Qui continueremo l'argomento delle operazioni sulle matrici iniziato nella prima parte e analizzeremo un paio di esempi in cui sarà necessario applicare più operazioni contemporaneamente.

Esponenziazione di una matrice.

Sia k un numero intero non negativo. Per ogni matrice quadrata $ A_ (n \\ volte n) $ abbiamo: $$ A ^ k \u003d \\ underbrace (A \\ cdot A \\ cdot \\ ldots \\ cdot A) _ (k \\; volte) $$

Inoltre, assumiamo che $ A ^ 0 \u003d E $, dove $ E $ è la matrice identità dell'ordine corrispondente.

Esempio n. 4

Viene fornita la matrice $ A \u003d \\ left (\\ begin (array) (cc) 1 & 2 \\\\ -1 & -3 \\ end (array) \\ right) $. Trova le matrici $ A ^ 2 $ e $ A ^ 6 $.

Secondo la definizione, $ A ^ 2 \u003d A \\ cdot A $, ad es. per trovare $ A ^ 2 $ dobbiamo solo moltiplicare la matrice $ A $ per se stessa. L'operazione di moltiplicazione di matrici è stata considerata nella prima parte dell'argomento, quindi qui scriveremo semplicemente il processo di soluzione senza spiegazioni dettagliate:

$$ A ^ 2 \u003d A \\ cdot A \u003d \\ left (\\ begin (array) (cc) 1 & 2 \\\\ -1 & -3 \\ end (array) \\ right) \\ cdot \\ left (\\ begin (array) (cc) 1 & 2 \\\\ -1 & -3 \\ end (array) \\ right) \u003d \\ left (\\ begin (array) (cc) 1 \\ cdot 1 + 2 \\ cdot (-1) & 1 \\ cdot 2 +2 \\ cdot (-3) \\\\ -1 \\ cdot 1 + (- 3) \\ cdot (-1) & -1 \\ cdot 2 + (- 3) \\ cdot (-3) \\ end (array) \\ destra ) \u003d \\ left (\\ begin (array) (cc) -1 & -4 \\\\ 2 & 7 \\ end (array) \\ right). $$

Per trovare la matrice $ A ^ 6 $ abbiamo due opzioni. Opzione uno: è banale continuare a moltiplicare $ A ^ 2 $ per la matrice $ A $:

$$ A ^ 6 \u003d A ^ 2 \\ cdot A \\ cdot A \\ cdot A \\ cdot A. $$

Tuttavia, puoi procedere in modo leggermente più semplice, utilizzando la proprietà di associatività della moltiplicazione di matrici. Posizioniamo le parentesi nell'espressione per $ A ^ 6 $:

$$ A ^ 6 \u003d A ^ 2 \\ cdot A \\ cdot A \\ cdot A \\ cdot A \u003d A ^ 2 \\ cdot (A \\ cdot A) \\ cdot (A \\ cdot A) \u003d A ^ 2 \\ cdot A ^ 2 \\ cdot A ^ 2. $$

Se la risoluzione del primo metodo richiedesse quattro operazioni di moltiplicazione, allora per il secondo metodo solo due. Quindi, andiamo nel secondo modo:

$$ A ^ 6 \u003d A ^ 2 \\ cdot A ^ 2 \\ cdot A ^ 2 \u003d \\ sinistra (\\ begin (array) (cc) -1 & -4 \\\\ 2 & 7 \\ end (array) \\ right) \\ 2 & 7 \\ end (array) \\ right) \u003d \\\\ \u003d \\ left (\\ begin (array) (cc) -1 \\ cdot (-1) + (- 4) \\ cdot 2 & -1 \\ cdot (-4 ) + (- 4) \\ cdot 7 \\\\ 2 \\ cdot (-1) +7 \\ cdot 2 & 2 \\ cdot (-4) +7 \\ cdot 7 \\ end (array) \\ destra) \\ cdot \\ sinistra (\\ array) \\ right) \\ cdot \\ left (\\ begin (array) (cc) -1 & -4 \\\\ 2 & 7 \\ end (array) \\ right) \u003d \\\\ \u003d \\ left (\\ begin (array) (cc ) -7 \\ cdot (-1) + (- 24) \\ cdot 2 & -7 \\ cdot (-4) + (- 24) \\ cdot 7 \\\\ 12 \\ cdot (-1) +41 \\ cdot 2 & 12 \\ cdot (-4) +41 \\ cdot 7 \\ end (array) \\ right) \u003d \\ left (\\ begin (array) (cc) -41 & -140 \\\\ 70 & 239 \\ end (array) \\ right). $$

Risposta: $ A ^ 2 \u003d \\ left (\\ begin (array) (cc) -1 & -4 \\\\ 2 & 7 \\ end (array) \\ right) $, $ A ^ 6 \u003d \\ left (\\ begin (array) (cc) -41 & -140 \\\\ 70 & 239 \\ end (array) \\ right) $.

Esempio n. 5

Matrici date $ A \u003d \\ left (\\ begin (array) (cccc) 1 & 0 & -1 & 2 \\\\ 3 & -2 & 5 & 0 \\\\ -1 & 4 & -3 & 6 \\ end (array) \\ right) $, $ B \u003d \\ left (\\ begin (array) (ccc) -9 & 1 & 0 \\\\ 2 & -1 & 4 \\\\ 0 & -2 & 3 \\\\ 1 & 5 & 0 \\ end (array) \\ right) $, $ C \u003d \\ left (\\ begin (array) (ccc) -5 & -20 & 13 \\\\ 10 & 12 & 9 \\\\ 3 & -15 & 8 \\ end (array) \\ Trova la matrice $ D \u003d 2AB-3C ^ T + 7E $.

Iniziamo a calcolare la matrice $ D $ trovando il risultato del prodotto $ AB $. Le matrici $ A $ e $ B $ possono essere moltiplicate, poiché il numero di colonne nella matrice $ A $ è uguale al numero di righe nella matrice $ B $. Indichiamo $ F \u003d AB $. In questo caso, la matrice $ F $ avrà tre colonne e tre righe, ad es. sarà quadrato (se questa conclusione non sembra ovvia, vedere la descrizione della moltiplicazione di matrici nella prima parte di questo argomento). Troviamo la matrice $ F $ calcolando tutti i suoi elementi:

$$ F \u003d A \\ cdot B \u003d \\ left (\\ begin (array) (cccc) 1 & 0 & -1 & 2 \\\\ 3 & -2 & 5 & 0 \\\\ -1 & 4 & -3 & 6 \\ end (array) \\ right) \\\\ \\ begin (allineato) & f_ (11) \u003d 1 \\ cdot (-9) +0 \\ cdot 2 + (- 1) \\ cdot 0 + 2 \\ cdot 1 \u003d -7; \\\\ & f_ (12) \u003d 1 \\ cdot 1 + 0 \\ cdot (-1) + (- 1) \\ cdot (-2) +2 \\ cdot 5 \u003d 13; \\\\ & f_ (13) \u003d 1 \\ cdot 0 + 0 \\ cdot 4 + (- 1) \\ cdot 3 + 2 \\ cdot 0 \u003d -3; \\\\ \\\\ & f_ (21) \u003d 3 \\ cdot (-9 ) + (- 2) \\ cdot 2 + 5 \\ cdot 0 + 0 \\ cdot 1 \u003d -31; \\\\ & f_ (22) \u003d 3 \\ cdot 1 + (- 2) \\ cdot (-1) +5 \\ cdot (-2) +0 \\ cdot 5 \u003d -5; \\\\ & f_ (23) \u003d 3 \\ cdot 0 + (- 2) \\ cdot 4 + 5 \\ cdot 3 + 0 \\ cdot 0 \u003d 7; \\\\ \\\\ \\\\ & f_ (32) \u003d - 1 \\ cdot 1 + 4 \\ cdot (-1) + (- 3) \\ cdot (-2) +6 \\ cdot 5 \u003d 31; \\\\ & f_ (33) \u003d - 1 \\ cdot 0 + 4 \\ cdot 4 + (- 3) \\ cdot 3 + 6 \\ cdot 0 \u003d 7. \\ end (allineato) $$

Quindi $ F \u003d \\ left (\\ begin (array) (ccc) -7 & 13 & -3 \\\\ -31 & -5 & 7 \\\\ 23 & 31 & 7 \\ end (array) \\ right) $. Andiamo oltre. La matrice $ C ^ T $ è la trasposizione della matrice $ C $, ad es. $ C ^ T \u003d \\ left (\\ begin (array) (ccc) -5 & 10 & 3 \\\\ -20 & 12 & -15 \\\\ 13 & 9 & 8 \\ end (array) \\ right) $. Per quanto riguarda la matrice $ E $, questa è la matrice identità. In questo caso, l'ordine di questa matrice è tre, ad es. $ E \u003d \\ left (\\ begin (array) (ccc) 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \\ end (array) \\ right) $.

In linea di principio, possiamo continuare ad andare passo dopo passo, ma è meglio considerare l'espressione rimanente nella sua interezza, senza essere distratti da azioni ausiliarie. In effetti, ci rimangono solo le operazioni di moltiplicazione di matrici per un numero, nonché le operazioni di addizione e sottrazione.

$$ D \u003d 2AB-3C ^ T + 7E \u003d 2 \\ cdot \\ left (\\ begin (array) (ccc) -7 & 13 & -3 \\\\ -31 & -5 & 7 \\\\ 23 & 31 & 7 \\ destra) +7 \\ cdot \\ sinistra (\\ begin (array) (ccc) 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \\ end (array) \\ right) $$

Moltiplichiamo le matrici sul lato destro dell'uguaglianza per i numeri corrispondenti (cioè 2, 3 e 7):

$$ 2 \\ cdot \\ left (\\ begin (array) (ccc) -7 & 13 & -3 \\\\ -31 & -5 & 7 \\\\ 23 & 31 & 7 \\ end (array) \\ right) -3 \\ inizio (array) (ccc) 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \\ end (array) \\ right) \u003d \\\\ \u003d \\ left (\\ begin (array) (ccc) - 14 & 26 & -6 \\\\ -62 & -10 & 14 \\\\ 46 & 62 & 14 \\ end (array) \\ right) - \\ left (\\ begin (array) (ccc) -15 & 13 & 9 \\\\ 0 & 7 \\ end (array) \\ right) $$

Eseguiamo gli ultimi passaggi: sottrazione e addizione:

$$ \\ left (\\ begin (array) (ccc) -14 & 26 & -6 \\\\ -62 & -10 & 14 \\\\ 46 & 62 & 14 \\ end (array) \\ right) - \\ left (\\ begin (array) (ccc) -15 & 30 & 9 \\\\ -60 & 36 & -45 \\\\ 39 & 27 & 24 \\ end (array) \\ right) + \\ left (\\ begin (array) (ccc) 7 & 0 & 0 \\\\ 0 & 7 & 0 \\\\ 0 & 0 & 7 \\ end (array) \\ right) \u003d \\\\ \u003d \\ left (\\ begin (array) (ccc) -14 - (- 15) +7 & 26-30 + 0 e -6-9 + 0 \\\\ -62 - (- 60) +0 e -10-36 + 7 e 14 - (- 45) +0 \\\\ 46-39 + 0 e 62-27 +0 & 14-24 + 7 \\ end (array) \\ right) \u003d \\ left (\\ begin (array) (ccc) 8 & -4 & -15 \\\\ -2 & -39 & 59 \\\\ 7 & 35 & -3 \\ end (array) \\ right). $$

Problema risolto, $ D \u003d \\ left (\\ begin (array) (ccc) 8 & -4 & -15 \\\\ -2 & -39 & 59 \\\\ 7 & 35 & -3 \\ end (array) \\ right) $ ...

Risposta: $ D \u003d \\ left (\\ begin (array) (ccc) 8 & -4 & -15 \\\\ -2 & -39 & 59 \\\\ 7 & 35 & -3 \\ end (array) \\ right) $.

Esempio n. 6

Siano $ f (x) \u003d 2x ^ 2 + 3x-9 $ e matrice $ A \u003d \\ left (\\ begin (array) (cc) -3 & 1 \\\\ 5 & 0 \\ end (array) \\ right) $. Trova il valore di $ f (A) $.

Se $ f (x) \u003d 2x ^ 2 + 3x-9 $, allora per $ f (A) $ si intende la matrice:

$$ f (A) \u003d 2A ^ 2 + 3A-9E. $$

Ecco come viene definito un polinomio di una matrice. Quindi, dobbiamo sostituire la matrice $ A $ nell'espressione per $ f (A) $ e ottenere il risultato. Poiché tutte le azioni sono state discusse in dettaglio in precedenza, qui darò solo una soluzione. Se il processo di esecuzione dell'operazione $ A ^ 2 \u003d A \\ cdot A $ non ti è chiaro, ti consiglio di guardare la descrizione della moltiplicazione di matrici nella prima parte di questo argomento.

$$ f (A) \u003d 2A ^ 2 + 3A-9E \u003d 2A \\ cdot A + 3A-9E \u003d 2 \\ left (\\ begin (array) (cc) -3 & 1 \\\\ 5 & 0 \\ end (array) \\ right) \\ cdot \\ left (\\ begin (array) (cc) -3 & 1 \\\\ 5 & 0 \\ end (array) \\ right) +3 \\ left (\\ begin (array) (cc) -3 & 1 \\\\ 5 & 0 \\ end (array) \\ right) -9 \\ left (\\ begin (array) (cc) 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \\ end (array) \\ right) \u003d \\\\ \u003d 2 \\ left ( \\ begin (array) (cc) (-3) \\ cdot (-3) +1 \\ cdot 5 & (-3) \\ cdot 1 + 1 \\ cdot 0 \\\\ 5 \\ cdot (-3) +0 \\ cdot 5 & 5 \\ cdot 1 + 0 \\ cdot 0 \\ end (array) \\ right) +3 \\ left (\\ begin (array) (cc) -3 & 1 \\\\ 5 & 0 \\ end (array) \\ right) -9 \\ left (\\ begin (array) (cc) 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \\ end (array) \\ right) \u003d \\\\ \u003d 2 \\ left (\\ begin (array) (cc) 14 & -3 \\\\ - 15 & 5 \\ end (array) \\ right) +3 \\ left (\\ begin (array) (cc) -3 & 1 \\\\ 5 & 0 \\ end (array) \\ right) -9 \\ left (\\ begin (array ) (cc) 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \\ end (array) \\ right) \u003d \\ left (\\ begin (array) (cc) 28 & -6 \\\\ -30 & 10 \\ end (array) \\ right) + \\ left (\\ begin (array) (cc) -9 & 3 \\\\ 15 & 0 \\ end (array) \\ right) - \\ left (\\ begin (array) (cc) 9 & 0 \\\\ 0 & 9 \\ $$

Risposta: $ f (A) \u003d \\ left (\\ begin (array) (cc) 10 & -3 \\\\ -15 & 1 \\ end (array) \\ right) $.

Alcune proprietà delle operazioni sulle matrici.
Espressioni di matrici

E ora seguirà la continuazione dell'argomento, in cui considereremo non solo il nuovo materiale, ma anche il lavoro operazioni con matrici.

Alcune proprietà delle operazioni sulle matrici

Ci sono molte proprietà che riguardano azioni con matrici, nella stessa Wikipedia si possono ammirare gli esili ranghi delle regole corrispondenti. Tuttavia, in pratica, molte proprietà sono, in un certo senso, "morte", poiché solo alcune di esse vengono utilizzate per risolvere problemi reali. Il mio obiettivo è esaminare l'applicazione delle proprietà con esempi specifici e, se hai bisogno di una teoria rigorosa, utilizza un'altra fonte di informazioni.

Considera alcuni eccezioni alla regolache sarà richiesto per svolgere compiti pratici.

Se una matrice quadrata ha matrice inversa , quindi la loro moltiplicazione è commutativa:

Matrice delle unità è chiamata matrice quadrata in cui su diagonale principale si trovano le unità e gli elementi rimanenti sono uguali a zero. Ad esempio :, ecc.

In cui la seguente proprietà è vera: se si moltiplica una matrice arbitraria sinistra o destra sulla matrice identitaria di dimensioni adeguate, il risultato è la matrice originale:

Come puoi vedere, anche qui avviene la commutatività della moltiplicazione di matrici.

Prendiamo una sorta di matrice, diciamo, la matrice del problema precedente: .

Gli interessati possono controllare e assicurarsi che:

La matrice di identità per le matrici è un analogo dell'unità numerica per i numeri, che è particolarmente evidente dagli esempi appena considerati.

Commutatività di un fattore numerico rispetto alla moltiplicazione di matrici

Per matrici e numeri reali, la seguente proprietà è vera:

Cioè, il fattore numerico può (e deve) essere spostato in avanti in modo che non "interferisca" con la moltiplicazione delle matrici.

Nota : In generale, la formulazione della proprietà è incompleta - il "lambda" può essere posizionato ovunque tra le matrici, anche alla fine. La regola resta valida se si moltiplicano tre o più matrici.

Esempio 4

Calcola il prodotto

Decisione:

(1) Secondo la proprietà sposta il fattore numerico in avanti. Le matrici stesse non possono essere riorganizzate!

(2) - (3) Eseguire la moltiplicazione di matrici.

(4) Qui puoi dividere ogni numero per 10, ma poi le frazioni decimali appariranno tra gli elementi della matrice, il che non va bene. Tuttavia, notiamo che tutti i numeri nella matrice sono divisibili per 5, quindi moltiplichiamo ogni elemento per.

Risposta:

Una piccola farsa per l'auto-soluzione:

Esempio 5

Calcola se

Soluzione e risposta alla fine della lezione.

Quale tecnica è importante per risolvere tali esempi? Trattare con il numero all'ultimo posto .

Agganciamo un'altra carrozza alla locomotiva:

Come si moltiplicano tre matrici?

Prima di tutto, QUALE dovrebbe essere il risultato della moltiplicazione di tre matrici? Un gatto non darà alla luce un topo. Se la moltiplicazione di matrici è fattibile, anche il risultato sarà una matrice. Hmmm, beh, il mio insegnante di algebra non vede come spiego la chiusura di una struttura algebrica rispetto ai suoi elementi \u003d)

Il prodotto di tre matrici può essere calcolato in due modi:

1) trova, quindi moltiplica per la matrice "tse" :;

2) prima trova, poi moltiplica.

I risultati coincideranno sicuramente, e in teoria questa proprietà è chiamata associatività della moltiplicazione di matrici:

Esempio 6

Moltiplica le matrici in due modi

Algoritmo soluzioni in due fasi: trova il prodotto di due matrici, quindi trova di nuovo il prodotto di due matrici.

1) Usiamo la formula

Prima azione:

Seconda azione:

2) Usiamo la formula

Prima azione:

Seconda azione:

Risposta:

La più familiare e standard, ovviamente, è la prima soluzione, c'è “tutto in ordine”. A proposito, riguardo all'ordine. Nel problema in esame, sorge spesso l'illusione che si tratti di una sorta di permutazioni di matrici. Loro non sono qui. Te lo ricordo ancora in generale NON REMOTARE MATRICI... Quindi, nel secondo paragrafo, nel secondo passaggio, eseguiamo la moltiplicazione, ma in nessun caso. Con i numeri ordinari, un tale numero sarebbe passato, ma con le matrici - no.

La proprietà dell'associatività della moltiplicazione è valida non solo per il quadrato, ma anche per le matrici arbitrarie, se solo vengono moltiplicate:

Esempio 7

Trova il prodotto di tre matrici

Questo è un esempio per una soluzione fai-da-te. Nella soluzione di esempio, i calcoli vengono eseguiti in due modi, analizzando quale sia il modo più redditizio e più breve.

La proprietà dell'associatività della moltiplicazione di matrici si verifica per un numero maggiore di fattori.

Ora è il momento di tornare ai poteri delle matrici. Il quadrato della matrice è considerato all'inizio e all'ordine del giorno c'è la domanda:

Come cubare una matrice e poteri superiori?

Queste operazioni sono definite anche solo per matrici quadrate. Per costruire una matrice quadrata in un cubo, è necessario calcolare il prodotto:

In effetti, questo è un caso speciale di moltiplicazione di tre matrici, per la proprietà di associatività della moltiplicazione di matrici :. E la matrice moltiplicata per se stessa è il quadrato della matrice:

Quindi, otteniamo una formula funzionante:

Cioè, l'attività viene eseguita in due passaggi: in primo luogo, la matrice deve essere al quadrato e quindi la matrice risultante deve essere moltiplicata per la matrice.

Esempio 8

Cubo la matrice.

Questo è un piccolo compito per una soluzione indipendente.

L'innalzamento della matrice alla quarta potenza viene effettuato in modo naturale:

Usando l'associatività della moltiplicazione di matrici, deriviamo due formule di lavoro. Primo: è il prodotto di tre matrici.

1). In altre parole, prima troviamo, poi lo moltiplichiamo per "bh" - otteniamo un cubo e, infine, eseguiamo di nuovo la moltiplicazione - ci sarà il quarto grado.

2) Ma c'è una soluzione un passo più breve :. Cioè, al primo passaggio, troviamo il quadrato e, scavalcando il cubo, eseguiamo la moltiplicazione

Attività aggiuntiva per l'esempio 8:

Alza la matrice alla quarta potenza.

Come appena notato, ci sono due modi per farlo:

1) Finché il cubo è noto, eseguiamo la moltiplicazione.

2) Tuttavia, se, secondo l'affermazione del problema, è necessario costruire la matrice solo al quarto grado, quindi è vantaggioso abbreviare il percorso: trova il quadrato della matrice e usa la formula.

Entrambe le soluzioni e la risposta sono alla fine della lezione.

Allo stesso modo, la matrice viene elevata alla quinta e alle potenze superiori. Per esperienza pratica posso dire che a volte mi imbatto in esempi di innalzamento al 4 ° grado, ma non riesco a ricordare il quinto grado. Ma per ogni evenienza, fornirò l'algoritmo ottimale:

1) trova;
2) trova;
3) eleviamo la matrice alla quinta potenza :.

Queste sono, forse, tutte le proprietà principali delle operazioni sulla matrice che possono essere utili in problemi pratici.

Nella seconda parte della lezione è prevista una festa altrettanto colorata.

Espressioni di matrice

Ripetiamo le solite espressioni scolastiche con i numeri. Un'espressione numerica è composta da numeri, simboli matematici e parentesi, ad esempio: ... Durante il calcolo, è valida la familiare priorità algebrica: prima parentesipoi eseguito esponenziazione / estrazione radice, poi moltiplicazione / divisione Ultimo ma non meno importante - addizione / sottrazione.

Se un'espressione numerica ha senso, il risultato della sua valutazione è un numero, per esempio:

Espressioni di matrice sono disposti più o meno allo stesso modo! Con la differenza che i personaggi principali sono le matrici. Oltre ad alcune operazioni specifiche della matrice come trasposizione e ricerca inversa della matrice.

Considera l'espressione della matrice , dove sono alcune matrici. In questa espressione di matrice, vengono eseguiti tre termini e le operazioni di addizione / sottrazione per ultimi.

Nel primo termine, devi prima trasporre la matrice "bie" :, quindi eseguire la moltiplicazione e aggiungere i "due" alla matrice risultante. nota che l'operazione di trasposizione ha la precedenza sulla moltiplicazione... Le parentesi, come nelle espressioni numeriche, cambiano l'ordine delle azioni: - qui, prima, viene eseguita la moltiplicazione, quindi la matrice risultante viene trasposta e moltiplicata per 2.

Nel secondo termine, la moltiplicazione della matrice viene eseguita prima di tutto e la matrice inversa viene trovata dal prodotto. Se le parentesi vengono rimosse :, devi prima trovare la matrice inversa, quindi moltiplicare le matrici :. Anche trovare l'inverso di una matrice ha la precedenza sulla moltiplicazione.

Con il terzo termine, tutto è ovvio: eleviamo la matrice a un cubo e aggiungiamo un "cinque" alla matrice risultante.

Se l'espressione della matrice ha senso, il risultato della sua valutazione è la matrice.

Tutte le attività proverranno da documenti di prova reali e inizieremo con il più semplice:

Esempio 9

Matrici date ... Trovare:

Decisione: L'ordine è ovvio, viene eseguita prima la moltiplicazione, quindi l'addizione.

L'aggiunta non è possibile perché le matrici sono di dimensioni diverse.

Non essere sorpreso, spesso vengono suggerite azioni deliberatamente impossibili in compiti di questo tipo.

Cercando di valutare la seconda espressione:

Va tutto bene qui.

Risposta: l'azione non può essere eseguita, .

Nel luglio 2020, la NASA lancerà una spedizione su Marte. Il veicolo spaziale consegnerà a Marte un vettore elettronico con i nomi di tutti i membri registrati della spedizione.

Se questo post ha risolto il tuo problema o ti è piaciuto, condividi il link con i tuoi amici sui social network.

Una di queste varianti di codice dovrebbe essere copiata e incollata nel codice della tua pagina web, preferibilmente tra i tag e o subito dopo il tag ... Secondo la prima opzione, MathJax si carica più velocemente e rallenta di meno la pagina. Ma la seconda opzione tiene traccia e carica automaticamente le ultime versioni di MathJax. Se inserisci il primo codice, sarà necessario aggiornarlo periodicamente. Se inserisci il secondo codice, le pagine verranno caricate più lentamente, ma non sarà necessario monitorare costantemente gli aggiornamenti di MathJax.

Il modo più semplice per connettere MathJax è in Blogger o WordPress: nella dashboard del tuo sito, aggiungi un widget per inserire codice JavaScript di terze parti, copia la prima o la seconda versione del codice di download sopra e posiziona il widget più vicino all'inizio del modello (a proposito, questo non è affatto necessario perché lo script MathJax viene caricato in modo asincrono). È tutto. Ora impara la sintassi di markup MathML, LaTeX e ASCIIMathML e sei pronto per incorporare formule matematiche nelle pagine web del tuo sito web.

Un altro capodanno ... tempo gelido e fiocchi di neve sul vetro della finestra ... Tutto questo mi ha spinto a scrivere di nuovo sui ... frattali e su quello che Wolfram Alpha ne sa. C'è un articolo interessante su questo, che contiene esempi di strutture frattali bidimensionali. Qui vedremo esempi più complessi di frattali 3D.

Un frattale può essere visualizzato (descritto) come una figura geometrica o un corpo (nel senso che entrambi sono un insieme, in questo caso, un insieme di punti), i cui dettagli hanno la stessa forma della figura originale stessa. Cioè, è una struttura auto-simile, considerando i dettagli di cui con l'ingrandimento, vedremo la stessa forma senza ingrandimento. Mentre nel caso di una forma geometrica regolare (non un frattale), quando ingrandiamo, vedremo dettagli che hanno una forma più semplice rispetto alla forma originale stessa. Ad esempio, con un ingrandimento sufficientemente elevato, parte dell'ellisse appare come un segmento di linea. Questo non accade con i frattali: ad ogni aumento di essi, vedremo di nuovo la stessa forma complessa, che ad ogni aumento si ripeterà più e più volte.

Benoit Mandelbrot, il fondatore della scienza dei frattali, ha scritto nel suo articolo Fractals and Art for Science: “I frattali sono forme geometriche che sono tanto complesse nei loro dettagli quanto nella loro forma generale. parte del frattale sarà ingrandita fino alla dimensione del tutto, sembrerà un tutto, o esattamente, o forse con una leggera deformazione. "

Algebra lineare per manichini

Per studiare l'algebra lineare, puoi leggere e approfondire il libro di IV Belousov "Matrici e determinanti". Tuttavia, è scritto in un linguaggio matematico rigoroso e asciutto, che è difficile da percepire per le persone con una mente normale. Pertanto, ho rivisto le parti più difficili da comprendere di questo libro, cercando di presentare il materiale nel modo più chiaro possibile, sfruttando al meglio le immagini. Ho omesso le dimostrazioni dei teoremi. Francamente, io stesso non li ho approfonditi. Credo al signor Belousov! A giudicare dal suo lavoro, è un matematico competente e intelligente. Puoi scaricare il suo libro su http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Belousov2006ru.pdfSe hai intenzione di approfondire il mio lavoro, devi farlo, perché mi riferirò spesso a Belousov.

Cominciamo con le definizioni. Cos'è una matrice? È una tabella rettangolare di numeri, funzioni o espressioni algebriche. Perché sono necessarie le matrici? Facilitano notevolmente calcoli matematici complessi. La matrice può essere distinta da righe e colonne (Fig. 1).

Righe e colonne sono numerate a partire da sinistra

dall'alto (Figura 1-1). Quando dicono: una matrice di dimensione m n (o m per n), intendono m numero di righee sotto n numero di colonne... Ad esempio, la matrice nella Figura 1-1 è "4 per 3" anziché "3 per 4".

Vedi fig. 1-3, quali sono le matrici. Se una matrice è composta da una riga, viene chiamata matrice di riga e, se è composta da una colonna, una matrice di colonna. Una matrice è chiamata quadrato n-esimo ordine se il numero di righe è uguale al numero di colonne ed è uguale a n. Se tutti gli elementi della matrice sono uguali a zero, questa è una matrice zero. Una matrice quadrata è detta diagonale se tutti i suoi elementi sono uguali a zero, ad eccezione di quelli situati sulla diagonale principale.

Spiego subito qual è la diagonale principale. Ha gli stessi numeri di riga e colonna. Va da sinistra a destra dall'alto verso il basso. (Fig. 3) Gli elementi sono chiamati diagonali se si trovano sulla diagonale principale. Se tutti gli elementi diagonali sono uguali a uno (e gli altri sono zero), la matrice viene chiamata matrice identità. Si dice che due matrici A e B della stessa dimensione sono uguali se tutti i loro elementi sono uguali.

2 Operazioni su matrici e loro proprietà

Il prodotto di una matrice per x è una matrice della stessa dimensione. Per ottenere questo prodotto, è necessario moltiplicare ogni elemento per questo numero (Figura 4). Per ottenere la somma di due matrici della stessa dimensione, è necessario aggiungere i rispettivi elementi (Fig.4). Per ottenere la differenza A - B di due matrici della stessa dimensione, è necessario moltiplicare la matrice B per -1 e aggiungere la matrice risultante con la matrice A (Fig.4). Per le operazioni su matrici, sono vere le seguenti proprietà: A + B \u003d B + A (proprietà commutativa).

(A + B) + C \u003d A + (B + C) (proprietà dell'associatività). In termini semplici, la somma non cambia da un cambiamento nei luoghi dei termini. Per le operazioni su matrici e numeri, le seguenti proprietà sono vere:

(indichiamo i numeri con le lettere xey e le matrici con le lettere A e B) x (yA) \u003d (xy) A

Queste proprietà sono simili a quelle per le operazioni sui numeri. Vedere

esempi in figura 5. Vedere anche gli esempi 2.4 - 2.6 di Belousov a pagina 9.

Moltiplicazione di matrici.

La moltiplicazione di due matrici è definita solo se (in russo: le matrici possono essere moltiplicate solo se), quando il numero di colonne della prima matrice nel prodotto è uguale al numero di righe della seconda (Fig.7, sopra, parentesi blu). Per ricordare meglio: il numero 1 è più simile a una colonna.Come risultato della moltiplicazione, si ottiene una matrice di dimensioni (vedi figura 6). Per rendere più facile ricordare per cosa moltiplicare, propongo il seguente algoritmo: vedi Figura 7. Moltiplica la matrice A per la matrice B.

la matrice A è composta da due colonne,

la matrice B ha due righe: puoi moltiplicare.

1) Trattiamo la prima colonna della matrice B (ne ha una sola). Scriviamo questa colonna in una riga (trasponi

colonna, sulla trasposizione appena sotto).

2) Copia questa riga in modo da ottenere una matrice delle dimensioni della matrice A.

3) Moltiplichiamo gli elementi di questa matrice per i corrispondenti elementi della matrice A.

4) Aggiungiamo i lavori risultanti in ogni riga e otteniamouna matrice di prodotto di due righe e una colonna.

La Figura 7-1 mostra esempi di moltiplicazione di matrici più grandi.

1) Qui la prima matrice ha tre colonne, quindi la seconda deve avere tre righe. L'algoritmo è esattamente lo stesso dell'esempio precedente, solo che qui in ogni riga ci sono tre termini, non due.

2) Qui la seconda matrice ha due colonne. Per prima cosa, eseguiamo l'algoritmo con la prima colonna, poi con la seconda e otteniamo una matrice due per due.

3) Qui, la seconda matrice ha una colonna composta da un elemento, la colonna non cambierà dalla trasposizione. E non è necessario aggiungere nulla, poiché c'è solo una colonna nella prima matrice. Eseguiamo l'algoritmo tre volte e otteniamo una matrice tre per tre.

Si svolgono le seguenti proprietà:

1. Se la somma B + C e il prodotto AB esistono, allora A (B + C) \u003d AB + AC

2. Se il prodotto AB esiste, allora x (AB) \u003d (xA) B \u003d \u003d A (xB).

3. Se i prodotti AB e BC esistono, allora A (BC) \u003d (AB) C.

Se il prodotto delle matrici AB esiste, il prodotto BA potrebbe non esistere. Anche se i prodotti AB e BA esistono, possono rivelarsi matrici di dimensioni diverse.

Entrambi i prodotti AB e BA esistono e sono matrici della stessa dimensione solo nel caso di matrici quadrate A e B dello stesso ordine. Tuttavia, anche in questo caso, AB potrebbe non essere uguale a BA.

Esponenziazione

L'esponenziazione di una matrice ha senso solo per matrici quadrate (pensa perché?). Allora la potenza intera positiva m della matrice A è il prodotto di m matrici uguali ad A. Lo stesso dei numeri. Il grado zero di una matrice quadrata A è inteso come una matrice identità dello stesso ordine di A. Se hai dimenticato cos'è una matrice identità, dai un'occhiata alla Fig. 3.

Proprio come i numeri, valgono le seguenti relazioni:

A mA k \u003d A m + k (A m) k \u003d A mk

Vedi esempi da Belousov a pagina 20.

Trasporre matrici

Transpose è la trasformazione della matrice A nella matrice AT,

in cui le righe della matrice A sono scritte nelle colonne di AT con conservazione dell'ordine. (fig.8). Un altro modo per dire:

le colonne della matrice A vengono scritte nelle righe della matrice AT con conservazione dell'ordine. Notate come la trasposizione cambia la dimensione della matrice, cioè il numero di righe e colonne. Si noti inoltre che gli elementi sulla prima riga, prima colonna e ultima riga, ultima colonna rimangono al loro posto.

Valgono le seguenti proprietà: (AT) T \u003d A (transpose

matrix due volte - ottieni la stessa matrice)

(xA) T \u003d xAT (x significa un numero, A, ovviamente, una matrice) (se devi moltiplicare la matrice per un numero e trasporre, puoi prima moltiplicare, poi trasporre, o viceversa)

(A + B) T \u003d AT + BT (AB) T \u003d BT AT

Matrici simmetriche e antisimmetriche

La Figura 9 mostra una matrice simmetrica in alto a sinistra. I suoi elementi, simmetrici rispetto alla diagonale principale, sono uguali. E ora la definizione: matrice quadrata

A è detto simmetrico se AT \u003d A. Cioè, la matrice simmetrica non cambia quando viene trasposta. In particolare, qualsiasi matrice diagonale è simmetrica. (Tale matrice è mostrata in Fig. 2).

Ora guarda la matrice antisimmetrica (Figura 9, in basso). In che modo è diverso da simmetrico? Nota che tutti i suoi elementi diagonali sono zero. Per le matrici antisimmetriche, tutti gli elementi diagonali sono uguali a zero. Pensa perché? Definizione: viene chiamata una matrice quadrata A.

antisimmetrico se AT \u003d -A. Notiamo alcune proprietà delle operazioni su simmetrico e antisimmetrico

matrici. 1. Se A e B sono matrici simmetriche (antisimmetriche), anche A + B è una matrice simmetrica (antisimmetrica).

2. Se A è una matrice simmetrica (antisimmetrica), anche xA è una matrice simmetrica (antisimmetrica). (infatti, se moltiplichi le matrici della Figura 9 per un certo numero, la simmetria sarà comunque preservata)

3. Il prodotto AB di due matrici simmetriche o due antisimmetriche A e B è una matrice simmetrica per AB \u003d BA e antisimmetrica per AB \u003d-BA.

4. Se A è una matrice simmetrica, allora Am (m \u003d 1, 2, 3, ...) è una matrice simmetrica. Se un

Una matrice antisimmetrica, quindi Am (m \u003d 1, 2, 3, ...) è una matrice simmetrica per m pari e una matrice antisimmetrica per m dispari.

5. Una matrice quadrata arbitraria A può essere rappresentata come la somma di due matrici. (chiamiamo queste matrici, ad esempio, A (s) e A (a))

A \u003d A (s) + A (a)

Da notare che solo le matrici quadrate si prestano a questa operazione. Un numero uguale di righe e colonne è un prerequisito per elevare una matrice a una potenza. Durante il calcolo, la matrice verrà moltiplicata per se stessa il numero di volte richiesto.

Questa calcolatrice in linea è progettata per eseguire l'operazione di elevare una matrice a una potenza. Grazie al suo utilizzo, non solo farai rapidamente fronte a questo compito, ma avrai anche un'idea visiva e dettagliata del calcolo stesso. Ciò contribuirà a consolidare meglio il materiale ottenuto in teoria. Vedendo di fronte a te un dettagliato algoritmo di calcolo, capirai meglio tutte le sue sottigliezze e successivamente sarai in grado di evitare errori nei calcoli manuali. Inoltre, non fa mai male ricontrollare i tuoi calcoli, e anche questo è meglio farlo qui.

Per aumentare la matrice online, sono necessari una serie di semplici passaggi. Prima di tutto, specifica la dimensione della matrice cliccando sulle icone "+" o "-" a sinistra di essa. Quindi immettere i numeri nel campo della matrice. È inoltre necessario indicare il grado di elevazione della matrice. E poi devi solo fare clic sul pulsante: "Calcola" in fondo al campo. Il risultato sarà affidabile e preciso se inserisci tutti i valori con attenzione e correttamente. Insieme ad esso, ti verrà fornita una trascrizione dettagliata della soluzione.