Ici, nous allons continuer le sujet des opérations sur les matrices commencé dans la première partie et analyser quelques exemples dans lesquels vous devrez appliquer plusieurs opérations à la fois.

Exponentiation d'une matrice.

Soit k un entier non négatif. Pour toute matrice carrée $ A_ (n \\ fois n) $ nous avons: $$ A ^ k \u003d \\ underbrace (A \\ cdot A \\ cdot \\ ldots \\ cdot A) _ (k \\; times) $$

De plus, nous supposons que $ A ^ 0 \u003d E $, où $ E $ est la matrice d'identité de l'ordre correspondant.

Exemple n ° 4

La matrice $ A \u003d \\ left (\\ begin (array) (cc) 1 & 2 \\\\ -1 & -3 \\ end (array) \\ right) $ est donnée. Trouvez les matrices $ A ^ 2 $ et $ A ^ 6 $.

Selon la définition, $ A ^ 2 \u003d A \\ cdot A $, i.e. pour trouver $ A ^ 2 $ il suffit de multiplier la matrice $ A $ par elle-même. L'opération de multiplication des matrices a été considérée dans la première partie du sujet, nous allons donc simplement écrire ici le processus de résolution sans explications détaillées:

$$ A ^ 2 \u003d A \\ cdot A \u003d \\ left (\\ begin (array) (cc) 1 & 2 \\\\ -1 & -3 \\ end (array) \\ right) \\ cdot \\ left (\\ begin (array) (cc) 1 & 2 \\\\ -1 & -3 \\ end (array) \\ right) \u003d \\ left (\\ begin (array) (cc) 1 \\ cdot 1 + 2 \\ cdot (-1) & 1 \\ cdot 2 +2 \\ cdot (-3) \\\\ -1 \\ cdot 1 + (- 3) \\ cdot (-1) & -1 \\ cdot 2 + (- 3) \\ cdot (-3) \\ end (tableau) \\ droit ) \u003d \\ left (\\ begin (array) (cc) -1 & -4 \\\\ 2 & 7 \\ end (array) \\ right). $$

Pour trouver la matrice $ A ^ 6 $, nous avons deux options. Première option: il est ridicule de continuer à multiplier $ A ^ 2 $ par la matrice $ A $:

$$ A ^ 6 \u003d A ^ 2 \\ cdot A \\ cdot A \\ cdot A \\ cdot A. $$

Cependant, vous pouvez aller un peu plus simplement en utilisant la propriété d'associativité de la multiplication matricielle. Plaçons les crochets dans l'expression pour $ A ^ 6 $:

$$ A ^ 6 \u003d A ^ 2 \\ cdot A \\ cdot A \\ cdot A \\ cdot A \u003d A ^ 2 \\ cdot (A \\ cdot A) \\ cdot (A \\ cdot A) \u003d A ^ 2 \\ cdot A ^ 2 \\ cdot A ^ 2. $$

Si la résolution de la première méthode nécessiterait quatre opérations de multiplication, alors pour la deuxième méthode seulement deux. Par conséquent, passons à la deuxième façon:

$$ A ^ 6 \u003d A ^ 2 \\ cdot A ^ 2 \\ cdot A ^ 2 \u003d \\ left (\\ begin (array) (cc) -1 & -4 \\\\ 2 & 7 \\ end (array) \\ right) \\ 2 & 7 \\ end (tableau) \\ droit) \u003d \\\\ \u003d \\ gauche (\\ begin (tableau) (cc) -1 \\ cdot (-1) + (- 4) \\ cdot 2 & -1 \\ cdot (-4 ) + (- 4) \\ cdot 7 \\\\ 2 \\ cdot (-1) +7 \\ cdot 2 & 2 \\ cdot (-4) +7 \\ cdot 7 \\ end (array) \\ right) \\ cdot \\ left (\\ array) \\ right) \\ cdot \\ left (\\ begin (array) (cc) -1 & -4 \\\\ 2 & 7 \\ end (array) \\ right) \u003d \\\\ \u003d \\ left (\\ begin (array) (cc ) -7 \\ cdot (-1) + (- 24) \\ cdot 2 & -7 \\ cdot (-4) + (- 24) \\ cdot 7 \\\\ 12 \\ cdot (-1) +41 \\ cdot 2 & 12 \\ cdot (-4) +41 \\ cdot 7 \\ end (array) \\ right) \u003d \\ left (\\ begin (array) (cc) -41 & -140 \\\\ 70 & 239 \\ end (array) \\ right). $$

Répondre: $ A ^ 2 \u003d \\ gauche (\\ begin (tableau) (cc) -1 & -4 \\\\ 2 & 7 \\ end (tableau) \\ droite) $, $ A ^ 6 \u003d \\ gauche (\\ begin (tableau) (cc) -41 & -140 \\\\ 70 & 239 \\ end (tableau) \\ droite) $.

Exemple n ° 5

Matrices données $ A \u003d \\ left (\\ begin (array) (cccc) 1 & 0 & -1 & 2 \\\\ 3 & -2 & 5 & 0 \\\\ -1 & 4 & -3 & 6 \\ end (array) \\ droite) $, $ B \u003d \\ gauche (\\ begin (array) (ccc) -9 & 1 & 0 \\\\ 2 & -1 & 4 \\\\ 0 & -2 & 3 \\\\ 1 & 5 & 0 \\ end (tableau) \\ droit) $, $ C \u003d \\ gauche (\\ begin (tableau) (ccc) -5 & -20 & 13 \\\\ 10 & 12 & 9 \\\\ 3 & -15 & 8 \\ end (tableau) \\ Trouvez la matrice $ D \u003d 2AB-3C ^ T + 7E $.

Nous commençons à calculer la matrice $ D $ en trouvant le résultat du produit $ AB $. Les matrices $ A $ et $ B $ peuvent être multipliées, puisque le nombre de colonnes de la matrice $ A $ est égal au nombre de lignes de la matrice $ B $. Notons $ F \u003d AB $. Dans ce cas, la matrice $ F $ aura trois colonnes et trois lignes, c'est-à-dire sera carré (si cette conclusion ne semble pas évidente, voir la description de la multiplication matricielle dans la première partie de ce sujet). Trouvons la matrice $ F $ en calculant tous ses éléments:

$$ F \u003d A \\ cdot B \u003d \\ left (\\ begin (array) (cccc) 1 & 0 & -1 & 2 \\\\ 3 & -2 & 5 & 0 \\\\ -1 & 4 & -3 & 6 \\ end (tableau) \\ right) \\\\ \\ begin (aligné) & f_ (11) \u003d 1 \\ cdot (-9) +0 \\ cdot 2 + (- 1) \\ cdot 0 + 2 \\ cdot 1 \u003d -7; \\\\ & f_ (12) \u003d 1 \\ cdot 1 + 0 \\ cdot (-1) + (- 1) \\ cdot (-2) +2 \\ cdot 5 \u003d 13; \\\\ & f_ (13) \u003d 1 \\ cdot 0 + 0 \\ cdot 4 + (- 1) \\ cdot 3 + 2 \\ cdot 0 \u003d -3; \\\\ \\\\ & f_ (21) \u003d 3 \\ cdot (-9 ) + (- 2) \\ cdot 2 + 5 \\ cdot 0 + 0 \\ cdot 1 \u003d -31; \\\\ & f_ (22) \u003d 3 \\ cdot 1 + (- 2) \\ cdot (-1) +5 \\ cdot (-2) +0 \\ cdot 5 \u003d -5; \\\\ & f_ (23) \u003d 3 \\ cdot 0 + (- 2) \\ cdot 4 + 5 \\ cdot 3 + 0 \\ cdot 0 \u003d 7; \\\\ \\\\ \\\\ & f_ (32) \u003d - 1 \\ cdot 1 + 4 \\ cdot (-1) + (- 3) \\ cdot (-2) +6 \\ cdot 5 \u003d 31; \\\\ & f_ (33) \u003d - 1 \\ cdot 0 + 4 \\ cdot 4 + (- 3) \\ cdot 3 + 6 \\ cdot 0 \u003d 7. \\ end (aligné) $$

Donc $ F \u003d \\ left (\\ begin (array) (ccc) -7 & 13 & -3 \\\\ -31 & -5 & 7 \\\\ 23 & 31 & 7 \\ end (array) \\ right) $. Allons plus loin. La matrice $ C ^ T $ est la transposée de la matrice $ C $, i.e. $ C ^ T \u003d \\ left (\\ begin (array) (ccc) -5 & 10 & 3 \\\\ -20 & 12 & -15 \\\\ 13 & 9 & 8 \\ end (array) \\ right) $. Quant à la matrice $ E $, c'est la matrice identité. Dans ce cas, l'ordre de cette matrice est de trois, c'est-à-dire $ E \u003d \\ left (\\ begin (array) (ccc) 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \\ end (array) \\ right) $.

En principe, on peut continuer à avancer pas à pas, mais il vaut mieux considérer l'expression restante dans son intégralité, sans se laisser distraire par des actions auxiliaires. En fait, il ne nous reste que les opérations de multiplication des matrices par un nombre, ainsi que les opérations d'addition et de soustraction.

$$ D \u003d 2AB-3C ^ T + 7E \u003d 2 \\ cdot \\ left (\\ begin (array) (ccc) -7 & 13 & -3 \\\\ -31 & -5 & 7 \\\\ 23 & 31 & 7 \\ droite) +7 \\ cdot \\ gauche (\\ begin (array) (ccc) 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \\ end (array) \\ right) $$

Nous multiplions les matrices du côté droit de l'égalité par les nombres correspondants (c'est-à-dire 2, 3 et 7):

$$ 2 \\ cdot \\ left (\\ begin (array) (ccc) -7 & 13 & -3 \\\\ -31 & -5 & 7 \\\\ 23 & 31 & 7 \\ end (array) \\ right) -3 \\ begin (array) (ccc) 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \\ end (array) \\ right) \u003d \\\\ \u003d \\ left (\\ begin (array) (ccc) - 14 & 26 & -6 \\\\ -62 & -10 & 14 \\\\ 46 & 62 & 14 \\ end (array) \\ right) - \\ left (\\ begin (array) (ccc) -15 & 13 & 9 \\\\ 0 & 7 \\ end (array) \\ right) $$

Effectuons les dernières étapes: soustraction et addition:

$$ \\ left (\\ begin (array) (ccc) -14 & 26 & -6 \\\\ -62 & -10 & 14 \\\\ 46 & 62 & 14 \\ end (array) \\ right) - \\ left (\\ begin (tableau) (ccc) -15 & 30 & 9 \\\\ -60 & 36 & -45 \\\\ 39 & 27 & 24 \\ end (tableau) \\ droit) + \\ gauche (\\ begin (tableau) (ccc) 7 & 0 & 0 \\\\ 0 & 7 & 0 \\\\ 0 & 0 & 7 \\ end (array) \\ right) \u003d \\\\ \u003d \\ left (\\ begin (array) (ccc) -14 - (- 15) +7 & 26-30 + 0 et -6-9 + 0 \\\\ -62 - (- 60) +0 et -10-36 + 7 et 14 - (- 45) +0 \\\\ 46-39 + 0 et 62-27 +0 & 14-24 + 7 \\ end (array) \\ right) \u003d \\ left (\\ begin (array) (ccc) 8 & -4 & -15 \\\\ -2 & -39 & 59 \\\\ 7 & 35 & -3 \\ end (tableau) \\ droite). $$

Problème résolu, $ D \u003d \\ left (\\ begin (array) (ccc) 8 & -4 & -15 \\\\ -2 & -39 & 59 \\\\ 7 & 35 & -3 \\ end (array) \\ right) $ ...

Répondre: $ D \u003d \\ left (\\ begin (array) (ccc) 8 & -4 & -15 \\\\ -2 & -39 & 59 \\\\ 7 & 35 & -3 \\ end (array) \\ right) $.

Exemple n ° 6

Soit $ f (x) \u003d 2x ^ 2 + 3x-9 $ et matrice $ A \u003d \\ left (\\ begin (array) (cc) -3 & 1 \\\\ 5 & 0 \\ end (array) \\ right) $. Trouvez la valeur de $ f (A) $.

Si $ f (x) \u003d 2x ^ 2 + 3x-9 $, alors par $ f (A) $ nous entendons la matrice:

$$ f (A) \u003d 2A ^ 2 + 3A-9E. $$

C'est ainsi que se définit un polynôme d'une matrice. Donc, nous devons remplacer la matrice $ A $ dans l'expression pour $ f (A) $ et obtenir le résultat. Étant donné que toutes les actions ont été discutées en détail plus tôt, je vais simplement donner ici une solution. Si le processus d'exécution de l'opération $ A ^ 2 \u003d A \\ cdot A $ n'est pas clair pour vous, je vous conseille de regarder la description de la multiplication matricielle dans la première partie de cette rubrique.

$$ f (A) \u003d 2A ^ 2 + 3A-9E \u003d 2A \\ cdot A + 3A-9E \u003d 2 \\ left (\\ begin (tableau) (cc) -3 & 1 \\\\ 5 & 0 \\ end (tableau) \\ right) \\ cdot \\ left (\\ begin (array) (cc) -3 & 1 \\\\ 5 & 0 \\ end (array) \\ right) +3 \\ left (\\ begin (array) (cc) -3 & 1 \\\\ 5 & 0 \\ end (array) \\ right) -9 \\ left (\\ begin (array) (cc) 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \\ end (array) \\ right) \u003d \\\\ \u003d 2 \\ left ( \\ begin (tableau) (cc) (-3) \\ cdot (-3) +1 \\ cdot 5 & (-3) \\ cdot 1 + 1 \\ cdot 0 \\\\ 5 \\ cdot (-3) +0 \\ cdot 5 & 5 \\ cdot 1 + 0 \\ cdot 0 \\ end (tableau) \\ droite) +3 \\ gauche (\\ begin (tableau) (cc) -3 & 1 \\\\ 5 & 0 \\ end (tableau) \\ droite) -9 \\ left (\\ begin (array) (cc) 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \\ end (array) \\ right) \u003d \\\\ \u003d 2 \\ left (\\ begin (array) (cc) 14 & -3 \\\\ - 15 & 5 \\ end (array) \\ right) +3 \\ left (\\ begin (array) (cc) -3 & 1 \\\\ 5 & 0 \\ end (array) \\ right) -9 \\ left (\\ begin (array) ) (cc) 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \\ end (array) \\ right) \u003d \\ left (\\ begin (array) (cc) 28 & -6 \\\\ -30 & 10 \\ end (array) \\ right) + \\ left (\\ begin (array) (cc) -9 & 3 \\\\ 15 & 0 \\ end (array) \\ right) - \\ left (\\ begin (array) (cc) 9 & 0 \\\\ 0 & 9 \\ $$

Répondre: $ f (A) \u003d \\ gauche (\\ begin (tableau) (cc) 10 & -3 \\\\ -15 & 1 \\ end (tableau) \\ droite) $.

Certaines propriétés des opérations sur les matrices.
Expressions matricielles

Et maintenant, la suite du sujet suivra, dans laquelle nous examinerons non seulement le nouveau matériel, mais aussi travaillerons sur opérations avec des matrices.

Quelques propriétés des opérations sur les matrices

Il existe de nombreuses propriétés liées aux actions avec des matrices, dans le même Wikipédia, vous pouvez admirer les rangs élancés des règles correspondantes. Cependant, en pratique, de nombreuses propriétés sont, en un sens, «mortes», car seules quelques-unes d'entre elles sont utilisées pour résoudre des problèmes réels. Mon objectif est d'examiner l'application des propriétés avec des exemples spécifiques, et si vous avez besoin d'une théorie rigoureuse, veuillez utiliser une autre source d'informations.

Considérez quelques exceptions à la règlequi seront nécessaires pour effectuer des tâches pratiques.

Si une matrice carrée a matrice inverse , alors leur multiplication est commutative:

Matrice unitaire s'appelle une matrice carrée dans laquelle sur diagonale principale les unités sont localisées et les éléments restants sont égaux à zéro. Par exemple :, etc.

Où la propriété suivante est vraie: si une matrice arbitraire est multipliée gauche ou droite sur une matrice d'identité de tailles adaptées, le résultat sera la matrice d'origine:

Comme vous pouvez le voir, ici aussi la commutativité de la multiplication matricielle a lieu.

Prenons une sorte de matrice, disons, la matrice du problème précédent: .

Les personnes intéressées peuvent vérifier et s'assurer que:

La matrice d'identité pour les matrices est un analogue de l'unité numérique des nombres, ce qui ressort particulièrement clairement des exemples que nous venons de considérer.

Commutativité d'un facteur numérique par rapport à la multiplication matricielle

Pour les matrices et les nombres réels, la propriété suivante est vraie:

C'est-à-dire que le facteur numérique peut (et devrait) être avancé de manière à ne pas "gêner" la multiplication des matrices.

Remarque : D'une manière générale, la formulation de la propriété est incomplète - le "lambda" peut être placé n'importe où entre les matrices, même à la fin. La règle reste valide si trois matrices ou plus sont multipliées.

Exemple 4

Calculez le produit

Décision:

(1) Selon la propriété avancer le facteur numérique. Les matrices elles-mêmes ne peuvent pas être réorganisées!

(2) - (3) Effectuez une multiplication matricielle.

(4) Ici, vous pouvez diviser chaque nombre par 10, mais des fractions décimales apparaîtront parmi les éléments de la matrice, ce qui n'est pas bon. Cependant, nous remarquons que tous les nombres de la matrice sont divisibles par 5, nous multiplions donc chaque élément par.

Répondre:

Une petite mascarade pour l'auto-solution:

Exemple 5

Calculez si

Solution et réponse à la fin de la leçon.

Quelle technique est importante pour résoudre de tels exemples? Gérer le nombre enfin et surtout .

Accrochons un autre chariot à la locomotive:

Comment multiplier trois matrices?

Tout d'abord, QUEL devrait être le résultat de la multiplication de trois matrices? Un chat ne donnera pas naissance à une souris. Si la multiplication matricielle est faisable, alors le résultat sera également une matrice. Hmmm, eh bien mon professeur d'algèbre ne voit pas comment j'explique la fermeture d'une structure algébrique par rapport à ses éléments \u003d)

Le produit de trois matrices peut être calculé de deux manières:

1) trouver, puis multiplier par la matrice "tse" :;

2) soit trouvez d'abord, puis multipliez.

Les résultats correspondront certainement, et en théorie cette propriété est appelée associativité de la multiplication matricielle:

Exemple 6

Multipliez les matrices de deux manières

Algorithme solutions en deux étapes: trouvez le produit de deux matrices, puis trouvez à nouveau le produit de deux matrices.

1) Nous utilisons la formule

Première action:

Deuxième action:

2) Nous utilisons la formule

Première action:

Deuxième action:

Répondre:

Le plus familier et standard, bien sûr, est la première solution, il y a «tout en ordre». Au fait, à propos de la commande. Dans le problème considéré, l'illusion se pose souvent que nous parlons d'une sorte de permutations de matrices. Ils ne sont pas là. Je te rappelle encore que en général NE PAS REMOTEZ LES MATRICES... Donc, dans la deuxième étape, dans la deuxième étape, nous effectuons une multiplication, mais en aucun cas. Avec des nombres ordinaires, un tel nombre passerait, mais avec des matrices - non.

La propriété d'associativité de la multiplication est valable non seulement pour les carrés, mais aussi pour les matrices arbitraires - si seulement elles sont multipliées:

Exemple 7

Trouvez le produit de trois matrices

Voici un exemple de solution à faire soi-même. Dans l'exemple de solution, les calculs sont effectués de deux manières, analysent la manière la plus rentable et la plus courte.

La propriété d'associativité de la multiplication matricielle a lieu pour un plus grand nombre de facteurs.

Il est maintenant temps de revenir aux puissances des matrices. Le carré de la matrice est considéré au tout début et à l'ordre du jour se trouve la question:

Comment cube une matrice et des puissances supérieures?

Ces opérations sont également définies uniquement pour les matrices carrées. Pour créer une matrice carrée en cube, vous devez calculer le produit:

En fait, il s'agit d'un cas particulier de multiplication de trois matrices, par la propriété d'associativité de la multiplication matricielle:. Et la matrice multipliée par elle-même est le carré de la matrice:

Ainsi, nous obtenons une formule de travail:

Autrement dit, la tâche est effectuée en deux étapes: d'abord, la matrice doit être au carré, puis la matrice résultante doit être multipliée par la matrice.

Exemple 8

Cube la matrice.

C'est une petite tâche pour une solution indépendante.

L'élévation de la matrice à la quatrième puissance se fait de manière naturelle:

En utilisant l'associativité de la multiplication matricielle, nous dérivons deux formules de travail. Premièrement: est le produit de trois matrices.

1) . En d'autres termes, nous le trouvons d'abord, puis nous le multiplions par "bh" - nous obtenons un cube, et enfin, nous effectuons à nouveau la multiplication - il y aura le quatrième degré.

2) Mais il existe une solution un peu plus courte:. C'est-à-dire qu'à la première étape, nous trouvons le carré et, en contournant le cube, nous effectuons la multiplication

Activité supplémentaire pour l'exemple 8:

Élevez la matrice à la quatrième puissance.

Comme indiqué ci-dessus, il existe deux façons de procéder:

1) Dès que le cube est connu, nous effectuons une multiplication.

2) Cependant, si, selon l'énoncé du problème, il est nécessaire de construire la matrice seulement au quatrième degré, alors il est avantageux de raccourcir le chemin - trouvez le carré de la matrice et utilisez la formule.

Les solutions et la réponse se trouvent à la fin de la leçon.

De même, la matrice est élevée à la cinquième puissance et aux puissances supérieures. D'après l'expérience pratique, je peux dire que parfois je rencontre des exemples d'élevage au 4ème degré, mais je ne me souviens pas du cinquième degré. Mais juste au cas où, je donnerai l'algorithme optimal:

1) trouver;
2) trouver;
3) nous élevons la matrice à la cinquième puissance:.

Ce sont peut-être toutes les propriétés principales des opérations matricielles qui peuvent être utiles dans des problèmes pratiques.

Dans la deuxième partie de la leçon, une fête tout aussi colorée est attendue.

Expressions matricielles

Répétons les expressions habituelles de l'école avec des nombres. Une expression numérique se compose de nombres, de symboles mathématiques et de parenthèses, par exemple: ... Lors du calcul, la priorité algébrique familière est valide: d'abord supportspuis exécuté exponentiation / extraction de racine, puis multiplication / division et pour couronner le tout - addition soustraction.

Si une expression numérique a du sens, le résultat de son évaluation est un nombre, par exemple:

Expressions matricielles sont disposés à peu près de la même manière! A la différence que les personnages principaux sont des matrices. Plus certaines opérations spécifiques à la matrice comme la transposition et la recherche de matrice inverse.

Considérez l'expression matricielle , où sont quelques matrices. Dans cette expression matricielle, trois termes et opérations d'addition / soustraction sont effectués en dernier.

Dans le premier terme, vous devez d'abord transposer la matrice "bie" :, puis effectuer la multiplication et ajouter les "deux" à la matrice résultante. Notez que l'opération de transposition a priorité sur la multiplication... Les crochets, comme dans les expressions numériques, changent l'ordre des actions: - ici, d'abord, la multiplication est effectuée, puis la matrice résultante est transposée et multipliée par 2.

Dans le second terme, la multiplication matricielle est effectuée en premier et la matrice inverse est trouvée à partir du produit. Si les crochets sont supprimés :, alors vous devez d'abord trouver la matrice inverse, puis multiplier les matrices :. Trouver l'inverse d'une matrice a également priorité sur la multiplication.

Avec le troisième terme, tout est évident: nous élevons la matrice à un cube et ajoutons un «cinq» à la matrice résultante.

Si l'expression de la matrice a du sens, le résultat de son calcul est la matrice.

Toutes les tâches seront issues de vrais tests, et nous commencerons par le plus simple:

Exemple 9

Matrices données ... Trouver:

Décision: L'ordre est évident, la multiplication est effectuée en premier, puis l'addition.

L'ajout est impossible car les matrices sont de tailles différentes.

Ne soyez pas surpris, des actions volontairement impossibles sont souvent proposées dans des tâches de ce type.

Essayer d'évaluer la deuxième expression:

Tout va bien ici.

Répondre: l'action ne peut pas être effectuée, .

En juillet 2020, la NASA lancera une expédition sur Mars. Le vaisseau spatial livrera à Mars un support électronique avec les noms de tous les membres enregistrés de l'expédition.

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L'une de ces variantes de code doit être copiée et collée dans le code de votre page Web, de préférence entre les balises et ou juste après le tag ... Selon la première option, MathJax se charge plus rapidement et ralentit moins la page. Mais la deuxième option suit et charge automatiquement les dernières versions de MathJax. Si vous insérez le premier code, il devra être mis à jour périodiquement. Si vous insérez le deuxième code, les pages se chargeront plus lentement, mais vous n'aurez pas besoin de surveiller constamment les mises à jour de MathJax.

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Un autre réveillon du Nouvel An ... temps glacial et flocons de neige sur la vitre ... Tout cela m'a incité à écrire à nouveau sur ... les fractales et ce que Wolfram Alpha en sait. Il existe un article intéressant à ce sujet, qui contient des exemples de structures fractales bidimensionnelles. Nous examinerons ici des exemples plus complexes de fractales 3D.

Une fractale peut être visualisée (décrite) comme une figure géométrique ou un corps (ce qui signifie que les deux sont un ensemble, dans ce cas, un ensemble de points), dont les détails ont la même forme que la figure originale elle-même. Autrement dit, il s'agit d'une structure auto-similaire, compte tenu des détails dont avec le grossissement, nous verrons la même forme que sans grossissement. Alors que dans le cas d'une forme géométrique régulière (pas une fractale), lorsque nous zoomons, nous verrons des détails qui ont une forme plus simple que la forme originale elle-même. Par exemple, à un grossissement suffisamment élevé, une partie de l'ellipse ressemble à un segment de ligne. Cela ne se produit pas avec les fractales: avec toute augmentation de celles-ci, nous verrons à nouveau la même forme complexe, qui à chaque augmentation se répétera encore et encore.

Benoit Mandelbrot, le fondateur de la science des fractales, a écrit dans son article Fractals and Art for Science: «Les fractales sont des formes géométriques aussi complexes dans leurs détails que dans leur forme générale. une partie de la fractale sera agrandie à la taille du tout, elle ressemblera à un tout, ou exactement, ou peut-être avec une légère déformation. "

Algèbre linéaire pour les nuls

Pour étudier l'algèbre linéaire, vous pouvez lire et plonger dans le livre de IV Belousov "Matrices et déterminants". Cependant, il est écrit dans un langage mathématique strict et sec, ce qui est difficile à percevoir pour les personnes ayant un esprit moyen. Par conséquent, j'ai fait un récit des parties les plus difficiles à comprendre de ce livre, en essayant de présenter le matériel aussi clairement que possible, en tirant le meilleur parti des images. J'ai omis les preuves des théorèmes. Franchement, je ne les ai pas moi-même approfondis. Je crois M. Belousov! A en juger par son travail, il est un mathématicien lettré et intelligent. Vous pouvez télécharger son livre sur http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Belousov2006ru.pdfSi vous voulez vous plonger dans mon travail, vous devez le faire, car je ferai souvent référence à Belousov.

Commençons par les définitions. Qu'est-ce qu'une matrice? C'est une table rectangulaire de nombres, de fonctions ou d'expressions algébriques. Pourquoi des matrices sont-elles nécessaires? Ils facilitent grandement les calculs mathématiques complexes. La matrice peut être distinguée par des lignes et des colonnes (Fig. 1).

Les lignes et les colonnes sont numérotées à partir de la gauche

d'en haut (Figure 1-1). Quand ils disent: une matrice de taille m n (ou m par n), ils signifient m nombre de ligneset sous n nombre de colonnes... Par exemple, la matrice de la figure 1-1 est «4 sur 3» plutôt que «3 sur 4».

Voir fig. 1-3, quelles sont les matrices. Si une matrice se compose d'une ligne, elle est appelée une matrice de lignes, et si elle se compose d'une colonne, alors c'est une matrice de colonnes. Une matrice est appelée carré n-ième ordre si le nombre de lignes est égal au nombre de colonnes et est égal à n. Si tous les éléments de la matrice sont égaux à zéro, alors c'est une matrice nulle. Une matrice carrée est appelée diagonale si tous ses éléments sont égaux à zéro, à l'exception de ceux situés sur la diagonale principale.

J'explique immédiatement quelle est la diagonale principale. Il a les mêmes numéros de ligne et de colonne. Il va de gauche à droite de haut en bas. (Fig. 3) Les éléments sont appelés diagonaux s'ils sont situés sur la diagonale principale. Si tous les éléments diagonaux sont égaux à un (et les autres à zéro), la matrice est appelée matrice d'identité. Deux matrices A et B de même taille sont dites égales si tous leurs éléments sont identiques.

2 Opérations sur les matrices et leurs propriétés

Le produit d'une matrice par x est une matrice de même taille. Pour obtenir ce produit, vous devez multiplier chaque élément par ce nombre (Figure 4). Pour obtenir la somme de deux matrices de même taille, vous devez ajouter leurs éléments respectifs (Fig. 4). Pour obtenir la différence A - B de deux matrices de même taille, vous devez multiplier la matrice B par -1 et ajouter la matrice résultante avec la matrice A (Fig.4). Pour les opérations sur les matrices, les propriétés suivantes sont vraies: A + B \u003d B + A (propriété commutative).

(A + B) + C \u003d A + (B + C) (propriété d'associativité). En termes simples, la somme ne change pas à partir d'un changement de place des termes. Pour les opérations sur les matrices et les nombres, les propriétés suivantes sont valides:

(nous désignons les nombres par les lettres x et y, et les matrices par les lettres A et B) x (yA) \u003d (xy) A

Ces propriétés sont similaires à celles des opérations sur les nombres. Voir

exemples dans la figure 5. Voir aussi les exemples 2.4 - 2.6 de Belousov à la page 9.

Multiplication matricielle.

La multiplication de deux matrices n'est définie que si (en russe: les matrices ne peuvent être multipliées que si), lorsque le nombre de colonnes de la première matrice du produit est égal au nombre de lignes de la seconde (Fig.7, ci-dessus, parenthèses bleues). Pour mieux se souvenir: le chiffre 1 ressemble plus à une colonne.À la suite de la multiplication, une matrice de taille est obtenue (voir figure 6). Pour faciliter la mémorisation par quoi multiplier, je propose l'algorithme suivant: voir Figure 7. Multipliez la matrice A par la matrice B.

la matrice A est composée de deux colonnes,

la matrice B a deux lignes - vous pouvez multiplier.

1) Prenons la première colonne de la matrice B (elle n'en a qu'une). Nous écrivons cette colonne dans une ligne (transposez

colonne, sur la transposition juste en dessous).

2) Copiez cette ligne pour obtenir une matrice de la taille de la matrice A.

3) Nous multiplions les éléments de cette matrice par les éléments correspondants de la matrice A.

4) Nous ajoutons les œuvres résultantes dans chaque ligne et obtenonsune matrice de produit de deux lignes et une colonne.

La figure 7-1 montre des exemples de multiplication matricielle plus grande.

1) Ici, la première matrice a trois colonnes, donc la seconde doit avoir trois lignes. L'algorithme est exactement le même que dans l'exemple précédent, seulement ici, dans chaque ligne, il y a trois termes, pas deux.

2) Ici, la deuxième matrice comporte deux colonnes. Tout d'abord, nous exécutons l'algorithme avec la première colonne, puis avec la seconde, et nous obtenons une matrice deux par deux.

3) Ici, la deuxième matrice a une colonne constituée d'un élément, la colonne ne changera pas de transposition. Et vous n'avez rien à ajouter, car il n'y a qu'une seule colonne dans la première matrice. Nous exécutons l'algorithme trois fois et obtenons une matrice trois par trois.

Les propriétés suivantes ont lieu:

1. Si la somme B + C et le produit AB existent, alors A (B + C) \u003d AB + AC

2. Si le produit AB existe, alors x (AB) \u003d (xA) B \u003d \u003d A (xB).

3. Si les produits AB et BC existent, alors A (BC) \u003d (AB) C.

Si le produit des matrices AB existe, alors le produit BA peut ne pas exister. Même si les produits AB et BA existent, ils peuvent s'avérer être des matrices de tailles différentes.

Les deux produits AB et BA existent et sont des matrices de même taille uniquement dans le cas des matrices carrées A et B du même ordre. Cependant, même dans ce cas, AB peut ne pas être égal à BA.

Exponentiation

L'exponentiation d'une matrice n'a de sens que pour les matrices carrées (pensez pourquoi?). Alors la puissance entière positive m de la matrice A est le produit de m matrices égales à A. Idem que pour les nombres. Le degré zéro d'une matrice carrée A est compris comme une matrice d'identité du même ordre que A. Si vous avez oublié ce qu'est une matrice d'identité, jetez un œil à la Fig. 3.

Tout comme les nombres, les relations suivantes sont valables:

A mA k \u003d A m + k (A m) k \u003d A mk

Voir des exemples de Belousov à la page 20.

Transposer les matrices

Transposer est la transformation de la matrice A en matrice AT,

dans lequel les lignes de la matrice A sont écrites dans les colonnes de AT avec conservation de l'ordre. (fig.8). Une autre façon de dire:

les colonnes de la matrice A sont écrites dans les lignes de la matrice AT avec conservation de l'ordre. Remarquez comment la transposition modifie la taille de la matrice, c'est-à-dire le nombre de lignes et de colonnes. Notez également que les éléments de la première ligne, de la première colonne et de la dernière ligne et de la dernière colonne restent en place.

Les propriétés suivantes sont valables: (AT) T \u003d A (transpose

matrice deux fois - vous obtenez la même matrice)

(xA) T \u003d xAT (x signifie un nombre, A bien sûr, une matrice) (si vous devez multiplier la matrice par un nombre et la transposer, vous pouvez d'abord multiplier, puis transposer, ou vice versa)

(A + B) T \u003d AT + BT (AB) T \u003d BT À

Matrices symétriques et antisymétriques

La figure 9 montre une matrice symétrique en haut à gauche. Ses éléments, symétriques par rapport à la diagonale principale, sont égaux. Et maintenant la définition: matrice carrée

A est dit symétrique si AT \u003d A. Autrement dit, la matrice symétrique ne change pas lorsqu'elle est transposée. En particulier, toute matrice diagonale est symétrique. (Une telle matrice est représentée sur la figure 2).

Maintenant, regardez la matrice antisymétrique (Figure 9, en bas). En quoi diffère-t-il de symétrique? Notez que tous ses éléments diagonaux sont nuls. Pour les matrices antisymétriques, tous les éléments diagonaux sont égaux à zéro. Pensez pourquoi? Définition: Une matrice carrée A est appelée

antisymétrique si AT \u003d -A. Signalons quelques propriétés des opérations sur symétrique et antisymétrique

matrices. 1. Si A et B sont des matrices symétriques (antisymétriques), alors A + B est aussi une matrice symétrique (antisymétrique).

2. Si A est une matrice symétrique (antisymétrique), alors xA est également une matrice symétrique (antisymétrique). (en fait, si vous multipliez les matrices de la figure 9 par un certain nombre, la symétrie sera toujours préservée)

3. Le produit AB de deux matrices symétriques ou antisymétriques A et B est une matrice symétrique pour AB \u003d BA et antisymétrique pour AB \u003d-BA.

4. Si A est une matrice symétrique, alors Am (m \u003d 1, 2, 3, ...) est une matrice symétrique. Si un

Une matrice antisymétrique, alors Am (m \u003d 1, 2, 3, ...) est une matrice symétrique pour m pair et une matrice antisymétrique pour m impair.

5. Une matrice carrée arbitraire A peut être représentée comme la somme de deux matrices. (appelons ces matrices, par exemple A (s) et A (a))

A \u003d A (s) + A (a)

Il est à noter que seules les matrices carrées se prêtent à cette opération. Un nombre égal de lignes et de colonnes est une condition préalable pour élever une matrice à une puissance. Lors du calcul, la matrice sera multipliée par elle-même le nombre de fois requis.

Cette calculatrice en ligne est conçue pour effectuer l'opération d'élever une matrice à une puissance. Grâce à son utilisation, vous ferez non seulement rapidement face à cette tâche, mais vous aurez également une idée claire et détaillée du processus de calcul lui-même. Cela aidera à mieux consolider le matériau obtenu en théorie. En voyant devant vous un algorithme de calcul détaillé, vous comprendrez mieux toutes ses subtilités et par la suite vous pourrez éviter les erreurs de calculs manuels. De plus, il ne fait jamais de mal de revérifier vos calculs, et c'est également mieux fait ici.

Afin d'élever la matrice en ligne, vous avez besoin d'une série d'étapes simples. Tout d'abord, spécifiez la taille de la matrice en cliquant sur les icônes «+» ou «-» à gauche de celle-ci. Entrez ensuite les nombres dans le champ de la matrice. Vous devez également indiquer le degré auquel la matrice est élevée. Et puis il vous suffit de cliquer sur le bouton: "Calculer" en bas du champ. Le résultat sera fiable et précis si vous entrez toutes les valeurs avec soin et correctement. Avec lui, vous recevrez une transcription détaillée de la solution.