Im letzten Jahrhundert wandten Ivan Bernoulli, Leonard Euler und dann Jean-Baptiste Fourier erstmals die Darstellung periodischer Funktionen durch trigonometrische Reihen an. Diese Sichtweise wird in anderen Kursen ausreichend detailliert untersucht, daher erinnern wir uns nur an die grundlegenden Zusammenhänge und Definitionen.

Wie oben erwähnt, kann jede periodische Funktion du (t) für die die Gleichheit u (t) = u (t + T) , wo T = 1 / F = 2p / W , kann durch eine Fourier-Reihe dargestellt werden:

Jeder Term in dieser Reihe kann mit der Kosinusformel für die Differenz zweier Winkel erweitert und als zwei Terme dargestellt werden:

,

wo: A n = C n cosφ n, B n = C n sinφ n , so , ein

Chancen Ein und Gasthaus werden durch die Eulerschen Formeln bestimmt:

;
.

Bei n = 0 :

ein B0 = 0.

Chancen Ein und Gasthaus , sind die Mittelwerte des Produkts der Funktion du (t) und harmonische Schwingungen mit Frequenz nw in einem Intervall von Dauer T ... Wir wissen bereits (Abschnitt 2.5), dass dies Kreuzkorrelationsfunktionen sind, die das Maß ihrer Beziehung bestimmen. Daher sind die Koeffizienten Ein und B nein zeig uns "wie viele" Sinusoide oder Kosinus mit Frequenz nW in dieser Funktion enthalten du (t) erweiterbar in einer Fourier-Reihe.

Damit können wir die periodische Funktion darstellen du (t) als Summe harmonischer Schwingungen, wobei die Zahlen C nein sind die Amplituden und die Zahlen φ nein - Phasen. Normalerweise in der Literatur heißt Amplitudenspektrum und - das Spektrum der Phasen. Oft wird nur das Amplitudenspektrum betrachtet, das als Linien dargestellt wird, die an Punkten liegen nW auf der Frequenzachse und mit einer Höhe entsprechend der Zahl C nein ... Es sollte jedoch daran erinnert werden, dass um eine Eins-zu-eins-Entsprechung zwischen der Zeitfunktion du (t) und seines Spektrums ist es notwendig, sowohl das Amplitudenspektrum als auch das Phasenspektrum zu verwenden. Dies kann man an einem so einfachen Beispiel sehen. Die Signale haben das gleiche Amplitudenspektrum, aber vollständig andere Art temporäre Funktionen.

Ein diskretes Spektrum kann nicht nur eine periodische Funktion haben. Signal: ist beispielsweise nicht periodisch, sondern hat ein diskretes Spektrum, das aus zwei Spektrallinien besteht. Auch wird es kein streng periodisches Signal geben, das aus einer Folge von Funkpulsen (Pulse mit Hochfrequenzfüllung) besteht, bei denen die Wiederholungsperiode konstant ist, sondern die Anfangsphase der Hochfrequenzfüllung ändert sich von Puls zu Puls entsprechend zu irgendeinem Gesetz. Solche Signale werden als fast periodisch bezeichnet. Wie wir später sehen werden, haben sie auch ein diskretes Spektrum. Die Untersuchung der physikalischen Natur der Spektren solcher Signale werden wir auf die gleiche Weise wie bei periodischen durchführen.

Notationsformen für Fourierreihen. Das Signal heißt periodisch, wenn sich seine Form zeitlich zyklisch wiederholt Periodisches Signal du (t) im Allgemeinen wird es wie folgt geschrieben:

u (t) = u (t + mT), m = 0, ± 1, ± 2,…

Hier ist die T-Periode des Signals. Periodische Signale können einfach oder komplex sein.

Zur mathematischen Darstellung periodischer Signale mit einer Periode T Reihe (2.2) wird häufig verwendet, in der harmonische (sinusförmige und kosinusförmige) Schwingungen mehrerer Frequenzen als Basisfunktionen gewählt werden

y 0 (t) = 1; y 1 (t) = sinw 1 t; y 2 (t) = cosw 1 t;

y 3 (t) = sin2w 1 t; y 4 (t) = cos2w 1 t; ..., (2.3)

wobei w 1 = 2p / T die Grundkreisfrequenz der Folge ist

Funktionen. Für harmonische Basisfunktionen erhalten wir aus Reihe (2.2) die Fourier-Reihe (Jean Fourier ist ein französischer Mathematiker und Physiker des 19. Jahrhunderts).

Harmonische Funktionen der Form (2.3) in der Fourier-Reihe haben folgende Vorteile: 1) einfache mathematische Beschreibung; 2) Invarianz gegenüber linearen Transformationen, dh wenn am Eingang einer linearen Schaltung eine harmonische Schwingung wirkt, tritt an ihrem Ausgang auch eine harmonische Schwingung auf, die sich vom Eingang nur in Amplitude und Anfangsphase unterscheidet; 3) wie ein Signal sind harmonische Funktionen periodisch und haben eine unendliche Dauer; 4) Die Technik zur Erzeugung harmonischer Funktionen ist recht einfach.

Aus der Mathematik ist bekannt, dass für die Entwicklung eines periodischen Signals in eine Reihe in harmonische Funktionen (2.3) die Dirichlet-Bedingungen erfüllt sein müssen. Aber alle reellen periodischen Signale erfüllen diese Bedingungen und können als Fourier-Reihe dargestellt werden, die in einer der folgenden Formen geschrieben werden kann:

u (t) = A 0/2 + (A ’mn cosnw 1 t + A” mn nw 1 t), (2.4)

wobei die Koeffizienten

Ein mn ”= (2.5)

u (t) = A 0/2 + (2.6)

A mn = (2.7)

oder in komplexer Form

u (t) = (2.8)

Cn = (2.9)

Aus (2.4) - (2.9) folgt, dass im allgemeinen Fall das periodische Signal u (t) eine konstante Komponente A 0/2 und einen Satz harmonischer Schwingungen der Grundfrequenz w 1 = 2pf 1 und deren Harmonischen enthält mit Frequenzen wn = nw 1, n = 2 , 3,4, ... Jede der Harmonischen

Schwingungen der Fourier-Reihe ist gekennzeichnet durch die Amplitude und die Anfangsphase y n .nn

Spektraldiagramm und Spektrum eines periodischen Signals. Wenn ein Signal als Summe harmonischer Schwingungen mit unterschiedlichen Frequenzen dargestellt wird, dann heißt es: spektrale Zerlegung Signal.

Spektraldiagramm Das Signal wird normalerweise als grafische Darstellung der Koeffizienten der Fourier-Reihe dieses Signals bezeichnet. Unterscheiden Sie zwischen Amplituden- und Phasendiagrammen. In Abb. 2.6 Auf einer bestimmten Skala entlang der horizontalen Achse sind die Werte der harmonischen Frequenzen aufgetragen, entlang der vertikalen Achse - ihre Amplituden Amn und Phasen y n. Darüber hinaus können die Amplituden der Harmonischen nur positive Werte annehmen, die Phasen - sowohl positive als auch negative Werte im Intervall -p £ y n £ p

Signalspektrum ist ein Satz harmonischer Komponenten mit bestimmten Werten von Frequenzen, Amplituden und Anfangsphasen, die insgesamt ein Signal bilden. In technischen Anwendungen werden in der Praxis Spektraldiagramme kürzer genannt - Amplitudenspektrum, Phasenspektrum. Am häufigsten interessieren sie sich für das Amplitudenspektraldiagramm. Es kann verwendet werden, um den Prozentsatz der Harmonischen im Spektrum abzuschätzen.

Beispiel 2.3. Erweitern einer periodischen Folge rechteckiger Videopulse in einer Fourier-Reihe mit bekannte Parameter (U m, T, t z), sogar "Bezogen auf Punkt t = 0. Konstruieren Sie ein Spektraldiagramm der Amplituden und Phasen bei Um = 2B, T = 20ms, S = T / t und = 2 und 8.

Ein gegebenes periodisches Signal in einem Intervall von einer Periode kann geschrieben werden als

Um dieses Signal darzustellen, verwenden wir die Form der Fourier-Reihe v(2.4). Da das Signal gerade ist, verbleiben nur Kosinuskomponenten in der Expansion.

Reis. 2.6. Spektraldiagramme eines periodischen Signals:

a - Amplitude; B- Phase

Das Integral einer ungeraden Funktion über eine Periode ist gleich Null. Mit Formeln (2.5) finden wir die Koeffizienten

erlaubt, die Fourier-Reihe aufzuschreiben:

Um Spektraldiagramme für bestimmte numerische Daten zu erstellen, setzen wir i = 0, 1, 2, 3, ... und berechnen die harmonischen Koeffizienten. Die Ergebnisse der Berechnung der ersten acht Komponenten des Spektrums sind in einer Tabelle zusammengefasst. 2.1. In der Reihe (2.4) A "mn = 0 und nach (2.7) A mn = |A 'mn |, die Grundfrequenz f 1 = 1 / T = 1 / 20-10 -3 = 50 Hz, w 1 = 2pf 1 = 2p * 50 = 314 rad / s . Das Amplitudenspektrum in Abb.

2.7 ist für solche gebaut n, bei welchem Ein mn mehr als 5 % des Höchstwertes.

Aus dem gegebenen Beispiel 2.3 folgt, dass mit zunehmendem Tastverhältnis die Anzahl der Spektralkomponenten zunimmt und deren Amplituden abnehmen. Ein solches Signal soll ein reiches Spektrum haben. Es ist zu beachten, dass für viele praktisch verwendete Signale keine Berechnung der Amplituden und Phasen von Harmonischen mit den zuvor angegebenen Formeln erforderlich ist.

Tabelle 2.1. Amplituden der Komponenten der Fourier-Reihe einer periodischen Folge von Rechteckimpulsen

Reis. 2.7. Spektraldiagramme einer periodischen Pulsfolge: ein-mit Arbeitszyklus S-2; - b-wenn Duty-Cycle S = 8

In mathematischen Nachschlagewerken gibt es Tabellen zur Signalzerlegung in der Fourier-Reihe. Eine dieser Tabellen befindet sich im Anhang (Tabelle A.2).

Oft stellt sich die Frage: Wie viele spektrale Komponenten (Oberschwingungen) sollten verwendet werden, um ein reelles Signal als Fourier-Reihe darzustellen? Schließlich ist die Serie streng genommen endlos. Eine eindeutige Antwort kann hier nicht gegeben werden. Alles hängt von der Form des Signals und der Genauigkeit seiner Darstellung durch die Fourier-Reihe ab. Weicherer Signalwechsel - weniger Oberwellen erforderlich. Wenn das Signal Sprünge (Unstetigkeiten) aufweist, müssen mehr Oberwellen summiert werden, um den gleichen Fehler zu erzielen. In vielen Fällen, beispielsweise in der Telegrafie, wird jedoch angenommen, dass auch drei Harmonische für die Übertragung von Rechteckimpulsen mit steilen Flanken ausreichen.

Kursarbeit in Mathematischer Analysis

Thema: Berechnung von Teilsummen und spektralen Eigenschaften der Fourier-Reihe für eine explizite Funktion

Signalspektrum Fourier-Funktion

1.Modell des physikalischen Prozesses

Lösung des Problems mit theoretischen Berechnungen

Ein Beispiel für die Lösung des Problems

Ein Beispiel für die Lösung eines Problems in der Matlab R2009a-Umgebung

Referenzliste

1.Modell des physikalischen Prozesses

Mathematisches Modell ein Funksignal kann als eine Funktion der Zeit dienen F(T) . Diese Funktion kann reell oder komplex, eindimensional oder mehrdimensional, deterministisch oder zufällig (verrauschte Signale) sein. In der Funktechnik das gleiche mathematisches Modell beschreibt mit gleichem Erfolg Strom, Spannung, Spannung elektrisches Feld usw.

Betrachten Sie reale eindimensionale deterministische Signale

Mengen von Funktionen (Signalen) werden normalerweise als lineare funktionale normierte Räume betrachtet, in die die folgenden Konzepte und Axiome eingeführt werden:

) alle Axiome des linearen Raums sind erfüllt;

) ist das Skalarprodukt zweier reeller Signale wie folgt definiert:

) zwei Signale heißen orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt gleich Null ist;

) das System orthogonaler Signale bildet eine unendlichdimensionale Koordinatenbasis, nach der jedes periodische Signal, das zum linearen Raum gehört, zerlegt werden kann;

Unter den verschiedenen Systemen orthogonaler Funktionen, die zur Zerlegung des Signals verwendet werden können, ist das System harmonischer (Sinus- und Kosinusfunktionen) am gebräuchlichsten:

Die Darstellung eines bestimmten periodischen Signals als Summe harmonischer Schwingungen mit unterschiedlichen Frequenzen wird als spektrale Darstellung des Signals bezeichnet. Die einzelnen harmonischen Komponenten des Signals bilden sein Spektrum. Aus mathematischer Sicht entspricht die spektrale Darstellung der Entwicklung einer periodischen Funktion (Signal) in einer Fourier-Reihe.

Die Bedeutung der spektralen Zerlegung von Funktionen in der Funktechnik hat mehrere Gründe:

) Einfachheit des Studiums der Eigenschaften des Signals, weil harmonische Funktionen sind gut verstanden;

) die Fähigkeit, ein beliebiges Signal zu erzeugen, weil die Technik zum Erzeugen von harmonischen Signalen ist ziemlich einfach;

) einfache Übertragung und Empfang eines Signals über den Funkkanal, tk. harmonische Schwingung ist die einzige Funktion der Zeit, die ihre Form behält, wenn sie einen linearen Kreis durchläuft. Das Signal am Ausgang der Schaltung bleibt bei gleicher Frequenz harmonisch, nur die Amplitude und die Anfangsphase der Schwingung ändern sich;

) ermöglicht die Zerlegung des Signals in Sinus und Kosinus die Verwendung einer symbolischen Methode, die zur Analyse der Übertragung harmonischer Schwingungen durch lineare Schaltungen entwickelt wurde.

Betrachten Sie als Modell des physikalischen Prozesses das Elektrokardiogramm des Herzens.

2.Lösung des Problems mit theoretischen Berechnungen

Ziel 1:

Beschreiben wir mit Hilfe der Fourier-Reihe einen sich periodisch wiederholenden Impuls im Bereich des Elektrokardiogramms, den sogenannten QRS-Komplex.

Der QRS-Komplex kann durch die folgende stückweise lineare Funktion definiert werden

Woher

Diese Funktion kann periodisch mit einem Punkt fortgesetzt werden T = 2l.

Fourier-Reihe von Funktionen:

Definition 1: Die Funktion heißt stückweise kontinuierlich auf dem Segment [a, b], wenn es an allen Punkten dieses Segments stetig ist, mit Ausnahme einer endlichen Anzahl von Punkten, an denen seine endlichen einseitigen Grenzen existieren.

Definition 2: Die Funktion heißt stückweise glatt auf einem Segment, wenn es und seine Ableitung stückweise stetig sind.

Satz 1 (Dirichlet-Test): Fourierreihe einer stückweise glatten Funktion auf einem Intervall F (x) konvergiert an jedem Stetigkeitspunkt gegen den Wert der Funktion an diesem Punkt und gegen den Wert an jedem Unstetigkeitspunkt.

Unsere Funktion erfüllt die Bedingungen des Satzes.

Für eine gegebene Funktion erhalten wir die folgenden Koeffizienten der Fourier-Reihe:

Komplexe Form der Fourier-Reihe

Um die Reihe in komplexer Form darzustellen, verwenden wir die Eulerschen Formeln:

Wir führen die Notation ein:

Dann kann die Reihe umgeschrieben werden als

Darüber hinaus können die Koeffizienten der komplexen Fourier-Reihe direkt erhalten werden, indem man sie nach der Formel berechnet

Wir schreiben in komplexer Form die Fourierreihe einer gegebenen Funktion

Spektrale Eigenschaften der Serie

Ausdruck in der Fourierreihe heißt nte Harmonische. Es ist bekannt, dass

wo oder

,

Entsprechend heißen die Aggregate Amplituden- und Phasenspektrum periodische Funktion.

Spektren werden grafisch als Längensegmente dargestellt, die senkrecht zur Achse gezeichnet sind, auf der der Wert aufgetragen ist n= 1,2 ... oder.

Grafisches Bild das entsprechende Spektrum wird als Amplituden- oder Phasendiagramm bezeichnet. In der Praxis wird am häufigsten das Amplitudenspektrum verwendet.

.Ein Beispiel für die Lösung des Problems

Aufgabe 2: Erwägen konkretes Beispiel Aufgaben für das ausgewählte Modell des physikalischen Prozesses.

Erweitern wir diese Funktion auf die gesamte numerische Achse, erhalten wir die periodische Funktion F(x) mit Periode T = 2 l= 18 (Abb. 1).

Reis. 1. Graph einer periodisch fortgesetzten Funktion

Berechnen wir die Fourier-Koeffizienten der gegebenen Funktion.

Schreiben wir die Teilsummen der Reihe auf:

Reis. 2. Auftragungen von Partialsummen der Fourier-Reihe

Mit Wachstum n die Graphen der Partialsummen an den Stetigkeitspunkten nähern sich dem Graphen der Funktion F(x) ... An Bruchstellen nähern sich die Werte der Teilsummen .

Lassen Sie uns die Amplituden- und Phasendiagramme erstellen.

ein Viertel gegeben.

Tisch

4. Ein Beispiel für die Lösung eines Problems in der Matlab R2009a-Umgebung

Ziel 3: Betrachten Sie als Beispiel die gesamten PR- und QT-Intervalle.

Reis

Erstellen Sie für diese Funktion Diagramme von Teilsummen sowie Amplituden- und Phasendiagramme.

Nehmen wir konkrete Werte der Parameter für unsere Aufgabe:

Ein Skript zum Erstellen der erforderlichen Grafiken und Diagramme.

Mit dem Skript können Sie eine Reihe ähnlicher Probleme lösen, indem Sie die Parameter und Koordinaten der Punkte Q, R, S auswählen.

% BERECHNUNG VON TEILSUMMEN UND SPEKTRALEIGENSCHAFTEN DER FOURIER-REIHE FÜR EXPRESS

% Spektralanalyse L I1 I2 Q R S I3 I4 I5 P T w v a b c d q r Qy Ry SynCase = 18 = 6; I2 = 10; Q = 11; Qy = -2; R = 12; Ry = 17; S = 13; Sy = -4; I3 = 15; I4 = 20; I5 = 26 = 2; T = 3; AusdrNum = 9; = 250; = 30; = 0; Flag == 0 = 1; (k<15)

k = Menü ("Parameter ändern", ...

sprintf ("Parameter1 P =% g", P), ... ("Parameter2 I1 =% g", I1), ... ("Parameter3 I2 =% g", I2), ... ("Parameter4 Qx =% g ", Q), ... (" Parameter5 Qy =% g ", Qy), ... (" Parameter6 Rx =% g ", R), ... (" Parameter7 Ry =% g ", Ry), ... ("Parameter8 Sx =% g", S), ... ("Parameter9 Sy =% g", Sy), ... ("Parameter10 I3 =% g", I3), .. . ("Parameter11 I4 =% g", I4), ... ("Parameter12 T =% g", T), ... ("Parameter13 I5 =% g", I5), ... ("Parameter13 Ns =% g", Ns), ...

"Weiter"); k == 1, = Eingabe ();

endk == 2, = Eingabe ();

endk == 3, = Eingabe ();

endk == 4, = Eingabe ();

endk == 5, = Eingabe ();

endk == 6, = Eingabe ();

endk == 7, = Eingabe ();

"Neuer Sx-Wert ="]);

endk == 9, = Eingabe ();

endk == 10, = Eingabe ();

endk == 11, = Eingabe ();

endk == 12, = Eingabe ();

endk == 13, = Eingabe ()

endk == 14, = Eingabe ()

% Anwendung der Parameter = Qy / (Q-I2);

v = Qy * I2 / (I2-Q); = (Ry-Qy) / (RQ); = (Qy * RQ * Ry) / (RQ); = (Sy-Ry) / (SR); = (Ry * SR * Sy) / (SR); = Sy / (S-I3); = I3 * Sy / (I3-S); = 2 * L / N; = 0: Ts: 2 * L; = Länge (t ); = Nullen (1, Dim); = Etage (I1 * N / 2 / L) +1; = Etage ((I2-I1) * N / 2 / L) +1; = Etage ((Q-I2) * N / 2 / L) +1; = Etage ((RQ) * N / 2 / L) +1; = Etage ((SR) * N / 2 / L) +1; = Etage ((I3-S) * N / 2 / L) +1; = Etage ((I4-I3) * N / 2 / L) +1; = Etage ((I5-I4) * N / 2 / L) +1; = Etage (( 2 * L-I4) * N / 2 / L) +1, i = 1: u1 (i) = P * sin (pi * t (i) / I1), i = u1: u2 (i) = 0; i = (u2 + u1) :( u3 + u2 + u1) (i) = w * t (i) + v; i = (u3 + u2 + u1): (u4 + u3 + u2 + u1) (i) = a * t (i) + b; i = (u4 + u3 + u2 + u1): (u5 + u4 + u3 + u2 + u1) (i) = c * t (i) + d; i = (u5 + u4 + u3 + u2 + u1): (u6 + u5 + u4 + u3 + u2 + u1) (i) = q * t (i) + r; i = (u6 + u5 + u4 + u3 + u2 + u1 ): (u7 + u6 + u5 + u4 + u3 + u2 + u1) (i) = 0; i = (u7 + u6 + u5 + u4 + u3 + u2 + u1): (u8 + u7 + u6 + u5 + u4 + u3 + u2 + u1) (i) = T * sin (pi * (t (i) -I4) / (I5-I4)); (t, y, "LineWidth", 2), Raster, Set ( gca, "FontName", "Arial Cyr", "FontSize", 16);

Titel ("Prozessdiagramm"); xlabel ("Zeit (s)"); ylabel ("Y (t)");

% Teilsummendiagramm n

n = 0; j = 1: AusdrNum = j; j1 = quad (@f, 0, I1); 2 = a0 + quad (@f, I1, I2); 3 = a0 + quad (@f, I2, Q ); 4 = a0 + quad (@f, Q, R); 5 = a0 + quad (@f, R, S); 6 = a0 + quad (@f, S, I3); 7 = a0 + quad ( @f, I3, I4); 8 = a0 + Quad (@f, I4, I5); 9 = a0 + Quad (@f, I5, 2 ​​* L); = a0 / L; = Nullen (1, Ns) ; = Nullen (1, Ns); i = 1: Ns = i; j = 1: AusdrNum = j; j1 (i) = quad (@f, 0, I1); (i) = quad (@g , 0 , I1); 2 (i) = an (i) + quad (@f, I1, I2); (i) = bn (i) + quad (@g, I1, I2); 3 (i) = an (i) + quad (@f, I2, Q); (i) = bn (i) + quad (@g, I2, Q); 4 (i) = an (i) + quad (@f, Q , R ); (i) = bn (i) + quad (@g, Q, R); 5 (i) = an (i) + quad (@f, R, S); (i) = bn (i ) + quad (@g, R, S); 6 (i) = an (i) + quad (@f, S, I3); (i) = bn (i) + quad (@g, S, I3) ; 7 (i) = an (i) + quad (@f, I3, I4); (i) = bn (i) + quad (@g, I3, I4); 8 (i) = an (i) + quad ( @f, I4, I5); (i) = bn (i) + quad (@g, I4, I5); 9 (i) = an (i) + quad (@f, I5, 2 ​​* L); (i) = bn (i) + quad (@g, I5, 2 ​​* L); (i) = an (i) / L; (i) = bn (i) / L; = t ; = Nullen (1, Länge (x)); = fn + a0 / 2; i = 1: Ns = i; = fn + an (i) * cos (n * pi * x / L) + bn (i) * sin (n * pi * x / L);(t, y, x, fn, "LineWidth", 2), grid, set (gca, "FontName", "Arial Cyr", "FontSize", 16);

Titel ("Signal- und Teilsummendiagramm"); xlabel ("Zeit (s)"); ylabel (sprintf ("Sn (t)"));

% Plotten eines Amplitudendiagramms = Nullen (1, Ns);

wn = pi / L; = wn: wn: wn * Ns; i = 1: Ns (i) = sqrt (an (i). ^ 2 + bn (i). ^ 2); (Gn, A, ". "), grid, set (gca," FontName "," Arial Cyr "," FontSize ", 16); (" Amplitudendiagramm des Signals "); xlabel ("n"); ylabel ("An");

% Konstruktion des Phasendiagramms des Signals = Nullen (1, Ns);

für i = 1: Ns (an (i)> 0) (i) = atan (bn (i) / an (i)); ((an (i)<0)&&(bn(i))>0) (i) = atan (bn (i) / an (i)) + pi; ((an (i)<0)&&(bn(i))<0)(i)=pi-atan(bn(i)/an(i));((an(i)==0)&&(bn(i))>0) (i) = pi / 2; ((an (i) == 0) && (bn (i))<0)(i)=-pi/2;(Gn,Fi,"."), grid, set(gca,"FontName","Arial Cyr","FontSize",16);("Фазовая диаграмма сигнала"); xlabel("n"); ylabel("Fi");Figure 1;Figure 2;Figure 3;Figure 4;=0;=input("Закончить работу-<3>, Vorgehen - ");

AufführenLiteratur

1. Fikhtengolts, G.M. Verlauf der Differential- und Integralrechnung: in 3 Bänden, Moskau, 1997,3 Bände.

Vodnev, V. T., Naumovich, A. F., Naumovich, N. F., Grundlegende mathematische Formeln. Minsk, 1998

Kharkevich, A. A., Spektren und Analyse. Moskau, 1958

Lazarev, Yu. F., Anfänge der Programmierung im MatLAB-Umfeld. Kiew 2003.

Demidovich, B. P. Sammlung von Problemen und Übungen zur mathematischen Analysis, M., 1988.

Unter den verschiedenen Systemen orthogonaler Funktionen, die als Grundlage für die Darstellung funktechnischer Signale verwendet werden können, nehmen harmonische (Sinus- und Kosinus-) Funktionen eine Ausnahmestellung ein. Die Bedeutung harmonischer Signale für die Funktechnik hat mehrere Gründe.

Insbesondere:

1. Harmonische Signale sind invariant gegenüber Transformationen, die von stationären linearen Stromkreisen durchgeführt werden. Wird eine solche Schaltung durch eine Quelle harmonischer Schwingungen angeregt, so bleibt das Signal am Ausgang der Schaltung mit gleicher Frequenz harmonisch und unterscheidet sich vom Eingangssignal nur in Amplitude und Anfangsphase.

2. Die Technik zur Erzeugung harmonischer Signale ist relativ einfach.

Wird ein Signal als Summe harmonischer Schwingungen mit unterschiedlichen Frequenzen dargestellt, so sagt man, dass die spektrale Zerlegung dieses Signals durchgeführt wurde. Die einzelnen harmonischen Komponenten des Signals bilden sein Spektrum.

2.1. Periodische Signale und Fourier-Reihen

Das mathematische Modell eines sich zeitlich wiederholenden Prozesses ist ein periodisches Signal mit folgender Eigenschaft:

Hier ist T die Signalperiode.

Die Aufgabe besteht darin, die spektrale Zerlegung eines solchen Signals zu finden.

Die Fourierreihe.

Setzen wir auf das in Kap. I Orthonormalbasis gebildet durch harmonische Funktionen mit mehreren Frequenzen;

Jede Funktion aus dieser Basis erfüllt die Periodizitätsbedingung (2.1). Daher - nach Durchführung der orthogonalen Zerlegung des Signals auf dieser Basis, d. h. Berechnung der Koeffizienten

wir erhalten die spektrale Zerlegung

die auf der gesamten Unendlichkeit der Zeitachse gültig ist.

Eine Reihe der Form (2.4) heißt Fourierreihe des gegebenen Signals. Wir führen die Grundfrequenz der Folge ein, die das periodische Signal bildet. Durch Berechnung der Expansionskoeffizienten nach Formel (2.3) schreiben wir die Fourier-Reihe für ein periodisches Signal

mit Koeffizienten

(2.6)

Im allgemeinen Fall enthält ein periodisches Signal also eine zeitunabhängige konstante Komponente und eine unendliche Menge von harmonischen Schwingungen, den sogenannten Harmonischen mit Frequenzen, die ein Vielfaches der Grundfrequenz der Folge sind.

Jede Harmonische kann durch ihre Amplitude und Anfangsphase beschrieben werden Dazu sollten die Koeffizienten der Fourier-Reihe in der Form . geschrieben werden

Wenn wir diese Ausdrücke in (2.5) einsetzen, erhalten wir einen anderen, - eine äquivalente Form der Fourier-Reihe:

was manchmal bequemer ist.

Spektraldiagramm eines periodischen Signals.

Daher ist es üblich, eine grafische Darstellung der Koeffizienten der Fourier-Reihe für ein bestimmtes Signal zu nennen. Unterscheiden Sie zwischen Amplituden- und Phasenspektraldiagrammen (Abb. 2.1).

Dabei sind auf der horizontalen Achse in einem bestimmten Maßstab die Frequenzen der Harmonischen und auf der vertikalen Achse deren Amplituden und Anfangsphasen aufgetragen.

Reis. 2.1. Spektraldiagramme einiger periodischer Signale: a - Amplitude; b - Phase

Sie interessieren sich besonders für das Amplitudendiagramm, das es ermöglicht, den Prozentsatz bestimmter Harmonischer im Spektrum eines periodischen Signals zu beurteilen.

Schauen wir uns einige konkrete Beispiele an.

Beispiel 2.1. Fourier-Reihe einer periodischen Folge rechteckiger Videopulse mit bekannten Parametern, auch relativ zum Punkt t = 0.

In der Funktechnik wird das Verhältnis als Duty Cycle der Sequenz bezeichnet. Mit Formeln (2.6) finden wir

Es ist praktisch, die endgültige Formel der Fourier-Reihe in der Form

In Abb. 2.2 zeigt die Amplitudendiagramme der betrachteten Sequenz in zwei Extremfällen.

Es ist wichtig zu beachten, dass eine Folge kurzer Pulse, die eher selten aufeinander folgen, eine reiche spektrale Zusammensetzung hat.

Reis. 2.2. Amplitudenspektrum einer periodischen Folge rechteckiger Videoimpulse: a – bei hohem Tastverhältnis; b - bei niedriger Einschaltdauer

Beispiel 2.2. Fourier-Reihe einer periodischen Folge von Impulsen, die durch ein harmonisches Signal der Form begrenzt auf den Pegel gebildet wird (angenommen, dass).

Wir führen einen speziellen Parameter ein - den Cutoff-Winkel, bestimmt aus der Beziehung wherece

Dementsprechend entspricht der Wert der Dauer eines Impulses, ausgedrückt im Winkelmaß:

Die analytische Aufzeichnung des Pulses, der die betrachtete Sequenz erzeugt, hat die Form

Konstante Komponente der Folge

Amplitudenkoeffizient der ersten Harmonischen

Ebenso werden die Amplituden berechnet - die harmonischen Komponenten bei

Die erhaltenen Ergebnisse werden normalerweise wie folgt geschrieben:

wobei die sogenannten Berg-Funktionen:

Die Graphen einiger Berg-Funktionen sind in Abb. 2.3.

Reis. 2.3. Plots der ersten paar Berg-Funktionen

Komplexe Form der Fourierreihe.

Die spektrale Zerlegung eines periodischen Signals kann auch etwas ionisch durchgeführt werden, indem ein System von Basisfunktionen verwendet wird, das aus Exponentialfunktionen mit imaginären Exponenten besteht:

Es ist leicht zu erkennen, dass die Funktionen dieses Systems periodisch sind mit einer auf ein Zeitintervall orthonormierten Periode, da

Die Fourier-Reihe eines beliebigen periodischen Signals hat in diesem Fall die Form

mit Koeffizienten

Üblicherweise wird folgende Notation verwendet:

Der Ausdruck (2.11) ist eine Fourier-Reihe in komplexer Form.

Das Signalspektrum gemäß Formel (2.11) enthält Komponenten auf der negativen Frequenzhalbachse, und. In Reihe (2.11) werden beispielsweise Terme mit positiver und negativer Frequenz zu Paaren zusammengefasst.

In vielen Fällen ist die Aufgabe, das Signalspektrum zu erhalten (zu berechnen) wie folgt. Es gibt einen ADC, der mit einer Abtastrate Fd ein während der Zeit T an seinem Eingang ankommendes kontinuierliches Signal in digitale Abtastwerte - N Stück - umwandelt. Als nächstes wird das Array von Samples in ein Programm eingespeist, das N / 2 einiger numerischer Werte ausgibt (ein Programmierer, der aus dem Internet gezogen ein Programm geschrieben hat, behauptet, dass es die Fourier-Transformation durchführt).

Um zu überprüfen, ob das Programm korrekt funktioniert, bilden wir ein Array von Samples als Summe von zwei Sinuskurven sin (10 * 2 * pi * x) + 0,5 * sin (5 * 2 * pi * x) und fügen es in das Programm ein . Das Programm zeichnete folgendes aus:

Abb. 1 Graph der Zeitfunktion des Signals

Abb. 2 Signalspektrum-Diagramm

Auf der Spektralgrafik befinden sich zwei Sticks (Harmonische) von 5 Hz mit einer Amplitude von 0,5 V und 10 Hz mit einer Amplitude von 1 V, alles ist wie in der Formel des Originalsignals. Alles in Ordnung, gut gemachter Programmierer! Das Programm funktioniert korrekt.

Das heißt, wenn wir ein reelles Signal aus einer Mischung zweier Sinuskurven an den ADC-Eingang anlegen, erhalten wir ein ähnliches Spektrum bestehend aus zwei Harmonischen.

Insgesamt, unsere Real gemessenes Signal, Dauer 5 Sek., digitalisierter ADC, also präsentiert diskret zählt, hat diskret nicht periodisch Spektrum.

Aus mathematischer Sicht, wie viele Fehler sind in diesem Satz enthalten?

Jetzt haben die Bosse entschieden, dass 5 Sekunden zu lang sind, messen wir das Signal in 0,5 Sekunden.



Abb. 3 Graph der Funktion sin (10 * 2 * pi * x) + 0,5 * sin (5 * 2 * pi * x) bei einer Messperiode von 0,5 s

Abb. 4 Funktionsspektrum

Irgendetwas scheint nicht zu stimmen! Die 10 Hz Harmonische wird normal gezeichnet und anstelle des 5 Hz Sticks erschienen mehrere unverständliche Harmonische. Wir schauen im Internet, was und wie ...

Darin heißt es, dass am Ende der Probe Nullen hinzugefügt werden müssen und das Spektrum normal gezeichnet wird.

Abb. 5 Wir haben Nullen bis zu 5 Sekunden beendet

Abb. 6 Empfangen des Spektrums

Immer noch nicht das, was es mit 5 Sekunden war. Wir müssen uns mit der Theorie auseinandersetzen. Gehe zu Wikipedia- Quelle des Wissens.

2. Stetige Funktion und ihre Darstellung durch die Fourier-Reihe

Mathematisch ist unser Signal mit einer Dauer von T Sekunden eine Funktion f (x), die auf dem Intervall (0, T) definiert ist (X ist in diesem Fall die Zeit). Eine solche Funktion lässt sich immer als Summe harmonischer Funktionen (Sinus oder Kosinus) der Form darstellen:

(1), wobei:

K - Zahl der trigonometrischen Funktion (Zahl der harmonischen Komponente, Zahl der Harmonischen)
T - das Segment, in dem die Funktion definiert ist (Signaldauer)
Ak ist die Amplitude der k-ten harmonischen Komponente,
θk ist die Anfangsphase der k-ten harmonischen Komponente

Was bedeutet es, "eine Funktion als Summe einer Reihe darzustellen"? Dies bedeutet, dass wir durch Addieren der Werte der harmonischen Komponenten der Fourier-Reihe an jedem Punkt den Wert unserer Funktion an dieser Stelle erhalten.

(Genauer gesagt, die quadratische Abweichung der Reihe von der Funktion f (x) wird gegen Null tendieren, aber trotz der quadratischen Konvergenz ist die Fourierreihe der Funktion im Allgemeinen nicht verpflichtet, konvergieren punktweise dazu (siehe https://ru.wikipedia.org/wiki/Fourier_Row).

Diese Reihe kann auch geschrieben werden als:

(2),
wo, k-te komplexe Amplitude.

Die Beziehung zwischen den Koeffizienten (1) und (3) wird durch die folgenden Formeln ausgedrückt:

Beachten Sie, dass alle diese drei Darstellungen der Fourier-Reihe vollständig äquivalent sind. Wenn Sie mit Fourier-Reihen arbeiten, ist es manchmal bequemer, Exponenten des imaginären Arguments anstelle von Sinus und Cosinus zu verwenden, dh die Fourier-Transformation in komplexer Form zu verwenden. Für uns ist es jedoch bequem, Formel (1) zu verwenden, in der die Fourier-Reihe als Summe von Kosinuswellen mit den entsprechenden Amplituden und Phasen dargestellt wird. Auf jeden Fall ist es falsch zu sagen, dass das Ergebnis der Fourier-Transformation eines reellen Signals die komplexen Amplituden der Harmonischen sind. Wie das Wiki sagt: "Die Fourier-Transformation (ℱ) ist eine Operation, die eine Funktion einer reellen Variablen einer anderen Funktion, ebenfalls einer reellen Variablen, zuweist."

Gesamt:
Die mathematische Grundlage der Spektralanalyse von Signalen ist die Fourier-Transformation.

Mit der Fourier-Transformation können Sie eine kontinuierliche Funktion f (x) (Signal) darstellen, die auf dem Segment (0, T) als Summe einer unendlichen Anzahl (unendliche Reihe) trigonometrischer Funktionen (Sinus und \ oder Kosinus) mit bestimmten Amplituden und Phasen, auch auf dem Segment (0, T) berücksichtigt. Eine solche Reihe wird als Fourierreihe bezeichnet.

Beachten wir noch einige Punkte, deren Verständnis für die korrekte Anwendung der Fourier-Transformation auf die Signalanalyse erforderlich ist. Wenn wir die Fourier-Reihe (die Summe der Sinuskurven) auf der gesamten X-Achse betrachten, können wir sehen, dass die durch die Fourier-Reihe repräsentierte Funktion außerhalb des Segments (0, T) periodisch unsere Funktion wiederholt.

Im Graphen in Fig. 7 ist beispielsweise die ursprüngliche Funktion auf dem Intervall (-T \ 2, + T \ 2) definiert, und die Fourier-Reihe repräsentiert eine periodische Funktion, die auf der gesamten x-Achse definiert ist.

Dies liegt daran, dass Sinuskurven selbst periodische Funktionen sind und ihre Summe dementsprechend eine periodische Funktion ist.

Abb. 7 Darstellung einer nichtperiodischen Originalfunktion durch die Fourier-Reihe

Auf diese Weise:

Unsere ursprüngliche Funktion ist stetig, nicht periodisch, definiert auf einem Segment der Länge T.
Das Spektrum dieser Funktion ist diskret, dh es wird in Form einer unendlichen Reihe harmonischer Komponenten - der Fourier-Reihe - dargestellt.
Tatsächlich definiert die Fourier-Reihe eine bestimmte periodische Funktion, die mit unserer auf dem Segment (0, T) übereinstimmt, aber für uns ist diese Periodizität nicht wesentlich.

Die Perioden der harmonischen Komponenten sind Vielfache des Wertes des Segments (0, T), auf dem die ursprüngliche Funktion f (x) definiert ist. Mit anderen Worten, die Perioden der Harmonischen sind Vielfache der Dauer der Signalmessung. Beispielsweise ist die Periode der ersten Harmonischen der Fourier-Reihe gleich dem Intervall T, auf dem die Funktion f (x) definiert ist. Die Periode der zweiten Harmonischen der Fourier-Reihe ist gleich dem Intervall T / 2. Und so weiter (siehe Abb. 8).

Abb. 8 Perioden (Frequenzen) harmonischer Komponenten der Fourier-Reihe (hier T = 2π)

Dementsprechend sind die Frequenzen der harmonischen Komponenten Vielfache von 1/T. Das heißt, die Frequenzen der harmonischen Komponenten Fk sind gleich Fk = k \ T, wobei k von 0 bis reicht, zum Beispiel k = 0 F0 = 0; k = 1 F1 = 1 \ T; k = 2 F2 = 2 \ T; k = 3 F3 = 3 \ T;… Fk = k \ T (bei Nullfrequenz - konstante Komponente).

Unsere ursprüngliche Funktion sei ein Signal, das während T = 1 Sek. aufgezeichnet wurde. Dann ist die Periode der ersten Harmonischen gleich der Dauer unseres Signals T1 = T = 1 Sekunde und die Frequenz der Harmonischen beträgt 1 Hz. Die Periode der zweiten Harmonischen entspricht der Signaldauer geteilt durch 2 (T2 = T / 2 = 0,5 Sek.) und die Frequenz beträgt 2 Hz. Für die dritte Harmonische ist T3 = T / 3 s und die Frequenz beträgt 3 Hz. Usw.

Der Schritt zwischen den Harmonischen beträgt in diesem Fall 1 Hz.

Somit kann ein Signal mit einer Dauer von 1 Sekunde in harmonische Komponenten (um ein Spektrum zu erhalten) mit einer Frequenzauflösung von 1 Hz zerlegt werden.
Um die Auflösung um das 2-fache auf 0,5 Hz zu erhöhen, ist es erforderlich, die Messdauer um das 2-fache zu erhöhen - bis zu 2 sek. Ein Signal mit einer Dauer von 10 Sekunden kann in harmonische Komponenten (um ein Spektrum zu erhalten) mit einer Frequenzauflösung von 0,1 Hz zerlegt werden. Es gibt keine anderen Möglichkeiten, die Frequenzauflösung zu erhöhen.

Es gibt eine Möglichkeit, die Signaldauer künstlich zu verlängern, indem dem Sample-Array Nullen hinzugefügt werden. Aber es erhöht nicht die reale Frequenzauflösung.

3. Diskrete Signale und diskrete Fourier-Transformation

Mit der Entwicklung der Digitaltechnik haben sich auch die Methoden zur Speicherung von Messdaten (Signalen) verändert. Konnte das Signal früher auf einem Tonbandgerät aufgezeichnet und in analoger Form auf Band gespeichert werden, werden die Signale jetzt digitalisiert und in Form einer Reihe von Zahlen (Zählungen) in Dateien im Computerspeicher gespeichert.

Ein typisches Schema zum Messen und Digitalisieren eines Signals ist wie folgt.

Abb. 9 Messkanaldiagramm

Das Signal des Messumformers erreicht den ADC für eine Zeitdauer T. Die während der Zeitdauer T erhaltenen Abtastwerte des Signals (Sample) werden an den Computer übertragen und im Speicher abgelegt.

Abb. 10 Digitalisiertes Signal - N Abtastwerte erhalten in der Zeit T

Was sind die Anforderungen an die Signaldigitalisierungsparameter? Ein Gerät, das ein analoges Eingangssignal in einen diskreten Code (digitales Signal) umwandelt, wird als Analog-Digital-Wandler (ADC) (Wiki) bezeichnet.

Einer der Hauptparameter des ADC ist die maximale Abtastrate (oder Abtastrate, englische Abtastrate) - die Abtastrate eines kontinuierlichen Signals in der Zeit während seiner Abtastung. Gemessen in Hertz. ((Wiki))

Wenn ein kontinuierliches Signal ein durch die Frequenz Fmax begrenztes Spektrum hat, kann es nach dem Kotelnikov-Theorem vollständig und eindeutig aus seinen diskreten Abtastwerten rekonstruiert werden, die in Zeitintervallen aufgenommen wurden , d.h. mit einer Frequenz von Fd 2 * Fmax, wobei Fd die Abtastfrequenz ist; Fmax ist die maximale Frequenz des Signalspektrums. Mit anderen Worten, die Signalabtastfrequenz (ADC-Abtastfrequenz) muss mindestens zweimal höher sein als die maximale Frequenz des zu messenden Signals.

Und was passiert, wenn wir Samples mit einer niedrigeren Frequenz nehmen, als es das Kotelnikov-Theorem erfordert?

In diesem Fall tritt der Effekt des "Aliasing" (auch bekannt als Stroboskop-Effekt, Moiré-Effekt) auf, bei dem ein hochfrequentes Signal nach der Digitalisierung in ein niederfrequentes Signal übergeht, das tatsächlich nicht existiert. In Abb. 11 hochfrequente rote Sinuswelle ist ein echtes Signal. Eine blaue Sinuskurve niedrigerer Frequenz ist ein Dummy-Signal, das dadurch entsteht, dass es während der Abtastzeit mehr als eine halbe Periode des Hochfrequenzsignals durchlässt.

Reis. 11. Das Auftreten eines falschen Signals niedriger Frequenz mit nicht ausreichend hoher Abtastrate

Um den Aliasing-Effekt zu vermeiden, wird vor dem ADC ein spezieller Anti-Aliasing-Filter installiert - ein Tiefpassfilter (Tiefpassfilter), der Frequenzen unterhalb der halben ADC-Abtastfrequenz durchlässt und höhere Frequenzen abschneidet.

Um das Spektrum des Signals aus seinen diskreten Abtastwerten zu berechnen, wird die diskrete Fourier-Transformation (DFT) verwendet. Man beachte wiederum, dass das Spektrum eines diskreten Signals "per Definition" durch die Frequenz Fmax begrenzt ist, die weniger als die Hälfte der Abtastfrequenz Fd beträgt. Daher kann das Spektrum eines diskreten Signals durch die Summe einer endlichen Anzahl von Harmonischen dargestellt werden, im Gegensatz zur unendlichen Summe für die Fourier-Reihe eines kontinuierlichen Signals, dessen Spektrum unbegrenzt sein kann. Nach dem Kotelnikov-Theorem sollte die maximale Frequenz einer Harmonischen so sein, dass sie mindestens zwei Zählwerte hat, sodass die Anzahl der Harmonischen gleich der Hälfte der Anzahl der Abtastungen eines diskreten Signals ist. Das heißt, wenn das Sample N Samples enthält, ist die Anzahl der Harmonischen im Spektrum gleich N / 2.

Betrachten Sie nun die diskrete Fourier-Transformation (DFT).

Vergleich mit der Fourier-Reihe

Wir sehen, dass sie zusammenfallen, außer dass die Zeit in der DFT diskret ist und die Anzahl der Harmonischen auf N / 2 begrenzt ist, was der Hälfte der Anzahl der Zählungen entspricht.

DFT-Formeln werden in dimensionslosen ganzzahligen Variablen k, s geschrieben, wobei k die Anzahl der Signalabtastwerte und s die Anzahl der Spektralkomponenten sind.
Der Wert von s zeigt die Anzahl der gesamten harmonischen Schwingungen bei der Periode T (der Dauer der Signalmessung). Die diskrete Fourier-Transformation wird verwendet, um die Amplituden und Phasen von Harmonischen numerisch zu finden, d.h. "auf dem Computer"

Zurück zu den Ergebnissen am Anfang. Wie bereits oben erwähnt, entspricht bei der Erweiterung einer nichtperiodischen Funktion (unserem Signal) in eine Fourier-Reihe die resultierende Fourier-Reihe tatsächlich einer periodischen Funktion mit einer Periode T. (Abb. 12).

Abb. 12 Periodische Funktion f (x) mit einer Periode T0, mit einer Messperiode T> T0

Wie in Fig. 12 zu sehen ist, ist die Funktion f(x) periodisch mit einer Periode T0. Da jedoch die Dauer der Messprobe T nicht mit der Periode der Funktion T0 übereinstimmt, weist die als Fourierreihe erhaltene Funktion eine Unstetigkeit am Punkt T auf. Dadurch wird das Spektrum dieser Funktion enthalten viele hochfrequente Oberwellen. Wenn die Dauer des Messmusters T mit der Periode der Funktion T0 zusammenfällt, dann wäre in dem nach der Fourier-Transformation erhaltenen Spektrum nur die erste Harmonische vorhanden (eine Sinuskurve mit einer Periode gleich der Dauer des Musters), da die Funktion f (x) ist eine Sinuskurve.

Mit anderen Worten, das DFT-Programm „weiß nicht“, dass unser Signal ein „Stück einer Sinuskurve“ ist, sondern versucht, eine periodische Funktion als Reihe darzustellen, die aufgrund der Diskrepanz zwischen einzelnen Stücken einer Sinuskurve eine Diskontinuität aufweist.

Als Ergebnis erscheinen im Spektrum Oberwellen, die die Form der Funktion einschließlich dieser Unstetigkeit zusammenfassen sollten.

Um also ein "richtiges" Spektrum eines Signals zu erhalten, das die Summe mehrerer Sinuskurven mit unterschiedlichen Perioden ist, ist es notwendig, dass eine ganze Zahl von Perioden jeder Sinuskurve in die Signalmessperiode passt. In der Praxis kann diese Bedingung für eine ausreichend lange Signalmessdauer erfüllt werden.

Abb. 13 Beispiel für Funktion und Spektrum des Signals des kinematischen Fehlers des Getriebes

Bei kürzerer Dauer sieht das Bild "schlechter" aus:

Abb. 14 Beispiel für Rotorschwingungssignalfunktion und -spektrum

In der Praxis kann es schwierig sein zu verstehen, wo sich die "realen Komponenten" befinden und wo die "Artefakte" sind, die dadurch verursacht werden, dass die Perioden der Komponenten und die Dauer der Signalabtastung nicht mehrfach sind, oder die "Sprünge und" Pausen" der Wellenform. Natürlich werden die Worte "reale Komponenten" und "Artefakte" nicht umsonst in Anführungszeichen genommen. Das Vorhandensein vieler Harmonischer im Spektrumsdiagramm bedeutet nicht, dass unser Signal in Wirklichkeit daraus "besteht". Es ist, als würde man denken, dass die Zahl 7 aus den Zahlen 3 und 4 „besteht“. Die Zahl 7 lässt sich als Summe der Zahlen 3 und 4 darstellen – das ist richtig.

Unser Signal ... oder besser gesagt nicht einmal "unser Signal", sondern eine periodische Funktion, die sich aus der Wiederholung unseres Signals (Sample) zusammensetzt, kann als Summe von Harmonischen (Sinusoiden) mit bestimmten Amplituden und Phasen dargestellt werden. In vielen für die Praxis wichtigen Fällen (siehe Abbildungen oben) ist es aber durchaus möglich, die im Spektrum erhaltenen Oberwellen realen Prozessen zuzuordnen, die zyklischer Natur sind und einen wesentlichen Beitrag zum Signalverlauf leisten.

Einige Ergebnisse

1 ).

2. Das Signal wird durch einen Satz reeller Werte dargestellt und sein Spektrum wird durch einen Satz reeller Werte dargestellt. Harmonische Frequenzen sind positiv. Die Tatsache, dass es für Mathematiker bequemer ist, das Spektrum in einer komplexen Form mit negativen Frequenzen darzustellen, bedeutet nicht, dass "das richtig ist" und "das immer so gemacht werden sollte".

3. Das im Zeitintervall T gemessene Signal wird nur im Zeitintervall T bestimmt. Was war, bevor wir mit der Messung des Signals begannen und was danach passieren wird, ist der Wissenschaft unbekannt. Und in unserem Fall ist es nicht interessant. Die DFT eines zeitlich begrenzten Signals gibt sein „echtes“ Spektrum in dem Sinne an, dass man unter bestimmten Bedingungen die Amplitude und Frequenz seiner Komponenten berechnen kann.

Gebrauchte Materialien und andere nützliche Materialien.