Nel secolo scorso, Ivan Bernoulli, Leonard Euler e poi Jean-Baptiste Fourier applicarono per primi la rappresentazione delle funzioni periodiche mediante serie trigonometriche. Questa visione è studiata in modo sufficientemente dettagliato in altri corsi, quindi ricordiamo solo le relazioni e le definizioni di base.

Come notato sopra, qualsiasi funzione periodica tu (t) per cui l'uguaglianza u (t) = u (t + T) , dove T = 1 / F = 2p / W , può essere rappresentato da una serie di Fourier:

Ogni termine di questa serie può essere espanso utilizzando la formula del coseno per la differenza tra due angoli e rappresentato come due termini:

,

dove: A n = C n cosφ n, B n = C n sinφ n , così , un

Probabilità Un e Locanda sono determinati dalle formule di Eulero:

;
.

In n = 0 :

un B0 = 0.

Probabilità Un e Locanda , sono i valori medi del prodotto della funzione tu (t) e oscillazioni armoniche con frequenza ora su un intervallo di durata T ... Sappiamo già (Sezione 2.5) che si tratta di funzioni di correlazione incrociata che determinano la misura della loro relazione. Pertanto, i coefficienti Un e B n mostraci "quanti" sinusoidi o coseni con frequenza nW contenuto in questa funzione tu (t) espandibile in una serie di Fourier.

Quindi, possiamo rappresentare la funzione periodica tu (t) come somma di vibrazioni armoniche, dove i numeri C n sono le ampiezze e i numeri n - fasi. Di solito in letteratura è chiamato spettro delle ampiezze, e - lo spettro delle fasi. Spesso viene considerato solo lo spettro delle ampiezze, che è rappresentato come linee situate in punti nW sull'asse delle frequenze e avente un'altezza corrispondente al numero C n ... Va tuttavia ricordato che per ottenere una corrispondenza biunivoca tra la funzione temporale tu (t) e il suo spettro, è necessario utilizzare sia lo spettro di ampiezza che lo spettro di fase. Questo può essere visto da un esempio così semplice. I segnali avranno lo stesso spettro di ampiezza, ma tipi completamente diversi di funzioni temporali.

Uno spettro discreto può avere non solo una funzione periodica. Ad esempio, signal: non è periodico, ma ha uno spettro discreto costituito da due righe spettrali. Inoltre, non ci sarà un segnale strettamente periodico costituito da una sequenza di impulsi radio (impulsi con riempimento ad alta frequenza), in cui il periodo di ripetizione è costante, ma la fase iniziale del riempimento ad alta frequenza cambia da impulso a impulso secondo a qualche legge. Tali segnali sono chiamati quasi periodici. Come vedremo in seguito, hanno anche uno spettro discreto. L'indagine sulla natura fisica degli spettri di tali segnali, la effettueremo allo stesso modo di quelli periodici.

Forme di notazione della serie di Fourier. Il segnale si chiama periodico, se la sua forma si ripete ciclicamente nel tempo Segnale periodico tu (t) in generale si scrive così:

u (t) = u (t + mT), m = 0, ± 1, ± 2,…

Ecco il periodo T del segnale. I segnali periodici possono essere semplici o complessi.

Per la rappresentazione matematica di segnali periodici con un periodo T viene spesso utilizzata la serie (2.2), in cui vengono scelte oscillazioni armoniche (sinusoidale e coseno) di frequenze multiple come funzioni di base

y 0 (t) = 1; y 1 (t) = sinw 1 t; y 2 (t) = cosw 1 t;

y 3 (t) = sin2w 1 t; y 4 (t) = cos2w 1 t; ..., (2.3)

dove w 1 = 2p / T è la frequenza angolare fondamentale della sequenza

funzioni. Per le funzioni di base armonica, dalla serie (2.2) si ottiene la serie di Fourier (Jean Fourier è un matematico e fisico francese del XIX secolo).

Le funzioni armoniche della forma (2.3) nella serie di Fourier hanno i seguenti vantaggi: 1) semplice descrizione matematica; 2) invarianza alle trasformazioni lineari, cioè se un'oscillazione armonica agisce all'ingresso di un circuito lineare, allora alla sua uscita ci sarà anche un'oscillazione armonica, che differisce dall'ingresso solo per ampiezza e fase iniziale; 3) come un segnale, le funzioni armoniche sono periodiche e hanno durata infinita; 4) la tecnica per generare funzioni armoniche è abbastanza semplice.

È noto dal corso di matematica che per l'espansione di un segnale periodico in una serie in funzioni armoniche (2.3), è necessario soddisfare le condizioni di Dirichlet. Ma tutti i segnali periodici reali soddisfano queste condizioni e possono essere rappresentati come una serie di Fourier, che può essere scritta in una delle seguenti forme:

u (t) = A 0/2 + (A 'mn cosnw 1 t + A” mn nw 1 t), (2.4)

dove i coefficienti

Un mn ”= (2.5)

u (t) = LA 0/2 + (2.6)

A mn = (2.7)

o in forma complessa

u (t) = (2.8)

Cn = (2.9)

Segue dalla (2.4) - (2.9) che, nel caso generale, il segnale periodico u (t) contiene una componente costante A 0/2 e un insieme di oscillazioni armoniche della frequenza fondamentale w 1 = 2pf 1 e le sue armoniche con frequenze wn = nw 1, n = 2 , 3,4, ... Ciascuna delle armoniche

oscillazioni della serie di Fourier è caratterizzata dall'ampiezza e dalla fase iniziale y n .nn

Diagramma spettrale e spettro di un segnale periodico. Se un segnale viene presentato come una somma di oscillazioni armoniche con frequenze diverse, allora si dice che decomposizione spettrale segnale.

Diagramma spettrale segnale è solitamente chiamato una rappresentazione grafica dei coefficienti della serie di Fourier di questo segnale. Distinguere tra diagrammi di ampiezza e di fase. Nella fig. 2.6 su una certa scala lungo l'asse orizzontale vengono tracciati i valori delle frequenze armoniche, lungo l'asse verticale - le loro ampiezze A mn e fasi y n. Inoltre, le ampiezze delle armoniche possono assumere solo valori positivi, le fasi - valori sia positivi che negativi nell'intervallo -p £ y n £ p

Spettro del segnaleè un insieme di componenti armoniche con valori specifici di frequenze, ampiezze e fasi iniziali, che insieme formano un segnale. Nelle applicazioni tecniche, in pratica, i diagrammi spettrali vengono chiamati più brevemente - spettro di ampiezza, spettro di fase. Molto spesso sono interessati al diagramma spettrale di ampiezza. Può essere utilizzato per stimare la percentuale di armoniche nello spettro.

Esempio 2.3. Espandere una sequenza periodica di impulsi video rettangolari in una serie di Fourier insieme a parametri conosciuti (U m, T, t z), anche "Relativo al punto t = 0. Costruisci un diagramma spettrale di ampiezze e fasi a U m = 2B, T = 20 ms, S = T / t e = 2 e 8.

Un dato segnale periodico su un intervallo di un periodo può essere scritto come

Per rappresentare questo segnale, usiamo la forma di scrittura della serie di Fourier v forma (2.4). Poiché il segnale è pari, nell'espansione rimarranno solo le componenti del coseno.

Riso. 2.6. Diagrammi spettrali di un segnale periodico:

a - ampiezza; B- fase

L'integrale di una funzione dispari su un periodo è uguale a zero. Usando le formule (2.5), troviamo i coefficienti

permettendo di scrivere la serie di Fourier:

Per costruire diagrammi spettrali per dati numerici specifici, impostiamo i = 0, 1, 2, 3, ... e calcoliamo i coefficienti armonici. I risultati del calcolo delle prime otto componenti dello spettro sono riassunti nella tabella. 2.1. Nella serie (2.4) A "mn = 0 e secondo (2.7) A mn = | A 'mn |, la frequenza fondamentale f 1 = 1 / T = 1 / 20-10 -3 = 50 Hz, w 1 = 2pf 1 = 2p * 50 = 314 rad/s . Lo spettro di ampiezza in Fig.

2.7 è costruito per tale n, al quale un mn più del 5% del valore massimo.

Dall'esempio 2.3 riportato segue che con un aumento del duty cycle, il numero di componenti spettrali aumenta e le loro ampiezze diminuiscono. Si dice che un tale segnale abbia uno spettro ricco. Va notato che per molti segnali praticamente utilizzati non è necessario calcolare le ampiezze e le fasi delle armoniche secondo le formule fornite in precedenza.

Tabella 2.1. Ampiezza delle componenti della serie di Fourier di una sequenza periodica di impulsi rettangolari

Riso. 2.7. Diagrammi spettrali di una sequenza periodica di impulsi: un-con duty cycle S-2; - b-quando duty cycle S = 8

Nei libri di riferimento matematici ci sono tabelle di scomposizione del segnale nella serie di Fourier. Una di queste tabelle è riportata in appendice (Tabella A.2).

Sorge spesso la domanda: quante componenti spettrali (armoniche) dovrebbero essere prese per rappresentare un segnale reale come una serie di Fourier? Dopotutto, la serie è, in senso stretto, infinita. Qui non si può dare una risposta univoca. Tutto dipende dalla forma del segnale e dall'accuratezza della sua rappresentazione da parte della serie di Fourier. Cambio del segnale più fluido - meno armoniche richieste. Se il segnale presenta salti (discontinuità), è necessario sommare più armoniche per ottenere lo stesso errore. Tuttavia, in molti casi, ad esempio in telegrafia, si ritiene che tre armoniche siano sufficienti anche per la trasmissione di impulsi rettangolari con bordi ripidi.

Corsi di analisi matematica

Argomento: Calcolo di somme parziali e caratteristiche spettrali della serie di Fourier per una funzione esplicita

funzione di Fourier dello spettro del segnale

1.Modello del processo fisico

Soluzione del problema con calcoli teorici

Un esempio di risoluzione del problema

Un esempio di risoluzione di un problema in ambiente Matlab R2009a

Bibliografia

1.Modello del processo fisico

Modello matematico un segnale radio può servire in una certa funzione del tempo F(T) . Questa funzione può essere reale o complessa, unidimensionale o multidimensionale, deterministica o casuale (segnali rumorosi). Nell'ingegneria radiofonica, lo stesso modello matematico descrive corrente, tensione, tensione con uguale successo campo elettrico eccetera.

Considera segnali deterministici unidimensionali reali

Gli insiemi di funzioni (segnali) sono generalmente considerati come spazi normati funzionali lineari, in cui vengono introdotti i seguenti concetti e assiomi:

) tutti gli assiomi dello spazio lineare sono soddisfatti;

) il prodotto scalare di due segnali reali è definito come segue:

) due segnali si dicono ortogonali se il loro prodotto scalare è zero;

) il sistema di segnali ortogonali forma una base coordinata a dimensione infinita, secondo la quale qualsiasi segnale periodico appartenente allo spazio lineare può essere scomposto;

Tra i vari sistemi di funzioni ortogonali che possono essere utilizzati per scomporre il segnale, il più comune è il sistema di funzioni armoniche (sinusoidale e coseno):

La rappresentazione di un certo segnale periodico come somma di oscillazioni armoniche con frequenze diverse è detta rappresentazione spettrale del segnale. Le singole componenti armoniche del segnale ne formano lo spettro. Da un punto di vista matematico, la rappresentazione spettrale equivale all'espansione di una funzione periodica (segnale) in una serie di Fourier.

Il significato della scomposizione spettrale delle funzioni nell'ingegneria radiofonica è dovuto a una serie di motivi:

) semplicità di studio delle proprietà del segnale, perché le funzioni armoniche sono ben comprese;

) la capacità di generare un segnale arbitrario, perché la tecnica per generare segnali armonici è abbastanza semplice;

) facilità di trasmissione e ricezione di un segnale sul canale radio, tk. l'oscillazione armonica è l'unica funzione del tempo che mantiene la sua forma quando attraversa un circuito lineare. Il segnale all'uscita del circuito rimane armonico con la stessa frequenza, cambiano solo l'ampiezza e la fase iniziale dell'oscillazione;

) la scomposizione del segnale in seno e coseno consente l'utilizzo di un metodo simbolico sviluppato per analizzare la trasmissione delle oscillazioni armoniche attraverso circuiti lineari.

Come modello del processo fisico, considera l'elettrocardiogramma del cuore.

2.Soluzione del problema con calcoli teorici

Obiettivo 1:

Descriviamo, con l'aiuto della serie di Fourier, un impulso che si ripete periodicamente nell'area dell'elettrocardiogramma, il cosiddetto complesso QRS.

Il complesso QRS può essere definito dalla seguente funzione lineare a tratti

In cui si

Questa funzione può essere continuato periodicamente con un periodo T = 2l.

Serie di funzioni di Fourier:

Definizione 1: La funzione è chiamata continuo a tratti sul segmento [a, b], se è continua in tutti i punti di questo segmento, eccetto per un numero finito di punti in cui esistono i suoi limiti unilaterali finiti.

Definizione 2: La funzione è chiamata liscio a tratti su un segmento se esso e la sua derivata sono continui a tratti.

Teorema 1 (test di Dirichlet): Serie di Fourier di una funzione regolare a tratti su un intervallo F (X) converge in ogni punto di continuità al valore della funzione in questo punto e al valore in ogni punto di discontinuità.

La nostra funzione soddisfa le condizioni del teorema.

Per una data funzione, otteniamo i seguenti coefficienti della serie di Fourier:

Forma complessa della serie di Fourier

Per rappresentare la serie in forma complessa, usiamo le formule di Eulero:

Introduciamo la notazione:

Allora la serie può essere riscritta come

Inoltre, i coefficienti della serie complessa di Fourier possono essere ottenuti direttamente calcolandoli con la formula

Scriviamo in forma complessa la serie di Fourier di una data funzione

Caratteristiche spettrali della serie

Espressione nella serie di Fourier si chiama nth armonico.È risaputo che

dove o

,

Gli aggregati sono chiamati di conseguenza ampiezza e spettro di fase funzione periodica.

Gli spettri sono rappresentati graficamente come segmenti di lunghezza disegnati perpendicolarmente all'asse su cui è tracciato il valore n= 1,2 ... o.

Immagine grafica lo spettro corrispondente è chiamato diagramma di ampiezza o di fase. In pratica, lo spettro di ampiezza è più spesso utilizzato.

.Un esempio di risoluzione del problema

Compito 2: Tener conto di esempio specifico compiti per il modello selezionato del processo fisico.

Estendiamo questa funzione all'intero asse numerico, otteniamo la funzione periodica F(X) con periodo T = 2 io= 18 (figura 1.).

Riso. 1. Grafico di una funzione continuata periodicamente

Calcoliamo i coefficienti di Fourier della funzione data.

Scriviamo le somme parziali della serie:

Riso. 2. Grafici delle somme parziali della serie di Fourier

Con la crescita n i grafici delle somme parziali nei punti di continuità si avvicinano al grafico della funzione F(X) ... Ai punti di rottura, i valori delle somme parziali si avvicinano .

Costruiamo i diagrammi di ampiezza e di fase.

dato un quarto.

tavolo

4. Un esempio di risoluzione di un problema nell'ambiente Matlab R2009a

Obiettivo 3: Ad esempio, considera l'intero intervallo PR e QT.

Riso

Per questa funzione, costruire grafici di somme parziali, nonché diagrammi di ampiezza e di fase.

Prendiamo valori specifici dei parametri per il nostro compito:

Uno script per la creazione dei grafici e dei grafici richiesti.

Lo script consente di risolvere una serie di problemi simili scegliendo i parametri e le coordinate dei punti Q, R, S.

CALCOLO % DELLE SOMME PARZIALI E DELLE CARATTERISTICHE SPETTRALI DELLA SERIE DI FOURIER PER EXPRESS

% Analisi spettrale L I1 I2 Q R S I3 I4 I5 P T w v a b c d q r Qy Ry Sy nCaso = 18; = 6; I2 = 10; Q = 11; Qy = -2; R = 12; Ry = 17; S = 13; Si = -4; I3 = 15; I4 = 20; I5 = 26; = 2; T = 3; ExprNum = 9; = 250; = 30; = 0; flag == 0 = 1; (k<15)

k = menu ("Modifica parametri", ...

sprintf ("Parametro1 P =% g", P), ... ("Parametro2 I1 =% g", I1), ... ("Parametro3 I2 =% g", I2), ... ("Parametro4 Qx =% g ", Q), ... (" Parametro5 Qy =% g ", Qy), ... (" Parametro6 Rx =% g ", R), ... (" Parametro7 Ry =% g ", Ry), ... ("Parametro8 Sx =% g", S), ... ("Parametro9 Sy =% g", Sy), ... ("Parametro10 I3 =% g", I3), .. ("Parametro11 I4 =% g", I4), ... ("Parametro12 T =% g", T), ... ("Parametro13 I5 =% g", I5), ... ("Parametro13 Ns =% g ", Ns), ...

"Continua"); k == 1, = input ();

endk == 2, = input ();

endk == 3, = input ();

endk == 4, = input ();

endk == 5, = input ();

endk == 6, = input ();

endk == 7, = input ();

"Nuovo valore Sx ="]);

endk == 9, = input ();

endk == 10, = input ();

endk == 11, = input ();

endk == 12, = input ();

endk == 13, = input ()

endk == 14, = input ()

% Applicazione dei parametri = Qy / (Q-I2);

v = Qy * I2 / (I2-Q); = (Ry-Qy) / (RQ); = (Qy * RQ * Ry) / (RQ); = (Sy-Ry) / (SR); = (Ry *SR * Sy) / (SR); = Sy / (S-I3); = I3 * Sy / (I3-S); = 2 * L / N; = 0: Ts: 2 * L; = lunghezza (t ); = zeri (1, Dim); = piano (I1 * N / 2 / L) +1; = piano ((I2-I1) * N / 2 / L) +1; = piano ((Q-I2) * N / 2 / L) +1; = piano ((RQ) * N / 2 / L) +1; = piano ((SR) * N / 2 / L) +1; = piano ((I3-S) * N / 2 / L) +1; = piano ((I4-I3) * N / 2 / L) +1; = piano ((I5-I4) * N / 2 / L) +1; = piano (( 2 * L-I4) * N / 2 / L) +1;i = 1: u1 (i) = P * sin (pi * t (i) / I1);i = u1: u2 (i) = 0; i = (u2 + u1) :( u3 + u2 + u1) (i) = w * t (i) + v; i = (u3 + u2 + u1): (u4 + u3 + u2 + u1) (i) = a * t (i) + b; i = (u4 + u3 + u2 + u1): (u5 + u4 + u3 + u2 + u1) (i) = c * t (i) + d; i = (u5 + u4 + u3 + u2 + u1): (u6 + u5 + u4 + u3 + u2 + u1) (i) = q * t (i) + r; i = (u6 + u5 + u4 + u3 + u2 + u1 ): (u7 + u6 + u5 + u4 + u3 + u2 + u1) (i) = 0; i = (u7 + u6 + u5 + u4 + u3 + u2 + u1): (u8 + u7 + u6 + u5 + u4 + u3 + u2 + u1) (i) = T * sin (pi * (t (i) -I4) / (I5-I4)); (t, y, "LineWidth", 2), griglia, set ( gca, "FontName", "Arial Cyr", "FontSize", 16);

titolo ("Grafico di processo"); xlabel ("Tempo (s)"); ylabel ("Y (t)");

% somma parziale trama n

n = 0; j = 1: ExprNum = j; j1 = quad (@f, 0, I1); 2 = a0 + quad (@f, I1, I2); 3 = a0 + quad (@f, I2, Q ); 4 = a0 + quad (@f, Q, R); 5 = a0 + quad (@f, R, S); 6 = a0 + quad (@f, S, I3); 7 = a0 + quad ( @f, I3, I4); 8 = a0 + quad (@f, I4, I5); 9 = a0 + quad (@f, I5, 2 ​​* L); = a0 / L; = zeri (1, Ns) ; = zeri (1, Ns); i = 1: Ns = i; j = 1: ExprNum = j; j1 (i) = quad (@f, 0, I1); (i) = quad (@g , 0 , I1); 2 (i) = an (i) + quad (@f, I1, I2); (i) = bn (i) + quad (@g, I1, I2); 3 (i) = an ( i) + quad (@f, I2, Q); (i) = bn (i) + quad (@g, I2, Q); 4 (i) = an (i) + quad (@f, Q , R ); (i) = bn (i) + quad (@g, Q, R); 5 (i) = an (i) + quad (@f, R, S); (i) = bn (i ) + quad (@g, R, S); 6 (i) = an (i) + quad (@f, S, I3); (i) = bn (i) + quad (@g, S, I3) ; 7 (i) = an (i) + quad (@f, I3, I4); (i) = bn (i) + quad (@g, I3, I4); 8 (i) = an (i) + quad ( @f, I4, I5); (i) = bn (i) + quad (@g, I4, I5); 9 (i) = an (i) + quad (@f, I5, 2 ​​* L); (i) = bn (i) + quad (@g, I5, 2 ​​* L); (i) = an (i) / L; (i) = bn (i) / L; = t ; = zeri (1, lunghezza (x)); = fn + a0 / 2; i = 1: Ns = i; = fn + an (i) * cos (n * pi * x / L) + bn (i) * sin (n * pi * x / L); (t, y, x, fn, "LineWidth", 2), grid, set (gca, "FontName", "Arial Cyr", "FontSize", 16);

titolo ("Grafico segnale e somma parziale"); xlabel ("Tempo (s)"); ylabel (sprintf ("Sn (t)"));

% Tracciare un diagramma di ampiezza = zeri (1, Ns);

wn = pi / L; = wn: wn: wn * Ns; i = 1: Ns (i) = sqrt (an (i). ^ 2 + bn (i). ^ 2); (Gn, A, ". "), grid, set (gca," FontName "," Arial Cyr "," FontSize ", 16); ("Diagramma di ampiezza del segnale "); etichetta x ("n"); etichetta ("An");

% Costruzione del diagramma di fase del segnale = zeri (1, Ns);

per i = 1: Ns (an (i)> 0) (i) = atan (bn (i) / an (i)); ((an (i)<0)&&(bn(i))>0) (i) = atan (bn (i) / an (i)) + pi; ((an (i)<0)&&(bn(i))<0)(i)=pi-atan(bn(i)/an(i));((an(i)==0)&&(bn(i))>0) (i) = pi / 2; ((an (i) == 0) && (bn (i))<0)(i)=-pi/2;(Gn,Fi,"."), grid, set(gca,"FontName","Arial Cyr","FontSize",16);("Фазовая диаграмма сигнала"); xlabel("n"); ylabel("Fi");Figure 1;Figure 2;Figure 3;Figure 4;=0;=input("Закончить работу-<3>, procedere - ");

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Tra i vari sistemi di funzioni ortogonali che possono essere utilizzati come basi per la presentazione di segnali di ingegneria radiofonica, un posto eccezionale è occupato dalle funzioni armoniche (sinusoidale e coseno). L'importanza dei segnali armonici per l'ingegneria radio è dovuta a una serie di ragioni.

In particolare:

1. I segnali armonici sono invarianti rispetto alle trasformazioni effettuate da circuiti elettrici lineari stazionari. Se un tale circuito è eccitato da una sorgente di oscillazioni armoniche, il segnale all'uscita del circuito rimane armonico con la stessa frequenza, differendo dal segnale di ingresso solo per ampiezza e fase iniziale.

2. La tecnica per generare segnali armonici è relativamente semplice.

Se un segnale viene presentato come somma di oscillazioni armoniche con frequenze diverse, allora si dice che la scomposizione spettrale di questo segnale è stata effettuata. Le singole componenti armoniche del segnale ne formano lo spettro.

2.1. Segnali periodici e serie di Fourier

Il modello matematico di un processo che si ripete nel tempo è un segnale periodico con la seguente proprietà:

Qui T è il periodo del segnale.

Il compito è trovare la decomposizione spettrale di tale segnale.

Serie di Fourier.

Poniamoci sull'intervallo di tempo considerato nel cap. I base ortonormale formata da funzioni armoniche con frequenze multiple;

Qualsiasi funzione da questa base soddisfa la condizione di periodicità (2.1). Pertanto, - dopo aver eseguito la scomposizione ortogonale del segnale in questa base, ovvero calcolando i coefficienti

otteniamo la decomposizione spettrale

che è valido sull'intero infinito dell'asse del tempo.

Una serie della forma (2.4) è detta serie di Fourier del segnale dato. Introduciamo la frequenza fondamentale della sequenza che forma il segnale periodico. Calcolando i coefficienti di espansione con la formula (2.3), scriviamo la serie di Fourier per un segnale periodico

con coefficienti

(2.6)

Quindi, nel caso generale, un segnale periodico contiene una componente costante indipendente dal tempo e un insieme infinito di oscillazioni armoniche, le cosiddette armoniche con frequenze multiple della frequenza fondamentale della sequenza.

Ogni armonica può essere descritta dalla sua ampiezza e fase iniziale Per questo, i coefficienti della serie di Fourier dovrebbero essere scritti nella forma

Sostituendo queste espressioni nella (2.5), ne otteniamo un'altra, - una forma equivalente della serie di Fourier:

che a volte è più conveniente.

Diagramma spettrale di un segnale periodico.

Quindi è consuetudine chiamare una rappresentazione grafica dei coefficienti della serie di Fourier per un particolare segnale. Distinguere tra diagrammi spettrali di ampiezza e di fase (Fig. 2.1).

Qui, sull'asse orizzontale, su una certa scala, vengono tracciate le frequenze delle armoniche e sull'asse verticale vengono tracciate le loro ampiezze e fasi iniziali.

Riso. 2.1. Diagrammi spettrali di alcuni segnali periodici: a - ampiezza; b - fase

Sono particolarmente interessati al diagramma di ampiezza, che consente di giudicare la percentuale di determinate armoniche nello spettro di un segnale periodico.

Diamo un'occhiata ad alcuni esempi specifici.

Esempio 2.1. Serie di Fourier di una sequenza periodica di impulsi video rettangolari con parametri noti, anche relativi al punto t = 0.

In ingegneria radio, il rapporto è chiamato il ciclo di lavoro della sequenza. Usando le formule (2.6), troviamo

È conveniente scrivere la formula finale della serie di Fourier nella forma

Nella fig. 2.2 mostra i diagrammi di ampiezza della sequenza considerata in due casi estremi.

È importante notare che una sequenza di impulsi brevi, che si susseguono piuttosto raramente, ha una ricca composizione spettrale.

Riso. 2.2. Spettro di ampiezza di una sequenza periodica di impulsi video rettangolari: a - ad alto duty cycle; b - a basso ciclo di lavoro

Esempio 2.2. Serie di Fourier di una sequenza periodica di impulsi formata da un segnale armonico della forma limitata al livello (assunto quello).

Introduciamo un parametro speciale: l'angolo di taglio, determinato dalla relazione da cui

In base a ciò, il valore è uguale alla durata di un impulso, espressa in misura angolare:

La registrazione analitica dell'impulso che genera la sequenza in esame ha la forma

Componente costante della sequenza

Coefficiente di ampiezza della prima armonica

Allo stesso modo, vengono calcolate le ampiezze - le componenti armoniche a

I risultati ottenuti sono solitamente scritti come segue:

dove il cosiddetto Berg funziona:

I grafici di alcune funzioni di Berg sono mostrati in Fig. 2.3.

Riso. 2.3. Trame delle prime funzioni di Berg

Forma complessa della serie di Fourier.

La scomposizione spettrale di un segnale periodico può anche essere eseguita in qualche modo ionica utilizzando un sistema di funzioni di base costituito da esponenziali con esponenti immaginari:

È facile vedere che le funzioni di questo sistema sono periodiche con un periodo ortonormalizzato su un intervallo di tempo poiché

La serie di Fourier di un segnale periodico arbitrario in questo caso assume la forma

con coefficienti

Di solito si usa la seguente forma di notazione:

L'espressione (2.11) è una serie di Fourier in forma complessa.

Lo spettro del segnale secondo la formula (2.11) contiene componenti sul semiasse di frequenza negativo, e. Nella serie (2.11), i termini con frequenze positive e negative sono combinati in coppie, per esempio.

In molti casi, il compito di ottenere (calcolare) lo spettro del segnale è il seguente. Esiste un ADC, che, con una frequenza di campionamento Fd, converte un segnale continuo che arriva al suo ingresso durante il tempo T in campioni digitali - N pezzi. Successivamente, l'array di campioni viene inserito in un programma che emette N / 2 di alcuni valori numerici (un programmatore che estratto da Internet ha scritto un programma, afferma di eseguire la trasformata di Fourier).

Per verificare se il programma funziona correttamente, formiamo un array di campioni come somma di due sinusoidi sin (10 * 2 * pi * x) + 0.5 * sin (5 * 2 * pi * x) e inseriamolo nel programma . Il programma ha richiamato quanto segue:

Fig. 1 Il grafico della funzione tempo del segnale

Fig. 2 Grafico dello spettro del segnale

Sul grafico dello spettro sono presenti due stick (armoniche) da 5 Hz con un'ampiezza di 0,5 V e 10 Hz con un'ampiezza di 1 V, tutto è come nella formula del segnale originale. Va tutto bene, programmatore ben fatto! Il programma funziona correttamente.

Ciò significa che se applichiamo un segnale reale da una miscela di due sinusoidi all'ingresso dell'ADC, otterremo uno spettro simile composto da due armoniche.

Totale, nostro vero segnale misurato, della durata di 5 sec, ADC digitalizzato, cioè presentato discreto conta, ha discreto non periodico spettro.

Da un punto di vista matematico, quanti errori ci sono in questa frase?

Ora i capi hanno deciso che abbiamo deciso che 5 secondi sono troppo lunghi, misuriamo il segnale in 0,5 secondi.



Fig. 3 Grafico della funzione sin (10 * 2 * pi * x) + 0,5 * sin (5 * 2 * pi * x) con un periodo di misurazione di 0,5 sec

Fig. 4 Spettro delle funzioni

Qualcosa sembra essere sbagliato! L'armonica a 10 Hz viene disegnata normalmente e al posto della levetta da 5 Hz sono apparse alcune armoniche incomprensibili. Cerchiamo su Internet, cosa e come ...

In, dicono che gli zeri devono essere aggiunti alla fine del campione e lo spettro sarà disegnato normale.

Fig. 5 Abbiamo terminato gli zeri fino a 5 sec

Fig. 6 Ricevuto lo spettro

Ancora non quello che era a 5 secondi. Avremo a che fare con la teoria. Vai a Wikipedia- fonte di conoscenza.

2. Funzione continua e sua rappresentazione mediante la serie di Fourier

Matematicamente, il nostro segnale con una durata di T secondi è una funzione f (x) definita sull'intervallo (0, T) (X in questo caso è il tempo). Tale funzione può sempre essere rappresentata come somma di funzioni armoniche (sinusoidali o coseno) della forma:

(1), dove:

K - numero della funzione trigonometrica (numero della componente armonica, numero dell'armonica)
T - il segmento in cui è definita la funzione (durata del segnale)
Ak è l'ampiezza della k-esima componente armonica,
k è la fase iniziale della k-esima componente armonica

Cosa significa "rappresentare una funzione come somma di una serie"? Ciò significa che sommando in ogni punto i valori delle componenti armoniche della serie di Fourier, otteniamo a questo punto il valore della nostra funzione.

(Più strettamente, la deviazione quadratica media della serie dalla funzione f (x) tenderà a zero, ma nonostante la convergenza quadratica media, la serie di Fourier della funzione, in generale, non è obbligata a convergere ad esso in modo puntuale. Vedi https://ru.wikipedia.org/wiki / Fourier_Row.)

Questa serie può anche essere scritta come:

(2),
dove, k-esimo complesso di ampiezza.

La relazione tra i coefficienti (1) e (3) è espressa dalle seguenti formule:

Nota che tutte e tre queste rappresentazioni della serie di Fourier sono completamente equivalenti. A volte, quando si lavora con le serie di Fourier, è più conveniente usare esponenti di un argomento immaginario invece di seno e coseno, cioè usare la trasformata di Fourier in forma complessa. Ma è conveniente per noi usare la formula (1), dove la serie di Fourier è presentata come una somma di onde coseno con le corrispondenti ampiezze e fasi. In ogni caso, è sbagliato dire che il risultato della trasformata di Fourier di un segnale reale saranno le ampiezze complesse delle armoniche. Come dice correttamente il Wiki, "La trasformata di Fourier (ℱ) è un'operazione che assegna una funzione a una variabile reale a un'altra funzione, anch'essa una variabile reale".

Totale:
La base matematica dell'analisi spettrale dei segnali è la trasformata di Fourier.

La trasformata di Fourier permette di rappresentare una funzione continua f (x) (segnale), definita sul segmento (0, T) come somma di un numero infinito (serie infinita) di funzioni trigonometriche (sinusoidi e \ o coseno) con determinate ampiezze e fasi, considerate anche sul segmento (0, T). Tale serie è chiamata serie di Fourier.

Notiamo alcuni punti in più, la cui comprensione è necessaria per la corretta applicazione della trasformata di Fourier all'analisi del segnale. Se consideriamo la serie di Fourier (la somma delle sinusoidi) sull'intero asse X, possiamo vedere che al di fuori del segmento (0, T), la funzione rappresentata dalla serie di Fourier ripeterà periodicamente la nostra funzione.

Ad esempio, nel grafico di Fig. 7, la funzione originale è definita sull'intervallo (-T \ 2, + T \ 2) e la serie di Fourier rappresenta una funzione periodica definita sull'intero asse x.

Questo perché le sinusoidi stesse sono funzioni periodiche e, di conseguenza, la loro somma sarà una funzione periodica.

Fig. 7 Rappresentazione di una funzione originale non periodica mediante la serie di Fourier

Così:

La nostra funzione originale è continua, non periodica, definita su un segmento di lunghezza T.
Lo spettro di questa funzione è discreto, cioè si presenta sotto forma di una serie infinita di componenti armoniche - la serie di Fourier.
Infatti la serie di Fourier definisce una certa funzione periodica che coincide con la nostra sul segmento (0, T), ma per noi questa periodicità non è essenziale.

I periodi delle componenti armoniche sono multipli del valore del segmento (0, T), su cui è definita la funzione originaria f (x). In altre parole, i periodi delle armoniche sono multipli della durata della misura del segnale. Ad esempio, il periodo della prima armonica della serie di Fourier è uguale all'intervallo T, su cui è definita la funzione f (x). Il periodo della seconda armonica della serie di Fourier è uguale all'intervallo T/2. E così via (vedi fig. 8).

Fig. 8 Periodi (frequenze) delle componenti armoniche della serie di Fourier (qui T = 2π)

Di conseguenza, le frequenze delle componenti armoniche sono multipli di 1/T. Cioè le frequenze delle componenti armoniche Fk sono uguali a Fk = k \ T, dove k va da 0 a ∞, ad esempio k = 0 F0 = 0; k = 1 F1 = 1 \ T; k = 2 F2 = 2 \ T; k = 3 F3 = 3 \ T;… Fk = k \ T (a frequenza zero - componente costante).

Sia la nostra funzione originale un segnale registrato per T = 1 sec. Allora il periodo della prima armonica sarà uguale alla durata del nostro segnale T1 = T = 1 sec e la frequenza dell'armonica è 1 Hz. Il periodo della seconda armonica sarà uguale alla durata del segnale divisa per 2 (T2 = T / 2 = 0,5 sec) e la frequenza è 2 Hz. Per la terza armonica, T3 = T / 3 sec e la frequenza è 3 Hz. Eccetera.

Il passo tra le armoniche in questo caso è di 1 Hz.

Pertanto, un segnale della durata di 1 sec può essere scomposto in componenti armoniche (per ottenere uno spettro) con una risoluzione in frequenza di 1 Hz.
Per aumentare la risoluzione di 2 volte a 0,5 Hz, è necessario aumentare la durata della misurazione di 2 volte - fino a 2 sec. Un segnale della durata di 10 secondi può essere scomposto in componenti armoniche (per ottenere uno spettro) con una risoluzione in frequenza di 0,1 Hz. Non ci sono altri modi per aumentare la risoluzione in frequenza.

Esiste un modo per aumentare artificialmente la durata del segnale aggiungendo zeri all'array di campioni. Ma non aumenta la reale risoluzione in frequenza.

3. Segnali discreti e trasformata discreta di Fourier

Con lo sviluppo della tecnologia digitale sono cambiate anche le modalità di memorizzazione dei dati di misura (segnali). Se prima il segnale poteva essere registrato su un registratore a nastro e memorizzato su nastro in forma analogica, ora i segnali vengono digitalizzati e archiviati in file nella memoria del computer come un insieme di numeri (conteggi).

Uno schema tipico per misurare e digitalizzare un segnale è il seguente.

Fig. 9 Diagramma del canale di misura

Il segnale dal trasduttore di misura arriva all'ADC per un periodo di tempo T. I campioni del segnale (campione) ottenuti durante il tempo T vengono trasferiti al computer e conservati in memoria.

Fig. 10 Segnale digitalizzato - N campioni ottenuti durante il tempo T

Quali sono i requisiti per i parametri di digitalizzazione del segnale? Un dispositivo che converte un segnale analogico in ingresso in un codice discreto (segnale digitale) è chiamato convertitore analogico-digitale (ADC) (Wiki).

Uno dei parametri principali dell'ADC è la frequenza di campionamento massima (o frequenza di campionamento, frequenza di campionamento inglese) - la frequenza di campionamento di un segnale continuo nel tempo durante il suo campionamento. Misurato in hertz. ((Wiki))

Secondo il teorema di Kotelnikov, se un segnale continuo ha uno spettro limitato dalla frequenza Fmax, allora può essere ricostruito completamente e senza ambiguità dai suoi campioni discreti prelevati ad intervalli di tempo , cioè. con una frequenza di Fd ≥ 2 * Fmax, dove Fd è la frequenza di campionamento; Fmax è la frequenza massima dello spettro del segnale. In altre parole, la frequenza di campionamento del segnale (frequenza di campionamento ADC) deve essere almeno 2 volte superiore alla frequenza massima del segnale che si vuole misurare.

E cosa accadrà se prendiamo campioni con una frequenza inferiore a quella richiesta dal teorema di Kotelnikov?

In questo caso si verifica l'effetto di "aliasing" (aka effetto stroboscopico, effetto moiré), in cui un segnale ad alta frequenza, dopo la digitalizzazione, si trasforma in un segnale a bassa frequenza, che di fatto non esiste. Nella fig. 11 onde sinusoidali rosse ad alta frequenza sono un segnale reale. La sinusoide blu di una frequenza inferiore è un segnale fittizio che nasce dal fatto che durante il tempo di campionamento riesce a superare più della metà del periodo del segnale ad alta frequenza.

Riso. 11. La comparsa di un falso segnale di bassa frequenza con una frequenza di campionamento insufficientemente elevata

Per evitare l'effetto dell'aliasing, davanti all'ADC è installato uno speciale filtro anti-aliasing, un filtro passa-basso (filtro passa-basso), che fa passare le frequenze inferiori alla metà della frequenza di campionamento dell'ADC e taglia le frequenze più alte.

Per calcolare lo spettro del segnale dai suoi campioni discreti, viene utilizzata la trasformata discreta di Fourier (DFT). Si noti ancora che lo spettro di un segnale discreto è "per definizione" limitato dalla frequenza Fmax, inferiore alla metà della frequenza di campionamento Fd. Pertanto, lo spettro di un segnale discreto può essere rappresentato dalla somma di un numero finito di armoniche, contrariamente alla somma infinita per la serie di Fourier di un segnale continuo, il cui spettro può essere illimitato. Secondo il teorema di Kotelnikov, la frequenza massima di un'armonica deve essere tale da avere almeno due conteggi, quindi il numero di armoniche è uguale alla metà del numero di conteggi di un segnale discreto. Cioè, se ci sono N campioni nel campione, il numero di armoniche nello spettro sarà uguale a N / 2.

Consideriamo ora la trasformata discreta di Fourier (DFT).

Confronto con la serie di Fourier

Vediamo che coincidono, tranne che il tempo nella DFT è discreto e il numero di armoniche è limitato a N / 2, che è la metà del numero di conteggi.

Le formule DFT sono scritte in variabili intere adimensionali k, s, dove k sono i numeri dei campioni di segnale, s sono i numeri delle componenti spettrali.
Il valore di s mostra il numero di oscillazioni armoniche totali nel periodo T (la durata della misura del segnale). La trasformata discreta di Fourier viene utilizzata per trovare numericamente le ampiezze e le fasi delle armoniche, ad es. "sul computer"

Tornando ai risultati all'inizio. Come accennato in precedenza, quando si espande una funzione non periodica (il nostro segnale) in una serie di Fourier, la serie di Fourier risultante corrisponde in realtà a una funzione periodica con un periodo T. (Fig. 12).

Fig. 12 Funzione periodica f (x) con periodo T0, con periodo di misura T> T0

Come si vede in Fig. 12, la funzione f (x) è periodica con periodo T0. Tuttavia, poiché la durata del campione di misura T non coincide con il periodo della funzione T0, la funzione ottenuta come serie di Fourier presenta una discontinuità nel punto T. Di conseguenza, lo spettro di questa funzione sarà contengono un gran numero di armoniche ad alta frequenza. Se la durata del campione di misura T coincidesse con il periodo della funzione T0, allora nello spettro ottenuto dopo la trasformata di Fourier sarebbe presente solo la prima armonica (una sinusoide con periodo pari alla durata del campione), poiché la funzione f (x) è una sinusoide.

In altre parole, il programma DFT “non sa” che il nostro segnale è un “pezzo di sinusoide”, ma cerca di rappresentare una funzione periodica come una serie, che presenta una discontinuità dovuta all'inconsistenza dei singoli pezzi di una sinusoide.

Di conseguenza, nello spettro compaiono delle armoniche, che dovrebbero riassumere la forma della funzione, inclusa questa discontinuità.

Pertanto, per ottenere uno spettro "corretto" di un segnale, che è la somma di più sinusoidi con periodi diversi, è necessario che nel periodo di misura del segnale rientri un numero intero di periodi di ciascuna sinusoide. In pratica, questa condizione può essere soddisfatta per una durata di misura del segnale sufficientemente lunga.

Fig. 13 Un esempio di funzione e spettro del segnale dell'errore cinematico del cambio

Con una durata più breve, l'immagine apparirà "peggiore":

Fig. 14 Esempio della funzione e dello spettro del segnale di vibrazione del rotore

In pratica, può essere difficile capire dove siano le "componenti reali" e dove siano gli "artefatti" causati dal fatto che i periodi delle componenti e la durata del campionamento del segnale non sono multipli, oppure i "salti e interruzioni" della forma d'onda. Naturalmente, le parole "componenti reali" e "artefatti" non sono invano prese tra virgolette. La presenza di molte armoniche sul grafico dello spettro non significa che il nostro segnale in realtà "consiste" di esse. È come pensare che il numero 7 "consiste" dei numeri 3 e 4. Il numero 7 può essere rappresentato come la somma dei numeri 3 e 4 - questo è corretto.

Quindi il nostro segnale... o meglio nemmeno il "nostro segnale", ma una funzione periodica composta dalla ripetizione del nostro segnale (campione) può essere rappresentata come una somma di armoniche (sinusoidi) con determinate ampiezze e fasi. Ma in molti casi importanti per la pratica (vedi figure sopra), è davvero possibile associare le armoniche ottenute nello spettro a processi reali che hanno natura ciclica e danno un contributo significativo alla forma del segnale.

Alcuni risultati

1. Il segnale misurato reale, durata T sec, digitalizzato dall'ADC, ovvero rappresentato da un insieme di campioni discreti (N pezzi), ha uno spettro discreto non periodico, rappresentato da un insieme di armoniche (N / 2 pezzi ).

2. Il segnale è rappresentato da un insieme di valori reali e il suo spettro è rappresentato da un insieme di valori reali. Le frequenze armoniche sono positive. Il fatto che sia più conveniente per i matematici rappresentare lo spettro in una forma complessa usando frequenze negative non significa che "questo è corretto" e "questo dovrebbe essere sempre fatto".

3. Il segnale misurato nell'intervallo di tempo T è determinato solo nell'intervallo di tempo T. Cosa è successo prima che iniziassimo a misurare il segnale, e cosa accadrà dopo, è sconosciuto alla scienza. E nel nostro caso, non è interessante. La DFT di un segnale a tempo limitato dà il suo spettro “vero”, nel senso che, in determinate condizioni, permette di calcolare l'ampiezza e la frequenza delle sue componenti.

Materiali usati e altri materiali utili.