Dans la secte. 2.4, les principales dispositions de cette méthode de calcul ont été indiquées, ce qui permet d'obtenir des dérivées partielles (coefficients d'influence des paramètres) pour les paramètres correspondants du système. Ces dérivées peuvent être déterminées simultanément avec la solution de l'équation différentielle d'origine.

Le champ d'application de la méthode basée sur l'étude de la sensibilité (influence) des paramètres est plus large que les méthodes d'estimation des paramètres. Meissinger donne la liste suivante d'utilisations possibles:

a) Prédiction de solutions au voisinage d'une solution connue par extrapolation linéaire.

b) Détermination des tolérances des paramètres à l'aide de la prédiction linéaire, mettant en évidence les paramètres critiques

c) Applications à la recherche statistique: estimation de l'influence des paramètres aléatoires du système ou des conditions initiales, extrapolation des résultats obtenus avec des signaux d'entrée aléatoires.

d) Optimisation des paramètres du système par des méthodes de gradient conformément à un certain critère de qualité.

e) Analyse de la sensibilité de la solution aux erreurs informatiques.

f) Détermination des limites de la zone de stabilité du système.

g) Modification des constantes de temps de divers processus; changement de temps de montée, temps de stabilisation.

h) Solution d'un problème de valeur aux limites pour les équations différentielles ordinaires.

Nous nous limiterons à discuter de l'application de cette méthode à l'estimation des paramètres d'objet.

Méthodes basées sur l'étude de l'influence (sensibilité) des paramètres

Soulignons maintenant les principales dispositions de la méthode utilisant les fonctions d'influence des paramètres. Considérons l'équation différentielle linéaire non homogène suivante par rapport à

aux conditions initiales

Il est nécessaire d’obtenir une solution pour des valeurs spécifiques des paramètres. alors ce sera fonction de deux variables, par exemple, A partir de la courbe solution obtenue avec la valeur du paramètre par extrapolation sur, on peut trouver une courbe proche correspondant à

Le nombre de termes de cette expansion requis pour une approximation satisfaisante dépend de la valeur et du comportement de la solution et de ses dérivées partielles par rapport à la région qui nous intéresse. Ici, nous ne considérerons que l'approximation exacte des termes du premier ordre.

La dérivée partielle qui est une fonction est appelée coefficient d'influence ou fonction de sensibilité du paramètre de premier ordre. D'autres facteurs d'influence liés à l'équation (9.67) sont

Les deux derniers termes caractérisent la sensibilité aux changements des conditions initiales. En différenciant (9.67) par rapport à et en tenant compte de cela et en dépendant, on obtient

En changeant l'ordre de différenciation et en utilisant la notation, nous arrivons à une équation différentielle pour

aux conditions initiales

suite au fait que valeurs initiales sont constantes et ne dépendent pas de l'équation (9.70) est connue comme l'équation de la sensibilité du système par rapport au paramètre Avec de petits changements de cette équation, il est possible d'obtenir des informations sur la valeur approximative du gradient.Cette équation peut être facilement modélisée en remplaçant les dérivées partielles par des pleines:

(équation approximative de sensibilité). La raison pour laquelle cette équation n'est qu'une approximation

il consiste en ce que le rapport entre la production partielle et totale a la forme

Par conséquent, l'équation (9.71) est une bonne approximation si les changements de paramètres dans le temps sont suffisamment faibles.

De la même manière, on peut dériver des équations approximatives de sensibilité pour les quatre paramètres considérés, on obtient

Chacune de ces équations peut être modélisée à l'aide d'un modèle de sensibilité distinct (voir le schéma de principe de la figure 9.8). Dans le cas linéaire considéré, toutes les équations de sensibilité approchées se révèlent être les mêmes, à l'exception des différences dans les côtés droits. Cela signifie que les fonctions de sensibilité des paramètres peuvent être déterminées successivement sur le même modèle en utilisant le «terme de connexion» approprié ou et. D'autres simplifications sont obtenues si l'on tient compte du fait que, d'après les formules (9.73a), (9.736),

selon les formules (9.73c), (9.73g),

et la comparaison de la formule (9.67) avec (9.73c) et (9.73d) donne

Ainsi, il suffit de simuler l'équation (9.736) et d'utiliser les relations (9.74) - (9.76) pour obtenir simultanément les fonctions de sensibilité des quatre paramètres (Fig. 9.9, b). Un tel schéma mise en œuvre pratique nécessite un coût nettement inférieur à celui du circuit correspondant à la fig. 9.8.

Si les conditions initiales et sont également des paramètres d'intérêt, alors il est facile de voir qu'il n'y a pas de «terme de connexion» dans les équations de sensibilité correspondantes. Pour, on obtient une équation différentielle homogène

aux conditions initiales

Cette équation est résolue simplement en réutilisant le modèle de base avec la fonction de contrôle identique à zéro et les conditions initiales modifiées en conséquence.

Les applications de la méthode d'influence des paramètres ne sont pas limitées aux sirtems linéaires. Comme exemple de système non linéaire, considérons l'équation

Les équations de sensibilité sont

Là encore, les équations ne diffèrent que par les "termes de connexion". Par conséquent, un seul et même modèle avec des fonctions de contrôle peut être utilisé de manière cohérente.Le problème considéré peut être généralisé à un système d'équations différentielles avec paramètres

Les équations de sensibilité par rapport auxquelles les dérivés sont déterminés sont écrites sous la forme

Les conditions initiales sont nulles, sauf si les conditions initiales de l'équation différentielle d'origine sont considérées comme des paramètres. La formulation ci-dessus est valable pour les systèmes linéaires et non linéaires. Pour étudier l'effet d'un paramètre individuel, il faut simuler (ou programmer) l'ensemble du système d'équations de sensibilité (9.81), même si ce paramètre est explicitement inclus dans une seule équation du système d'origine (9.80). Si, par exemple, il n'entre que dans un terme, alors un "terme de connexion" apparaît dans l'équation de sensibilité, alors que chez Néanmoins, toutes les autres équations de sensibilité contiennent implicitement sous forme de termes et se révèlent être liés à l'équation.

Un autre domaine d'application se trouve dans l'étude de l'effet de l'exclusion des dérivés sur

ordre supérieur de l'équation différentielle. Supposons que nous étudions l'équation

Il est nécessaire de connaître l'influence du terme de troisième ordre

Les équations de sensibilité sont relatives et ont la forme

Par conséquent, à partir du modèle de sensibilité, il est possible d'obtenir la valeur du coefficient d'influence de ce paramètre au voisinage

Jusqu'à présent, cette section a traité des fonctions absolues de la sensibilité des paramètres, par exemple, Parfois, il est possible d'utiliser les fonctions relatives de la sensibilité, par exemple

Méthode du point de sensibilité

Dans la section précédente, il a été constaté que pour la détermination simultanée de plusieurs fonctions de sensibilité, en plus du modèle objet, un certain nombre de modèles de sensibilité supplémentaires sont nécessaires. Cela est dû à la complication du circuit de calcul analogique ou à l'augmentation du temps informatique nécessaire pour résoudre des problèmes similaires.

D'autre part, dans la secte. 9.1, il a été montré que lors de l'utilisation du modèle généralisé, des modèles de sensibilité supplémentaires ne sont pas nécessaires - les fonctions de sensibilité peuvent être mesurées directement. Cela est dû à la linéarité du modèle généralisé par rapport aux paramètres.

Compte tenu de l'intérêt de simplifier au maximum le schéma de modélisation et de réduire la machine

temps, il est judicieux d'étudier les types de modèles qui permettent de trouver le plus grand nombre de fonctions de sensibilité (parmi celles à déterminer). A cet effet, la méthode dite des points de sensibilité est utilisée.

Son idée principale peut être expliquée comme suit. Considérons un objet linéaire avec une fonction de transfert en fonction des paramètres. La transformée de Laplace sur le signal d'entrée est alors le signal de sortie est déterminé par la formule

La sortie du modèle correspondant est

Compte tenu de la différentiabilité de la -transformation par rapport aux paramètres, on obtient

Fonctions de sensibilité des paramètres (absolus)

fonctions relatives de la sensibilité des paramètres

L'exemple suivant permet d'illustrer cette idée (Fig. 9.10, a, b). Le modèle satisfait les relations

Ainsi, pour les fonctions de sensibilité relative, on obtient

En conséquence, on arrive au schéma de la Fig. 9.10, b. sont appelés points de sensibilité. Avec analogique

figure. 9.10. (voir scan)

en simulation, les deux fonctions de sensibilité peuvent être mesurées simultanément; dans les calculs numériques, les deux fonctions sont déterminées à l'aide du même programme.

Cette idée peut être étendue aux systèmes multi-circuits avec retour d'information (Fig. 9.11). On suppose ici que dans chacun des blocs élémentaires il n'y a qu'un seul paramètre pour lequel la fonction de sensibilité doit être calculée. Comme précédemment, il est facile de montrer quel est le point de sensibilité du paramètre du bloc. Il reste à considérer la question

(cliquez pour voir le scan)

sur la façon dont le paramètre est inclus dans la fonction de transfert Il est résolu en introduisant une fonction de transfert supplémentaire

Il s'agit de la fonction de transfert de sensibilité logarithmique introduite plus tôt par Bode. L'entrée est un signal pris du point de sensibilité par la sortie -

Quelques cas particuliers:

Dans ce cas, le signal c est fonction de la sensibilité et il n'est pas nécessaire d'ajouter des éléments au modèle de sensibilité (figures 9.9, b et 9.10, b).

b) Si, c'est-à-dire la fonction de transfert, est le produit de deux fonctions de transfert, dont une seule contient le paramètre qui nous intéresse, alors

c'est-à-dire qu'il coïncide avec la fonction de transfert de la partie du modèle qui contient

Ces idées peuvent également être étendues à des fonctions de sensibilité d'ordre supérieur, par exemple

qui sont obtenus de manière évidente à partir des fonctions de sensibilité du premier ordre. Il s'avère que dans ce cas, un autre modèle de sensibilité est nécessaire.

Bien entendu, l'analyse de sensibilité a également été utilisée pour décrire des objets dans le domaine temporel. Une revue de la littérature pertinente peut être trouvée dans le travail. De nombreux articles intéressants contiennent deux recueils de rapports des symposiums de l'IFAC sur la sensibilité.

Modèles personnalisés en continu

Le circuit considéré ici est représenté sur la Fig. 9.12. L'erreur est définie comme

où est certains fonctionnel. Il est nécessaire de minimiser le critère qui peut être écrit comme une fonctionnelle d'une fonction paire

Le modèle est réglé en modifiant les paramètres conformément à la valeur du gradient

Les composantes du vecteur gradient sont déterminées par différenciation:

et est le coefficient d'influence du paramètre. Maintenant, nous pouvons définir le prochain

opérateur:

d'où nous obtenons

Comme indiqué dans la section précédente, l'ensemble des opérateurs dépendant du paramètre a et agissant sur le signal et, permet d'obtenir toutes les fonctions de sensibilité des paramètres.

Exemple. Utilisons les résultats du travail. L'objet et le modèle sont décrits par les équations

L'équation de sensibilité est obtenue en différenciant l'équation du modèle:

où a et est considéré comme constant. Appliquons comme critère la condition minimale

et nous utiliserons la méthode de descente la plus raide pour le réglage

puisque ne dépend que d'un

Le comportement du schéma de réglage du modèle est décrit par les formules (9.98) - (9.102). En raison de la contrainte exigeant la constance de a dans (9.102), ces formules nous permettent de décrire approximativement les changements de a lorsque ces changements se produisent assez lentement. L'article étudie les problèmes de convergence pour les cas où l'entrée est un pas ou un signal sinusoïdal. Dans le premier cas, on peut prouver la stabilité du point d'équilibre

Le second cas conduit aux équations de Mathieu, qui peuvent avoir des solutions à la fois (asymptotiquement) stables et périodiques et instables.

Lors de l'étude de la stabilité, la deuxième méthode de Lyapunov a été utilisée: voir, ainsi que les travaux cités dans la section précédente.

On note que les fonctions de sensibilité des paramètres jouent le rôle de variables auxiliaires par analogie avec celle présentée au Ch. 6 et 7 pour le cas des signaux discrets.

Exemples de modélisation, de mise en œuvre pratique et d'applications

Bien que les travaux ne soient pas directement liés à l'estimation des paramètres, ils peuvent être mentionnés comme un autre exemple d'utilisation des facteurs d'influence des paramètres. Le système à l'étude est illustré à la Fig. 9.13. Les paramètres de l'objet (par exemple, le changement de la vitesse angulaire de l'aéronef le long de l'axe de tangage par rapport à l'écart des gouvernes) changent. Ces changements sont compensés

paramétrage et dans la boucle de retour. Les performances souhaitées de l'objet + boucle de rétroaction sont définies par le modèle de référence, qui est un circuit analogique fixe. Le but de la configuration est de minimiser certaines fonctionnalités même de l'erreur.

Ce résultat est obtenu en générant les coefficients d'influence des paramètres modèle de référence au lieu des coefficients correspondants de l'objet couvert par la rétroaction. Si elle est fixe, cette approche présente l'avantage que les coefficients d'influence générés des paramètres sont les dérivées partielles souhaitées. (Ce n'est pas vrai pour le schéma de réglage du modèle décrit ci-dessus.)

Réglage intermittent du modèle

Comme indiqué dans la Sec. 9.2, pour les schémas d'accord continu, il est difficile de révéler les propriétés de convergence. Ceci est principalement dû à la complexité de la détermination du gradient lors du changement (réglage) des paramètres du modèle. Considérons maintenant les schémas dans lesquels les paramètres du modèle restent constants lors de la définition du gradient. Après l'intervalle de mesure, les paramètres du modèle sont ajustés, puis la période de mesure recommence, etc.

La connaissance des fonctions de sensibilité de cette fonction objectif sera très utile pour la gestion opérationnelle de l'état du compte courant de l'entreprise sous l'influence des risques.

3.3. Types et propriétés des fonctions de sensibilité

Lors du calcul des fonctions de sensibilité, il est nécessaire de faire la distinction entre l'exposition à court terme et à long terme aux événements de risque. En conséquence, nous définissons deux types de fonctions de sensibilité:

Sensibilité locale- sensibilité à l'influence locale (à court terme) du paramètre de risque, c'est-à-dire lorsque l'écart n'a lieu que pendant une ou plusieurs périodes significativement inférieures à l'horizon général de planification (figure 3.2).

Réponse du système à l'impact local

Graphique 3.2. Détermination de la sensibilité locale

Sensibilité globale - sensibilité à l'influence globale (à long terme)paramètre de risque, ceux. lorsqu'un écart peut avoir lieu tout au long de l'horizon de planification, à partir d'un certain moment (figure 3.3).

Réponse du système à l'impact mondial

Graphique 3.3. À la définition de la sensibilité globale

Laquelle des options de sensibilité ci-dessus doit être choisie dépend de la durée de certains événements de risque dans une situation réelle.

Une analogie avec l'analyse de la réaction des systèmes linéaires basée sur les caractéristiques impulsionnelles et transitoires de ces derniers est ici appropriée. Si delta est utilisé comme une seule action au temps τ

la fonction de Dirac est δ (t-τ), alors la réponse du système aux conditions initiales nulles sera numériquement égale à la réponse impulsionnelle du système g (t-τ). Si la fonction Heaviside (saut d'unité) - 1 (t-τ) est utilisée comme une seule action à un moment donné, alors la réponse du système aux conditions initiales nulles sera numériquement égale à la réponse transitoire du système h (t-τ).

Dans notre cas, le rôle de la fonction delta peut être joué par un saut dans le paramètre de risque LdX (t-τ) local dans le temps, puis la réaction projet d'investissement sera proportionnelle à la sensibilité locale LS (t-τ) à une action donnée. La fonction Heaviside 1 (t-τ) correspondra à un changement global dans le temps du paramètre de risque GdX (t-τ), ce qui donnera

réponse proportionnelle à la fonction de sensibilité globale GS (t-τ). La figure 3.2 montre les analogies fonctionnelles correspondantes.

Analogie locale

Analogie globale

Graphique 3.4. Analogies avec les systèmes linéaires

Comme on le sait, le principe de superposition est valable pour les systèmes linéaires, à savoir: la réponse du système à un ensemble d'actions est égale à la somme des réponses à chaque action séparément. Sur la base de ce principe, connaissant les caractéristiques du système g (t) ou h (t), on peut trouver à la fois leur relation et la réponse du système à tout type d'impact. Dans notre cas, à partir du principe de superposition, il est possible d'obtenir une relation entre les fonctions de sensibilité globale et locale correspondante. Laissez le temps changer discrètement:

t \u003d 0, 1, 2,… n,… N,

où t \u003d N est l'horizon de planification;

t \u003d k - le moment du début de l'impact du risque global;

t \u003d k + j, (j \u003d 0, 1,… n - k) - moments d'existence de risques locaux;

t \u003d n ≥ k + j est un moment arbitraire (courant) d'observation de la réponse du système à une action donnée.

Ensuite, la sensibilité globale, qui décrit la réponse du système à l'impact d'un événement de risque global qui a débuté au temps t \u003d k et dure jusqu'à l'horizon de planification, peut être exprimée comme une superposition de sensibilités locales correspondant à l'agrégat des impacts des risques locaux (une période) qui apparaissent parfois à partir de t \u003d k et jusqu'à t \u003d k + j, (j \u003d 0, 1,… n - k), à savoir:

	n− k
		(n - k - j), n ≥ k + j
GSx i	(n - k) \u003d ∑ LSx i
	j \u003d 0

Il convient de noter que les fonctions de sensibilité locales diminuent toujours plus rapidement que les fonctions globales du même nom pour toutes les périodes. Cela est dû au fait que l'action locale de tout risque dure peu de temps et que le risque global (égal à la somme des risques locaux) opère tout le temps à partir du moment de son apparition et son effet s'accumule d'une période à l'autre. On peut dire que les fonctions de sensibilité globale reflètent les conséquences stratégiques de l'influence des écarts à long terme des paramètres sur un projet d'investissement. Dans le même temps, les sensibilités locales reflètent les conséquences tactiques des changements à court terme de l'environnement commercial externe et interne.

Propriétés des fonctions cibles du modèle de flux de trésorerie

Lors de l'utilisation de l'appareil analytique pour analyser des systèmes linéaires, il convient de garder à l'esprit que le modèle financier d'un projet d'investissement peut ne pas être strictement linéaire, cependant, comme des expériences l'ont montré sur de nombreux projets d'investissement différents, même dans de larges plages de variations des paramètres de risque, la précision de l'analyse de sensibilité est restée tout à fait acceptable. Cependant, avant d'utiliser cette technique, il est conseillé de vérifier la fonction cible d'un projet d'investissement particulier pour la linéarité en fonction des paramètres de risque sélectionnés. Pour ce faire, il suffit de vérifier le respect de la condition de proportionnalité suivante:

où a est une constante arbitraire.

Considérez les situations où la fonction objectif est non linéaire:

1. La VAN dépend non linéairement du taux d'actualisation, car ce dernier est élevé à la puissance "t".

2. La fonction objective peut dépendre de manière non linéaire du taux du prêt bancaire dans le cas où il y a report des paiements d'intérêts, car dans ce cas, les intérêts seront facturés selon le schéma des intérêts composés, ce qui entraînera une non-linéarité.

3. Fonction objective (VAN, solde cumulé des flux financiers, flux financier net cumulé, etc.) peuvent dépendre non linéairement du prix du produit vendu, si le volume naturel des ventes de ce produit dépend significativement de son prix.

4. Si au stade initial du projet il n'y a pas de bénéfice net (il y a des pertes), alors les fonctions cibles seront non linéaires par rapport àparamètres de risque pendant ces périodes, car les dépendances du bénéfice net sur les paramètres de risque seront des fonctions linéaires par morceaux. Après la sortie du projet le

bénéfice net positif, la non-linéarité spécifiée devient insignifiante.

En plus de la sensibilité du premier ordre (3.2), il est proposé d'utiliser la sensibilité du deuxième ordre dans les cas où la non-linéarité de la fonction objectif pour certains paramètres de risque est significative et ne peut être négligée. Cette approche sera discutée plus en détail ci-dessous dans la section 3.7.

Continuons à étudier les propriétés des fonctions objectives. Si les prix de vente des biens produits lors de la mise en œuvre du projet d'investissement sont sélectionnés comme paramètres de risque, alors dans chaque période de planification, la fonction objectif (par exemple, le flux financier net accumulé dans le cas de deux biens) ressemblera à:

Y \u003d a (p1 Q 1 + p 2 Q 2) + b

où p 1,2 sont les prix et Q 1,2 sont les volumes de ventes naturels. Si la dépendance Q (p) peut être négligée, alors en utilisant (3.2) nous obtenons les fonctions de sensibilité pour la période considérée:

		ap 1, 2 Q 1, 2
p 1, 2

Il est facile de voir que le rapport de ces fonctions de sensibilité sera égal au rapport des volumes de ventes en termes monétaires des biens correspondants sur une période donnée. Par conséquent, la structure des fonctions de sensibilité au prix correspondra exactement à la structure des volumes de ventes en termes monétaires, c'est-à-dire

p i Q i
		S x i
∑ p i Q i		∑ S x Y i

Cette conclusion est valable pour n'importe quel nombre de produits inclus dans l'assortiment. Si certains groupes de produits disponibles dans l'assortiment ont des taux de TVA différents, la conclusion ci-dessus sera valable si les prix sans TVA sont utilisés dans les calculs de sensibilité et dans les calculs de la structure des volumes de ventes.

La propriété indiquée des fonctions de sensibilité prix permet de réduire significativement le volume de calculs de ces derniers dans le cas d'une large gamme de biens, lorsqu'il est nécessaire de connaître la sensibilité pour tous les prix.

Si la dépendance Q (p) ci-dessus ne peut être négligée, alors dans ce cas la relation entre les fonctions de sensibilité et la structure de vente restera au niveau qualitatif, c'est-à-dire plus la part d'un produit donné par rapport aux autres dans le chiffre d'affaires total est élevée, plus sa sensibilité au prix est élevée.

Ensuite, considérez le signe de la fonction de sensibilité. La fonction de sensibilité sera positive pour tous les points dans le temps si, avec une augmentation (diminution) de l'écart du paramètre de risque, la valeur de la fonction objectif augmente (diminue), à \u200b\u200bcondition que la fonction objectif elle-même soit positive. Ainsi, par exemple, la sensibilité du solde accumulé des flux financiers aux prix et aux volumes physiques des ventes de produits manufacturés est toujours positive, et la sensibilité de la même fonction objective aux écarts de coûts éventuels, ainsi qu'aux taux des prêts bancaires, est toujours négative. Une exception à cette règle

Les unités radiométriques et photométriques peuvent être liées ensemble à l'aide fonction de sensibilité de l'œil humain V (X),parfois appelée fonction d'efficacité lumineuse. En 1924, la Commission internationale de l'éclairage, CIE, a introduit le concept de la fonction de sensibilité de l'œil humain en mode de vision photopique pour des sources ponctuelles de rayonnement et un angle d'observation de 2 ° (CIE, 1931). Cette fonction, appelée les fonctions du MCO 1931, est toujours la norme photométrique aux USA 0.

Judd et Voe en 1978 ont introduit modifié une fonction V (\\)(Vos, 1978; Wyszeckl, Stiles, 1982, 2000), qui dans ce livre sera appelé fonction de MCO 1978 Les changements étaient associés à une évaluation pas tout à fait correcte de la sensibilité de l'œil humain dans les gammes bleu et violet du spectre, adoptée en 1931. La fonction modifiée F (A) dans la gamme spectrale des longueurs d'onde inférieures à 460 nm a des valeurs plus élevées. La CIE a approuvé l'introduction de la fonction Y (L) en 1978, déclarant que «la fonction de sensibilité de l'œil humain pour les sources ponctuelles de rayonnement peut être représentée comme une fonction Y (A) Judd modifiée» (CIE, 1988). Par ailleurs, en 1990, la CIE a publié une résolution: «dans les cas de mesures de luminosité dans la gamme de courtes longueurs d'onde, cohérentes avec la définition de la couleur, un observateur situé normalement à la source de rayonnement, il est préférable d'utiliser la fonction Judd modifiée» (CIE, 1990).

En figue. 16.6 montre les fonctions V (X)CIE 1931 et 1978 La sensibilité maximale de l'œil tombe sur la longueur d'onde de 555 nm, qui est dans la région verte du spectre. À cette longueur d'onde, la sensibilité de l'œil est de 1, soit Y (555 nm) \u003d 1. On constate que dans la fonction Y (A) CIE 1931, la sensibilité de l'œil humain dans la région bleue du spectre est sous-estimée (A< 460 нм). В приложении 16.П1 приведены численные значения функций У (А) 1931 г. и 1878 г.

«) Cette norme est également valable en Russie.

En figue. 16.6 montre également la fonction Y "(A) de la sensibilité de l'œil humain pour le mode de vision scotopique. Le pic de sensibilité en mode de vision scotopique tombe sur une longueur d'onde de 507 nm. Cette valeur est bien inférieure à la longueur d'onde de la sensibilité maximale en mode de vision photopique. Valeurs numériques de la fonction V "(\\)CIE 1951 sont données à l'annexe 16.P2.

A noter que si dans certains cas la fonction Y (L) CIE 1978 est préférable, elle n'appartient toujours pas à la catégorie des normes, car les changements de normes entraînent souvent des incertitudes. Cependant, malgré cela, dans la pratique, il est assez souvent utilisé (WyszeckiandStiles, 2000). La fonction Y (L) CIE 1978, représentée sur la Fig. 16.7 peut être considérée comme la description la plus précise des variations de la sensibilité de l'œil humain en mode de vision photopique.

Pour trouver la fonction de sensibilité de l'œil humain, il est utilisé méthode flash minimum, qui est une manière classique de comparer les sources lumineuses en termes de luminosité et de déterminer

Figure: 16.6. Comparaison des fonctions de sensibilité de l'œil humain V (\\)CIE 1978 et 1931 pour le mode de vision photopique. Il montre également la fonction de sensibilité des yeux V "(\\)en mode de vision scotopique, qui est utilisé à de faibles niveaux de lumière ambiante

Figure: 16.7. Y (L) (ordonnée gauche) et efficacité lumineuse mesurée en lumens par watt de puissance optique (ordonnée droite). La sensibilité maximale de l'œil humain est à une longueur d'onde de 555 nm (données de la CIE, 1978)

fonction Y (A). Selon ce procédé, une petite surface émettrice de lumière circulaire est éclairée en alternance (avec une fréquence de 15 Hz) avec des sources de couleur de référence et de comparaison. Puisque la fréquence de fusion de couleur est inférieure à 15 Hz, les couleurs des signaux entrelacés seront indiscernables. Cependant, la fréquence de fusion des signaux d'entrée en termes de luminosité est toujours supérieure à 15 Hz, donc si les deux signaux de couleur diffèrent en luminosité, un flash visible est observé. L'objectif du chercheur est d'ajuster la couleur de la source lumineuse testée jusqu'à ce que le flash observé soit minimal.

En modifiant la distribution de la puissance spectrale du rayonnement P (L), vous pouvez obtenir n'importe quelle nuance de couleur souhaitée. L'une des variantes de cette distribution se caractérise par le rendement lumineux maximal possible. L'efficacité lumineuse maximale peut être obtenue en mélangeant un rayonnement d'une certaine intensité provenant de deux sources lumineuses monochromatiques (MaeAdam, 1950). En figue. 16.8 montre les valeurs d'efficacité lumineuse maximales réalisables obtenues avec une paire de sources de rayonnement monochromatiques. Rendement lumineux maximal blancla lumière dépend de la température de couleur. À la température de couleur

Figure: 16.8. Relation entre l'efficacité lumineuse maximale possible (lm / W) et les coordonnées de chromaticité (x, y) sur le nuancier CIE 1931

6500 K c'est ~ 420 lm / W, et à des températures de couleur plus basses, il peut dépasser ~ 500 lm / W. La valeur exacte de l'efficacité lumineuse est déterminée par la position de la teinte d'intérêt dans la plage des blancs sur le nuancier.

Les valeurs réelles des paramètres du système de commande diffèrent presque toujours des valeurs calculées. Cela peut être causé par une imprécision dans la fabrication d'éléments individuels, des changements de paramètres pendant le stockage et le fonctionnement, des changements dans les conditions externes, etc.

La modification des paramètres peut entraîner des modifications des propriétés statiques et dynamiques du système. Il est conseillé de prendre en compte cette circonstance à l'avance dans le processus de conception et de configuration du système.

paramètre,.

ou dérivé du critère de qualité utilisé / donc du paramètre,

L'indice zéro du haut marque le fait que les dérivées partielles doivent être prises égales aux valeurs correspondant aux paramètres mémoriels (calculés).

Fonctions de sensibilité de synchronisation. Au moyen de ces fonctions de sensibilité, l'influence des petits écarts des paramètres du système par rapport aux valeurs calculées sur les caractéristiques temporelles du système (fonction de transition, fonction de poids, etc.) est estimée.

Le système initial est appelé un système dans lequel tous les paramètres sont égaux aux valeurs calculées et n'ont pas de variations. Le mouvement dit de base correspond à ce système.

Un système varié est un système dans lequel des variations de paramètres se sont produites. Le mouvement est appelé mouvement variable.

Le mouvement supplémentaire est la différence entre un mouvement varié et un mouvement de base.

Que le système original soit décrit par un ensemble d'équations non linéaires du premier ordre

Si les changements de paramètres n'entraînent pas de changements

ordre de l'équation différentielle, alors le mouvement varié sera décrit par un ensemble d'équations

le mouvement supplémentaire peut être étendu à une série Taylor.

Pour de petites variations des paramètres, il est permis de se limiter aux termes d'expansion linéaire. Ensuite, nous obtenons les équations de la première approximation pour le mouvement supplémentaire

Les dérivées partielles entre parenthèses doivent être égales à leurs valeurs

Ainsi, la première approximation du mouvement supplémentaire peut être trouvée avec des fonctions de sensibilité connues. Notez que l'utilisation des fonctions de sensibilité est plus pratique pour trouver un mouvement supplémentaire par rapport à la formule directe (8,98), car cette dernière dans de nombreux cas peut donner de grandes erreurs en raison de la nécessité de soustraire deux valeurs proches.

il peut être nécessaire d'utiliser la seconde approximation avec confinement dans la série de Taylor, en plus des termes linéaires, également quadratiques.

conduit aux équations dites de sensibilité

Cependant, les équations (8.100) s'avèrent compliquées et difficiles à résoudre. La méthode de construction structurelle du modèle utilisée pour trouver les fonctions de sensibilité est plus rapide.

paramètre.

Dans certains cas, les fonctions de sensibilité sont obtenues en différenciant la fonction connue du temps en sortie du système. Ainsi, si la fonction de transfert du système correspond à une liaison apériodique du second ordre, alors (voir Tableau 4.2)

■ 1 (0 à la sortie

donnera une fonction de sensibilité pour ce paramètre

Que le système considéré soit décrit par un ensemble d'équations du premier ordre

alors les équations (8.102) correspondent à des conditions initiales nulles.

associé à la dépendance à la force motrice

Image de la force motrice.

La fonction de sensibilité de la fonction de transfert est introduite ici

Ces dépendances sont valables dans le cas où la variation du paramètre a. ne modifie pas l'ordre de l'équation caractéristique du système.

La fonction de sensibilité dite logarithmique peut également être utilisée.

UDC 330.131.7

V. I. Kotov

projet d'investissement aux risques

Pour quantifier la stabilité d'un projet d'investissement à l'impact des événements de risque, vous pouvez utiliser les fonctions de sensibilité. Cependant, dans la littérature économique, il est souvent écrit (par exemple, c) qu'un inconvénient important de cette méthode "est sa nature à un facteur, c'est-à-dire se concentrer sur les changements dans un seul facteur du projet, ce qui conduit à sous-estimer le lien possible entre les facteurs individuels ou à sous-estimer leur corrélation." Comme on le verra ci-dessous, cet inconvénient est totalement surmontable si, lors du choix d'un ensemble de paramètres de risque (facteurs), on retient ceux pour lesquels l'interdépendance est significative et en tient compte. La plupart des facteurs sont pratiquement indépendants et un calcul direct de la sensibilité basé sur eux est tout à fait justifié.

Une dernière remarque sur l'utilisation du terme «sensibilité». Pour la fonction objectif sélectionnée, en modifiant alternativement les paramètres de risque, leurs valeurs maximales admissibles sont généralement déterminées. L'algorithme donné pour un tel calcul est implémenté dans le progiciel Project Expert 6 et pour une raison quelconque, certains auteurs l'appellent l'analyse de sensibilité du projet. La définition suivante est donnée: «Analyse de sensibilité. Une méthode montrant comment un facteur change en fonction d'un autre ... ". Il ne s'agit pas à proprement parler d'une analyse de sensibilité, mais simplement d'une analyse de la dépendance de la fonction Y sur plusieurs variables qui forment le vecteur x. Notez que la sensibilité en théorie des systèmes signifie les indicateurs différentiels correspondants, à savoir: la sensibilité absolue d'une certaine fonction objective Y (t, x) est définie comme sa dérivée partielle par rapport au paramètre de risque x (i, t):

Les capacités de la méthode d'analyse des risques basée sur les fonctions de sensibilité, à notre avis,

sous-estimé. Cet article présentera modèle d'ordinateur pour calculer les fonctions de sensibilité, les types et propriétés de ces fonctions sont pris en compte. Il est montré que l'approche de la sensibilité en tant que caractéristique dynamique dans tout l'horizon de planification donne une information important sur l'impact des événements de risque sur la performance financière des projets d'investissement.

Modèle de définition et de calcul des fonctions de sensibilité

Tout d'abord, définissons la fonction de sensibilité. Notons la fonction objectif du projet par Y (r, x), où r est le temps, x (r) est un vecteur de paramètres variables qui simulent l'influence de certains événements de risque. La sensibilité relative de la fonction objectif est le rapport entre l'écart relatif de la fonction et l'écart relatif de l'argument (paramètre de risque):

^ _ dU / Y _ AU / Y _ A7

X dx; / X; Axi / X; Chez AH;

Ci-après, l'heure est omise par souci de simplicité. En raison du fait que les sensibilités relatives sont sans dimension, elles sont plus pratiques pour l'analyse, par conséquent, à l'avenir, nous les utiliserons uniquement, et l'adjectif «relatif» sera omis par souci de concision. Plus la sensibilité est élevée, plus l'influence du paramètre de risque correspondant sur la fonction cible du projet d'investissement est forte. Numériquement, la fonction de sensibilité indique: de quel pourcentage la fonction cible changera lorsque le paramètre de risque change d'un pour cent.

En théorie économique, il existe un concept similaire à la sensibilité - «élasticité» (demande, etc.), qui est calculée par une formule similaire à (2). L'élasticité en tant qu'indicateur caractérise l'environnement externe de l'entreprise et généralement

Figure: 1. Schéma de principe du modèle de calcul des fonctions de sensibilité

n'est pas considéré comme une fonction du temps, mais comme un paramètre statique. Nous retiendrons le terme «sensibilité», d'une part, parce qu'il caractérise l'environnement interne des affaires et est une caractéristique d'un projet d'investissement, et d'autre part, afin de ne pas confondre le contexte bien connu d'utilisation du terme «élasticité» avec la caractéristique dynamique de sensibilité dans l'analyse de l'impact des risques.

Voici un schéma synoptique du modèle de calcul des fonctions de sensibilité, basé sur un modèle dynamique des flux financiers du projet (Fig.1). Ce modèle a été implémenté dans l'électronique tables EXCEL et a permis d'effectuer simultanément des calculs pour cinq variantes de fonctions objectives, qui seront discutées ci-dessous.

Ici, le modèle principal de Cash-Flow est utilisé pour calculer le scénario sélectionné du projet d'investissement, c'est-à-dire pour obtenir tous les indicateurs nécessaires et la valeur de la fonction objectif sélectionnée (une ou plusieurs) dans la situation de Statu Quo. Une copie du modèle est utilisée pour calculer la valeur modifiée des fonctions objectifs sous l'influence de tout paramètre de risque.

Toutes les constantes sont automatiquement transférées du modèle principal vers la copie (en utilisant les liens appropriés). La copie prévoit le changement alternatif des paramètres de risque et le choix de la durée d'exposition pour chaque risque. Maintenant, si nous modifions un paramètre de risque dans la copie, alors à sa sortie, nous obtenons la valeur modifiée de la fonction objectif. Vers le bloc de calcul des fonctions de sensibilité à partir du modèle principal

les valeurs initiales du paramètre de risque et de la fonction objectif sont reçues, et les valeurs modifiées correspondantes sont reçues de la copie. Par conséquent, à partir de (2), nous obtenons les fonctions de sensibilité sous forme de tableaux et de graphiques correspondants pour tout l'horizon de planification.

Fonctions cibles du projet

Le choix de la fonction cible dépend en grande partie des goûts et des envies des développeurs du business plan du projet d'investissement. En tant que fonction objective, différents indicateurs peuvent être proposés, par exemple:

NPV (T) - la valeur actuelle nette du projet au moment T;

Escompte cumulé Flux de trésorerie net ADNCF (T) généré par le projet au temps T;

Flux de trésorerie net accumulé ANCF (T) généré par le projet au temps T (hors actualisation);

Bénéfice net accumulé ANP (T) généré par le projet au temps T;

Le solde cumulé des flux financiers (état du compte courant du projet) (Accumulated Saldo Cash-Flow) ASCF (T) au moment T.

Lors du choix d'une fonction cible, vous pouvez utiliser non pas des ratios cumulés, mais des ratios de performance financière dans des périodes distinctes. Cependant, nous privilégions les

indicateurs, car cela permet une prise en compte plus rigoureuse des conséquences des événements de risque après la fin de leur action sur tout l'horizon de planification.

La comparaison des sensibilités du cash-flow net accumulé et de sa contrepartie actualisée a montré qu'elles coïncident presque, puisque les différences n'étaient que des fractions de pour cent. Cela n'est pas surprenant, car lors du calcul de la fonction de sensibilité selon (2), le numérateur (AU) et le dénominateur (Y) sont actualisés, ce qui conduit partiellement à la compensation de la procédure d'actualisation.

Si MRU (T) est utilisée comme fonction objective, alors il faut garder à l'esprit que près du point de retour sur investissement, lorsque MRU \u003d 0, la fonction de sensibilité subit un écart du second type, c'est-à-dire qu'elle vire à l'infini par définition (2). Cela rend difficile l'utilisation de la MRU comme fonction objective à proximité du point spécifié, mais en dehors de ses calculs, des problèmes ne se posent pas.

Si nous choisissons le solde accumulé des flux financiers comme fonction objectif, alors nous obtenons

Y (x, T) _ £ [(x, z) - C ^ (x, z)]. (3)

La connaissance des fonctions de sensibilité de cette fonction objectif sera très utile pour la gestion opérationnelle de l'état du compte courant du projet sous l'influence des risques.

Fonctions de sensibilité locales et globales

Lors du calcul des fonctions de sensibilité, il est nécessaire de faire la distinction entre l'impact à court terme et à long terme des événements de risque. En conséquence, nous définissons deux types de fonctions de sensibilité.

Sensibilité locale - sensibilité dans le cas d'une influence locale (à court terme dans le temps) du paramètre de risque, c'est-à-dire lorsque l'écart ne se produit que pendant une ou plusieurs périodes nettement inférieur à l'horizon de planification général, comme le montre la Fig. 2, a.

Sensibilité globale - sensibilité à l'influence globale (à long terme) du paramètre de risque, c'est-à-dire lorsque l'écart peut avoir lieu sur tout l'horizon

planification, à partir d'un certain moment (Fig. 2, b).

Laquelle des options de sensibilité ci-dessus doit être choisie dépend de la durée de certains événements de risque dans une situation réelle.

Une analogie avec l'analyse de la réaction des systèmes linéaires basée sur les caractéristiques impulsionnelles et transitoires de ces derniers est ici appropriée. Si la fonction delta de Dirac 8 (r - m) est utilisée comme une action unitaire à l'instant t, alors la réponse du système aux conditions initiales nulles sera numériquement égale à la réponse impulsionnelle du système g (t - t). Si la fonction Heaviside (saut unitaire) 1 (r - t) est utilisée comme une action unitaire à un certain moment dans le temps, alors la réponse du système aux conditions initiales nulles sera numériquement égale à la réponse transitoire du système H (r - m).

Dans notre cas, le rôle de la fonction delta peut être joué par un saut local dans le temps du paramètre de risque ЫХ (r - t), alors la réaction du projet d'investissement sera proportionnelle à la sensibilité locale LS (t - t) à un impact donné. La fonction Heaviside 1 (g - t) correspondra à un changement global dans le temps du paramètre de risque OjX (g - t), ce qui donnera une réaction proportionnelle à la fonction de sensibilité globale 08 (g - t). En figue. 3 montre les analogies fonctionnelles correspondantes.

Comme on le sait, le principe de superposition est valable pour les systèmes linéaires, à savoir: la réponse du système à un ensemble d'actions est égale à la somme des réponses à chaque action séparément. Sur la base de ce principe, connaissant les caractéristiques du système g (t) ou H (g), on peut trouver à la fois la relation entre eux et la réponse du système à tout type d'impact. Dans notre cas, à partir du principe de superposition, il est possible d'obtenir une connexion entre les fonctions de sensibilité globale et locale correspondante. Laissez le temps changer discrètement:

r \u003d 0, 1, 2, ... n, ... M,

où r \u003d M est l'horizon de planification; r \u003d k - le moment du début de l'impact du risque global; r \u003d k +], (] \u003d 0, 1, ... n - k) - moments de l'existence de risques locaux; r \u003d n\u003e k +] est un moment arbitraire (courant) d'observation de la réponse du système à une action donnée.

45 40 35 30 25 20 15 10 5 0

50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0

t W et I "H --- * ----- p p p ........

6 7 8 Période

10 11 12 13 14 15

\\ "^ -1\u003e - O - 0 0 0 0 0-- 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Figure: 2. Écart des valeurs de la fonction objectif a - pour local et b - pour impact global

1 - -O; 2 - x + ah; 3 - U; 4 - U + aU

Système linéaire

Modèle financier

A bb (z - t) (sensibilité locale)

Système linéaire

Modèle financier

GdX (g - t) PI

A GS (g - t) (sensibilité globale)

Figure: 3. Analogies avec les systèmes linéaires: a - local, b - global

Ensuite, la sensibilité globale, qui décrit la réponse du système à l'impact d'un événement de risque global qui a débuté au moment r \u003d k et dure jusqu'à l'horizon de planification, peut être exprimée comme une superposition de sensibilités locales correspondant à l'agrégat des effets des risques locaux (d'une durée d'une période) apparaissant à des moments de r \u003d k et jusqu'à r \u003d k + / (f \u003d 0, 1, ... n - k):

OB7 ^ (n - k) _ (n - k - /), n\u003e k + /. (4)

Il convient de noter que les fonctions de sensibilité locales diminuent toujours plus rapidement que les fonctions globales du même nom pour toutes les périodes. Cela est dû au fait que l'action locale de tout risque dure peu de temps et que le risque global (égal à la somme des risques locaux) opère tout le temps à partir du moment de sa survenance et son effet s'accumule d'une période à l'autre. On peut dire que les fonctions de sensibilité globale reflètent les conséquences stratégiques de l'influence des écarts à long terme des paramètres sur un projet d'investissement. Dans le même temps, les sensibilités locales reflètent les conséquences tactiques des changements à court terme dans l'environnement commercial externe et interne. Les fonctions de sensibilité locales ont le plus souvent un maximum au moment de l'exposition à l'un ou l'autre risque puis diminuent relativement rapidement par rapport à la sensibilité globale pour le même paramètre de risque.

Lors de l'utilisation de l'appareil analytique pour analyser des systèmes linéaires, il convient de garder à l'esprit que le modèle financier d'un projet d'investissement peut ne pas être strictement linéaire, cependant, comme les expériences l'ont montré sur une variété de projets d'investissement différents, même dans de larges plages de variations des paramètres de risque, la précision de l'analyse de sensibilité est restée tout à fait acceptable. Dans et il est proposé, en plus des sensibilités de premier ordre (2), d'utiliser les sensibilités de second ordre dans les cas où la non-linéarité de la fonction objectif pour certains paramètres de risque est significative et ne peut être négligée.

Propriétés de la fonction de sensibilité

Si les prix de vente des produits manufacturés lors de la mise en œuvre du projet d'investissement sont sélectionnés comme paramètres de risque, alors dans chaque période de planification, la fonction objectif (par exemple, le flux financier net accumulé dans le cas de deux biens) aura la forme

Y _ a (+ p ^) + b,

où р12 sont les prix; 612 - volumes de ventes naturels. Si nous choisissons le chiffre d'affaires de chaque produit р1б1 comme paramètres de risque, alors en utilisant (2) nous obtenons les fonctions de sensibilité pour la période considérée:

Il est facile de voir que le rapport de ces fonctions de sensibilité sera égal au rapport des volumes de ventes en termes monétaires des biens correspondants sur une période donnée. Par conséquent, la structure des fonctions de sensibilité des volumes de ventes correspondra exactement à la structure des volumes de ventes en termes monétaires:

Cette conclusion est vraie pour n'importe quel nombre de produits inclus dans l'assortiment. Si certains groupes de produits disponibles dans l'assortiment ont des taux de TVA différents, la conclusion ci-dessus sera valable si les prix sans TVA sont utilisés dans les calculs de sensibilité et dans les calculs de la structure des volumes de vente. La propriété spécifiée (7) des fonctions de sensibilité permet de réduire significativement le volume de calculs de ces dernières dans le cas d'une large gamme de biens, lorsqu'il est nécessaire de connaître la sensibilité pour tous les biens.

Considérez le signe de la fonction de sensibilité. La fonction de sensibilité sera positive pour tous les points dans le temps si, avec une augmentation (diminution) de l'écart du paramètre de risque, la valeur de la fonction objectif augmente (diminue), à \u200b\u200bcondition que la fonction objectif elle-même soit positive. Par exemple, la sensibilité

Figure: 4. Fonctions de sensibilité du solde des flux financiers du projet 1,2, 3 - volumes de ventes, respectivement; 4 - coûts fixes conditionnellement et 5 - coûts variables conditionnellement

le solde cumulé des flux financiers par rapport aux prix et aux volumes physiques des ventes de produits manufacturés est toujours positif, et la sensibilité de la même fonction objective aux écarts de coûts, ainsi qu'aux taux des prêts bancaires, est toujours négative. L'exception à cette règle concerne les périodes où il y a des pertes au lieu du bénéfice net. En figue. 4 montre des exemples de fonctions de sensibilité.

Comme vous pouvez le voir, la plus "dangereuse" est la huitième période du projet, car pendant cette période toutes les fonctions de sensibilité seront maximales. Pendant ces périodes, l'attention des gestionnaires à l'avancement du projet doit être la plus grande afin de maintenir les indicateurs de performance proches de ceux prévus.

Si MRU est sélectionné comme fonction cible, alors sa sensibilité aux prix ou aux volumes naturels de ventes de produits manufacturés se situe dans la "zone morte" (à MRU< 0) будет отрицательной, а после срока окупаемости - положительной. Знаки чувствительности МРУ к издержкам будут обратными.

Caractéristiques des fonctions de sensibilité aux fluctuations de prix et aux volumes de vente naturels

Pour déterminer les fonctions de sensibilité, nous avons jusqu'à présent supposé que tous les paramètres de risque sont indépendants. Ce

l'hypothèse pour la plupart des paramètres est tout à fait justifiée, mais dans certains cas, la dépendance mutuelle ne peut être négligée. Par exemple, si parmi l'ensemble de paramètres de risque il y a des prix p et des volumes naturels de ventes Q de biens produits dans le cadre d'un projet d'investissement, alors lors du calcul des fonctions de sensibilité telles que le solde cumulé des flux financiers, le flux financier net cumulé (avec ou sans actualisation) ou MRU , il faut prendre en compte la dépendance 2 (p). S'il est difficile d'estimer la dépendance spécifiée, dans l'analyse de la sensibilité, les volumes de ventes naturels (0 ou chiffre d'affaires de chaque groupe de produits (pQ)) peuvent être sélectionnés comme paramètres de risque. Pour ces paramètres de risque, les fonctions objectives spécifiées sont linéaires.

Ainsi, les fonctions de sensibilité en tant que caractéristiques dynamiques d'un projet d'investissement et les indicateurs de performance fournissent une image plus complète pour comparer des projets ou des scénarios entre eux. Sur la base des fonctions de sensibilité calculées, il est possible de déterminer les périodes de la «vie» du projet d'investissement où l'influence des paramètres de risque est la plus grande, c'est-à-dire les étapes les plus «dangereuses» du projet. Comme le montrent de nombreux calculs, les valeurs extrêmes de toutes les fonctions de sensibilité du projet sélectionné coïncident pratiquement dans le temps.

De plus, en comparant les fonctions de sensibilité pour les paramètres de risque individuels, on peut classer les risques et identifier les plus significatifs d'entre eux, sur lesquels l'attention principale des gestionnaires doit être portée.

ect. Si un modèle de prévision financière avec un bloc d'analyse de sensibilité est construit, il est alors possible de réaliser une modélisation par simulation de l'impact de l'ensemble de paramètres de risque sur la fonction cible sélectionnée du projet d'investissement.

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