در اینجا ما موضوع عملیات مربوط به ماتریس هایی را که در قسمت اول شروع شده است ادامه می دهیم و چند نمونه را تجزیه و تحلیل می کنیم که در آن شما باید چندین عملیات را همزمان انجام دهید.

نمایش ماتریس

بگذارید k یک عدد صحیح غیر منفی باشد. برای هر ماتریس مربع $ A_ (n \\ times n) $: $ $ A ^ k \u003d \\ underbrace (A \\ cdot A \\ cdot \\ ldots \\ cdot A) _ (k \\؛ بار) $ $

علاوه بر این ، فرض می کنیم $ A ^ 0 \u003d E $ ، جایی که $ E $ ماتریس هویت ترتیب مربوطه است.

مثال شماره 4

ماتریس $ A \u003d \\ left (\\ start (آرایه) (cc) 1 & 2 \\\\ -1 & -3 \\ end (آرایه) \\ right) $ داده شده است. ماتریس های $ A ^ 2 $ و $ A ^ 6 $ را پیدا کنید.

طبق تعریف ، $ A ^ 2 \u003d A \\ cdot A $ ، به عنوان مثال برای پیدا کردن $ A ^ 2 $ فقط باید ماتریس $ A $ را به خودی خود ضرب کنیم. عملکرد ضرب ماتریس ها در قسمت اول موضوع در نظر گرفته شده است ، بنابراین در اینجا ما به سادگی مراحل حل را بدون توضیحات دقیق یادداشت می کنیم:

$ $ A ^ 2 \u003d A \\ cdot A \u003d \\ left (\\ start (آرایه) (cc) 1 & 2 \\\\ -1 & -3 \\ end (آرایه) \\ right) \\ cdot \\ چپ (\\ start (آرایه) (cc) 1 & 2 \\\\ -1 & -3 \\ end (آرایه) \\ راست) \u003d \\ چپ (\\ start (آرایه) (cc) 1 \\ cdot 1 + 2 \\ cdot (-1) & 1 \\ cdot 2 +2 \\ cdot (-3) \\\\ -1 \\ cdot 1 + (- 3) \\ cdot (-1) & -1 \\ cdot 2 + (- 3) \\ cdot (-3) \\ end (آرایه) \\ right ) \u003d \\ چپ (\\ شروع (آرایه) (سی سی) -1 & -4 \\\\ 2 و 7 \\ پایان (آرایه) \\ راست) $ $

برای یافتن ماتریس $ A ^ 6 $ دو گزینه داریم. گزینه اول: ادامه ضرب $ A ^ 2 $ در ماتریس $ A $ ضروری است:

$ $ A ^ 6 \u003d A ^ 2 \\ cdot A \\ cdot A \\ cdot A \\ cdot A. $ $

با این حال ، می توانید کمی ساده تر ، با استفاده از ویژگی تداعی ضرب ماتریس ، پیش بروید. بیایید براکت ها را در عبارت $ A ^ 6 $ قرار دهیم:

$ $ A ^ 6 \u003d A ^ 2 \\ cdot A \\ cdot A \\ cdot A \\ cdot A \u003d A ^ 2 \\ cdot (A \\ cdot A) \\ cdot (A \\ cdot A) \u003d A ^ 2 \\ cdot A ^ 2 \\ cdot A ^ 2. $ $

اگر حل روش اول به چهار عمل ضرب نیاز دارد ، برای روش دوم فقط دو عمل انجام می شود. بنابراین ، بیایید راه دوم را دنبال کنیم:

$ $ A ^ 6 \u003d A ^ 2 \\ cdot A ^ 2 \\ cdot A ^ 2 \u003d \\ سمت چپ (\\ start (آرایه) (cc) -1 & -4 \\\\ 2 & 7 \\ end (آرایه) \\ right) \\ 2 و 7 \\ پایان (آرایه) \\ راست) \u003d \\\\ \u003d \\ چپ (\\ شروع (آرایه) (cc) -1 \\ cdot (-1) + (- 4) \\ cdot 2 & -1 \\ cdot (-4 ) + (- 4) \\ cdot 7 \\\\ 2 \\ cdot (-1) +7 \\ cdot 2 & 2 \\ cdot (-4) +7 \\ cdot 7 \\ end (آرایه) \\ سمت راست) \\ cdot \\ چپ (\\ آرایه) \\ راست) \\ cdot \\ چپ (\\ شروع (آرایه) (سی سی) -1 & -4 \\\\ 2 و 7 \\ پایان (آرایه) \\ راست) \u003d \\\\ \u003d \\ چپ (\\ شروع (آرایه) (سی سی ) -7 \\ cdot (-1) + (- 24) \\ cdot 2 & -7 \\ cdot (-4) + (- 24) \\ cdot 7 \\\\ 12 \\ cdot (-1) +41 \\ cdot 2 & 12 \\ cdot (-4) +41 \\ cdot 7 \\ end (آرایه) \\ سمت راست) \u003d \\ چپ (\\ start (آرایه) (cc) -41 & -140 \\\\ 70 & 239 \\ end (آرایه) \\ سمت راست) $ $

پاسخ: $ A ^ 2 \u003d \\ left (\\ start (آرایه) (cc) -1 & -4 \\\\ 2 & 7 \\ end (آرایه) \\ right) $، $ A ^ 6 \u003d \\ left (\\ start (آرایه) (cc) -41 و -140 \\\\ 70 & 239 \\ end (آرایه) \\ سمت راست) $.

مثال شماره 5

ماتریس های داده شده $ A \u003d \\ left (\\ start (آرایه) (cccc) 1 & 0 & -1 & 2 \\\\ 3 & -2 & 5 & 0 \\\\ -1 & 4 & -3 & 6 \\ end (آرایه) \\ راست) $ ، $ B \u003d \\ چپ (\\ شروع (آرایه) (ccc) -9 و 1 و 0 \\\\ 2 & -1 و 4 \\\\ 0 & -2 و 3 \\\\ 1 & 5 & 0 \\ پایان (آرایه) \\ راست) $ ، $ C \u003d \\ چپ (\\ شروع (آرایه) (ccc) -5 و -20 و 13 \\\\ 10 و 12 و 9 \\\\ 3 & -15 و 8 \\ پایان (آرایه) \\ ماتریس $ D \u003d 2AB-3C ^ T + 7E $ را پیدا کنید.

ما با پیدا کردن نتیجه محصول $ AB $ شروع به محاسبه ماتریس $ D $ می کنیم. ماتریس های $ A $ و $ B $ می توانند ضرب شوند ، زیرا تعداد ستون های ماتریس $ A $ برابر با تعداد ردیف های ماتریس $ B $ است. نشانگر $ F \u003d AB $. در این حالت ، ماتریس $ F سه ستون و سه ردیف خواهد داشت ، یعنی مربع خواهد بود (اگر به نظر می رسد این نتیجه واضح نیست ، به شرح ضرب ماتریس در قسمت اول این مبحث مراجعه کنید). بیایید ماتریس $ F $ را با محاسبه تمام عناصر آن پیدا کنیم:

$ $ F \u003d A \\ cdot B \u003d \\ left (\\ start (آرایه) (cccc) 1 & 0 & -1 & 2 \\\\ 3 & -2 & 5 & 0 \\\\ -1 & 4 & -3 & 6 \\ پایان (آرایه) \\ راست) \\\\ \\ شروع (تراز شده) & f_ (11) \u003d 1 \\ cdot (-9) +0 \\ cdot 2 + (- 1) \\ cdot 0 + 2 \\ cdot 1 \u003d -7؛ \\\\ & f_ (12) \u003d 1 \\ cdot 1 + 0 \\ cdot (-1) + (- 1) \\ cdot (-2) +2 \\ cdot 5 \u003d 13؛ \\\\ & f_ (13) \u003d 1 \\ cdot 0 + 0 \\ cdot 4 + (- 1) \\ cdot 3 + 2 \\ cdot 0 \u003d -3؛ \\\\ \\\\ & f_ (21) \u003d 3 \\ cdot (-9 ) + (- 2) \\ cdot 2 + 5 \\ cdot 0 + 0 \\ cdot 1 \u003d -31؛ \\\\ & f_ (22) \u003d 3 \\ cdot 1 + (- 2) \\ cdot (-1) +5 \\ cdot (-2) +0 \\ cdot 5 \u003d -5؛ \\\\ & f_ (23) \u003d 3 \\ cdot 0 + (- 2) \\ cdot 4 + 5 \\ cdot 3 + 0 \\ cdot 0 \u003d 7؛ \\\\ \\\\ \\\\ & f_ (32) \u003d - 1 \\ cdot 1 + 4 \\ cdot (-1) + (- 3) \\ cdot (-2) +6 \\ cdot 5 \u003d 31؛ \\\\ & f_ (33) \u003d - 1 \\ cdot 0 + 4 \\ cdot 4 + (- 3) \\ cdot 3 + 6 \\ cdot 0 \u003d 7. \\ پایان (تراز شده) $ $

بنابراین $ F \u003d \\ چپ (\\ start (آرایه) (ccc) -7 و 13 & -3 \\\\ -31 و -5 و 7 \\\\ 23 & 31 & 7 \\ end (آرایه) \\ سمت راست) $. بیشتر برویم ماتریس $ C ^ T $ انتقال ماتریس $ C $ است ، یعنی $ C ^ T \u003d \\ چپ (\\ شروع (آرایه) (ccc) -5 و 10 و 3 \\\\ -20 و 12 و -15 \\\\ 13 & 9 & 8 \\ پایان (آرایه) \\ راست) $. در مورد ماتریس $ E $ ، این ماتریس هویت است. در این حالت ، ترتیب این ماتریس سه است ، یعنی $ E \u003d \\ left (\\ start (آرایه) (ccc) 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \\ end (آرایه) \\ سمت راست) $.

در اصل ، ما می توانیم مرحله به مرحله پیش برویم ، اما بهتر است بیان باقی مانده را به طور کامل در نظر بگیریم ، بدون اینکه توسط اقدامات کمکی منحرف شویم. در حقیقت ، فقط عملیات ضرب ماتریس ها بر روی یک عدد و همچنین عملیات جمع و تفریق برای ما باقی مانده است.

$ $ D \u003d 2AB-3C ^ T + 7E \u003d 2 \\ cdot \\ سمت چپ (\\ start (آرایه) (ccc) -7 و 13 & -3 \\\\ -31 و -5 و 7 \\\\ 23 & 31 & 7 \\ راست) +7 \\ cdot \\ چپ (\\ start (آرایه) (ccc) 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \\ end (آرایه) \\ سمت راست) $ $

ما ماتریس های سمت راست برابری را با اعداد مربوطه ضرب می کنیم (به عنوان مثال ، 2 ، 3 و 7):

$ $ 2 \\ cdot \\ left (\\ start (array) (ccc) -7 & 13 & -3 \\\\ -31 & -5 & 7 \\\\ 23 & 31 & 7 \\ end (array) \\ right) -3 \\ start (آرایه) (ccc) 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \\ end (آرایه) \\ راست) \u003d \\\\ \u003d \\ چپ (\\ start (آرایه) (ccc) - 14 و 26 و -6 \\\\ -62 و -10 و 14 \\\\ 46 و 62 و 14 \\ پایان (آرایه) \\ راست) - \\ چپ (\\ شروع (آرایه) (ccc) -15 و 13 و 9 \\\\ 0 و 7 \\ پایان (آرایه) \\ راست) $ $

بیایید آخرین مراحل را انجام دهیم: تفریق و جمع:

$ $ \\ چپ (\\ شروع (آرایه) (ccc) -14 و 26 و -6 \\\\ -62 و -10 و 14 \\\\ 46 و 62 و 14 \\ پایان (آرایه) \\ راست) - \\ چپ (\\ شروع (آرایه) (ccc) -15 و 30 و 9 \\\\ -60 و 36 & -45 \\\\ 39 و 27 و 24 \\ end (آرایه) \\ راست) + \\ چپ (\\ شروع (آرایه) (ccc) 7 و 0 و 0 \\\\ 0 و 7 و 0 \\\\ 0 و 0 و 7 \\ پایان (آرایه) \\ راست) \u003d \\\\ \u003d \\ چپ (\\ شروع (آرایه) (ccc) -14 - (- 15) +7 و 26-30 + 0 & -6-9 + 0 \\\\ -62 - (- 60) +0 & -10-36 + 7 & 14 - (- 45) +0 \\\\ 46-39 + 0 & 62-27 +0 و 14-24 + 7 \\ پایان (آرایه) \\ راست) \u003d \\ چپ (\\ شروع (آرایه) (ccc) 8 و -4 و -15 \\\\ -2 و -39 و 59 \\\\ 7 و 35 و -3 \\ end (آرایه) \\ سمت راست). $ $

مشکل حل شد ، $ D \u003d \\ چپ (\\ شروع (آرایه) (ccc) 8 & -4 و -15 \\\\ -2 و -39 و 59 \\\\ 7 & 35 & -3 \\ پایان (آرایه) \\ سمت راست) $ ...

پاسخ: $ D \u003d \\ چپ (\\ شروع (آرایه) (ccc) 8 & -4 و -15 \\\\ -2 و -39 و 59 \\\\ 7 & 35 & -3 \\ پایان (آرایه) \\ سمت راست) $.

مثال شماره 6

بگذارید $ f (x) \u003d 2x ^ 2 + 3x-9 $ و ماتریس $ A \u003d \\ سمت چپ (\\ شروع (آرایه) (cc) -3 و 1 \\\\ 5 & 0 \\ end (آرایه) \\ سمت راست) $. مقدار $ f (A) $ را پیدا کنید.

اگر $ f (x) \u003d 2x ^ 2 + 3x-9 $ ، پس با $ f (A) $ منظور ما ماتریس است:

$ $ f (A) \u003d 2A ^ 2 + 3A-9E. $ $

به این ترتیب چند جمله ای ماتریس تعریف می شود. بنابراین ، باید ماتریس $ A $ را در عبارت $ f (A) $ جایگزین کنیم و نتیجه بگیریم. از آنجا که همه اقدامات در اوایل مورد بحث قرار گرفتند ، در اینجا من فقط یک راه حل ارائه خواهم داد. اگر روند انجام عملیات $ A ^ 2 \u003d A \\ cdot A $ برای شما روشن نیست ، پس به شما توصیه می کنم شرح ضرب ماتریس را در قسمت اول این موضوع مشاهده کنید.

$ $ f (A) \u003d 2A ^ 2 + 3A-9E \u003d 2A \\ cdot A + 3A-9E \u003d 2 \\ سمت چپ (\\ start (آرایه) (cc) -3 & 1 \\\\ 5 & 0 \\ end (آرایه) \\ راست) \\ cdot \\ چپ (\\ شروع (آرایه) (سی سی) -3 و 1 \\\\ 5 و 0 \\ پایان (آرایه) \\ راست) +3 \\ چپ (\\ شروع (آرایه) (سی سی) -3 و 1 \\\\ 5 و 0 \\ پایان (آرایه) \\ راست) -9 \\ چپ (\\ شروع (آرایه) (سی سی) 1 و 0 \\\\ 0 & 1 \\ پایان (آرایه) \\ راست) \u003d \\\\ \u003d 2 \\ چپ ( \\ start (آرایه) (cc) (-3) \\ cdot (-3) +1 \\ cdot 5 & (-3) \\ cdot 1 + 1 \\ cdot 0 \\\\ 5 \\ cdot (-3) +0 \\ cdot 5 & 5 \\ cdot 1 + 0 \\ cdot 0 \\ end (آرایه) \\ سمت راست) +3 \\ چپ (\\ start (آرایه) (cc) -3 & 1 \\\\ 5 & 0 \\ end (آرایه) \\ right) -9 \\ چپ (\\ شروع (آرایه) (سی سی) 1 و 0 \\\\ 0 & 1 \\ پایان (آرایه) \\ راست) \u003d \\\\ \u003d 2 \\ چپ (\\ شروع (آرایه) (سی سی) 14 و -3 \\\\ - 15 و 5 \\ پایان (آرایه) \\ راست) +3 \\ چپ (\\ شروع (آرایه) (سی سی) -3 و 1 \\\\ 5 و 0 \\ پایان (آرایه) \\ راست) -9 \\ چپ (\\ شروع (آرایه ) (cc) 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \\ end (array) \\ right) \u003d \\ left (\\ start (array) (cc) 28 & -6 \\\\ -30 & 10 \\ end (array) \\ right) + \\ چپ (\\ شروع (آرایه) (سی سی) -9 و 3 \\\\ 15 و 0 \\ پایان (آرایه) \\ راست) - \\ چپ (\\ شروع (آرایه) (سی سی) 9 و 0 \\\\ 0 & 9 \\ $ $

پاسخ: $ f (A) \u003d \\ left (\\ start (آرایه) (cc) 10 & -3 \\\\ -15 & 1 \\ end (آرایه) \\ right) $.

برخی از خصوصیات عملیات در ماتریس ها.
عبارات ماتریس

و اکنون ادامه موضوع دنبال خواهد شد ، که در آن ما نه تنها مطالب جدید را در نظر خواهیم گرفت ، بلکه کار خواهیم کرد عملیات با ماتریس.

برخی از خصوصیات عملیات در ماتریس ها

بسیاری از ویژگی ها وجود دارد که مربوط به اقدامات با ماتریس است ، در همان ویکی پدیا می توانید رتبه های باریک قوانین مربوطه را تحسین کنید. با این حال ، در عمل ، بسیاری از خواص ، به تعبیری خاص ، "مرده" هستند ، زیرا فقط تعداد کمی از آنها در حل مشکلات واقعی استفاده می شود. هدف من بررسی کاربرد خصوصیات با استفاده از مثالهای خاص است ، و اگر به نظریه دقیق نیاز دارید ، لطفاً از منبع اطلاعات دیگری استفاده کنید.

برخی را در نظر بگیرید استثنائات قانونکه برای انجام کارهای عملی مورد نیاز خواهد بود.

اگر یک ماتریس مربع داشته باشد ماتریس معکوس ، پس ضرب آنها عوض می شود:

ماتریس واحد ماتریس مربع نامیده می شود که در آن مورب اصلی واحدها واقع شده اند و عناصر باقی مانده برابر با صفر هستند. به عنوان مثال: ، و غیره

که در آن ویژگی زیر درست است: اگر یک ماتریس دلخواه ضرب شود چپ یا راست در یک ماتریس هویت با اندازه های مناسب ، نتیجه اصلی خواهد بود:

همانطور که مشاهده می کنید ، اشتراکی بودن ضرب ماتریس نیز در اینجا رخ می دهد.

بیایید نوعی ماتریس بگیریم ، بیایید بگوییم ماتریس مربوط به مسئله قبلی: .

علاقه مندان می توانند بررسی و اطمینان حاصل کنند که:

ماتریس هویت برای ماتریس ها یک آنالوگ واحد عددی برای اعداد است ، که به ویژه از مثالهایی که قبلاً در نظر گرفته شد کاملاً مشخص است.

اشتراک پذیری یک عامل عددی با توجه به ضرب ماتریس

برای ماتریس ها و اعداد واقعی ، ویژگی زیر درست است:

یعنی می توان عامل عددی را (و باید) به جلو برد تا در ضرب ماتریس "تداخل" نکند.

توجه داشته باشید : به طور کلی ، فرمول بندی ویژگی ناقص است - "لامبدا" را می توان در هر جایی بین ماتریس ها قرار داد ، حتی در انتها. در صورت ضرب سه یا بیشتر ماتریس ، قانون همچنان معتبر است.

مثال 4

محاسبه محصول

تصمیم گیری:

(1) با توجه به دارایی عامل عددی را به جلو حرکت دهید. خود ماتریس ها نمی توانند دوباره مرتب شوند!

(2) - (3) ضرب ماتریس را انجام دهید.

(4) در اینجا می توانید هر عدد را بر 10 تقسیم کنید ، اما سپس کسرهای اعشاری در میان عناصر ماتریس ظاهر می شوند ، که خوب نیست. با این حال ، متوجه می شویم که تمام اعداد در ماتریس بر 5 قابل تقسیم هستند ، بنابراین هر عنصر را در ضرب می کنیم.

پاسخ:

کمی شرک برای راه حل خود:

مثال 5

اگر محاسبه کنید

راه حل و پاسخ در پایان درس.

چه تکنیکی هنگام حل چنین مثالهایی مهم است؟ پرداختن به شماره در وهله آخر .

بیایید کالسکه دیگری را به لوکوموتیو قلاب کنیم:

چگونه سه ماتریس را ضرب کنم؟

اول از همه ، حاصل ضرب سه ماتریس چه نتیجه ای باید داشته باشد؟ گربه موش به دنیا نخواهد آورد. اگر ضرب ماتریس عملی باشد ، نتیجه آن نیز ماتریس خواهد بود. هوم ، خوب معلم جبر من نمی بیند که چگونه بسته بودن یک ساختار جبری را نسبت به عناصر آن توضیح می دهم \u003d)

حاصلضرب سه ماتریس را می توان به دو روش محاسبه کرد:

1) پیدا کنید ، و سپس در ماتریس "tse" ضرب کنید:

2) یا ابتدا پیدا کنید ، سپس ضرب کنید.

نتایج قطعاً مطابقت خواهد داشت و از لحاظ تئوری این خاصیت را ضریب ضرب ماتریس می نامند:

مثال 6

ماتریس ها را به دو روش ضرب کنید

الگوریتم راه حل ها دو مرحله ای: محصول دو ماتریس را پیدا کنید ، سپس دوباره محصول دو ماتریس را پیدا کنید.

1) ما از فرمول استفاده می کنیم

اقدام اول:

اقدام دوم:

2) ما از فرمول استفاده می کنیم

اقدام اول:

اقدام دوم:

پاسخ:

البته آشنا تر و استاندارد تر ، اولین راه حل است ، "همه چیز به ترتیب" وجود دارد. ضمناً ، در مورد سفارش. در مسئله مورد بررسی ، این توهم اغلب بوجود می آید که ما در مورد نوعی جایگزینی ماتریس صحبت می کنیم. آنها اینجا نیستند. دوباره یادآوری می کنم که به طور کلی ازدواج از راه دور انجام ندهید... بنابراین ، در مرحله دوم ، در مرحله دوم ، ضرب را انجام می دهیم ، اما در هیچ موردی. با اعداد معمولی ، چنین عددی عبور می کرد ، اما با ماتریس - نه.

ویژگی ارتباط ضرب نه تنها برای مربع بلکه برای ماتریسهای دلخواه معتبر است - فقط اگر آنها ضرب شوند:

مثال 7

محصول سه ماتریس را پیدا کنید

این مثالی برای راه حل خودتان است. در محلول نمونه ، محاسبات به دو روش انجام می شود ، تجزیه و تحلیل اینکه کدام روش سودآورتر و کوتاهتر است.

خاصیت تداعی ضرب ماتریس برای تعداد بیشتری از فاکتورها اتفاق می افتد.

اکنون زمان بازگشت به قدرت ماتریس ها است. مربع ماتریس در ابتدای کار در نظر گرفته شده و این سوال در دستور کار قرار دارد:

چگونه یک ماتریس و توانهای بالاتر مکعب کنیم؟

این عملیات نیز فقط برای ماتریس های مربع تعریف می شوند. برای ساختن ماتریس مربع به مکعب ، باید محصول را محاسبه کنید:

در حقیقت ، این یک مورد خاص از ضرب سه ماتریس است که توسط ویژگی تداعی ضرب ماتریس انجام می شود:. و ماتریس ضرب شده در خودش مربع ماتریس است:

بنابراین ، یک فرمول کاری به دست می آوریم:

یعنی کار در دو مرحله انجام می شود: ابتدا ماتریس باید مربع شود و سپس ماتریس حاصل باید در ماتریس ضرب شود.

مثال 8

ماتریس مکعب.

این یک کار کوچک برای یک راه حل مستقل است.

افزایش ماتریس به قدرت چهارم به روشی طبیعی انجام می شود:

با استفاده از ضریب ضرب ماتریس ، دو فرمول کار استخراج می کنیم. اول: محصول سه ماتریس است.

1) به عبارت دیگر ، ابتدا می یابیم ، سپس آن را در "bh" ضرب می کنیم - یک مکعب بدست می آوریم ، و در آخر ، دوباره ضرب را انجام می دهیم - درجه چهارم وجود دارد.

2) اما یک راه حل کوتاه تر وجود دارد: یعنی در اولین مرحله ، مربع را پیدا می کنیم و با دور زدن مکعب ، ضرب را انجام می دهیم

فعالیت اضافی برای مثال 8:

ماتریس را به توان چهارم برسانید.

همانطور که اشاره شد ، برای انجام این کار دو روش وجود دارد:

1) به محض مشخص شدن مکعب ، ما ضرب را انجام می دهیم.

2) با این حال ، اگر مطابق بیان مسئله ، لازم است ماتریس را بسازید فقط تا درجه چهار، کوتاه کردن مسیر مفید است - مربع ماتریس را پیدا کرده و از فرمول استفاده کنید.

هر دو راه حل و پاسخ در انتهای درس است.

به همین ترتیب ، ماتریس به قدرت پنجم و بالاتر رسیده است. از تجربه عملی می توانم بگویم که بعضی اوقات با نمونه هایی از بالا بردن درجه 4 مواجه می شوم ، اما درجه پنجم را به خاطر نمی آورم. اما در هر صورت ، الگوریتم بهینه را می دهم:

1) پیدا کردن
2) پیدا کردن
3) ما ماتریس را به قدرت پنجم می رسانیم:.

اینها شاید کلیه خصوصیات اصلی عملیات ماتریسی باشد که می تواند در مشکلات عملی مفید باشد.

در بخش دوم این درس ، یک مهمانی به همان اندازه رنگارنگ پیش بینی می شود.

عبارات ماتریس

بیایید عبارات معمول مدرسه را با اعداد تکرار کنیم. یک عبارت عددی از اعداد ، علائم ریاضی و پرانتز تشکیل شده است ، به عنوان مثال: ... هنگام محاسبه ، اولویت جبری آشنا معتبر است: اول براکت هاسپس اعدام شد نمایی / استخراج ریشه، سپس ضرب / تقسیم و آخرین اما مهمتر - جمع / تفریق.

اگر یک عبارت عددی منطقی باشد ، نتیجه ارزیابی آن عدد است، به عنوان مثال:

عبارات ماتریس تقریباً به همین ترتیب چیده شده اند! با این تفاوت که شخصیت های اصلی ماتریس هستند. بعلاوه برخی از عملیات خاص ماتریس مانند جابجایی و یافتن ماتریس معکوس.

عبارت ماتریس را در نظر بگیرید ، برخی از ماتریس ها کجا هستند در این عبارت ماتریسی ، سه اصطلاح و عملیات جمع / تفریق آخرین انجام می شود.

در ترم اول ، ابتدا باید ماتریس "bie" را جابجا کنید: ، سپس ضرب را انجام دهید و "دو" را به ماتریس حاصل اضافه کنید. توجه داشته باشید که عمل جابجایی بر ضرب اولویت دارد... براکت ها ، مانند عبارات عددی ، ترتیب اعمال را تغییر می دهند: - در اینجا ، ابتدا ضرب انجام می شود ، سپس ماتریس حاصل جابجا می شود و در 2 ضرب می شود.

در اصطلاح دوم ، اول از همه ضرب ماتریس انجام می شود و ماتریس معکوس از محصول پیدا می شود. اگر براکت ها برداشته شوند: ، ابتدا باید ماتریس معکوس را پیدا کنید و سپس ماتریس ها را ضرب کنید:. یافتن معکوس یک ماتریس نیز بر ضرب اولویت دارد.

با اصطلاح سوم ، همه چیز واضح است: ما ماتریس را به یک مکعب می رسانیم و "پنج" را به ماتریس حاصل اضافه می کنیم.

اگر عبارت ماتریس منطقی باشد ، نتیجه محاسبه آن ماتریس است.

همه وظایف از مقالات آزمون واقعی است و ما با ساده ترین کارها شروع می کنیم:

مثال 9

ماتریس های داده شده ... برای پیدا کردن:

تصمیم گیری: ترتیب واضح است ، ابتدا ضرب و سپس جمع انجام می شود.

اضافه شدن غیرممکن است زیرا ماتریس ها از اندازه های مختلفی برخوردار هستند.

تعجب نکنید ، اقدامات عمدی غیرممکن اغلب در وظایف از این نوع پیشنهاد می شود.

تلاش برای ارزیابی عبارت دوم:

اینجا همه چیز خوب است.

پاسخ: عمل نمی تواند انجام شود ، .

در جولای سال 2020 ، ناسا اعزامی را به مریخ آغاز خواهد کرد. این فضاپیما یک ناو الکترونیکی با نام تمام اعضای ثبت شده اعزامی را به مریخ تحویل خواهد داد.

اگر این پست مشکل شما را برطرف کرد یا فقط آن را پسندیدید ، لینک آن را با دوستان خود در شبکه های اجتماعی به اشتراک بگذارید.

یکی از این انواع کد باید کپی و در کد صفحه وب شما ترجیحاً بین برچسب ها چسبانده شود و یا درست بعد از برچسب ... طبق گزینه اول ، MathJax سریعتر بارگیری می شود و سرعت صفحه را کمتر می کند. اما گزینه دوم آخرین نسخه های MathJax را به طور خودکار ردیابی و بارگیری می کند. اگر کد اول را وارد کنید ، باید مرتباً به روز شود. اگر کد دوم را وارد کنید ، صفحات با سرعت کمتری بارگیری می شوند ، اما نیازی به نظارت دائمی بر به روزرسانی های MathJax نخواهید داشت.

ساده ترین راه برای اتصال MathJax در Blogger یا WordPress است: در داشبورد سایت خود ، یک ابزارک برای قرار دادن کد جاوا اسکریپت شخص ثالث اضافه کنید ، نسخه اول یا دوم کد بارگیری در بالا را در آن کپی کنید و ویجت را نزدیک به ابتدای الگو قرار دهید (به هر حال ، این اصلاً لازم نیست زیرا اسکریپت MathJax بصورت غیر همزمان بارگذاری می شود). همین. اکنون ، نحو نشانه گذاری MathML ، LaTeX و ASCIIMathML را بیاموزید ، و آماده هستید فرمول های ریاضی را در صفحات وب وب سایت خود جاسازی کنید.

یک شب سال نو دیگر ... هوا یخ زده و دانه های برف روی صفحه پنجره ... همه اینها باعث شد که من دوباره درباره ... فراکتال ها و آنچه ولفرام آلفا درباره آن می داند بنویسم. مقاله جالبی در این باره وجود دارد که شامل نمونه هایی از ساختارهای فراکتال دو بعدی است. در اینجا نمونه های پیچیده تری از فراکتال های سه بعدی را بررسی خواهیم کرد.

یک فراکتال را می توان بصورت یک شکل هندسی یا یک بدن (به معنی این که هر دو یک مجموعه هستند ، در این حالت مجموعه ای از نقاط) تجسم کرد (جزئیات آن همان شکل شکل اصلی را دارد). یعنی این یک ساختار مشابه خود است ، با توجه به جزئیات آن با بزرگنمایی ، همان شکل بدون بزرگنمایی را خواهیم دید. در حالی که در مورد شکل هندسی منظم (نه فراکتال) ، وقتی بزرگنمایی می کنیم ، جزئیاتی را خواهیم دید که شکل ساده تری نسبت به شکل اصلی دارند. به عنوان مثال ، در یک بزرگنمایی به اندازه کافی بالا ، بخشی از بیضی مانند یک بخش خط به نظر می رسد. این امر در مورد فراکتال اتفاق نمی افتد: با هر افزایش در آنها ، مجدداً شاهد همان شکل پیچیده ای خواهیم بود که با هر افزایش دوباره و دوباره تکرار می شود.

بنوا ماندبلروت ، بنیانگذار علم فراکتال ها ، در مقاله خود Fractals and Art for Science نوشت: «فرکتال ها اشکال هندسی هستند که از نظر جزئیات به اندازه شکل کلی آنها پیچیده هستند. بخشی از فراکتال به اندازه کل بزرگ می شود ، مانند یک کل ، یا دقیقاً ، یا شاید با تغییر شکل جزئی به نظر می رسد. "

جبر خطی برای آدمکها

برای مطالعه جبر خطی ، می توانید کتاب IV Belousov "Matrices and Determinants" را بخوانید و در آن مطالعه کنید. با این حال ، آن را با یک زبان ریاضی سخت و خشک نوشته اند ، که درک آن برای افراد با ذهن متوسط \u200b\u200bدشوار است. بنابراین ، من سعی کرده ام سخت ترین مکانهای درک این کتاب را بازگو کنم ، سعی می کنم مطالب را با بیشترین شفافیت ارائه دهم و از تصاویر نهایت استفاده را ببرم. من اثبات قضایا را حذف کردم. صادقانه بگویم ، من خودم در آنها نفوذ نکردم. من معتقدم آقای بلوسوف! با قضاوت از کار او ، او یک ریاضیدان شایسته و باهوش است. می توانید کتاب او را در اینجا بارگیری کنید http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Belousov2006ru.pdfاگر می خواهید در کار من غوطه ور شوید ، این کار باید انجام شود ، زیرا من اغلب به بلوسوف مراجعه می کنم.

بیایید با تعاریف شروع کنیم. ماتریس چیست؟ این یک جدول مستطیل شکل از اعداد ، توابع یا عبارات جبری است. چرا ماتریس لازم است؟ آنها محاسبات ریاضی پیچیده را بسیار تسهیل می کنند. ماتریس را می توان با ردیف و ستون تشخیص داد (شکل 1).

ردیف ها و ستون ها با شروع از سمت چپ شماره گذاری می شوند

از بالا (شکل 1-1). وقتی می گویند: ماتریسی به اندازه m n (یا m در n) ، منظور آنهاست تعداد مترو زیر تعداد ستونها... به عنوان مثال ، ماتریس در شکل 1-1 به جای 3 در 4 ، 4 در 3 است.

به شکل مراجعه کنید. 1-3 ، ماتریس ها چیست. اگر یک ماتریس از یک ردیف تشکیل شده باشد ، ماتریس ردیف نامیده می شود و اگر از یک ستون تشکیل شود ، ماتریس ستون. اگر تعداد ردیفها برابر تعداد ستونها و n برابر باشد ، ماتریس ترتیب n-th مربع نامیده می شود. اگر تمام عناصر ماتریس برابر با صفر باشند ، این یک ماتریس صفر است. ماتریس مربع در صورتی مورب نامیده می شود که تمام عناصر آن برابر با صفر باشد ، به جز مواردی که روی مورب اصلی قرار دارند.

من بلافاصله توضیح می دهم که مورب اصلی چیست. تعداد ردیف و ستون آن یکسان است. از بالا به پایین از چپ به راست می رود. (شکل 3) اگر عناصر بر روی مورب اصلی قرار بگیرند ، مورب نامیده می شوند. اگر تمام عناصر مورب برابر یک باشند (و بقیه صفر باشند) ، ماتریس را ماتریس هویت می نامند. گفته می شود دو ماتریس A و B در یک اندازه اگر همه عناصر آنها یکسان باشد برابر هستند.

2 عملیات روی ماتریس ها و خصوصیات آنها

حاصلضرب یک ماتریس توسط x ماتریسی با همان اندازه است. برای تهیه این محصول ، باید هر عنصر را در این عدد ضرب کنید (شکل 4). برای بدست آوردن مجموع دو ماتریس در یک اندازه ، باید عناصر مربوطه را اضافه کنید (شکل 4). برای به دست آوردن اختلاف A - B از دو ماتریس یک اندازه ، باید ماتریس B را در 1 ضرب کنید و ماتریس حاصل را با ماتریس A اضافه کنید (شکل 4). برای عملیات روی ماتریس ، خصوصیات زیر صحیح است: A + B \u003d B + A (خاصیت جابجایی).

(A + B) + C \u003d A + (B + C) (ویژگی ارتباط). به عبارت ساده ، مجموع از تغییر مکان اصطلاحات تغییر نمی کند. برای عملکردهای ماتریس و اعداد ، خصوصیات زیر صحیح است:

(اعداد را با حروف x و y و ماتریس ها را با حروف A و B نشان می دهیم) x (yA) \u003d (xy) A

این خصوصیات مشابه خصوصیات مربوط به عملیات روی اعداد است. دیدن

مثالها در شکل 5. همچنین به مثالهای 2.4 - 2.6 توسط Belousov در صفحه 9 مراجعه کنید.

ضرب ماتریس.

ضرب دو ماتریس فقط در صورتی تعریف می شود که (در روسی: ماتریس ها فقط در صورت ضرب) ، در صورتی که تعداد ستون های ماتریس اول در محصول برابر با تعداد ردیف های دوم باشد (شکل 7 ، بالا ، براکت های آبی). برای بهتر یادآوری: عدد 1 بیشتر شبیه ستون است.در نتیجه ضرب ، ماتریسی از اندازه بدست می آید (شکل 6 را ببینید). برای راحت تر به خاطر سپردن اینکه چه چیزی را باید در آن ضرب کنیم ، الگوریتم زیر را پیشنهاد می کنم: به شکل 7 مراجعه کنید.

ماتریس A دو ستون است ،

ماتریس B دو ردیف دارد - می توانید ضرب کنید.

1) بیایید با اولین ستون ماتریس B برخورد کنیم (او فقط یک ستون دارد). ما این ستون را به صورت یک ردیف می نویسیم (جابجایی)

ستون ، در مورد جابجایی دقیقاً در زیر).

2) این خط را کپی کنید تا ماتریسی به اندازه ماتریس A بدست آوریم.

3) عناصر این ماتریس را در عناصر متناظر ماتریس A ضرب می کنیم.

4) ما کارهای حاصل را در هر سطر اضافه می کنیم و می گیریمیک ماتریس محصول از دو ردیف و یک ستون.

شکل 7-1 نمونه هایی از ضرب ماتریس بزرگتر را نشان می دهد.

1) در اینجا ، ماتریس اول دارای سه ستون است ، بنابراین دومی باید سه خط داشته باشد. الگوریتم دقیقاً مشابه مثال قبلی است ، فقط در اینجا در هر سطر سه اصطلاح وجود دارد ، نه دو اصطلاح.

2) در اینجا ماتریس دوم دارای دو ستون است. ابتدا الگوریتم را با ستون اول و سپس با ستون دوم انجام می دهیم و یک ماتریس دو در دو بدست می آوریم.

3) در اینجا ، ماتریس دوم ستونی متشکل از یک عنصر دارد ، ستون از جابجایی تغییر نمی کند. و شما نیازی به افزودن چیزی ندارید ، زیرا فقط یک ستون در ماتریس اول وجود دارد. ما الگوریتم را سه بار اجرا می کنیم و یک ماتریس سه در سه می گیریم.

خواص زیر اتفاق می افتد:

1. اگر جمع B + C و محصول AB وجود داشته باشد ، A (B + C) \u003d AB + AC

2. اگر محصول AB وجود داشته باشد ، x (AB) \u003d (xA) B \u003d \u003d A (xB).

3. اگر محصولات AB و BC وجود داشته باشد ، A (BC) \u003d (AB) C

اگر محصول ماتریس های AB وجود داشته باشد ، ممکن است محصول BA وجود نداشته باشد. حتی اگر محصولات AB و BA وجود داشته باشند ، می توانند ماتریس هایی با اندازه های مختلف باشند.

هر دو محصول AB و BA فقط در مورد ماتریس های مربع A و B از همان ترتیب ماتریس های یک اندازه هستند. با این حال ، حتی در این حالت ، AB ممکن است با BA برابر نباشد.

نمایی

بیان ماتریس فقط برای ماتریس های مربع معنا دارد (فکر می کنید چرا؟). سپس عدد صحیح مثبت m ماتریس A حاصلضربهای m ماتریس برابر A است. همان عددی است. درجه صفر ماتریس مربع A به عنوان یک ماتریس هویتی با همان نظم A قابل درک است. اگر فراموش کرده اید که ماتریس هویت چیست ، نگاهی به شکل بیندازید. 3

درست مانند اعداد ، روابط زیر برقرار است:

A mA k \u003d A m + k (A m) k \u003d A mk

نمونه هایی از Belousov را در صفحه 20 مشاهده کنید.

ماتریس ها را جابجا کنید

Transpose تبدیل ماتریس A به ماتریس AT است ،

که در آن ردیف های ماتریس A با حفظ ترتیب در ستون های AT نوشته می شوند. (شکل 8) راه دیگری برای گفتن:

ستون های ماتریس A با حفظ ترتیب در ردیف های ماتریس AT نوشته می شوند. توجه داشته باشید که نحوه جابجایی چگونه اندازه ماتریس ، یعنی تعداد ردیف ها و ستون ها را تغییر می دهد. همچنین توجه داشته باشید که موارد در ردیف اول ، ستون اول و آخرین ردیف ، آخرین ستون در جای خود باقی می مانند.

خصوصیات زیر برقرار است: (AT) T \u003d A (جابجایی)

ماتریس دو بار - شما همان ماتریس را دریافت می کنید)

(xA) T \u003d xAT (x به معنای یک عدد است ، البته A ، یک ماتریس) (در صورت نیاز به ضرب ماتریس در یک عدد و جابجایی ، می توانید ابتدا ضرب کنید ، سپس جابجا کنید یا برعکس)

(A + B) T \u003d AT + BT (AB) T \u003d BT AT

ماتریس های متقارن و ضد متقارن

شکل 9 یک ماتریس متقارن را در بالا سمت چپ نشان می دهد. عناصر آن ، متقارن در مورد مورب اصلی ، برابر هستند. و اکنون تعریف: ماتریس مربع

A را AT \u003d A متقارن می نامند. یعنی ماتریس متقارن هنگام جابجایی تغییر نمی کند. به طور خاص ، هر ماتریس مورب متقارن است. (چنین ماتریسی در شکل 2 نشان داده شده است).

اکنون به ماتریس ضد متقارن نگاه کنید (شکل 9 ، پایین). تفاوت آن با متقارن چیست؟ توجه داشته باشید که تمام عناصر مورب آن صفر است. برای ماتریس های غیر متقارن ، تمام عناصر مورب برابر با صفر هستند. فکر کنید چرا؟ تعریف: ماتریس مربع A نامیده می شود

ضد متقارن اگر AT \u003d -A باشد. اجازه دهید برخی از خصوصیات عملیات را در متقارن و ضد متقارن یادداشت کنیم

ماتریس ها 1. اگر A و B ماتریس های متقارن (ضداقارن) هستند ، A + B نیز ماتریسی متقارن (ضدمقارن) است.

2. اگر A ماتریسی متقارن (ضد متقارن) باشد ، xA نیز ماتریسی متقارن (ضد متقارن) است. (در واقع ، اگر ماتریس های شکل 9 را در تعدادی عدد ضرب کنید ، تقارن همچنان حفظ خواهد شد)

3. محصول AB دو ماتریس متقارن یا دو ضد متقارن A و B یک متقارن ماتریس برای AB \u003d BA و ضد متقارن برای AB \u003d-با

4. اگر A ماتریس متقارن است ، پس Am (m \u003d 1 ، 2 ، 3 ، ...) یک ماتریس متقارن است. اگر یک

یک ماتریس ضد متقارن ، سپس Am (m \u003d 1 ، 2 ، 3 ، ...) یک ماتریس متقارن برای حتی m و یک ماتریس ضد متقارن برای فرد فرد است.

5- یک ماتریس مربع دلخواه A را می توان به عنوان مجموع دو ماتریس نشان داد. (بیایید این ماتریس ها را بنامیم ، به عنوان مثال A (ها) و A (a))

A \u003d A (s) + A (a)

لازم به ذکر است که فقط ماتریس های مربع خود را به این عملیات وام می دهند. تعداد برابر ردیف ها و ستون ها پیش شرط بالا بردن ماتریس به توان است. در حین محاسبه ، ماتریس در خود تعداد دفعات مورد نیاز ضرب می شود.

این ماشین حساب آنلاین برای انجام عملیات افزایش ماتریس به توان طراحی شده است. به لطف استفاده از آن ، شما نه تنها به سرعت با این کار کنار می آیید ، بلکه ایده روشنی و دقیق از روند محاسبه را بدست می آورید. این به ادغام بهتر مطالب به دست آمده در تئوری کمک می کند. با مشاهده یک الگوریتم محاسبه دقیق ، همه ظرافت های آن را بهتر درک خواهید کرد و متعاقباً قادر خواهید بود از اشتباهات در محاسبات دستی جلوگیری کنید. همچنین ، بررسی مجدد محاسبات هرگز ضرری ندارد و این نیز در اینجا بهتر است انجام شود.

برای بالا بردن ماتریس به صورت آنلاین ، به یک سری مراحل ساده نیاز دارید. اول از همه ، اندازه ماتریس را با کلیک روی نمادهای "+" یا "-" در سمت چپ آن مشخص کنید. سپس اعداد را در قسمت ماتریس وارد کنید. همچنین باید درجه بالا رفتن ماتریس را مشخص کنید. و سپس فقط باید روی دکمه کلیک کنید: "محاسبه" در پایین قسمت. اگر تمام مقادیر را با دقت و صحیح وارد کنید ، نتیجه قابل اطمینان و دقیقی خواهد بود. همراه با آن ، متن دقیق راه حل به شما ارائه می شود.