевірити, чи правильно працює програма, сформуємо масив відліків як суму двох синусоїд sin (10 * 2 * pi * x) + 0,5 * sin (5 * 2 * pi * x) і підсунь програмці. Програма намалювала наступне:

рис.1 Графік тимчасової функції сигналу

рис.2 Графік спектру сигналу

На графіку спектра є дві палиці (гармоніки) 5 Гц з амплітудою 0.5 В і 10 Гц - з амплітудою 1 В, все як у формулі вихідного сигналу. Все відмінно, програміст молодець! Програма працює правильно.

Це означає, що якщо ми подамо на вхід АЦП реальний сигнал із суміші двох синусоїд, то ми отримаємо аналогічний спектр, що складається з двох гармонік.

Разом, наш реальнийвиміряний сигнал, тривалістю 5 сек, Оцифрований АЦП, тобто представлений дискретнимиотсчетами, має дискретний неперіодичнаспектр.

З математичної точки зору - скільки помилок в цій фразі?

Тепер начальство вирішило ми вирішили, що 5 секунд - це занадто довго, давай вимірювати сигнал за 0.5 сек.



рис.3 Графік функції sin (10 * 2 * pi * x) + 0,5 * sin (5 * 2 * pi * x) на періоді вимірювання 0.5 сек

рис.4 Спектр функції

Щось як би не те! Гармоніка 10 Гц малюється нормально, а замість палиці на 5 Гц з'явилося кілька якихось незрозумілих гармонік. Дивимося в інтернетах, що й до чого ...

Во, кажуть, що в кінець вибірки треба додати нулі і спектр буде малюватися нормальний.

рис.5 Добили нулів до 5 сек

рис.6 Отримали спектр

Все одно не те, що було на 5 секундах. Доведеться розбиратися з теорією. йдемо в Вікіпедію- джерело знань.

2. Безперервна функція і уявлення її поруч Фур'є

Математично наш сигнал тривалістю T секунд є деякою функцією f (x), заданої на відрізку (0, T) (X в даному випадку - час). Таку функцію завжди можна представити у вигляді суми гармонійних функцій (синусоїд або косинусоид) виду:

(1), де:

K - номер тригонометричної функції (номер гармонійної складової, номер гармоніки)
T - відрізок, де функція визначена (тривалість сигналу)
Ak - амплітуда k-ой гармонійної складової,
θk- початкова фаза k-ой гармонійної складової

Що значить «уявити функцію у вигляді суми ряду»? Це означає, що, склавши в кожній точці значення гармонійних складових ряду Фур'є, ми отримаємо значення нашої функції в цій точці.

(Більш строго, середньоквадратичне відхилення ряду від функції f (x) буде прагнути до нуля, але не дивлячись на середньоквадратичнепомилку збіжність, ряд Фур'є функції, взагалі кажучи, не зобов'язаний сходитися до неї поточечно. Див. Https://ru.wikipedia.org/ wiki / Ряд_Фурье.)

Цей ряд може бути також записаний у вигляді:

(2),
де, k-я комплексна амплітуда.

Зв'язок між коефіцієнтами (1) і (3) виражається наступними формулами:

Відзначимо, що всі ці три представлення низки Фур'є абсолютно рівнозначні. Іноді при роботі з рядами Фур'є буває зручніше використовувати замість синусів і косинусів експоненти уявного аргументу, тобто використовувати перетворення Фур'є в комплексній формі. Але нам зручно використовувати формулу (1), де ряд Фур'є представлений у вигляді суми косинусоид з відповідними амплітудами і фазами. У будь-якому випадку неправильно говорити, що результатом перетворення Фур'є дійсного сигналу будуть комплексні амплітуди гармонік. Як правильно говориться в Вікі «Перетворення Фур'є (ℱ) - операція, що зіставляє однієї функції дійсної змінної іншу функцію, також дійсної змінної.»

Разом:
Математичною основою спектрального аналізу сигналів є перетворення Фур'є.

Перетворення Фур'є дозволяє уявити безперервну функцію f (x) (сигнал), визначену на відрізку (0, T) у вигляді суми нескінченного числа (нескінченного ряду) тригонометричних функцій (синусоїд і \ або косинусоид) з певними амплітудами і фазами, також розглядаються на відрізку (0, T). Такий ряд називається рядом Фур'є.

Відзначимо ще деякі моменти, розуміння яких потрібно для правильного застосування перетворення Фур'є до аналізу сигналів. Якщо розглянути ряд Фур'є (суму синусоїд) на всій осі Х, то можна побачити, що поза відрізка (0, T) функція представлена ​​рядом Фур'є буде буде періодично повторювати нашу функцію.

Наприклад, на графіку рис.7 початкова функція визначена на відрізку (-T \ 2, + T \ 2), а ряд Фур'є представляє періодичну функцію, певну на всій осі х.

Це відбувається тому, що синусоїди самі є періодичними функціями, відповідно і їх сума буде періодичною функцією.

рис.7 Подання неперіодичної вихідної функцій рядів Фур'є

Таким чином:

Наша початкова функція - безперервна, неперіодичних, визначена на деякому відрізку довжиною T.
Спектр цієї функції - дискретний, тобто представлений у вигляді нескінченного ряду гармонійних складових - ряду Фур'є.
За фактом, поруч Фур'є визначається деяка періодична функція, що збігається з нашою на відрізку (0, T), але для нас ця періодичність не суттєва.

Періоди гармонійних складових кратні величині відрізка (0, T), на якому визначена початкова функція f (x). Іншими словами, періоди гармонік кратні тривалості вимірювання сигналу. Наприклад, період першої гармоніки ряду Фур'є дорівнює інтервалу Т, на якому визначена функція f (x). Період другої гармоніки ряду Фур'є дорівнює інтервалу Т / 2. І так далі (див. Рис. 8).

рис.8 Періоди (частоти) гармонійних складових ряду Фур'є (тут Т = 2π)

Відповідно, частоти гармонійних складових кратні величині 1 / Т. Тобто частоти гармонійних складових Fk рівні Fk = до \ Т, де до пробігає значення від 0 до ∞, наприклад к = 0 F0 = 0; к = 1 F1 = 1 \ T; к = 2 F2 = 2 \ T; к = 3 F3 = 3 \ T; ... Fk = до \ Т (при нульовій частоті - постійна складова).

Нехай наша початкова функція, являє собою сигнал, записаний протягом Т = 1 сек. Тоді період першої гармоніки буде дорівнює тривалості нашого сигналу Т1 = Т = 1 сек і частота гармоніки дорівнює 1 Гц. Період другої гармоніки буде дорівнює тривалості сигналу, поділеній на 2 (Т2 = Т / 2 = 0,5 сек) і частота дорівнює 2 Гц. Для третьої гармоніки Т3 = Т / 3 сек і частота дорівнює 3 Гц. І так далі.

Крок між гармоніками в цьому випадку дорівнює 1 Гц.

Таким чином сигнал тривалістю 1 сек можна розкласти на гармонійні складові (отримати спектр) з дозволом по частоті 1 Гц.
Щоб збільшити дозвіл в 2 рази до 0,5 Гц - треба збільшити тривалість вимірювання в 2 рази - до 2 сек. Сигнал тривалістю 10 сек можна розкласти на гармонійні складові (отримати спектр) з дозволом по частоті 0,1 Гц. Інших способів збільшити дозвіл по частоті немає.

Існує спосіб штучного збільшення тривалості сигналу шляхом додавання нулів до масиву відліків. Але реальну роздільну здатність по частоті він не збільшує.

3. Дискретні сигнали і дискретне перетворення Фур'є

З розвитком цифрової техніки змінилися і способи зберігання даних вимірювань (сигналів). Якщо раніше сигнал міг записуватися на магнітофон і зберігатися на стрічці в аналоговому вигляді, то зараз сигнали оцифровуються і зберігаються в файлах в пам'яті комп'ютера у вигляді набору чисел (відліків).

Звичайна схема вимірювання і оцифровки сигналу виглядає наступним чином.

рис.9 Схема вимірювального каналу

Сигнал з вимірювального перетворювача надходить на АЦП протягом періоду часу Т. Отримані за час Т відліки сигналу (вибірка) передаються в комп'ютер і зберігаються в пам'яті.

рис.10 Оцифрований сигнал - N відліків отриманих за час Т

Які вимоги висуваються до параметрів оцифровки сигналу? Пристрій, що перетворює вхідний аналоговий сигнал в дискретний код (цифровий сигнал) називається аналого-цифровий перетворювач (АЦП, англ. Analog-to-digital converter, ADC) (Wiki).

Одним з основних параметрів АЦП є максимальна частота дискретизації (або частота семплірованія, англ. Sample rate) - частота взяття відліків безперервного в часі сигналу при його дискретизації. Вимірюється в герцах. ((Wiki))

Згідно з теоремою Котельникова, якщо безперервний сигнал має спектр, обмежений частотою Fмакс, то він може бути повністю і однозначно відновлений по його дискретним відліком, узятим через інтервали часу , Тобто з частотою Fd ≥ 2 * Fмакс, де Fd - частота дискретизації; Fмакс - максимальна частота спектра сигналу. Іншими слова частота оцифровки сигналу (частота дискретизації АЦП) повинна як мінімум в 2 рази перевищувати максимальну частоту сигналу, який ми хочемо виміряти.

А що буде, якщо ми будемо брати відліки з меншою частотою, ніж потрібно по теоремі Котельникова?

В цьому випадку виникає ефект «аліасинга» (він же стробоскопічний ефект, муаровий ефект), при якому сигнал високої частоти після оцифровки перетворюється в сигнал низької частоти, якого насправді не існує. На рис. 11 червона синусоїда високої частоти - це реальний сигнал. Синя синусоїда більш низької частоти - фіктивний сигнал, що виникає внаслідок того, за час взяття відліку встигає пройти більше, ніж пів-періоду високочастотного сигналу.

Мал. 11. Поява помилкового сигналу низької частоти при недостатньо високій частоті дискретизації

Щоб уникнути ефекту аліасинга перед АЦП ставлять спеціальний антіаліасінговий фільтр - ФНЧ (фільтр нижніх частот), який пропускає частоти нижче половини частоти дискретизації АЦП, а більш високі частоти заріже.

Для того, щоб обчислити спектр сигналу по його дискретним відліком використовується дискретне перетворення Фур'є (ДПФ). Відзначимо ще раз, що спектр дискретного сигналу «за визначенням» обмежений частотою Fмакс, меншою половині частоти дискретизації Fd. Тому спектр дискретного сигналу може бути представлений сумою кінцевого числа гармонік, на відміну від нескінченної суми для ряду Фур'є безперервного сигналу, спектр якого може бути необмежений. Згідно з теоремою Котельникова максимальна частота гармоніки повинна бути такою, щоб на неї припадало як мінімум два відліку, тому число гармонік дорівнює половині числа відліків дискретного сигналу. Тобто якщо у вибірці є N відліків, то число гармонік в спектрі дорівнюватиме N / 2.

Розглянемо тепер дискретне перетворення Фур'є (ДПФ).

Порівнюючи з рядом Фур'є

Бачимо, що вони збігаються, за винятком того, що час в ДПФ має дискретний характер і число гармонік обмежена величиною N / 2 - половиною числа відліків.

Формули ДПФ записуються в безрозмірних цілих змінних k, s, де k - номери відліків сигналу, s - номера спектральних складових.
Величина s показує кількість повних коливань гармоніки на періоді Т (тривалості вимірювання сигналу). Дискретне перетворення Фур'є використовується для знаходження амплітуд і фаз гармонік чисельним методом, тобто "на комп'ютері"

Повертаючись до результатів, отриманих на початку. Як вже було сказано вище, при розкладанні в ряд Фур'є неперіодичної функції (нашого сигналу), отриманий ряд Фур'є фактично відповідає періодичної функції з періодом Т. (рис.12).

рис.12 Періодична функція f (x) з періодом Т0, з періодом вимірювання Т> T0

Як видно на рис.12 функція f (x) періодична з періодом Т0. Однак через те, що тривалість вимірювальної вибірки Т не збігається з періодом функції Т0, функція, що отримується як ряд Фур'є, має розрив в точці Т. В результаті спектр даної функції буде містити велику кількість високочастотних гармонік. Якби тривалість вимірювальної вибірки Т збігалася з періодом функції Т0, то в отриманому після перетворення Фур'є спектрі присутня б тільки перша гармоніка (синусоїда з періодом, що дорівнює тривалості вибірки), оскільки функція f (x) являє собою синусоїду.

Іншими словами, програма ДПФ «не знає», що наш сигнал являє собою «шматок синусоїди», а намагається представити у вигляді ряду періодичну функцію, яка має розрив через нестиковки окремих шматків синусоїди.

В результаті в спектрі з'являються гармоніки, які повинні в сумі зобразити форму функції, включаючи цей розрив.

Таким чином, щоб отримати «правильний» спектр сигналу, що є сумою декількох синусоїд з різними періодами, необхідно щоб на періоді вимірювання сигналу вкладалося ціле число періодів кожної синусоїди. На практиці ця умова можна виконати при досить великої тривалості вимірювання сигналу.

Рис.13 Приклад функції і спектра сигналу кінематичної похибки редуктора

При меншій тривалості картина буде виглядати «гірше»:

Рис.14 Приклад функції і спектра сигналу вібрації ротора

На практиці буває складно зрозуміти, де «реальні складові», а де «артефакти», викликані некратними періодів складових і тривалості вибірки сигналу або «стрибками і розривами» форми сигналу. Звичайно слова «реальні складові» і «артефакти» не дарма взяті в лапки. Наявність на графіку спектра безлічі гармонік не означає, що наш сигнал в реальності з них «складається». Це все одно що вважати, ніби число 7 «складається» з чисел 3 і 4. Число 7 можна представити у вигляді суми чисел 3 і 4 - це правильно.

Так і наш сигнал ... а вірніше навіть не «наш сигнал», а періодичну функцію, складену шляхом повторення нашого сигналу (вибірки) можна представити у вигляді суми гармонік (синусоїд) з певними амплітудами і фазами. Але в багатьох важливих для практики випадках (див. Малюнки вище) дійсно можна пов'язати отримані в спектрі гармоніки і з реальними процесами, що мають циклічний характер і вносять значний вклад в форму сигналу.

деякі підсумки

1. Реальний виміряний сигнал, тривалістю T сек, оцифрований АЦП, тобто представлений набором дискретних відліків (N штук), має дискретний неперіодична спектр, представлений набором гармонік (N / 2 штук).

2. Сигнал представлений набором дійсних значень і його спектр представлений набором дійсних значень. Частоти гармонік позитивні. Те, що математикам буває зручніше представити спектр в комплексній формі з використанням негативних частот не означає, що «так правильно» і «так завжди треба робити».

3. Сигнал, який вимірюється на відрізку часу Т визначено тільки на відрізку часу Т. Що було до того, як ми почали вимірювати сигнал, і що буде після того - науці це невідомо. І в нашому випадку - нецікаво. ДПФ обмеженого в часі сигналу дає його «справжній» спектр, в тому сенсі, що за певних умов дозволяє обчислити амплітуду і частоту його складових.

Використані матеріали та інші корисні матеріали.