برای گزاره a b c جدول صدق بسازید. ترتیب اجرای عملیات منطقی

ساخت جداول صدق برای عبارات پیچیده

تقدم عملیات منطقی

1) وارونه 2) ربط 3) تفکیک 4) دلالت و معادل

چگونه یک جدول حقیقت درست کنیم؟

طبق تعریف، جدول حقیقت یک فرمول منطقی مطابقت بین تمام مجموعه های ممکن از مقادیر متغیر و مقادیر فرمول را بیان می کند.

برای فرمولی که شامل دو متغیر است، تنها چهار مجموعه از این مقادیر متغیر وجود دارد:

(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1).

اگر فرمول شامل سه متغیر باشد، هشت مجموعه ممکن از مقادیر متغیر وجود دارد (0، 0، 0)، (0، 0، 1)، (0، 1، 0)، (0، 1، 1)، (1، 0، 0)، (1، 0، 1)، (1، 1، 0)، (1، 1، 1).

تعداد مجموعه ها برای یک فرمول با چهار متغیر، شانزده است و به همین ترتیب.

یک شکل مناسب از نشانه گذاری برای یافتن مقادیر یک فرمول، جدولی است که علاوه بر مقادیر متغیرها و مقادیر فرمول، مقادیر فرمول های میانی را نیز در بر دارد.

مثال ها.

1. بیایید یک جدول حقیقت برای فرمول 96%" style="width:96.0%"> درست کنیم.

از جدول می توان دریافت که برای همه مجموعه مقادیر متغیرهای x و y، فرمول مقدار 1 را می گیرد، یعنی است عینا درست است.

2. جدول حقیقت برای فرمول 96%" style="width:96.0%">

از جدول می توان دریافت که برای تمام مجموعه مقادیر متغیرهای x و y، فرمول مقدار 0 را می گیرد، یعنی است یکسان نادرست .

3. جدول حقیقت برای فرمول 96%" style="width:96.0%">

از جدول می توان دریافت که formula 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

نتیجه گیری: همه آنها را در آخرین ستون دریافت کردیم. این بدان معنی است که معنای دستور مرکب برای هر مقدار از گزاره های ساده K و C صادق است. در نتیجه معلم به طور منطقی درست استدلال کرده است.

امروز در مورد موضوعی به نام علوم کامپیوتر صحبت خواهیم کرد. جدول صدق، انواع توابع، ترتیب اجرای آنها سوالات اصلی ما هستند که در مقاله سعی خواهیم کرد پاسخ آنها را پیدا کنیم.

معمولا این درس در مقطع متوسطه تدریس می شود، اما تعداد زیادی ازدانش‌آموزان عامل عدم درک برخی ویژگی‌ها هستند. و اگر قرار است زندگی خود را وقف این کنید، پس نمی توانید بدون گذراندن آزمون دولتی واحد در علوم کامپیوتر انجام دهید. جدول حقیقت، تبدیل عبارات پیچیده، راه حل مشکلات منطقی - همه اینها را می توان در یک بلیط پیدا کرد. اکنون نگاه دقیق تری خواهیم داشت این موضوعو به شما کمک می کند امتیاز بیشتری در امتحان کسب کنید.

موضوع منطق

انفورماتیک چه نوع رشته ای است؟ جدول حقیقت - چگونه آن را بسازیم؟ چرا به علم منطق نیاز داریم؟ اکنون به همه این سوالات پاسخ خواهیم داد.

علوم کامپیوتر یک موضوع کاملاً جذاب است. نمی تواند برای آن مشکلی ایجاد کند جامعه مدرن، زیرا هر چیزی که ما را احاطه کرده است، به هر طریقی، به رایانه اشاره دارد.

مبانی علم منطق توسط معلمان دبیرستان در درس علوم کامپیوتر ارائه می شود. جداول حقیقت، توابع، ساده سازی عبارات - همه اینها باید توسط معلمان علوم کامپیوتر توضیح داده شود. این علم به سادگی در زندگی ما ضروری است. با دقت نگاه کنید، همه چیز از نوعی قانون پیروی می کند. شما توپ را پرتاب کردید، آن بالا پرواز کرد، اما پس از آن دوباره روی زمین افتاد، این به دلیل قوانین فیزیک و نیروی گرانش اتفاق افتاد. مامان سوپ می پزد و نمک می ریزد. چرا وقتی آن را می خوریم با غلات مواجه نمی شویم؟ ساده است، نمک حل شده در آب، از قوانین شیمی پیروی می کند.

حالا به نحوه صحبت خود دقت کنید.

• اگر گربه‌ام را به کلینیک دامپزشکی ببرم، واکسینه می‌شود.»
• "امروز روز بسیار سختی بود زیرا چک آمد."
• «من نمی‌خواهم به دانشگاه بروم، زیرا امروز یک کنفرانس برگزار خواهد شد» و غیره.

هر چیزی که می گویید باید از قوانین منطق پیروی کند. این برای مکالمه تجاری و دوستانه صدق می کند. به همین دلیل است که لازم است قوانین منطق را درک کنیم تا تصادفی عمل نکنیم، بلکه از نتیجه رویدادها مطمئن باشیم.

کارکرد

برای تهیه جدول صدق برای مسئله ای که به شما پیشنهاد می شود، باید توابع منطقی را بدانید. آن چیست؟ تابع بولی دارای متغیرهایی است که عبارت هستند (درست یا نادرست) و مقدار خود تابع باید به این سؤال پاسخ دهد: "این عبارت درست است یا نادرست؟".

تمام عبارات مقادیر زیر را می گیرند:

• درست یا غلط.
• من یا ال.
• 1 یا 0
• مثبت یا منفی.

در اینجا، روشی را که برای شما راحت تر است، ترجیح دهید. برای ایجاد جدول صدق، باید تمام ترکیبات متغیرها را فهرست کنیم. تعداد آنها با فرمول 2 به توان n محاسبه می شود. نتیجه محاسبه تعداد ترکیبات ممکن است، متغیر n در این فرمول تعداد متغیرهای شرط است. اگر عبارت دارای متغیرهای زیادی است، می توانید از ماشین حساب استفاده کنید یا با بالا بردن دو به توان یک جدول کوچک برای خود بسازید.

در کل، هفت تابع یا رابطه در منطق وجود دارد که عبارات را به هم متصل می کند:

• ضرب (پیوند).
• جمع (انفکاک).
• نتیجه (تلویحا).
• معادل سازی.
• وارونگی.
• سکته شفر.
• پیکان پیرس.

اولین عملیات ارائه شده در لیست "ضرب منطقی" نام دارد. می توان آن را به صورت گرافیکی به عنوان تیک معکوس و یا علامت * مشخص کرد. دومین عملیات در لیست ما اضافه کردن منطقی است که به صورت گرافیکی با علامت + نشان داده می شود. یک استلزام نتیجه منطقی نامیده می شود که با فلشی که از شرط به نتیجه اشاره می کند نشان داده می شود. هم ارزی با یک فلش دو طرفه نشان داده می شود، این تابع فقط در مواردی صادق است که هر دو مقدار مقدار "1" یا "0" را بگیرند. وارونگی را نفی منطقی می گویند. شفر اول تابعی نامیده می شود که ربط را رد می کند و فلش پیرس را تابعی می گویند که جدایی را رد می کند.

توابع باینری پایه

جدول حقیقت منطقی به یافتن پاسخ در مسئله کمک می کند، اما برای این کار باید جداول توابع باینری را به خاطر بسپارید. در این بخش ارائه خواهند شد.

ربط (ضرب). اگر دو در نتیجه درست می‌شویم، در بقیه موارد نادرست می‌شویم.

نتیجه با جمع منطقی نادرست است، فقط در مورد دو ورودی نادرست داریم.

یک نتیجه منطقی تنها زمانی نادرست است که شرط درست و نتیجه نادرست باشد. در اینجا می توانید مثالی از زندگی بیاورید: "می خواستم شکر بخرم اما فروشگاه بسته بود" بنابراین شکر هرگز خریداری نشد.

معادل فقط در مواردی صادق است که مقادیر داده های ورودی یکسان باشد. یعنی با جفت: "0؛ 0" یا "1؛ 1".

در مورد وارونگی، همه چیز ابتدایی است، اگر یک عبارت درست در ورودی وجود داشته باشد، آنگاه به نادرست تبدیل می شود و بالعکس. تصویر نشان می دهد که چگونه به صورت گرافیکی نشان داده شده است.

ضربه شیفر تنها در صورتی نتیجه نادرست در خروجی خواهد داشت که دو عبارت درست وجود داشته باشد.

در مورد پیکان پیرس، تابع فقط در صورتی درست خواهد بود که در ورودی فقط عبارات نادرست داشته باشیم.

به چه ترتیب عملیات منطقی انجام شود

لطفا توجه داشته باشید که ساخت جداول صدق و ساده سازی عبارات تنها با ترتیب صحیح عملیات امکان پذیر است. به یاد داشته باشید که آنها به چه ترتیبی باید انجام شوند، این برای به دست آوردن نتیجه مناسب بسیار مهم است.

• نفی منطقی;
• ضرب؛
• اضافه شدن
• نتیجه؛
• هم ارزی؛
• نفی ضرب (سکته مغزی شفر)؛
• نفی جمع (پیکان پیرس).

مثال شماره 1

اکنون پیشنهاد می کنیم نمونه ای از ساخت جدول صدق برای 4 متغیر را در نظر بگیریم. باید دریابید که در کدام موارد F \u003d 0 برای معادله: نه A + B + C * D

پاسخ به این کار، شمارش ترکیب های زیر خواهد بود: "1;0;0;0"، "1;0;0;1" و "1;0;1;0". همانطور که می بینید، تهیه جدول حقیقت بسیار ساده است. یک بار دیگر توجه شما را به ترتیب اقدامات جلب می کنم. در این مورد خاص این بود:

1. وارونگی اولین عبارت ساده.
2. ترکیب عبارت سوم و چهارم.
3. تفکیک عبارت دوم با نتایج محاسبات قبلی.

مثال شماره 2

اکنون کار دیگری را که مستلزم ساخت جدول حقیقت است در نظر خواهیم گرفت. انفورماتیک (نمونه هایی از یک دوره مدرسه گرفته شده است) نیز می تواند به عنوان یک وظیفه ارائه شود. بیایید به طور خلاصه یکی از آنها را بررسی کنیم. آیا وانیا در دزدیدن توپ مقصر است اگر موارد زیر مشخص باشد:

• اگر وانیا دزدی نکرد یا پتیا دزدی نکرد ، سریوژا در دزدی شرکت کرد.
• اگر وانیا مقصر نباشد، پس سریوژا نیز توپ را ندزدیده است.

بیایید نماد را معرفی کنیم: من - وانیا توپ را دزدید. پ - پتیا دزدید. S - Seryozha دزدید.

توسط این شرایطمی‌توانیم معادله را بنویسیم: F=((نه I+P) مفهوم C)*(نه مفهوم من نه C). ما به گزینه هایی نیاز داریم که در آن تابع مقدار واقعی را بگیرد. بعد، شما باید یک جدول ایجاد کنید، زیرا عملکرد داده شدهدارای 7 عمل است، سپس آنها را حذف می کنیم. ما فقط داده های ورودی و نتیجه را وارد می کنیم.

لطفا توجه داشته باشید که در این مشکل به جای علامت های "0" و "1" از علامت های مثبت و منفی استفاده کردیم. این نیز قابل قبول است. ما به ترکیب هایی که در آن F=+ علاقه مندیم. پس از تجزیه و تحلیل آنها، می توانیم نتیجه زیر را بگیریم: وانیا در سرقت توپ شرکت کرد، زیرا در تمام مواردی که F مقدار + را می گیرد، AND دارای مقدار مثبت است.

مثال شماره 3

اکنون پیشنهاد می کنیم تعداد ترکیبات را در زمانی که F=1 پیدا کنید. معادله به صورت زیر است: F=notA+B*A+notB. ما یک جدول حقیقت درست می کنیم:

پاسخ: 4 ترکیب.

تعریف 1

تابع بولیتابعی است که متغیرهای آن یکی از دو مقدار را می گیرند: $1$ یا $0$.

هر تابع منطقی را می توان با استفاده از جدول صدق مشخص کرد: مجموعه همه آرگومان های ممکن در سمت چپ جدول نوشته شده است و مقادیر مربوط به تابع منطقی در سمت راست قرار دارند.

تعریف 2

جدول درستی- جدولی که نشان می دهد یک عبارت ترکیبی چه مقادیری را برای همه مجموعه های ممکن از مقادیر عبارات ساده موجود در آن می گیرد.

تعریف 3

معادلاصطلاحات منطقی نامیده می شوند که آخرین ستون های جداول صدق بر هم منطبق هستند. معادل با علامت $"="$" نشان داده می شود.

هنگام تهیه جدول صدق، مهم است که ترتیب اجرای عملیات منطقی زیر را در نظر بگیرید:

تصویر 1.

پرانتز در ترتیب اجرای عملیات اولویت دارد.

الگوریتم ساخت جدول صدق یک تابع منطقی

تعداد خطوط را تعیین کنید: تعداد خطوط= $2^n + 1$ (برای نوار عنوان)، $n$ تعداد عبارات ساده است. به عنوان مثال، برای توابع دو متغیر، ترکیبی از مجموعه مقادیر متغیر $2^2 = 4$ وجود دارد، برای توابع سه متغیر $2^3 = 8$ و غیره وجود دارد.

تعداد ستون ها را تعیین کنید: تعداد ستون = تعداد متغیرها + تعداد عملیات منطقی.هنگام تعیین تعداد عملیات منطقی، ترتیب اجرای آنها نیز در نظر گرفته می شود.

ستون ها را با نتایج انجام عملیات منطقی پر کنیددر یک دنباله خاص، با در نظر گرفتن جداول صدق عملیات منطقی اساسی.

شکل 2.

مثال 1

یک جدول حقیقت از عبارت منطقی $D=\bar(A) \vee (B \vee C)$ بسازید.

راه حل:

بیایید تعداد خطوط را تعیین کنیم:

تعداد خطوط = $2^3 + 1=9$.

تعداد متغیرها 3 دلار است.

1. invert ($\bar(A)$);
2. گسست، زیرا داخل پرانتز است ($B \vee C$)؛

3. تفکیک ($\overline(A)\vee \left(B\vee C\right)$) عبارت منطقی مورد نیاز است.

   تعداد ستون ها = $3 + 3=6$.

بیایید جدول را با در نظر گرفتن جداول صدق عملیات منطقی پر کنیم.

شکل 3

مثال 2

بر اساس عبارت منطقی داده شده، یک جدول حقیقت بسازید:

راه حل:

بیایید تعداد خطوط را تعیین کنیم:

تعداد عبارات ساده $n=3$ است، بنابراین

تعداد خطوط = $2^3 + 1=9$.

بیایید تعداد ستون ها را تعریف کنیم:

تعداد متغیرها 3 دلار است.

تعداد عملیات منطقی و ترتیب آنها:

1. نفی ($\bar(C)$);
2. گسست، زیرا داخل پرانتز است ($A \vee B$)؛
3. پیوند ($(A\vee B)\bigwedge \overline(C)$);
4. نفی، که آن را با $F_1$ نشان می دهیم ($\overline((A\vee B)\bigwedge \overline(C))$);
5. تفکیک ($A \vee C$)؛
6. پیوند ($(A\vee C)\bigwedge B$);
7. نفی، که آن را با $F_2$ نشان می دهیم ($\overline((A\vee C)\bigwedge B)$);

8. disjunction تابع منطقی مورد نظر است ($\overline((A\vee B)\bigwedge \overline(C))\vee \overline((A\vee C)\bigwedge B)$).

تابع بولیتابعی است که در آن متغیرها فقط دو مقدار می گیرند: یک منطقی یا یک صفر منطقی. صدق یا نادرستی گزاره های پیچیده تابعی از صدق یا نادرستی گزاره های ساده است. این تابع تابع قضاوت بولی f (a, b) نامیده می شود.

هر تابع منطقی را می توان با استفاده از یک جدول صدق مشخص کرد که در سمت چپ آن مجموعه ای از آرگومان ها نوشته شده است و در سمت راست - مقادیر مربوط به تابع منطقی.

هنگام ساخت جدول حقیقت، باید ترتیب انجام عملیات منطقی را در نظر گرفت. عملیات در یک عبارت بولی از چپ به راست، شامل پرانتز، به ترتیب زیر انجام می شود:

• 1. وارونگی;
• 2. پیوند;
• 3. تفکیک;
• 4. دلالت و هم ارزی.

از پرانتزها برای تغییر ترتیب مشخص شده عملیات منطقی استفاده می شود.

به شرح زیر الگوریتم جدول حقیقت.

• 1. تعیین کنید تعداد مجموعه ای از متغیرهای ورودی- تمام ترکیبات ممکن از مقادیر متغیرهای موجود در عبارات، طبق فرمول: Q=2 n، که در آن n تعداد متغیرهای ورودی است. تعداد ردیف های جدول را مشخص می کند.
• 2. تمام مجموعه متغیرهای ورودی را در جدول وارد کنید.
• 3. تعداد عملیات منطقی و ترتیب اجرای آنها را تعیین کنید.
• 4. ستون ها را با نتایج انجام عملیات منطقی به ترتیب مشخص شده پر کنید.

برای اینکه هیچ ترکیبی از مقادیر متغیرهای ورودی را تکرار یا نادیده نگیرید، باید از یکی از روش های زیر برای پر کردن جدول استفاده کرد.

روش 1. هر مجموعه از مقادیر متغیرهای ورودی یک کد عددی در سیستم اعداد باینری است و تعداد ارقام عدد برابر با تعداد متغیرهای ورودی است. مجموعه اول عدد 0 است. هر بار با اضافه کردن 1 به عدد فعلی، مجموعه بعدی را بدست می آوریم. آخرین مجموعه حداکثر مقدار یک عدد باینری برای طول کد معین است.

به عنوان مثال، برای تابعی از سه متغیر، دنباله مجموعه ها از اعداد تشکیل شده است:

روش 2. برای تابعی از سه متغیر، توالی داده ها را می توان به روش زیر بدست آورد:

• الف) ستون مقادیر متغیر اول را به نصف تقسیم کنید و نیمه بالایی را با صفر و نیمه پایینی را با یک ها پر کنید.
• ب) در ستون بعدی برای متغیر دوم، دوباره نصف را نصف کنید و با گروه های صفر و یک پر کنید. به طور مشابه نیمه دوم را پر کنید.
• ج) این کار را تا زمانی انجام دهید که گروه های صفر و یک از یک کاراکتر تشکیل شوند.

روش 3. از جدول حقیقت شناخته شده برای دو آرگومان استفاده کنید. هنگام اضافه کردن آرگومان سوم، ابتدا 4 ردیف اول جدول را بنویسید و آنها را با مقدار آرگومان سوم برابر با 0 ترکیب کنید و سپس همان 4 سطر را دوباره بنویسید، اما اکنون با مقدار آرگومان سوم برابر با 1 است. در نتیجه، جدول سه آرگومان دارای 8 خط خواهد بود:

به عنوان مثال، بیایید یک جدول صدق برای یک تابع منطقی بسازیم:

تعداد متغیرهای ورودی در عبارت داده شده سه متغیر است (A,B,C). بنابراین تعداد مجموعه های ورودی Q=2 3 =8 .

ستون های جدول صدق با مقادیر عبارات اصلی مطابقت دارند A,B,C، نتایج میانی و ( ب V سی) و همچنین مقدار نهایی مورد نظر یک عبارت پیچیده حسابی:

• 0 0 0 1 0 0
• 0 0 1 1 1 1
• 0 1 0 1 1 1
• 0 1 1 1 1 1
• 1 0 0 0 0 0
• 1 0 1 0 1 0
• 1 1 0 0 1 0
• 1 1 1 0 1 0
• 7.4. توابع منطقی و تبدیل آنها قوانین منطق

برای عملیات ربط، تفکیک و وارونگی، قوانین جبر بولی تعریف شده است که به فرد امکان انجام تبدیل های یکسان (معادل). عبارات بولی .

قوانین منطق

• 1. ¬¬ A
• 2.A&B
• 3. AVB
• 4.A&(B&C)
• 5.AV (BVC)
• 6. A&(BVC)
• 7.AV (B&C)
• 8.A&A
• 9. آوا
• 10. AV-A
• 11. A&¬A
• 12. A&I
• 13. AVI
• 14. A&L
• 15. AVL
• 16. ¬(A&B)
• 17. ¬(AVB)
• 18. الف => ب

بر اساس قوانین، می توانید عبارات منطقی پیچیده را ساده کنید. این فرآیند جایگزینی یک تابع منطقی پیچیده با یک تابع ساده تر اما معادل، کمینه سازی تابع نامیده می شود.

مثال 1 عبارات را ساده کنید تا فرمول های به دست آمده حاوی نفی عبارات پیچیده نباشند.

راه حل

مثال 2 به حداقل رساندن عملکرد

هنگام ساده سازی بیان، از فرمول های جذب و چسب استفاده شد.

مثال 3 نفی عبارت زیر را بیابید: "اگر درس جالب باشد، هیچ یک از دانش آموزان (میشا، ویکا، سوتا) به بیرون از پنجره نگاه نمی کنند."

راه حل

بیایید عبارات را نشان دهیم:

Y- "درس جالب است"؛

م- "میشا از پنجره به بیرون نگاه می کند"؛

ب- "ویکا از پنجره به بیرون نگاه می کند"؛

سی- "سوتا از پنجره به بیرون نگاه می کند."

هنگام ساده سازی عبارت، از فرمول جایگزینی عملیات و قانون دی مورگان استفاده شد.

مثال 4 شرکت کننده در جرم را بر اساس دو فرض مشخص کنید: کامپیوتر منطقیجدول

• 1) "اگر ایوانف شرکت نکرد یا پتروف شرکت کرد، سیدوروف شرکت کرد"؛
• 2) "اگر ایوانف شرکت نکرد، سیدوروف شرکت نکرد."

راه حل

بیایید عباراتی بسازیم:

من- "ایوانف در جنایت شرکت کرد"؛

پ- "پتروف در جنایت شرکت کرد"؛

اس- "سیدوروف در جنایت شرکت کرد."

بسته ها را به صورت فرمول می نویسیم:

بیایید نتیجه را با استفاده از جدول حقیقت بررسی کنیم:

پاسخ:ایوانف در این جنایت شرکت داشت.

ساخت یک تابع منطقی از جدول صدق آن

ما یاد گرفته ایم که چگونه یک جدول صدق برای یک تابع منطقی بسازیم. بیایید سعی کنیم مشکل معکوس را حل کنیم.

سطرهایی را در نظر بگیرید که مقدار صدق تابع Z درست است (Z=1). تابع این جدول صدق را می توان به صورت زیر نوشت: Z(X,Y) = (¬X& ¬Y)V(X& ¬Y).

هر خطی که تابع درست است (برابر 1) مربوط به یک براکت است که ترکیبی از آرگومان ها است و اگر مقدار آرگومان 0 باشد، آن را با یک نفی می گیریم. همه براکت ها توسط عملیات جداسازی به هم متصل می شوند. فرمول حاصل را می توان با اعمال قوانین منطق ساده کرد:

Z(X، Y)<=>((¬X& ¬Y) VX)&((¬X&Y)V ¬Y)<=>(XV(¬X&¬Y)) &(¬YV(¬X&¬Y))<=>((XV¬X)&(XV ¬Y))&((Y¬V ¬X)&(¬YV ¬Y))<=>(1&(XV ¬Y))&((¬YV ¬X)&¬Y)<=>(XV ¬Y)&((¬YV ¬X)& ¬Y).

فرمول حاصل را بررسی کنید: یک جدول صدق برای تابع Z(X,Y) بسازید.

قوانین ساخت یک تابع منطقی را با توجه به جدول صدق آن بنویسید:

• 1. در جدول صدق آن سطرهایی را انتخاب کنید که مقدار تابع در آنها 1 است.
• 2. فرمول مورد نظر را به صورت تفکیک چند عنصر منطقی بنویسید. تعداد این عناصر برابر با تعداد ردیف های انتخاب شده است.
• 3. هر عنصر منطقی را در این تفکیک به صورت ترکیبی از آرگومان های تابع بنویسید.
• 4. اگر مقدار هر آرگومان تابع در خط متناظر جدول 0 باشد، این آرگومان را با یک نفی می گیریم.

در مدارهای دیجیتال، سیگنال دیجیتال سیگنالی است که می تواند دو مقدار داشته باشد که به صورت منطقی "1" و منطقی "0" در نظر گرفته می شود.

مدارهای منطقی می توانند تا 100 میلیون ورودی داشته باشند و چنین مدارهای غول پیکری وجود دارند. تصور کنید که تابع بولی (معادله) چنین مداری از بین رفته است. چگونه با کمترین اتلاف زمان و بدون خطا آن را بازیابی کنیم؟ سازنده ترین راه این است که طرحواره را به لایه ها تقسیم کنید. با این روش تابع خروجی هر عنصر در ردیف قبلی نوشته شده و جایگزین ورودی مربوطه در ردیف بعدی می شود. ما امروز این روش تجزیه و تحلیل مدارهای منطقی را با تمام تفاوت های ظریف در نظر خواهیم گرفت.

مدارهای منطقی بر روی عناصر منطقی اجرا می شوند: "NOT"، "AND"، "OR"، "AND-NOT"، "OR-NOT"، "XOR" و "Equivalence". سه عنصر منطقی اول به شما این امکان را می دهد که هر تابع منطقی پیچیده دلخواه را به صورت بولی پیاده سازی کنید. ما مشکلات مدارهای منطقی پیاده سازی شده بر اساس بولی را حل خواهیم کرد.

چندین استاندارد برای تعیین عناصر منطقی استفاده می شود. رایج ترین آنها آمریکایی (ANSI)، اروپایی (DIN)، بین المللی (IEC) و روسی (GOST) هستند. شکل زیر تعیین عناصر منطقی در این استانداردها را نشان می دهد (برای بزرگنمایی می توانید با دکمه سمت چپ ماوس روی تصویر کلیک کنید).

در این درس، ما مشکلات مدارهای منطقی را حل خواهیم کرد، که در آن عناصر منطقی در استاندارد GOST تعیین شده است.

وظایف مدارهای منطقی دو نوع است: مشکل سنتز مدارهای منطقی و مشکل تجزیه و تحلیل مدارهای منطقی. ما با مشکل نوع دوم شروع می کنیم، زیرا در این ترتیب می توان به سرعت نحوه خواندن نمودارهای منطقی را یاد گرفت.

اغلب، در ارتباط با ساخت مدارهای منطقی، توابع جبر منطق در نظر گرفته می شود:

• سه متغیر (در مسائل تجزیه و تحلیل و در یک مسئله سنتز در نظر گرفته شود).
• چهار متغیر (در مسائل سنتز، یعنی در دو پاراگراف آخر).

ساخت (سنتز) مدارهای منطقی را در نظر بگیرید

• در مبنای بولی "AND"، "OR"، "NOT" (در پاراگراف ماقبل آخر)؛
• در پایه های رایج "AND-NOT" و "OR-NOT" (در پاراگراف آخر).

وظیفه آنالیز مدارهای منطقی

وظیفه تجزیه و تحلیل تعیین تابع است fتوسط یک مدار منطقی معین پیاده سازی می شود. هنگام حل چنین مشکلی، راحت است دنباله ای از اقدامات زیر را دنبال کنید.

1. طرح منطقی به لایه ها تقسیم می شود. به ردیف ها اعداد متوالی اختصاص داده می شود.
2. خروجی هر عنصر منطقی با نام تابع مورد نظر همراه با یک شاخص دیجیتالی نشان داده می شود که رقم اول شماره ردیف و ارقام باقی مانده عدد ترتیبی عنصر در ردیف است.
3. برای هر عنصر، یک عبارت تحلیلی نوشته می شود که تابع خروجی آن را به متغیرهای ورودی مرتبط می کند. عبارت با تابع منطقی پیاده سازی شده توسط عنصر منطقی داده شده تعریف می شود.
4. جایگزینی برخی از توابع خروجی از طریق برخی دیگر انجام می شود تا زمانی که یک تابع بولی به دست آید که از طریق متغیرهای ورودی بیان می شود.

مثال 1

راه حل. در هم شکستن نمودار منطقیبه طبقات، که قبلا در شکل نشان داده شده است. بیایید تمام توابع را بنویسیم، با شروع از ردیف اول:

ایکس, y, z :

ایکس	y	z					f
1	1	1	0	1	1	1	1
1	1	0	0	0	0	1	0
1	0	1	0	0	0	1	0
1	0	0	0	0	0	1	0
0	1	1	0	0	0	1	0
0	1	0	0	0	0	1	0
0	0	1	0	0	0	1	0
0	0	0	1	0	1	0	0

مثال 2تابع بولی مدار منطقی را بیابید و برای مدار منطقی جدول صدق بسازید.

مثال 3تابع بولی مدار منطقی را بیابید و برای مدار منطقی جدول صدق بسازید.

ما با هم به جستجوی تابع بولی مدار منطقی ادامه می دهیم

مثال 4تابع بولی مدار منطقی را بیابید و برای مدار منطقی جدول صدق بسازید.

راه حل. مدار منطقی را به چند لایه تقسیم می کنیم. بیایید تمام توابع را بنویسیم، با شروع از ردیف اول:

حالا بیایید همه توابع را بنویسیم و متغیرهای ورودی را جایگزین کنیم ایکس, y, z :

در نتیجه، تابعی را دریافت می کنیم که مدار منطقی در خروجی پیاده سازی می کند:

.

جدول حقیقت برای یک مدار منطقی معین:

ایکس	y	z			f
1	1	1	0	1	1
1	1	0	0	1	1
1	0	1	1	0	1
1	0	0	0	0	0
0	1	1	0	1	1
0	1	0	0	1	1
0	0	1	0	1	1
0	0	0	0	1	1

مثال 5تابع بولی مدار منطقی را بیابید و برای مدار منطقی جدول صدق بسازید.

راه حل. مدار منطقی را به چند لایه تقسیم می کنیم. ساختار این مدار منطقی بر خلاف مثال های قبلی دارای 5 لایه است نه 4. اما یک متغیر ورودی - پایین ترین - از تمام لایه ها عبور می کند و مستقیماً وارد عنصر منطقی در لایه اول می شود. بیایید تمام توابع را بنویسیم، با شروع از ردیف اول:

حالا بیایید همه توابع را بنویسیم و متغیرهای ورودی را جایگزین کنیم ایکس, y, z :

در نتیجه، تابعی را دریافت می کنیم که مدار منطقی در خروجی پیاده سازی می کند:

.

جدول حقیقت برای یک مدار منطقی معین:

ایکس	y	z			f
1	1	1	1	1	1
1	1	0	1	1	1
1	0	1	1	0	1
1	0	0	1	0	1
0	1	1	1	1	1
0	1	0	1	1	1
0	0	1	1	0	1
0	0	0	1	0	1

مشکل سنتز مدارهای منطقی بر اساس بولی

توسعه یک مدار منطقی با توجه به توصیف تحلیلی آن، مسئله سنتز یک مدار منطقی نامیده می شود.

هر تفکیک (جمع منطقی) مربوط به عنصر "OR" است که تعداد ورودی های آن با تعداد متغیرهای تفکیک تعیین می شود. هر رابطه (محصول منطقی) مربوط به عنصر "AND" است که تعداد ورودی های آن با تعداد متغیرهای پیوند تعیین می شود. هر نفی (وارونگی) مربوط به عنصر "NOT" است.

اغلب طراحی یک مدار منطقی با تعریف یک تابع منطقی که مدار منطقی باید آن را اجرا کند آغاز می شود. در این حالت فقط جدول صدق مدار منطقی داده می شود. ما دقیقاً چنین مثالی را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد، یعنی مشکلی را حل خواهیم کرد که کاملاً معکوس با مسئله تجزیه و تحلیل مدارهای منطقی است که در بالا در نظر گرفته شد.

مثال 6یک مدار منطقی بسازید که تابعی را با جدول صدق داده شده پیاده سازی کند.