В разд. 2.4 были указаны основные положения этого вычислительного метода, позволяющего получить частные производные (коэффициенты влияния параметров) по соответствующим параметрам системы. Эти производные можно определить одновременно с решением исходного дифференциального уравнения.
Диапазон приложения метода, основанного на изучении чувствительности (влияния) параметров, шире, чем методов оценивания параметров. Мейссингер приводит следующий список возможных применений:
а) Предсказание решений в окрестности известного решения путем линейной экстраполяции.
б) Определение допусков для параметров с помощью линейного прогнозирования, выделение критических параметров.
в) Приложения к статистическим исследованиям: оценивание влияния случайных параметров системы или начальных условий, экстраполяция результатов, полученных при случайных входных сигналах.
г) Оптимизация параметров системы градиентными методами в соответствии с определенным критерием качества.
д) Анализ чувствительности решения к ошибкам ЭВМ.
е) Определение границ области устойчивости системы.
ж) Изменение постоянных времени различных процессов; изменение времени нарастания, времени оседания.
з) Решение краевой задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений.
Мы ограничимся обсуждением применения этого метода к оцениванию параметров объекта.
Методы, основанные на изучении влияния (чувствительности) параметров
Выделим теперь основные положения метода, использующего функции влияния параметров. Рассмотрим следующее неоднородное линейное дифференциальное уравнение относительно
с начальными условиями
Требуется получить решение при конкретных значениях параметров Рассмотрим пока для наглядности только один параметр; тогда будет функцией двух переменных, например По кривой решения, полученной при значении параметра путем экстраполяции по можно найти близкую кривую, соответствующую
Необходимое для удовлетворительной аппроксимации число членов в этом разложении зависит от величины и поведения решения и его частных производных по в интересующей нас области. Здесь будет рассматриваться только аппроксимация с точностью до членов первого порядка.
Частная производная являющаяся функцией называется коэффициентом влияния или функцией чувствительности параметра первого порядка. Другими коэффициентами влияния, относящимися к уравнению (9.67), являются
Два последних члена характеризуют чувствительность к изменениям начальных условий. Дифференцируя (9.67) по и учитывая, что и зависят от получаем
Меняя порядок дифференцирования и используя обозначение приходим к дифференциальному уравнению для
с начальными условиями
следующими из того, что начальные значения постоянны и не зависят от Уравнение (9.70) известно как уравнение чувствительности системы относительно параметра При небольших изменениях из этого уравнения можно получить информацию о приближенном значении градиента Это уравнение нетрудно промоделировать, заменяя частные производные полными:
(приближенное уравнение чувствительности). Причина того, что это уравнение является всего лишь приближени
ем состоит в том, что соотношение между частной и полной производивши имеет вид
Следовательно, уравнение (9.71) является хорошим приближением, если изменения параметров во времени достаточно малы.
Аналогичным образом можно вывести приближенные уравнения чувствительности относительно Для четырех рассматриваемых параметров получаем
Каждое из этих уравнений можно промоделировать с помощью отдельной модели чувствительности (см. блок-схему на фиг. 9.8). В рассматриваемом линейном случае все приближенные уравнения чувствительности оказываются одинаковыми, если не считать различий в правых частях. Это значит, что функции чувствительности параметров можно последовательно определять на одной и той же модели, используя соответствующий «связывающий член» или и. Дальнейшие упрощения получаются, если учесть, что, согласно формулам (9.73а), (9.736),
согласно формулам (9.73в), (9,73г),
а сравнение формулы (9.67) с (9.73в) и (9.73г) дает
Таким образом, достаточно промоделировать уравнение (9.736) и воспользоваться соотношениями (9.74)-(9.76) для одновременного получения функций чувствительности всех четырех параметров (фиг. 9.9, б). Такая схема практической реализации требует существенно меньших затрат, чем схема, соответствующая фиг. 9.8.
Если начальные условия и также являются параметрами, представляющими интерес, то легко видеть, что в соответствующих уравнениях чувствительности «связывающий член» вообще отсутствует. При получаем однородное дифференциальное уравнение
с начальными условиями
Это уравнение решается просто путем повторного использования основной модели при тождественно равной нулю управляющей функции и и соответственно измененных начальных условиях.
Применения метода влияния параметров не ограничены линейными сиртемами. В качестве примера нелинейной системы рассмотрим уравнение
Уравнения чувствительности имеют вид
Опять уравнения различаются только «связывающими членами». Следовательно, можно последовательно использовать одну и ту же модель с управляющими функциями Рассмотренную задачу можно обобщить на систему дифференциальных уравнений с параметрами
Уравнения чувствительности относительно из которых определяются производные записываются в виде
Начальные условия нулевые, если только начальные условия исходного дифференциального уравнения не рассматриваются как параметры. Приведенная формулировка справедлива как для линейных, так и для нелинейных систем. Для изучения влияния отдельного параметра приходится моделировать (или программировать) всю систему уравнений чувствительности (9.81), даже если этот параметр явно входит лишь в одно уравнение исходной системы (9.80). Если, например, входит только в член то в уравнении чувствительности появляется «связывающий член» тогда как при Тем не менее все остальные уравнения чувствительности содержат в неявной форме в виде членов и оказываются связанными с уравнением.
Еще одна область применений обнаруживается при исследовании эффекта исключения производных более
высокого порядка из дифференциального уравнения. Допустим, что изучается уравнение
Нужно выяснить влияние члена третьего порядка
Уравнения чувствительности относительно и имеют вид
Следовательно, и из модели чувствительности можно получить значение коэффициента влияния этого параметра в окрестности
До сих пор в этом разделе рассматривались абсолютные функции чувствительности параметров, например Иногда удается использовать относительные функции чувствительности, например
Метод с использованием точек чувствительности
В предыдущем разделе было установлено, что для одновременного определения нескольких функций чувствительности, помимо модели объекта, необходим еще ряд дополнительных моделей чувствительности. Это связано с усложнением аналоговой вычислительной схемы или с увеличением машинного времени, необходимого для решения Подобных задач.
С другой стороны, в разд. 9.1 было показано, что при использовании обобщенной модели дополнительных моделей чувствительности не нужно - функции чувствительности могут быть измерены непосредственно. Это объясняется линейностью обобщенной модели относительно параметров.
Учитывая желательность максимально возможного упрощения схемы моделирования и сокращения машинного
времени, имеет смысл изучить типы моделей, позволяющих находить наиболыпее число функций чувствительности (из числа подлежащих определению). Для этой цели используется так называемый метод точек чувствительности .
Основную его идею можно пояснить следующим образом. Рассмотрим линейный объект с передаточной функцией зависящей от параметров Преобразование Лапласа от входного сигнала есть тогда выходной сигнал определяется формулой
Выход соответствующей модели имеет вид
Учитывая дифференцируемость -преобразования по параметрам, получим
(абсолютные) функции чувствительности параметра
относительные функции чувствительности параметра
Следующий пример помогает проиллюстрировать эту идею (фиг. 9.10, а, б). Для модели справедливы соотношения
Отсюда для относительных функций чувствительности получаем
В результате приходим к схеме фиг. 9.10, б. называются точками чувствительности. При аналоговом
Фиг. 9.10. (см. скан)
моделировании обе функции чувствительности можно измерять одновременно, при цифровых вычислениях обе функции определяются по одной и той же программе.
Эту идею можно распространить на многоконтурные системы с обратной связью (фиг. 9.11). Здесь предполагается, что в каждом из элементарных блоков имеется лишь один параметр, для которого нужно вычислить функцию чувствительности. Так же как и раньше, нетрудно показать, что является точкой чувствительности для параметра из блока Остается рассмотреть вопрос
(кликните для просмотра скана)
о том, каким образом параметр входит в передаточную функцию Он решается введением дополнительной передаточной функции
Это логарифмическая передаточная функция чувствительности, введенная ранее Боде . Входом служит сигнал, снимаемый с точки чувствительности выходом -
Некоторые частные случаи:
В этом случае сигнал с есть функция чувствительности и нет необходимости в добавлении каких-либо элементов в модель чувствительности (фиг. 9.9, б и 9.10, б).
б) Если т. е. передаточная функция, является произведением двух передаточных функций, из которых лишь одна содержит представляющий для нас интерес параметр, то
т. е. совпадает с передаточной функцией той части модели, которая содержит
Эти идеи можпо также распространить на функции чувствительности высших порядков, например
которые получаются очевидным образом из функций чувствительности первого порядка. Оказывается, что в этом случае необходима еще одна модель чувствительности.
Разумеется, анализ чувствительности использовался также и для описания объектов во временной области. Обзор соответствующей литературы можно найти в работе . Много интересных статей содержат два сборника Докладов симпозиумов ИФАК по чувствительности .
Непрерывные настраиваемые модели
Рассматриваемая здесь схема приведена на фиг. 9.12. Ошибка определяется как
где некоторый функционал. Необходимо минимизировать критерий который можно записать как функционал от четной функции
Настройка модели осуществляется изменением параметров в соответствии со значением градиента
Компоненты вектора градиента определяются дифференцированием:
причем представляет собой коэффициент влияния параметра. Теперь можно определить следующий
оператор:
откуда получаем
Как указывалось в предыдущем разделе, множество операторов зависящих от параметра а и действующих на сигнал и, позволяет получить все функции чувствительности параметров.
Пример. Воспользуемся результатами работы . Объект и модель описываются соответственно уравнениями
Уравнение чувствительности получается в результате дифференцирования уравнения модели:
где а а считается постоянной. Применим в качестве критерия условие минимума
и будем использовать для настройки метод наискорейшего спуска
поскольку от а зависит только
Поведение схемы настройки модели описывается формулами (9.98)-(9.102). Из-за ограничения, требующего постоянства а в (9.102), эти формулы позволяют лить приближенно описать изменения а, когда эти изменения происходят достаточно медленно. В работе исследованы вопросы сходимости для случаев, когда вход и является ступенчатым или синусоидальным сигналом. В первом случае можно доказать устойчивость точки равновесия
Второй случай приводит к уравнениям Матье, которые могут иметь как (асимптотически) устойчивые, так и периодические и неустойчивые решения.
При изучении устойчивости применялся второй метод Ляпунова: см. , а также работы, цитировавшиеся в предыдущем разделе.
Отметим, что функции чувствительности параметров играют роль вспомогательных переменных по аналогии с изложенным в гл. 6 и 7 для случая дискретных сигналов.
Примеры моделирования, практической реализации и применений
Хотя работа и не имеет прямого отношения к оценке параметров, ее можно упомянуть как еще один пример использования коэффициентов влияния параметров. Исследуемая система изображена на фиг. 9.13. Параметры объекта (например, изменение угловой скорости самолета по оси тангажа от отклонения управляющих поверхностей) изменяются. Эти изменения компенсируются
настройкой параметров и в контуре обратной связи. Желаемые показатели системы «объект + цепь обратной связи» устанавливаются эталонной моделью, представляющей собой фиксированную аналоговую схему. Целью настройки является минимизация некоторого четного функционала от ошибки Это означает, что.
Такой результат получается генерированием коэффициентов влияния параметров эталонной модели вместо соответствующих коэффициентов охваченного обратной связью объекта. Если фиксированы, такой подход имеет то преимущество, что генерируемые коэффициенты влияния параметров представляют собой требуемые частные производные. (Это не верно для рассматривавшейся выше схемы настройки модели.)
Прерывистая настройка моделей
Как отмечалось в разд. 9.2, для непрерывных схем настройки трудно выявить свойства сходимости. Это объясняется прежде всего сложностью определения градиента при изменении (настройке) параметров модели. Рассмотрим теперь схемы, в которых параметры модели остаются постоянными при определении градиента. После интервала измерений производится настройка параметров модели, затем вновь начинается период измерений и т. д.
Знание функций чувствительности этой целевой функции будет весьма полезным для оперативного управления состоянием расчетного счета компании в условиях влияния рисков.
3.3. Виды и свойства функций чувствительности
При расчете функций чувствительности следует различать краткосрочное и долгосрочное воздействие рисковых событий. Соответственно определим два вида функций чувствительности:
Локальная чувствительность – чувствительность при локальном (краткосрочном во времени) влиянии риск-параметра, т.е. когда отклонение имеет место только в течение одного или нескольких периодов существенно меньших общего горизонта планирования (рис.3.2).
Реакция системы на локальное воздействие |
|||||||||||||||
Рис.3.2. К определению локальной чувствительности |
|||||||||||||||
Глобальная чувствительность – чувствительность при глобальном (длительном во времени) влиянии риск-параметра, т.е. когда отклонение может иметь место по всему горизонту планирования, начиная с некоторого момента (рис.3.3).
Реакция системы на глобальное воздействие |
|||||||||||||||
Рис.3.3. К определению глобальной чувствительности |
|||||||||||||||
Какой из приведенных вариантов чувствительности следует выбрать, зависит от того, как долго будут действовать те или иные рисковые события в реальной ситуации.
Здесь уместна аналогия с анализом реакции линейных систем на основе импульсных и переходных характеристик последних . Если в качестве единичного воздействия в момент τ используется дельта-
функция Дирака - δ (t-τ), то реакция системы при нулевых начальных условиях будет численно равна импульсной характеристике системы g(t- τ). Если в качестве единичного воздействия в некоторый момент времени используется функция Хевисайда (единичный скачек) - 1(t-τ), то реакция системы при нулевых начальных условиях будет численно равна переходной характеристике системы h(t-τ).
В нашем случае роль дельта-функции может играть локальный во времени скачок риск-параметра LdX(t-τ), тогда реакция инвестиционного проекта будет пропорциональна локальной чувствительность LS(t-τ) на заданное воздействие. Функции Хевисайда 1(t-τ) будет соответствовать глобальное во времени изменение риск-параметра GdX(t-τ), что даст
реакцию пропорциональную глобальной функции чувствительности GS(t- τ). На рис.3.2 приведены соответствующие функциональные аналогии.
Локальная аналогия
Глобальная аналогия
Рис.3.4. Аналогии с линейными системами
Как известно , для линейных систем справедлив принцип суперпозиции, а именно: реакция системы на совокупность воздействий равна сумме реакций на каждое воздействие в отдельности. На основе этого принципа, зная характеристики системы g(t) или h(t) , можно найти как связь между ними, так и реакцию системы на воздействие любого вида. В нашем случае из принципа суперпозиции можно получить связь между глобальными и соответствующими локальными функциями чувствительности. Пусть время меняется дискретно:
t = 0, 1, 2, … n, … N,
где t = N – горизонт планирования;
t = k – момент начала воздействия глобального риска;
t = k+j, (j = 0, 1, … n–k) – моменты существования локальных рисков;
t = n ≥ k+j – произвольный (текущий) момент наблюдения реакции системы на заданное воздействие.
Тогда глобальную чувствительность, описывающую реакцию системы на воздействие глобального рискового события, начавшегося в момент t = k и длящегося вплоть до горизонта планирования, можно выразить как суперпозицию локальных чувствительностей, соответствующих совокупности воздействий локальных (длительностью в один период) рисков, появляющихся в моменты от t = k и до t = k +j, (j = 0, 1, … n – k) , а именно:
n− k |
|||
(n − k − j), n ≥ k + j |
|||
GSx i |
(n − k) = ∑ LSx i |
||
j= 0 |
Следует заметить, что локальные функции чувствительности всегда быстрее убывают, чем одноименные глобальные функции для всех периодов времени. Это объясняется тем, что локальное действие какоголибо риска длится короткое время, а глобальный риск (равный сумме локальных рисков) действует все время с момента его возникновения и эффект от него накапливается от периода к периоду. Можно говорить, что функции глобальной чувствительности отражают стратегические последствия влияния длительных отклонений параметров на инвестиционный проект. В тоже время локальные чувствительности отражают тактические последствия, краткосрочных изменений во внешней и внутренней среде бизнеса.
Свойства целевых функций модели финансовых потоков
При использовании аналитического аппарата анализа линейных систем следует иметь в виду, что финансовая модель инвестиционного проекта может не быть строго линейной, однако, как показали эксперименты на множестве различных инвестиционных проектов, даже в широких пределах вариаций риск-параметров точность анализа чувствительностей оставалась вполне приемлемой. Однако прежде чем использовать данную методику целесообразно проверить целевую функцию конкретного инвестиционного проекта на линейность по выбранным риск-параметрам. Для этого достаточно проверить выполнение следующего условия пропорциональности:
где а – некоторая произвольная константа.
Рассмотрим ситуации, когда целевая функция будет нелинейной:
1. NPV нелинейно зависит от ставки дисконтирования, т.к. последняя возводится в степень «t ».
2. Целевая функция может нелинейно зависеть от банковской ставки по кредиту в случае, когда имеет место отсрочка уплаты процентов, т.к. при этом проценты будут начисляться по схеме сложных процентов, что приведет к нелинейности.
3. Целевая функция (NPV , накопленное сальдо финансовых потоков, накопленный чистый финансовый поток и др.) может нелинейно зависеть от цены, реализуемого товара, если натуральный объем продаж этого товара существенно зависит от его цены.
4. Если в начальной стадии реализации проекта чистая прибыль отсутствует (имеют место убытки), то целевые функции будут нелинейными по отношению к риск-параметрам в эти периоды времени, т.к. зависимости чистой прибыли от риск-параметров будут кусочно-линейными функциями. После выхода проекта на
положительную чистую прибыль, указанная нелинейность становится несущественной.
В работе предлагается помимо чувствительностей первого порядка (3.2) использовать чувствительности второго порядка в случаях, когда нелинейность целевой функции по каким-либо риск-параметрам существенна и ею пренебречь нельзя. Ниже в разделе 3.7 этот подход будет рассмотрен более подробно.
Продолжим изучение свойств целевых функций. Если в качестве риск-параметров выбираются цены продаж производимых товаров в ходе реализации инвестиционного проекта, то в каждом периоде планирования целевая функция (например, накопленный чистый финансовый поток в случае двух товаров) будет иметь вид:
Y = a (p1 Q 1 + p 2 Q 2 ) + b
где p 1,2 - цены, а Q 1,2 - натуральные объемы продаж. Если можно пренебречь зависимостью Q(p) , то с помощью (3.2) получаем функции чувствительности для рассматриваемого периода:
ap 1, 2 Q 1, 2 |
|||
p 1, 2 |
|||
Нетрудно видеть, что, отношение этих функций чувствительности будет равно отношению объемов продаж в денежном выражении соответствующих товаров в данном периоде. Следовательно, структура функций чувствительности по ценам будет в точности соответствовать структуре объемов продаж в денежном выражении, т.е.
p i Q i |
||||
S x i |
||||
∑ p i Q i |
∑ S x Y i |
|||
Это вывод справедлив для любого количества товаров, входящих в ассортимент. Если отдельные группы товаров, имеющиеся в ассортименте, имеют различные ставки НДС, то сделанный выше вывод будет справедлив, если в расчетах чувствительности и в расчетах структуры объемов продаж будут использованы цены без НДС.
Указанное свойство функций чувствительности к ценам позволяет существенно уменьшить объем вычислений последних в случае широкого ассортимента товаров, когда необходимо знать чувствительность по всем ценам.
Если указанной выше зависимостью Q(p) пренебречь нельзя, то в этом случае связь функций чувствительности со структурой продаж сохранится на качественном уровне, т.е. чем больше доля данного товара по сравнению с другими в общей выручке, тем выше его чувствительность к цене.
Далее рассмотрим знак функции чувствительности. Функция чувствительности будет положительной для всех моментов времени, если с увеличением (уменьшением) отклонения риск-параметра значение целевой функции увеличивается (уменьшается) при условии положительности самой целевой функции. Так, например, чувствительности накопленного сальдо финансовых потоков к ценам и натуральным объемам продаж произведенных товаров всегда положительны, а чувствительности той же целевой функции к отклонениям любых издержек, а также к банковским ставкам по кредитам всегда отрицательны. Исключением из этого правила
Радиометрические и фотометрические единицы можно связать между собой при помощи функции чувствительности человеческого глаза V(X), иногда называемой функцией световой эффективности. В 1924 г. Международная комиссия по освещению, МКО (CIE), ввела понятие функции чувствительности человеческого глаза в режиме фотопического зрения для точечных источников излучения и угла наблюдения 2° (CIE, 1931). Эта функция, получившая название функции МКО 1931 г., до сих пор является фотометрическим стандартом в США 0.
Джудд и Вое в 1978 г. ввели модифицированную функциюV{\) (Vos, 1978; Wyszeckl, Stiles, 1982, 2000), которая в этой книге будет называться функцией МКО 1978 г. Изменения были связаны с не совсем правильной оценкой чувствительности человеческого глаза в голубом и фиолетовом диапазонах спектра, принятой в 1931 г. Модифицированная функция F(A) в спектральном диапазоне длин волн меньше 460 нм имеет более высокие значения. МКО одобрила введение функции У(Л) 1978 г. постановив, что «функцию чувствительности человеческого глаза для точечных источников излучения можно представлять в виде модифицированной функции У(А) Джудда» (CIE, 1988). Более того, в 1990 г. МКО вынесла резолюцию: «в случаях проведения измерений яркости в диапазоне коротких длин волн, согласованных с определением цвета, наблюдателем, расположенным по нормали к источнику излучения, предпочтительнее пользоваться модифицированной функцией Джудда» (CIE, 1990).
На рис. 16.6 показаны функцииV{X) МКО 1931 г. и 1978 г. Максимальная чувствительность глаза приходится на длину волны 555 нм, находящуюся в зеленой области спектра. На этой длине волны чувствительность глаза равна 1, т. е. У(555 нм) = 1. Видно, что в функции У (А) МКО 1931 г. занижена чувствительность человеческого глаза в голубой области спектра (А < 460 нм). В приложении 16.П1 приведены численные значения функций У (А) 1931 г. и 1878 г.
‘) Этот стандарт действует и в России.
На рис. 16.6 также показана функция У"(А) чувствительности человеческого глаза для режима скотопического зрения. Пик чувствительности в режиме скотопического зрения приходится на длину волны 507 нм. Это значение намного меньше длины волны максимума чувствительности в режиме фотопического зрения. Численные значения функцииV"{\) МКО 1951 г. приведены в приложении 16.П2.
Отметим, что, хотя в ряде случаев функция У (Л) МКО 1978 г. является предпочтительной, она все же не относится к категории стандартов, поскольку изменение стандартов часто приводит к возникновению неопределенностей. Однако несмотря на это, на практике она используется довольно часто (WyszeckiandStiles, 2000). Функцию У(Л) МКО 1978 г., показанную на рис. 16.7, можно считать наиболее точным описанием вариаций чувствительности человеческого глаза в режиме фотопического зрения.
Для нахождения функции чувствительности человеческого глаза используется метод минимальной вспьшки, являющийся классическим способом сравнения источников света по яркости и определения
Рис. 16.6. Сравнение функций чувствительности человеческого глазаV{\) МКО 1978 и 1931 годов для фотопического режима зрения. Здесь также показана функция чувствительности глазаV"{\) в режиме скотопического зрения, которая используется при низких уровнях внешней освещенности
Рис. 16.7. У(Л) (левая ось ординат) и световая отдача измеренная в люменах на ватт оптической мощности (правая ось ординат). Максимум чувствительности человеческого глаза приходится на длину волны 555 нм (данные МКО, 1978)
функции У(А). В соответствии с этим методом небольшая круглая светоизлучающая поверхность поочередно (с частотой 15 Гц) осве- шается источниками эталонного и сравниваемого цветов. Поскольку частота слияния цветовых оттенков ниже 15 Гц, цвета чередующихся сигналов будут неразличимы. Однако частота слияния входных сигналов по яркости всегда выше 15 Гц, поэтому, если два цветовых сигнала различаются по яркости, наблюдается видимая вспышка. Цель исследователя - регулировать цвет тестируемого источника излучения до тех пор, пока наблюдаемая вспышка не станет минимальной.
Изменением распределения спектральной мощности излучения Р(Л) можно добиться получения любого желательного цветового оттенка. Один из вариантов этого распределения характеризуется максимально возможной световой отдачей. Добиться предельной световой отдачи можно смешением излучения определенной интенсивности от двух монохроматических источников света (МаеAdam, 1950). На рис. 16.8 показаны максимально достижимые значения световой отдачи, получаемые при помощи одной пары монохроматических источников излучения. Максимальная световая отдача белого света зависит от цветовой температуры. При цветовой температуре
Рис. 16.8. Взаимосвязь между максимально возможной световой отдачей (лм/Вт) и координатами цветности {х,у) на цветовой диаграмме МКО 1931 г.
6500 К она составляет ~ 420 лм/Вт, а при более низких цветовых температурах она может превысить ~ 500 лм/Вт. Точное значение световой отдачи определяется положением интересующего оттенка в пределах диапазона белого цвета на цветовой диаграмме.
Действительные значения параметров системы управления практически всегда отличаются от расчетных. Это может вызываться неточностью изготовления отдельных элементов, изменением параметров в процессе хранения и эксплуатации, изменением внешних условий и т. д.
Изменение параметров может привести к изменению статических и динамических свойств системы. Это обстоятельство желательно учесть заранее в процессе проектирования и настройки системы.
параметра,.
или мастные производные от используемого критерия качества / поэтому параметру,
Нулевым индексом сверху отмечено то обстоятельство, что частные производные должны приниматься равными значениям, соответствующим поминальным (расчетным) параметрам.
Функции чувствительности временных характеристик. Посредством этих функций чувствительности оценивается влияние малых отклонений параметров системы от расчетных значений на временные характеристики системы (переходную функцию, функцию веса и др.).
Исходной системой называют систему, у которой все параметры равны расчетным значениям и не имеют вариаций. Этой системе соответствует так называемое основное движение.
Варьированной системой называют такую систему у которой произошли вариации параметров. Движение ее называют варьированным движением.
Дополнительным движением называют разность между варьированным и основным движением.
Пусть исходная система описывается совокупностью нелинейных уравнений первого порядка
Если изменения параметров не вызывают изменения
порядка дифференциального уравнения, то варьированное движение будет описываться совокупностью уравнений
дополнительное движение можно разложить в ряд Тейлора.
Для малых вариаций параметров допустимо ограничиться линейными членами разложения. Тогда получим уравнения первого приближения для дополнительного движения
Частные производные, находящиеся в скобках, должны быть равны их значениям
Таким образом, первое приближение для дополнительного движения может быть найдено при известных функциях чувствительности. Заметим, что использование функций чувствительности удобнее для нахождения дополнительного движения по сравнению с прямой формулой (8.98), так как последняя во многих случаях может дать большие ошибки вследствие необходимости вычитать две близкие величины.
может оказаться необходимым использование второго приближения с удерживанием в ряде Тейлора, кроме линейных, также и квадратичных членов.
приводит к так называемым уравнениям чувствительности
Однако уравнения (8.100) оказываются сложными и решение их затруднительно. Более целесообразен путь структурного построения модели, используемой для нахождения функций чувствительности .
параметра.
В некоторых случаях функции чувствительности получаются дифференцированием известной функции времени па выходе системы. Так, если передаточная функция системы соответствует апериодическому звену второго порядка, то (см. табл. 4.2)
■ 1(0 па выходе будет
даст функцию чувствительности по этому параметру
Пусть рассматриваемая система описывается совокупностью уравнений первого порядка
то уравнениям (8.102) соответствуют нулевые начальные условия.
связана с задающим воздействием зависимостью
Изображение задающего воздействия.
Здесь введена функция чувствительности передаточной функции
Эти зависимости справедливы в том случае, когда вариация параметра а. не меняет порядка характеристического уравнения системы.
Может также использоваться так называемая логарифмическая функция чувствительности
УДК 330.131.7
Котов В.И.
инвестиционного проекта к рискам
Для количественной оценки устойчивости инвестиционного проекта к воздействию рисковых событий можно использовать функции чувствительности . Однако в экономической литературе нередко пишут (например, в ) что существенным недостатком этого метода «является его однофакторность, т. е. ориентированность на изменения только одного фактора проекта, что приводит к недоучету возможной связи между отдельными факторами или недоучету их корреляции». Как будет показано далее, данный недостаток вполне преодолим, если при выборе совокупности риск-параметров (факторов) выделить те из них, для которых взаимозависимость существенна, и учесть ее. Большинство же факторов являются практически независимыми и непосредственный расчет чувствительности по ним вполне обоснован.
Еще одно замечание по поводу использования термина «чувствительность». Для выбранной целевой функции путем поочередного изменения риск-параметров обычно определяют их предельно допустимые значения. Приведенный алгоритм такого расчета реализован в программном пакете Project Expert 6 и некоторые авторы почему-то называют его анализом чувствительности проекта. В дается следующее определение: «Анализ чувствительности. Метод, показывающий как изменяется один фактор в зависимости от другого...». Строго говоря, это не анализ чувствительности, а просто анализ зависимости функции Y от нескольких переменных, образующих вектор х. Заметим, что под чувствительностью в теории систем понимают соответствующие дифференциальные показатели , а именно: абсолютная чувствительность некоторой целевой функции Y(t,x) определяется как ее частная производная по риск-параметру x(i, t):
Возможности метода анализа рисков на основе функций чувствительности, на наш взгляд,
недооценены. В данной статье будет представлена компьютерная модель для расчета функций чувствительности, рассмотрены виды и свойства этих функций. Показано, что подход к чувствительности как динамической характеристике в пределах всего горизонта планирования дает важную информацию о влиянии рисковых событий на финансовые показатели инвестиционных проектов.
Определение и модель расчета функций чувствительности
Вначале дадим определение функции чувствительности. Обозначим целевую функцию проекта через У(г, х), где г - время, х(г) - вектор варьируемых параметров, которые моделируют влияние тех или иных рисковых событий. Относительная чувствительность целевой функции есть отношение относительного отклонения функции к относительному отклонению аргумента (риск-параметра):
^ _ дУ / У _ АУ / У _ А7
Х дх; / X; Аx¡ / X; У АХ;
Здесь и далее время для простоты опущено. В силу того, что относительные чувствительности безразмерны, они более удобны для анализа, поэтому в дальнейшем будем использовать только их, а прилагательное «относительные» для краткости будем опускать. Чем больше чувствительность, тем сильнее оказывает влияние соответствующий риск-параметр на целевую функцию инвестиционного проекта. Численно функция чувствительности показывает: на сколько процентов изменится целевая функция при изменении риск-параметра на один процент.
В экономической теории имеется понятие, аналогичное чувствительности - «эластичность» (спроса и пр.), которое вычисляется по формуле подобной (2). Эластичность как показатель характеризует внешнюю среду бизнеса и обычно
Рис. 1. Блок-схема модели расчета функций чувствительности
не рассматривается как функция времени, а является статическим параметром. Мы будем придерживаться термина «чувствительность», во-первых, потому, что она характеризует внутреннюю среду бизнеса и является характеристикой инвестиционного проекта, а во-вторых, чтобы не путать известный контекст использования термина «эластичность» с динамической характеристикой чувствительности при анализе влияния рисков.
Приведем блок-схему модели расчета функций чувствительностей, в основе которой лежит динамическая модель финансовых потоков проекта (рис. 1). Данная модель была реализована в среде электронных таблиц EXCEL и позволяла одновременно проводить расчеты для пяти вариантов целевых функций, о которых речь пойдет далее.
Здесь основная модель Cash-Flow служит для расчета выбранного сценария инвестиционного проекта, т. е. для получения всех необходимых показателей и значения выбранной целевой функции (одной или нескольких) в ситуации Status Quo. Копия модели служит для расчета измененного значения целевых функций под действием какого-либо риск-параметра.
Из основной модели в копию автоматически (с помощью соответствующих ссылок) передаются все константы. В копии предусмотрено поочередное изменение риск-параметров и выбор длительности воздействия каждого риска. Теперь если в копии изменить какой-либо риск-параметр, то на ее выходе получим измененное значение целевой функции. В блок расчета функций чувствительности из основной модели
поступают исходные значения риск-параметра и целевой функции, а из копии - соответствующие измененные значения. В итоге на основе (2) получаем функции чувствительности в виде таблиц и соответствующих графиков для всего горизонта планирования.
Целевые функции проекта
Выбор целевой функции во многом зависит от вкусов и желаний разработчиков бизнес-плана инвестиционного проекта. В качестве целевой функции можно предложить различные показатели, например:
NPV(T) - чистая текущая стоимость проекта к моменту Т;
Накопленный чистый дисконтированный финансовый поток (Accumulated Discount Net Cash-Flow) ADNCF(T), генерируемый проектом к моменту Т;
Накопленный чистый финансовый поток (Accumulated Net Cash-Flow) ANCF(T), генерируемый проектом к моменту Т (без учета дисконтирования);
Накопленная чистая прибыль (Accumulated Net Profit) ANP(T), генерируемая проектом к моменту Т;
Накопленное сальдо финансовых потоков (состояние расчетного счета проекта) (Accumulated Saldo Cash-Flow) ASCF(T) к моменту Т.
При выборе целевой функции можно использовать не накопленные показатели, а показатели финансовых результатов в отдельных периодах. Однако мы отдаем предпочтение накопленным
показателям, так как это позволяет более строго учесть последствия рисковых событий после окончания их действия в течение всего горизонта планирования.
Сравнение чувствительностей накопленного чистого денежного потока и его дисконтированного аналога показало, что они почти совпадают, так как различия составляли лишь доли процента. Это не удивительно, поскольку при расчете функции чувствительности по (2) дисконтированию подвергаются как числитель (АУ), так и знаменатель (У), что частично приводит к компенсации процедуры дисконтирования.
Если МРУ(Т) используется в качестве целевой функции, то следует иметь в виду, что вблизи точки окупаемости, когда МРУ = 0, функция чувствительности терпит разрыв второго рода, т. е. обращается в бесконечность по определению (2). Это затрудняет использование МРУ в качестве целевой функции вблизи указанной точки, однако вне ее расчетных проблем не возникает.
Если в качестве целевой функции выбрать накопленное сальдо финансовых потоков, то получим
У (х, Т) _ £ [ (х, г) - С^ (х, г)]. (3)
Знание функций чувствительности этой целевой функции будет весьма полезным для оперативного управления состоянием расчетного счета проекта в условиях влияния рисков.
Локальная и глобальная функции чувствительности
При расчете функций чувствительности следует различать краткосрочное и долгосрочное воздействие рисковых событий. Соответственно определим два вида функций чувствительности.
Локальная чувствительность - чувствительность при локальном (краткосрочном во времени) влиянии риск-параметра, т. е. когда отклонение имеет место только в течение одного или нескольких периодов существенно меньших общего горизонта планирования, как показано на рис. 2, а.
Глобальная чувствительность - чувствительность при глобальном (длительном во времени) влиянии риск-параметра, т. е. когда отклонение может иметь место по всему горизонту
планирования, начиная с некоторого момента (рис. 2, б).
Какой из приведенных вариантов чувствительности следует выбрать, зависит от того, как долго будут действовать те или иные рисковые события в реальной ситуации.
Здесь уместна аналогия с анализом реакции линейных систем на основе импульсных и переходных характеристик последних . Если в качестве единичного воздействия в момент т используется дельта-функция Дирака 8(г - т), то реакция системы при нулевых начальных условиях будет численно равна импульсной характеристике системы g(t - т). Если в качестве единичного воздействия в некоторый момент времени используется функция Хэвисайда (единичный скачок) 1(г - т), то реакция системы при нулевых начальных условиях будет численно равна переходной характеристике системы Н(г - т).
В нашем случае роль дельта-функции может играть локальный во времени скачок риск-параметра ЫХ(г - т), тогда реакция инвестиционного проекта будет пропорциональна локальной чувствительность LS(t - т) на заданное воздействие. Функции Хэвисайда 1(г - т) будет соответствовать глобальное во времени изменение риск-параметра ОйХ(г - т), что даст реакцию пропорциональную глобальной функции чувствительности 08(г - т). На рис. 3 приведены соответствующие функциональные аналогии.
Как известно , для линейных систем справедлив принцип суперпозиции, а именно: реакция системы на совокупность воздействий равна сумме реакций на каждое воздействие в отдельности. На основе этого принципа, зная характеристики системы g(t) или Н(г), можно найти и связь между ними, и реакцию системы на воздействие любого вида. В нашем случае из принципа суперпозиции можно получить связь между глобальными и соответствующими локальными функциями чувствительности. Пусть время меняется дискретно:
г = 0, 1, 2, ... п, ... М,
где г = М - горизонт планирования; г = к - момент начала воздействия глобального риска; г = к + ], (] = 0, 1, ... п - к) - моменты существования локальных рисков; г = п > к + ] - произвольный (текущий) момент наблюдения реакции системы на заданное воздействие.
45 40 35 30 25 20 15 10 5 0
50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0
т Ш и И "Ч---*----- п п п........
6 7 8 Период
10 11 12 13 14 15
\ " ^ -1>--О--0 0 0 0 0-- 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Рис. 2. Отклонение значений целевой функции а - при локальном и б - при глобальном воздействии
1 - -О; 2 - х + ах; 3 - У; 4 - У + аУ
Линейная система
Финансовая модель
А ЬБ(г - т) (локальная чувствительность)
Линейная система
Финансовая модель
GdX(г - т) ИП
А GS{г - т) (глобальная чувствительность)
Рис. 3. Аналогии с линейными системами: а - локальная, б - глобальная
Тогда глобальную чувствительность, описывающую реакцию системы на воздействие глобального рискового события, начавшегося в момент г = к и длящегося вплоть до горизонта планирования, можно выразить как суперпозицию локальных чувствительностей, соответствующих совокупности воздействий локальных (длительностью в один период) рисков, появляющихся в моменты от г = к и до г = к + / (/ = 0, 1, ... п - к):
ОБ7^ (п - к) _ (п - к - /), п > к + /. (4)
Следует заметить, что локальные функции чувствительности всегда быстрее убывают, чем одноименные глобальные функции, для всех периодов времени. Это объясняется тем, что локальное действие какого-либо риска длится короткое время, а глобальный риск (равный сумме локальных рисков) действует все время с момента его возникновения и эффект от него накапливается от периода к периоду. Можно говорить, что функции глобальной чувствительности отражают стратегические последствия влияния длительных отклонений параметров на инвестиционный проект. В то же время локальные чувствительности отражают тактические последствия краткосрочных изменений во внешней и внутренней среде бизнеса. Локальные функции чувствительности чаще всего имеют максимум в момент возникновения воздействия того или иного риска и далее относительно быстро убывают по сравнению с глобальной чувствительностью по тому же риск-параметру.
При использовании аналитического аппарата анализа линейных систем следует иметь в виду, что финансовая модель инвестиционного проекта может не быть строго линейной, однако, как показали эксперименты на множестве различных инвестиционных проектов, даже в широких пределах вариаций риск-параметров точность анализа чувствительностей оставалась вполне приемлемой. В и предлагается помимо чувст-вительностей первого порядка (2) использовать чувствительности второго порядка в случаях, когда нелинейность целевой функции по каким-либо риск-параметрам существенна и ею пренебречь нельзя.
Свойства функций чувствительности
Если в качестве риск-параметров выбираются цены продаж производимых товаров в ходе реализации инвестиционного проекта, то в каждом периоде планирования целевая функция (например, накопленный чистый финансовый поток в случае двух товаров) будет иметь вид
У _ а(+ р^) + Ь,
где р12 - цены; 612 - натуральные объемы продаж. Если в качестве риск параметров выбрать выручку от каждого товара р1б1, то с помощью (2) получаем функции чувствительности для рассматриваемого периода:
Нетрудно видеть, что отношение этих функций чувствительности будет равно отношению объемов продаж в денежном выражении соответствующих товаров в данном периоде. Следовательно, структура функций чувствительности по объемам продаж будет в точности соответствовать самой структуре объемов продаж в денежном выражении:
Это вывод справедлив для любого количества товаров, входящих в ассортимент. Если отдельные группы товаров, имеющиеся в ассортименте, имеют различные ставки НДС, то сделанный выше вывод будет справедлив, если в расчетах чувствительности и в расчетах структуры объемов продаж будут использованы цены без НДС. Указанное свойство (7) функций чувствительности позволяет существенно уменьшить объем вычислений последних в случае широкого ассортимента товаров, когда необходимо знать чувствительности по всем товарам.
Рассмотрим знак функции чувствительности. Функция чувствительности будет положительной для всех моментов времени, если с увеличением (уменьшением) отклонения риск-параметра значение целевой функции увеличивается (уменьшается) при условии положительности самой целевой функции. Так, например, чувствительности
Рис. 4. Функции чувствительности сальдо финансовых потоков проекта 1,2, 3 - объемы продаж соответственно; 4 - условно-постоянные и 5 - условно-переменные затраты
накопленного сальдо финансовых потоков к ценам и натуральным объемам продаж произведенных товаров всегда положительны, а чувствительности той же целевой функции к отклонениям любых издержек, а также к банковским ставкам по кредитам всегда отрицательны. Исключением из этого правила будут периоды, когда вместо чистой прибыли имеются убытки. На рис. 4 показаны примеры функций чувствительности.
Как видим, наиболее «опасным» является восьмой период проекта, так как в этом периоде все функции чувствительности будут максимальны. В такие периоды внимание менеджеров к ходу реализации проекта должно быть наибольшим, чтобы удерживать показатели эффективности близкими к запланированным.
Если в качестве целевой функции выбрана МРУ, то ее чувствительность к ценам или натуральным объемам продаж произведенных товаров в «мертвой зоне» (при МРУ < 0) будет отрицательной, а после срока окупаемости - положительной. Знаки чувствительности МРУ к издержкам будут обратными.
Особенности функций чувствительности к колебаниям цен и натуральных объемов продаж
При определении функций чувствительности мы до сих пор полагали, что все риск-параметры являются независимыми. Данное
предположение для большинства параметров вполне оправданно, однако в ряде случаев взаимной зависимостью пренебречь нельзя. Например, если среди множества риск-параметров есть цены р и натуральные объемы продаж Q товаров, произведенных в рамках инвестиционного проекта, то при расчете таких функций чувствительности, как накопленное сальдо финансовых потоков, накопленный чистый финансовый поток (с дисконтированием или без такового) или МРУ, необходимо учесть зависимость 2(р). Если указанную зависимость оценить затруднительно, то при анализе чувствительно-стей в качестве риск-параметров можно выбрать натуральные объемы продаж (0 или выручку от каждой товарной группы (pQ). Для этих риск-параметров указанные целевые функции являются линейными.
Таким образом, функции чувствительности как динамические характеристики инвестиционного проекта совместно с показателями эффективности дают более полную картину для сравнения проектов или сценариев между собой. По рассчитанным функциям чувствительности можно определить те периоды «жизни» инвестиционного проекта, когда влияние риск-параметров наибольшее, т. е. наиболее «опасные» стадии реализации проекта. Как показали многочисленные расчеты, экстремальные значения всех функций чувствительности для выбранного проекта практически совпадают по времени.
Кроме того, сравнивая между собой функции чувствительности по отдельным риск-параметрам, можно ранжировать риски и выявить среди них наиболее существенные, на которых следует сосредоточить основное внимание менеджеров про-
екта. Если построена модель финансового прогноза с блоком анализа чувствительности, то можно провести имитационное моделирование влияния совокупности риск-параметров на выбранную целевую функцию инвестиционного проекта.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Котов В.И. Анализ рисков инвестиционных проектов на основе чувствительности и теории нечетких множеств. СПб.: Судостроение, 2007. 128 с.
2. Котов В.И., Ловцюс В.В. Разработка бизнес-плана: Учеб. пособие. СПб.: Линк, 2008. 136 с.
3. Риск-анализ инвестиционного проекта: Учебник для вузов / Под ред. М.В. Грачевой. М.: Юнити-Дана, 2001. 351 с.
4. Бизнес-анализ с помощью Microsoft Excel: Пер. с англ. М.: Вильямс, 2005. 464 с.
5. Методы теории чувствительности в автоматическом управлении / Под ред. Е.Н. Розенвассера и Р.М. Юсупова. Л.: Энергия. 1971. 344 с.
6. Томович Р., Вукобратович М. Общая теория чувствительности. М.: Сов. радио, 1972.
7. Kuruc A. Financial Geometry // A geometric approach to hedging and risk management. Pearson Education Limited, 2003. 381 p.
8. System sensitivity and adaptivity. Preprints Second IFAC Symposium, Dubrovnih, Ygaslavia, 1968.
9. Tomavic R. Sensitivity analysis of dynamic systems. Belgrade, 1963.
10. Заде Л., Дезоер Ч. Теория линейных систем. (Метод пространства состояний): Пер. с англ. / Под ред. Г.С. Поспелова. М.: Наука, 1970. 704 с.
