آزمون در مورد توابع چندین متغیر. تست: محدودیت و تداوم توابع چندین متغیر. گروه: ریاضیات عالی

بخش: ریاضیات عالی

چکیده

در رشته "ریاضیات عالی"

موضوع: "محدودیت و تداوم توابع چندین متغیر"

توگلیاتی ، 2008

معرفی

مفهوم تابع یک متغیر همه وابستگی های موجود در طبیعت را پوشش نمی دهد. حتی در ساده ترین مسائل ، مقادیری وجود دارد که مقادیر آنها توسط مجموعه ای از مقادیر چند کمیت تعیین می شود.

برای مطالعه چنین وابستگی ها ، مفهوم تابع چند متغیر معرفی می شود.

مفهوم تابعی از چندین متغیر

تعریف.کمیت توتابعی از چندین متغیر مستقل نامیده می شود ( ایکس, بله, z, …, تی) ، اگر هر مجموعه از مقادیر این متغیرها با مقدار مشخصی از مقدار مرتبط باشد تو.

اگر یک متغیر تابعی از دو متغیر باشد NSو در، سپس وابستگی عملکردی مشخص می شود

z= f(ایکس, بله).

نماد fدر اینجا مجموعه ای از اقدامات یا یک قانون برای محاسبه یک مقدار تعریف می شود zبرای یک جفت ارزش معین NSو در.

بنابراین ، برای عملکرد z= ایکس 2 + 3xy

در NS= 1 و در= 1 داریم z = 4,

در NS= 2 و در= 3 داریم z = 22,

در NS= 4 و در= 0 داریم z= 16 و غیره

کمیت توعملکرد سه متغیر ایکس, بله, z, اگر یک قانون داده شود ، مانند سه برابر مقدار مشخص شده ایکس, بلهو zمقدار مربوطه را محاسبه کنید تو:

تو= F(ایکس, بله, z).

در اینجا نماد Fمجموعه ای از اقدامات یا یک قانون برای محاسبه مقدار تعریف می کند تومربوط به این مقادیر ایکس, بلهو z.

بنابراین ، برای عملکرد تو= xy+ 2xz– 3yz

در NS = 1, در= 1 و z= 1 داریم تو= 0,

در NS = 1, در= -2 و z= 3 داریم تو= 22,

در NS = 2, در= -1 و z= -2 داریم تو= -16 و غیره

بنابراین ، اگر به موجب برخی از قوانین هر جمعیت NSشماره ( ایکس, بله, z, …, تی) از مجموعه ای Eمقدار خاصی را به یک متغیر اختصاص می دهد تو، سپس توتابعی از NSمتغیرها ایکس, بله, z, …, تیروی مجموعه تعریف شده است E، و نشان داده شده است

تو= f(ایکس, بله, z, …, تی).

متغیرها ایکس, بله, z, …, تیمجموعه آرگومان های تابع نامیده می شوند E- دامنه عملکرد

مقدار خاص یک تابع مقدار یک تابع در برخی از نقاط است م 0(ایکس 0, بله 0, z 0, …, تی 0) و نشان داده می شود f (م 0) = f (ایکس 0, بله 0, z 0, …, تی 0).

دامنه یک تابع مجموعه ای از تمام مقادیر آرگومان هایی است که مقادیر واقعی تابع با آنها مطابقت دارد.

عملکرد دو متغیر z= f(ایکس, بله) در فضا توسط سطح خاصی نشان داده می شود. یعنی وقتی نقطه با مختصات NS, دراز طریق کل دامنه عملکرد واقع در صفحه اجرا می شود خوشحال، نقطه فضایی مربوطه ، به طور کلی ، سطح را توصیف می کند.

عملکرد سه متغیر تو= F(ایکس, بله, z) به عنوان تابعی از یک نقطه از مجموعه ای از نقاط در فضای سه بعدی در نظر گرفته شده است. به طور مشابه ، عملکرد NSمتغیرها تو= f(ایکس, بله, z, …, تی) بعنوان تابعی از یک نقطه در نظر گرفته می شود NS-فضای ابعادی

محدودیت تابع چند متغیر

به منظور ارائه مفهوم محدودیت تابعی از چندین متغیر ، ما خود را به مورد دو متغیر محدود می کنیم NSو در... طبق تعریف ، تابع f(ایکس, بله) دارای محدودیت در نقطه ( NS 0, در 0) برابر با عدد ولی، به این صورت نشان داده شده است:

(بیشتر بنویس f(ایکس, بله) →ولیدر (ایکس, بله) → (NS, در)) اگر در بعضی از محله های نقطه تعریف شده باشد ( NS, در) ، به استثنای احتمالاً خود این نکته و در صورت محدودیت

گرایش به سمت ( NS, در) دنباله ای از نقاط ( ایکسک, بلهک).

همانطور که در مورد یک تابع از یک متغیر ، شما می توانید تعریف معادل دیگری از حد تابع از دو متغیر معرفی کنید: تابع fدر نقطه دارد ( NS, در) حد برابر با ولیاگر در محله ای از نقطه تعریف شود ( NS, در) ، به جز ، شاید ، برای خود این نقطه ، و برای هر ε> 0 δ> 0 وجود دارد که

| f(ایکس, بله) – آ| < ε(3)

برای همه (ایکس, بله)

0 < />< δ. (4)

این تعریف ، به نوبه خود ، معادل زیر است: برای هر ε> 0 یک محله δ از نقطه وجود دارد ( NS, در) طوری که برای همه ( ایکس, بله) از این محله ، غیر از ( NS, در) ، نابرابری (3) برقرار است.

PAGE_BREAK--

از آنجا که مختصات یک نقطه دلخواه ( ایکس, بله) همسایگی نقطه ( NS, در) را می توان به صورت نوشت x = x+ Δ NS, y = y+ Δ در، سپس برابری (1) برابر با برابری زیر است:

برخی از تابع تعریف شده در همسایگی نقطه را در نظر بگیرید ( NS, در) ، به جز شاید برای خود این نکته.

بگذارید ω = (ω NS, ω در) بردار دلخواه طول یک است (| ω | 2 = ω NS 2+ ω در 2 = 1) و تی> 0 اسکالر است. مشاهده نقاط

(NS 0+ تیω NS, بله 0+ تیω در) (0 < تی)

یک پرتوی که از ( NS 0, در 0) در جهت بردار ω. برای هر ω می توان تابع را در نظر گرفت

f(NS 0+ تیω NS, بله 0+ تیω در) (0 < تی< δ)

از یک متغیر اسکالر تی، جایی که δ تعداد کافی کمی است.

حد این تابع (یک متغیر) تی)

/> f(NS+ تیω NS, بله+ تیω در),

fدر نقطه ( NS, در) در جهت ω

مثال 1کارکرد

تعریف شده در هواپیما ( ایکس, بله) به جز نکته NS= 0, در= 0. ما داریم (در نظر بگیرید که /> و />):

(برای ε> 0 δ = ε / 2 و سپس | f(ایکس, بله) | < ε, если />< δ).

که از آن مشاهده می شود که حد φ در نقطه (0 ، 0) با توجه به جهت های مختلفبه طور کلی متفاوت است (واحد بردار اشعه بله= کیلوگرم, NS> 0 ، دارای فرم است

مثال 2در نظر بگیرید R 2 عملکرد

/> (NS 4+ در 2≠ 0).

این عملکرددر نقطه (0 ، 0) در هر خط بله= کیلوگرمعبور از مبدا حد برابر صفر دارد:

/> برای NS→ 0.

با این حال ، این تابع در نقاط (0 ، 0) محدودیتی ندارد ، زیرا برای y = x 2

اگر این تابع /> را بنویسیم fدر بعضی از محله های نقطه تعریف شده است ( NS, در) ، به استثنای احتمالی خود نقطه ( NS, در) و برای همه N> 0 δ> 0 وجود دارد به طوری که

|f(ایکس, بله) | > N,

از 0< />< δ.

ادامه
--PAGE_BREAK--

همچنین می توانید در مورد حد صحبت کنید f، چه زمانی NS, در→ ∞:

ولیتساوی (5) باید به این معنا درک شود که برای هر ε> 0 چنین چیزی وجود دارد N> 0 ، که برای همه NS, درکه برای آن | ایکس| > N, |بله| > N، تابع fتعریف شده است و نابرابری

|f(ایکس, بله) – ولی| < ε.

برابری ها درست است

کجا می تواند باشد NS→ ∞, در∞ علاوه بر این ، به طور معمول ، در صورت وجود محدودیت ، محدودیت هایی (محدود) در سمت چپ آنها وجود دارد fو φ

اجازه دهید (7) را به عنوان مثال ثابت کنیم.

بگذار ( ایکسک, بلهک) → (NS, در) ((ایکسک, بلهک) ≠ (NS, در)) سپس

بنابراین ، حد در سمت چپ (9) وجود دارد و برابر با سمت راست (9) است ، و از آنجا که دنباله ( ایکسک, بلهک) تمایل به ( NS, در) طبق هر قانونی ، این حد برابر است با حد تابع f(ایکس, بله) ∙φ (ایکس, بله) در نقطه ( NS, در).

قضیهاگر تابع باشد f(ایکس, بله) دارای محدودیت غیر صفر در نقطه ( NS, در) ، یعنی

سپس δ> 0 وجود دارد که برای همه NS, دررفع نابرابری ها

0 < />< δ, (10)

نابرابری را برطرف می کند

بنابراین ، برای چنین (ایکس, بله)

آنهایی که نابرابری (11) برقرار است. از نابرابری (12) برای نشان داده شده است (ایکس, بله) آن را دنبال می کند /> از کجا /> برای آ> 0 و /> برای

آ< 0 (сохранение знака).

با تعریف ، تابع f(ایکس) = f(ایکس 1, …, ایکسn) = آدر نقطه محدودیت دارد

ایکس= /> برابر با عدد ولی، به این صورت نشان داده شده است:

(بیشتر بنویس f(ایکس) → آ(ایکس→ ایکس)) اگر در بعضی از محله های نقطه تعریف شده باشد ایکس، به جز ، شاید ، برای خودش ، و اگر محدودیتی وجود داشته باشد

تلاش برای آن ایکستوالی نقاط NSکاز محله مشخص شده ( ک= 1 ، 2 ، ...) غیر از ایکس.

تعریف معادل دیگر به شرح زیر است: تابع fدر نقطه دارد ایکسحد برابر ولیاگر در برخی از محله های نقطه تعریف شده باشد ایکس، به جز ، شاید ، برای خود ، و برای هر ε> 0 δ> 0 وجود دارد که

ادامه
--PAGE_BREAK--

برای همه NSرفع نابرابری ها

0 < |ایکس– ایکس| < δ.

این تعریف ، به نوبه خود ، معادل تعریف زیر است: برای هر ε> 0 یک محله وجود دارد تو(ایکس) نکته ها ایکسطوری که برای همه NS/>تو(ایکس) , NS≠ ایکس، نابرابری (13) برقرار است.

بدیهی است ، اگر تعداد باشد ولییک حد وجود دارد f(ایکس) که در ایکس، سپس ولیمحدودیت عملکرد وجود دارد f(ایکس 0 + ساعت) از جانب ساعتدر نقطه صفر:

و بالعکس.

برخی از عملکردها را در نظر بگیرید fدر تمام نقاط محله نقطه داده شده است ایکس، به جز شاید نکته ایکس؛ بگذارید ω = (ω1 ، ... ، ω NS) بردار دلخواه طول یک است (| ω | = 1) و تی> 0 اسکالر است. مشاهده نقاط ایکس+ تیω (0 < تی) فرم خروجی از ایکساشعه در جهت بردار ω. برای هر ω می توان تابع را در نظر گرفت

/> (0 < تی< δω)

از یک متغیر اسکالر تی، که در آن don یک عدد بسته به ω است. محدودیت این تابع (از یک متغیر تی)

در صورت وجود ، طبیعی است که آن را حد مجاز بنامیم fدر نقطه ایکسدر جهت بردار ω.

اگر این تابع /> را بنویسیم fدر بعضی از محله ها تعریف شده است ایکسبه جز شاید ایکس، و برای همه N> 0 δ> 0 وجود دارد به طوری که | f(ایکس) | >N، از سال 0< |ایکس– ایکس| < δ.

می توانید در مورد حد صحبت کنید f، چه زمانی NS→ ∞:

به عنوان مثال ، در مورد یک عدد محدود ولیتساوی (14) باید به این معنا درک شود که برای هر ε> 0 می توان چنین چیزی را نشان داد N> 0 ، که برای امتیازات است NSکه برای آن | ایکس| > N، تابع fتعریف شده و نابرابری /> صادق است.

بنابراین حد تابع f(ایکس) = f(ایکس 1, ..., NSNS) از جانب NSمتغیرها با قیاس به همان روشی که برای تابعی از دو متغیر است ، تعریف می شوند.

بنابراین ، ما به تعریف حد تابعی از چندین متغیر می پردازیم.

عدد ولیحد تابع نامیده می شود f(م) در م→ ماگر برای هر عدد ε> 0 همیشه یک عدد δ> 0 وجود دارد به طوری که برای هر نقطه مغیر از مو برآورده کردن شرط | مادر| < δ, будет иметь место неравенство |f(م) – ولی| < ε.

حد با /> در مورد تابع دو متغیر /> مشخص می شود

قضیه ها را محدود کنید.اگر توابع f 1(م) و f 2(م) در م→ مهر کدام به یک محدودیت تمایل دارند ، سپس:

ادامه
--PAGE_BREAK--

مثال 1محدودیت یک تابع را پیدا کنید: />

راه حل. ما حد را به صورت زیر تغییر می دهیم:

بگذار بله= کیلوگرم، سپس />

مثال 2محدودیت یک تابع را پیدا کنید: />

راه حل. ما از اولین حد قابل توجه /> سپس /> استفاده خواهیم کرد

مثال 3محدودیت یک تابع را پیدا کنید: />

راه حل. ما از دومین حد قابل توجه /> سپس /> استفاده خواهیم کرد

تداوم یک تابع چند متغیر

با تعریف ، تابع f(ایکس, بله) در نقطه مداوم است ( NS, در) اگر در بعضی از محله های آن تعریف شود ، از جمله در خود نقطه ( NS, در) و اگر حد f(ایکس, بله) در این مرحله برابر است با مقدار آن در آن:

شرط تداوم fدر نقطه ( NS, در) را می توان به صورت معادل نوشت:

آنهایی که تابع fدر نقطه مداوم است ( NS, در) اگر تابع f(NS+ Δ NS, در+ Δ y)بر روی متغیرهای Δ NS, Δ دردر Δ NS= Δ y = 0.

می توانید افزونه Δ را وارد کنید وتابع و= f(ایکس, بله) در نقطه (ایکس, بله) مربوط به افزایش Δ NS, Δ دراستدلال

Δ و= f(NS+ Δ NS, در+ Δ y)– f(ایکس, بله)

و در این زبان تداوم را تعریف کنید fکه در (ایکس, بله) : تابع fمداوم در نقطه (ایکس, بله) ، اگر

قضیهمجموع ، تفاوت ، محصول و ضریب مداوم در نقطه ( NS, در) کارکرد fو φ در این مرحله یک تابع پیوسته است ، البته اگر در مورد ضریب φ ( NS, در) ≠ 0.

ثابت بامی تواند به عنوان یک تابع مشاهده شود f(ایکس, بله) = بااز متغیرها ایکس, بله... در این متغیرها مداوم است زیرا

/>|f(ایکس, بله) – f(NS, در) | = |s - s| = 0 0.

پیچیده ترین توابع بعدی عبارتند از: f(ایکس, بله) = NSو f(ایکس, بله) = در... همچنین می توان آنها را به عنوان توابع (ایکس, بله) و در عین حال پیوسته هستند. به عنوان مثال ، عملکرد f(ایکس, بله) = NSبا هر امتیاز مطابقت دارد (ایکس, بله) عددی برابر با NS... تداوم این عملکرد در یک نقطه دلخواه (ایکس, بله) می توان اینگونه اثبات کرد:

ادامه
--PAGE_BREAK--

/>| f(NS+ Δ NS, در+ Δ y)– f(ایکس, بله) | = |f(NS+ Δ x) - x| = | Δ NS| ≤ />0.

اگر عملکردها را انجام می دهید ایکس, بلهو اعمال ثابت جمع ، تفریق و ضرب در یک عدد محدود ، سپس ما توابعی به نام چند جمله ای در ایکس, بله... بر اساس خواص فرموله شده در بالا ، چند جمله ای ها در متغیرها ایکس, بله- توابع مداوم این متغیرها برای همه نقاط (ایکس, بله) />R 2.

نگرش پ/ سدو چند جمله ای در (ایکس, بله) یک عملکرد منطقی وجود دارد (ایکس, بله) واضح است که همه جا ادامه دارد R 2 ، به استثنای امتیاز (ایکس, بله) ، جایی که س(ایکس, بله) = 0.

R(ایکس, بله) = NS 3– در 2+ NS 2در– 4

می تواند نمونه ای از چند جمله ای در باشد (ایکس, بله) درجه سوم ، و عملکرد

R(ایکس, بله) = NS 4– 2NS 2در 2+در 4

مثالی از چند جمله ای از وجود دارد (ایکس, بله) درجه چهارم

اجازه دهید مثالی از قضیه ای ارائه دهیم که تداوم یک تابع توابع پیوسته را تأیید می کند.

قضیهاجازه دهید تابع f(ایکس, بله, z) مداوم در نقطه (ایکس, بله, z) فضا R 3 (امتیازات (ایکس, بله, z) ) ، و توابع

ایکس= φ (u ، v) ، y= ψ (u ، v) ، z= χ (تو ، وی)

مداوم در نقطه (تو, v) فضا R 2 (امتیازات (تو, v) ) اجازه دهید ، علاوه بر این ،

ایکس= φ (تو, v), بله= ψ (تو, v), z= χ (تو, v) .

سپس تابع F(تو, v) = f[ φ (تو, v), ψ (تو, v), χ (تو, v) ] مداوم است (توسط

(تو, v) ) در نقطه (تو, v) .

اثبات از آنجا که می توان علامت حد را در زیر علامت مشخصه یک تابع پیوسته وارد کرد ، پس

قضیهتابع f(ایکس, بله) مداوم در نقطه ( NS, در) و در این نقطه مساوی صفر نیست ، علامت عدد را حفظ می کند f(NS, در) در برخی از محله های نقطه ( NS, در).

با تعریف ، تابع f(ایکس) = f(ایکس 1, ..., NSNS) مداوم در نقطه NS= (NS 1, ..., NSNS) اگر در بعضی از محله های آن تعریف شود ، از جمله در همان نقطه NS، و اگر حد آن در نقطه باشد NSبرابر است با مقدار آن در آن:

شرط تداوم fدر نقطه NSمی تواند به شکل معادل نوشته شود:

آنهایی که تابع f(ایکس) مداوم در نقطه NSاگر تابع f(NS+ ساعت) از جانب ساعتدر نقطه ساعت= 0.

ادامه
--PAGE_BREAK--

می توانید افزایشی وارد کنید fدر نقطه NSمربوط به افزایش است ساعت= (ساعت 1, ..., ساعتNS) ,

Δ ساعتf(NS) = f(NS+ ساعت) – f(NS)

و به زبان او تداوم را تعریف کنید fکه در NS: تابع fپیوسته در NS، اگر

قضیهجمع ، اختلاف ، محصول و ضریب امتیازهای پیوسته NSکارکرد f(ایکس) و φ (ایکس) یک تابع مداوم در این مرحله است ، البته ، در مورد ضریب φ (NS) ≠ 0.

اظهار نظر. افزایش Δ ساعتf(NS) همچنین افزایش عملکرد کل نامیده می شود fدر نقطه NS.

در فضای Rnنکته ها NS= (ایکس 1, ..., NSNS) مجموعه ای از نقاط را تنظیم کنید G.

طبق تعریف NS= (NS 1, ..., NSNS) یک نقطه داخلی از مجموعه است G، اگر یک توپ باز در مرکز آن باشد که کاملا متعلق به آن باشد G.

یک دسته از G/>Rnاگر تمام نقاط آن درونی باشد باز نامیده می شود.

گفته می شود که توابع هستند

NS 1 = φ1 (تی), ..., NSNS= φ NS(تی)(a ≤ t ≤ b)

پیوسته در بخش [ آ, ب] ، یک منحنی مداوم در تعریف کنید Rnاتصال نقاط NS 1= (NS 11, ..., NS 1NS) و NS 2= (NS 21, ..., NS 2NS) ، جایی که NS 11 = φ1 (ولی), ..., NS 1NS= φ NS(ولی), NS 21 = φ1 (ب) , ..., NS 2NS= φ NS(ب) ... حرف تیپارامتر منحنی نامیده می شود.

یک دسته از Gاگر از هر دو نقطه آن متصل باشد ، فراخوانی می شود NS 1, NS 2 می تواند توسط یک منحنی مداوم متعلق به متصل شود G.

مجموعه باز متصل منطقه نامیده می شود.

قضیهاجازه دهید تابع f(ایکس) تعریف شده و مداوم در Rn(در تمام نقاط Rn) سپس مجموعه Gنکته ها NSجایی که نابرابری را برطرف می کند

f(ایکس) > با(یا f(ایکس) < با) ، هر ثابت با، یک مجموعه باز وجود دارد.

در واقع ، عملکرد F(ایکس) = f(ایکس) – بامداوم در Rn، و مجموعه تمام نقاط NS، جایی که F(ایکس) > 0 ، منطبق با G... بگذار NS/>Gسپس یک توپ وجود دارد

| NS–NS| < δ,

که در آن F(ایکس) > 0 ، یعنی او متعلق به Gو اشاره کنید NS/>G- داخلی برای G.

مورد با f(ایکس) < بابه طور مشابه ثابت می شود.

بنابراین ، عملکرد چندین متغیر f(م)در نقطه پیوسته نامیده می شود ماگر سه شرط زیر را داشته باشد:

الف) عملکرد f(م)در نقطه تعریف شده است مو نزدیک این نقطه ؛

ب) حد /> وجود دارد.

اگر در نقطه ماگر حداقل یکی از این شرایط نقض شود ، در این مرحله عملکرد متوقف می شود. نقاط شکست می توانند خطوط شکسته ، سطوح شکسته و غیره را تشکیل دهند f(م)در منطقه پیوسته نامیده می شود Gاگر در هر نقطه از این منطقه مداوم باشد.

مثال 1نقاط شکست یک تابع را پیدا کنید: z= لوگاریتم(ایکس 2+ بله 2) .

راه حل. تابع z= لوگاریتم(ایکس 2+ بله 2) در یک نقطه می شکند NS= 0, در= 0. بنابراین ، نقطه ای(0 ، 0) نقطه شکست است.

مثال 2نقاط شکست یک تابع را پیدا کنید: />

راه حل. این تابع در نقاطی که مخرج از بین می رود ، تعریف نمی شود ، یعنی ایکس 2+ بله 2– z 2 = 0. بنابراین ، سطح مخروط

ایکس 2+ بله 2= z 2 یک سطح پارگی است.

نتیجه

اطلاعات اولیه در مورد محدودیت ها و تداوم در درس ریاضیات مدرسه یافت می شود.

در دوره تحلیل ریاضی ، مفهوم حد یکی از اصلی ترین آنهاست. با کمک حد ، مشتق و انتگرال معین معرفی می شود. محدودیت ها ابزار اصلی در ساختن نظریه سری هستند. مفهوم حد ، که اولین بار در قرن 17 توسط نیوتن مطرح شد ، در نظریه سری مورد استفاده قرار می گیرد و توسعه می یابد. این بخش از تجزیه و تحلیل مسائل مربوط به مجموع یک دنباله نامتناهی از کمیت ها (هم ثابت و هم توابع) را بررسی می کند.

تداوم یک تابع تصویری از نمودار آن می دهد. این بدان معناست که نمودار یک خط جامد است و از مناطق پراکنده جداگانه ای تشکیل نشده است. این ویژگی تابع به طور گسترده ای در زمینه اقتصاد استفاده می شود.

بنابراین ، مفاهیم محدودیت و تداوم نقش مهمی در مطالعه توابع چند متغیر ایفا می کنند.

فهرست ادبیات مورد استفاده

1. بوگروف Y.S ، نیکلسکی S.M. ریاضیات عالی: کتاب درسی برای دانشگاه ها. جلد 2: حساب دیفرانسیل و انتگرال. مسکو: بوستارد ، 2004 ، 512 ص.

2. کرمر N.Sh. ، Putko B.A. ، Trishin I.M. ، Fridma M.N. ریاضیات بالاتر برای اقتصاددانان. مسکو: وحدت ، 2000 ، 271 ص.

3. چرننکو V.D. ریاضیات بالاتر در مثالها و مسائل. کتاب درسی برای دانشگاه ها. سن پترزبورگ: پلی تکنیک ، 2003 ، 703 ص.

4.elib.ispu.ru/library/math/sem2/index.html

5.www.academiaxxi.ru/WWW_Books/HM/Fn/toc.htm

موضوع "توابع چند متغیر"

موضوع 3توابع چند متغیر

تعریف تابع دو متغیر ، روشهای تنظیم.

مشتقات جزئی.

افراطی از تابع دو متغیر

گرادیان یک تابع متغیر

بزرگترین و کوچکترین مقادیر یک تابع دو متغیر در دامنه

آنچه دانش آموز باید بداند

سوالات آزمون

تست کنترل

1. تعریف تابع چند متغیر ، روشهای تنظیم

متغیر نامیده می شود عملکرد دو متغیر مقادیر و در مجموعه
اگر هر جفت مقدار
مربوط به یک مقدار واحد است.

به طور نمادین ، ​​تابعی از دو متغیر به شرح زیر مشخص می شود:


و غیره.

متغیرها هستند و نامیده می شوند متغیرهای مستقل یا آرگومان های تابع , و خیلی زیاد
- دامنه عملکرد ... برای توابع دو متغیر
محدوده برخی است مجموعه ای از نقاط در هواپیما
، و محدوده مقادیر فاصله روی محور است
.

به عنوان مثال ، تابعی از دو متغیر است.

برای نمایش بصری عملکردهای دو تغییراعمال می شوند خطوط تراز.

مثال 1برای عملکرد
ساختن نمودار و تراز سطوح معادله یک خط تراز را که از یک نقطه عبور می کند ، یادداشت کنید
.

نمودار تابع خطیهست یک سطحدر فضای.

برای یک تابع ، نمودار صفحه ای است که از نقاط عبور می کند
,
,
.

خطوط سطح عملکردخطوط مستقیم موازی هستند ، معادله آن است
.

برای تابع خطی دو متغیر
خطوط سطح با معادله داده شده است
و نمایندگی می کند خانواده خطوط موازی در صفحه

4

نمودار عملکرد 0 1 2 X

خطوط سطح عملکرد

مشتقات جزئی

عملکرد را در نظر بگیرید
... بیایید متغیر را بدهیم در نقطه
افزایش دلخواه
ترک مقدار متغیر بدون تغییر... افزایش تابع مربوطه فراخوانی می شود با افزایش جزئی از یک تابع با توجه به یک متغیردر نقطه
.

به طور مشابه ، تعیین می شود افزایش عملکرد جزئیبر اساس متغیر: .

نماد مشتق جزئی توسط : , ,
,
... برای یافتن مشتق جزئی
توسط یک متغیر ، قوانین تمایز یک تابع از یک متغیر استفاده می شود ، متغیر فرض ثابت.

مشتق جزئی از یک تابع نسبت به یک متغیرحد نامیده می شود :

.

افسانه: , ,
,
... برای یافتن مشتق جزئی نسبت به یک متغیر متغیر ثابت در نظر گرفته می شود .

مثال 2... مقادیر مشتقات جزئی تابع را در نقطه پیدا کنید
.

با در نظر گرفتن ثابت و افتراق ، به عنوان تابعی از متغیر ، مشتق جزئی را با توجه به:

.

ما مقدار این مشتق را در نقطه محاسبه می کنیم
: .

با در نظر گرفتن ثابت و افتراق به عنوان یک تابع ، مشتق جزئی را با توجه به موارد زیر پیدا می کنیم:

.

بیایید مقدار مشتق را در نقطه محاسبه کنیم:

مثال 3... برای عملکرد
مشتقات جزئی را پیدا کنید
,
و مقادیر آنها را در نقطه محاسبه کنید
.

مشتق جزئی از یک تابع
روی یک متغیر فرض می شود که ثابت است:

اجازه دهید مشتق جزئی تابع را با فرض ثابت پیدا کنیم:

اجازه دهید مقادیر مشتقات جزئی را در محاسبه کنیم
,
:

;
.

مشتقات جزئی توابع چندین متغیر را نیز می نامند خصوصی مشتقات مرتبه اول یا اولین مشتقات جزئی.

مشتقات جزئی مرتبه دوم در صورت وجود توابع چندین متغیر ، مشتقات جزئی مشتقات جزئی مرتبه اول نامیده می شوند.

اجازه دهید مشتقات جزئی مرتبه دوم را برای تابع بنویسیم:

;
;

;
.

;
و غیره.

اگر مشتقات جزئی مختلط یک تابع از چندین متغیر در یک نقطه پیوسته باشند
سپس آنها برابر یکدیگردر این مرحله بنابراین ، برای تابعی از دو متغیر ، مقادیر مشتقات جزئی مخلوط به ترتیب تمایز بستگی ندارد:
.

مثال 4برای تابع مشتقات جزئی مرتبه دوم را بیابید
و
.

مشتق جزئی مختلط با تمایز متوالی اول تابع نسبت به آن پیدا می شود (با فرض ثابت) ، سپس مشتق را متمایز می کند
توسط (با فرض ثابت).

مشتق
ابتدا با تمایز تابع نسبت به آن پیدا می شود ، سپس مشتق بر .

مشتقات جزئی مخلوط برابر یکدیگر هستند:
.

افتراق مشتقات جزئی مرتبه دوم هر دو با توجه به NSو توسط در، مشتقات جزئی مرتبه سوم را بدست می آوریم.

مثال 5مشتقات جزئی سفارش دوم را پیدا کنید
.

ما به طور مداوم پیدا می کنیم

3. اضافی یک تابع از دو متغیر

بیشترین (کمترین ) کارکرد
در نقطه م 0 (ایکس 0 ,بله 0) مقدار آن نامیده می شود
، که بزرگتر (کمتر) از سایر مقادیر آن است که در نقاط گرفته شده است
به اندازه کافی به نقطه نزدیک است
و متفاوت از آن

حداکثر و حداقل امتیاز را امتیاز می نامند نقاط بحرانی، و مقادیر تابع در این نقاط فراخوانی می شوند مفرط .

شرایط لازم برای افراطی. اگر تابع قابل تغییر باشد
دارای اکستروم در نقطه است
، پس مشتقات جزئی آن در این نقطه برابر با صفر هستند ، یعنی

. نقاطی که در آن
و
نامیده می شوند ثابت نقاط عملکرد
.

شرایط کافینقاط بحرانی... اجازه دهید یک نقطه ثابت از تابع باشد و اجازه دهید
,
,
... بیایید تعیین کننده را بسازیم
... سپس:

اگر
، سپس در نقطه ثابت
بدون اکستروم ؛

اگر
، پس از آن یک حد افراط در نقطه وجود دارد ، و حداکثر ، اگر A باشد< 0,حداقل اگر
;

اگر
، سپس تحقیقات اضافی مورد نیاز است.

مثال 6. عملکرد را برای بررسی وضعیت شدید بررسی کنید
.

مشتقات جزئی مرتبه اول را بیابید:
;
حل سیستم معادلات
ما دو نقطه ثابت دریافت می کنیم:
و
... مشتقات جزئی سفارش دوم را پیدا می کنیم:
,
,
... بیایید هر نقطه ثابت را بررسی کنیم.

4. شیب تابعی از دو متغیر

.

خواص گرادیان

مثال 7... تابع داده شده است
... شیب یک تابع را در یک نقطه پیدا کنید
و آن را بسازید

مختصات شیب - مشتقات جزئی را پیدا کنید.

در نقطه
شیب برابر است. شروع برداری
در نقطه ، و انتهای آن در نقطه.

5

5. بزرگترین و کوچکترین مقادیر تابع دو متغیر در دامنه

فرمول بندی مسئله. اجازه دهید یک دامنه محدود در صفحه توسط یک سیستم از نابرابری های فرم داده شود
... لازم است نقاطی را که در آن تابع بزرگترین و کوچکترین مقادیر را می گیرد در منطقه بیابید.

مهم است مشکل extremeum, مدل ریاضیکه شامل محدودیت های خطی(معادلات ، نابرابری ها) و خطیتابع
.

فرمول بندی مسئله. بزرگترین و کوچکترین مقادیر عملکرد را پیدا کنید
با محدودیت

از آنجا که برای خطیتوابع چندین متغیر بدون نقطه بحرانی داخلمناطق
، سپس راه حل بهینه، که افراطی به عملکرد عینی ارائه می دهد ، فقط به آن می رسیم در مرز منطقه... برای ناحیه ای که با محدودیت های خطی تعریف شده است ، نقاط ممکن است حد اکثر باشد نقاط گوشه ای... این به ما امکان می دهد راه حل مشکل را در نظر بگیریم به صورت گرافیکی.

فرمول هندسی مسئله. در دامنه حل سیستم نابرابری های خطی ، نقطه ای را که خط سطح از آن عبور می کند ، پیدا کنید ، مربوط به بزرگترین (کوچکترین) مقدار یک تابع خطی در دو متغیر.

ترتیب دهی:

نقطه A از "ورود" خط تراز به منطقه. این نقطه نقطه کمترین مقدار تابع را تعریف می کند.

نقطه B "خروج" خط تراز از منطقه. این نقطه نقطه بیشترین مقدار تابع را تعریف می کند.

4- مختصات نقطه A را پیدا کنید ، سیستم معادلات خطوط مستقیم را که در نقطه A قطع می شوند حل کنید و کوچکترین مقدار تابع را محاسبه کنید
... به طور مشابه - برای نقطه B و بیشترین مقدار تابع
.

مثال 8... بزرگترین و کوچکترین مقادیر عملکرد را پیدا کنید
در حوزه راه حل های سیستم نابرابری های خطی

1. بسازیم دامنه حل سیستم نابرابری های خطی... برای این کار نیم هواپیماها را بسازید و تقاطع آنها را پیدا کنید. نقطه را به عنوان "نقطه کنترل" در نظر بگیرید
کدام تعلق نداشتنخطوط مستقیم مرز

در

1

سر راست ()
- امتیاز برای ساخت
و
... مانند
درست است ، سپس نیمه صفحه رو به نقطه کنترل است.

مستقیم ()
ساخت توسط نقاط
و
؛ نابرابری
صحیح ، نیمه هواپیما به سمت نقطه کنترل هدایت می شود.

سر راست ()
ساخته شده توسط نقاط
و
؛ نیم صفحه رو به نقطه کنترل است.

نابرابری ها
و
نشان می دهد که منطقه مورد نظر (تقاطع تمام نیم هواپیماها) در سه ماهه اول مختصات است.

2. بسازیم شیب عملکرد- بردار با مختصات
با مبدا در مبدا. یکی از موارد زیر را عمود بر گرادیان بسازید خطوط تراز.

3. حرکت موازی خط تراز در جهت شیب نقطه "ورود" خط تراز را به منطقه پیدا کنید - این نقطه O است (0/0). بیایید مقدار تابع را در این مرحله محاسبه کنیم:.

4. با ادامه حرکت خط سطح در جهت شیب ، نقطه "خروج" خط سطح را از منطقه پیدا می کنیم - این نقطه A است. برای تعیین مختصات آن ، سیستم معادلات مستقیم را حل می کنیم خطوط و:
حل یک سیستم معادلات
و
.

5- بیایید مقدار تابع را در نقطه محاسبه کنیم
: .

پاسخ:
,
.

آنچه دانش آموز باید بداند

1. مفهوم تابعی از چندین متغیر.

2- دامنه و مجموعه مقادیر تابعی از چندین متغیر.

3. مفهوم خط تراز.

4. مشتقات جزئی توابع چندین متغیر.

5. مشتقات جزئی از توابع بالاتر از چندین متغیر.

6. افراطی از تابع چند متغیر.

7. بزرگترین و کوچکترین مقادیر عملکرد دو متغیر در منطقه.

سوالات آزمون

مفهوم تابعی از چندین متغیر. دامنه تعریف ، روشهای تنظیم ، خطوط سطح تابعی از دو متغیر

مشتقات جزئی توابع چندین متغیر

افراطی از تابع چند متغیر

بزرگترین و کوچکترین مقادیر تابعی از دو متغیر در دامنه

تست کنترل

کدام یک از توابع داده شده به دو متغیر بستگی دارد:

آ)
؛ ب)
؛ که در)
؛ ز)
.

2. برای عملکرد
مشتق جزئی نسبت به یک متغیر برابر است با:

آ)
؛ ب)
؛ که در)
؛ ز)
. ، در نقطه برابر است با ... الف) 1؛ ب) 0 در 1؛ د) 4

12. شیب میدان مقیاس در نقطه بردار است ...

ولی) ب)

ج) د)

13. مشتق جزئی یک تابع با توجه به یک متغیر در یک نقطه برابر است با ...

ولی) هب) 2 f ج) 3و د) 3

14. حداکثر مقدار عملکرد با محدودیت

به همان اندازه ... (پاسخ خود را بنویسید).

15. منطقه راه حل های ممکن برای مسأله برنامه نویسی خطی به شکل زیر است:

سپس حداکثر مقدار تابع ...

الف) 10 ب) 14 ج) 13 د) 11

16. منطقه راه حل های عملی مسئله برنامه ریزی خطی به شرح زیر است:

سپس حداکثر مقدار تابع برابر…

الف) 29 ب) 31 ج) 27 د) 20

17. حداکثر مقدار تابع هدف z = x 1 + 2x 2 تحت محدودیت ها برابر است با: الف) 13 ب) 12 ج) 8 د) 6

18. حداکثر مقدار تابع تحت محدودیت برابر است با ... (پاسخ را بنویسید).

کارکرد چندمتغیرها 4.1 وظایف برای موضوع"تفکیک کارکردچندمتغیرها "وظیفه 1. منطقه را پیدا کرده و در صفحه ترسیم کنید تابع... 3. بزرگترین و کوچکترین مقادیر را بیابید تابع z = f (x ، y) تعریف شده ...

موضوع 5 توابع مشتقات جزئی دو متغیر

سند

ارزش ها تابعدو متغیرهادر محدوده محدود محدود 1. تعریف تابعچندمتغیرها، روشهای تعیین تکلیف تابعدو متغیرهابه نام ...

ریاضیات قسمت 4 حساب دیفرانسیل توابع چندین سری معادلات دیفرانسیل متغیر

آموزش

مشخص تابعچندمتغیرها؟ نمودار چیست تابعدو متغیرها؟ تعریف محدودیت تابعدو متغیرها ...

فصل 3 توابع چندین متغیر § 1 توابع چندین متغیر مفاهیم اساسی 1 تعریف تابعی از چندین متغیر

قانون

فصل 3 کارکردچندمتغیرهایک کارکردچندمتغیرها... مفاهیم اساسی 1. تعریف تابعچندمتغیرها... تعریف. بگذارید تابعتعریف شده بر روی یک مجموعه و داشتن یک منطقه ...

برای استفاده از پیش نمایش ارائه ها ، برای خود حساب ایجاد کنید ( حساب) Google و وارد آن شوید: https://accounts.google.com

زیرنویس اسلاید:

موضوع آزمون جبر "عملکرد" ​​درجه 7

در آزمون شرکت کنید و سطح دانش خود را در مورد موضوع "عملکرد" ​​تعیین کنید

وظیفه شماره 1 تابع چیست؟ وابستگی یک متغیر به متغیر دیگر در صورتی که متغیر مستقل با مقدار واحد متغیر وابسته مطابقت داشته باشد. متغیری که مقدار آن به صورت دلخواه انتخاب می شود. دامنه.

وظیفه شماره 2 در یک تابع ، یک آرگومان ... متغیر مستقل نامیده می شود. مقدار عملکرد متغیر وابسته شما 0 امتیاز گرفتید

وظیفه شماره 2 در یک تابع ، یک آرگومان ... متغیر مستقل نامیده می شود. مقدار عملکرد متغیر وابسته شما 1 امتیاز کسب کردید

وظیفه شماره 3 دمای هوا در طول روز اندازه گیری شد. دامنه عملکرد را مشخص کنید. از 0 تا 24. از 0 تا 12. از 1 تا 24. شما 0 امتیاز گرفتید

وظیفه شماره 3 دمای هوا در طول روز اندازه گیری شد. دامنه عملکرد را مشخص کنید. از 0 تا 24. از 0 تا 12. از 1 تا 24. شما 1 امتیاز کسب کردید

وظیفه شماره 3 دمای هوا در طول روز اندازه گیری شد. دامنه عملکرد را مشخص کنید. از 0 تا 24. از 0 تا 12. از 1 تا 24. شما 2 امتیاز کسب کردید

وظیفه شماره 4 این تابع با فرمول y = 12x داده می شود. اگر آرگومان 2.24.2.6 باشد مقدار تابع را پیدا کنید 0 امتیاز کسب کردید

وظیفه شماره 4 این تابع با فرمول y = 12x داده می شود. اگر آرگومان 2 است مقدار تابع را پیدا کنید. 24.2.6 شما 1 امتیاز کسب کردید

وظیفه شماره 4 این تابع با فرمول y = 12x داده می شود. اگر آرگومان 2.24.2.6 باشد مقدار تابع را پیدا کنید 2 امتیاز کسب کردید

وظیفه شماره 4 تابع با فرمول y = 12x نشان داده شده است. اگر آرگومان 2.24.2.6 است مقدار تابع را بیابید 3 امتیاز کسب کرده اید

وظیفه شماره 5 تابع با فرمول y = 12x نشان داده شده است. مقدار تابع در چه مقدار از آرگومان برابر با 24 است؟ 2. 12. 24. شما 0 امتیاز گرفتید

وظیفه شماره 5 تابع با فرمول y = 12x نشان داده شده است. مقدار تابع در چه مقدار از آرگومان برابر با 24 است؟ 2. 12. 24. شما 1 امتیاز کسب کردید

وظیفه شماره 5 این تابع با فرمول y = 12x داده می شود. مقدار تابع در چه مقدار از آرگومان برابر با 24 است؟ 2. 12. 24. شما 2 امتیاز گرفتید

وظیفه شماره 5 این تابع با فرمول y = 12x داده می شود. مقدار تابع در چه مقدار از آرگومان برابر با 24 است؟ 2. 12. 24. شما 3 امتیاز کسب کردید

وظیفه شماره 5 تابع با فرمول y = 12x نشان داده شده است. مقدار تابع در چه مقدار از آرگومان برابر با 24 است؟ 2. 12. 24. شما 4 امتیاز کسب کردید

علامت شما "2" متأسفانه امروز شما دانش کمی در مورد این موضوع را نشان دادید. من به شما توصیه می کنم قوانین را تکرار کنید. مطمئن باشید موفق خواهید شد!

نمره "3" شما امروز سطح متوسطی از دانش در مورد این موضوع را نشان دادید. من به شما توصیه می کنم قوانین را تکرار کنید. مطمئن باشید موفق خواهید شد!

نمره شما "4" است. سطح دانش شما در مورد این موضوع به اندازه کافی خوب است.

علامت شما "5" است آفرین! شما سطح بالایی از دانش را در این زمینه نشان داده اید. آرزوی موفقیت دایمی براتون دارم!

در مورد موضوع: تحولات روش ، ارائه ها و یادداشت ها

آزمایشات به زبان روسی ، آزمون نهایی برای کلاس 5 ، آزمون "وسایل بیانی" ، درس هایی بر اساس آثار ورونکوا و چیویلیخین

برای آماده شدن برای امتحان ، تست های را تمرین کنید. قابل استفاده به عنوان یک آزمون برای تمرین دانش دانش وظایف B8 آزمون نهایی برای کلاس 5 توسعه روش شناسی دروس بر اساس آثار ...

USE English Toefl test ielts CAE tests آزمون های گوش دادن تست های خواندن واژگان آنچه شما برای موفقیت در USE باید بدانید

آزمون تافل آیلتس آزمون های CAE آزمون های شنوایی تست خواندن واژگان آنچه برای موفقیت در امتحان دولت یکپارچه باید بدانید مهم نیست که هر شخص در طول زندگی خود چه چیزی یاد می گیرد ، همیشه ...