W tym miejscu będziemy kontynuować temat operacji na macierzach, który rozpoczęliśmy w pierwszej części i przeanalizować kilka przykładów, w których musimy zastosować kilka operacji na raz.

Podnoszenie matrycy do potęgi.

Niech k będzie nieujemną liczbą całkowitą. Dla dowolnej macierzy kwadratowej $A_(n\times n)$ mamy: $$ A^k=\underbrace(A\cdot A\cdot \ldots \cdot A)_(k \; times) $$

Tutaj zakładamy, że $A^0=E$, gdzie $E$ jest macierzą tożsamości odpowiedniego zamówienia.

Przykład #4

Podana jest macierz $ A=\left(\begin(array) (cc) 1 & 2 \\ -1 & -3 \end(array) \right)$. Znajdź macierze $A^2$ i $A^6$.

Zgodnie z definicją $A^2=A\cdot A$, tj. aby znaleźć $A^2$ wystarczy pomnożyć przez samą macierz $A$. Operacja mnożenia macierzy była rozważana w pierwszej części tematu, więc tutaj po prostu zapisujemy proces rozwiązania bez szczegółowych wyjaśnień:

$$ A^2=A\cdot A=\left(\begin(array) (cc) 1 & 2 \\ -1 & -3 \end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) 1 & 2 \\ -1 & -3 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cc) 1\cdot 1+2\cdot (-1) & 1\cdot 2 +2\cdot (-3) \\ -1\cdot 1+(-3)\cdot (-1) & -1\cdot 2+(-3)\cdot (-3) \end(array) \right )= \left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right). $$

Aby znaleźć macierz $A^6$ mamy dwie możliwości. Opcja pierwsza: trywialne jest dalsze mnożenie $A^2$ przez macierz $A$:

$$ A^6=A^2\cpunkt A\cpunkt A\cpunkt A\cpunkt A. $$

Można jednak postąpić w nieco prostszy sposób, korzystając z własności łączności mnożenia macierzy. Umieśćmy w wyrażeniu nawiasy kwadratowe dla $A^6$:

$$ A^6=A^2\cdot A\cdot A\cdot A\cdot A=A^2\cdot (A\cdot A)\cdot (A\cdot A)=A^2\cdot A^2 \cdot A^2. $$

Jeśli rozwiązanie pierwszej metody wymagałoby czterech operacji mnożenia, to dla drugiej metody - tylko dwie. Przejdźmy więc w drugą stronę:

$$ A^6=A^2\cdot A^2\cdot A^2=\left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)\ cdot \left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (cc) -1\cdot (-1)+(-4)\cdot 2 & -1\cdot (-4 )+(-4)\cdot 7 \\ 2\cdot (-1)+7\cdot 2 & 2\cdot (-4)+7\cdot 7 \end(array) \right)\cdot \left(\ begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cc) -7 & -24 \\ 12 & 41 \end( array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (cc ) -7\cdot(-1)+(-24)\cdot 2 & -7\cdot (-4)+(-24)\cdot 7 \\ 12\cdot (-1)+41\cdot 2 & 12 \cdot (-4)+41\cdot 7 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cc) -41 & -140 \\ 70 & 239 \end(array) \right). $$

Odpowiadać: $A^2=\left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)$, $A^6=\left(\begin(array) (cc) -41 & -140 \\ 70 & 239 \end(array) \right)$.

Przykład nr 5

Dane macierze $ A=\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 0 \\ -1 & 4 & -3 & 6 \end(array) \right)$, $ B=\left(\begin(tablica) (ccc) -9 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 4 \\ 0 & -2 & 3 \\ 1 & 5 & 0 \end (tablica) \right)$, $ C=\left(\begin(tablica) (ccc) -5 & -20 & 13 \\ 10 & 12 & 9 \\ 3 & -15 & 8 \end(array) \ dobrze)$. Znajdź macierz $D=2AB-3C^T+7E$.

Obliczanie macierzy $D$ zaczynamy od znalezienia wyniku iloczynu $AB$. Macierze $A$ i $B$ można pomnożyć, ponieważ liczba kolumn macierzy $A$ jest równa liczbie wierszy macierzy $B$. Oznacz $F=AB$. W tym przypadku macierz $F$ będzie miała trzy kolumny i trzy wiersze, tj. będzie kwadratowy (jeśli to wyprowadzenie wydaje się nieoczywiste, zobacz opis mnożenia macierzy w pierwszej części tego tematu). Znajdź macierz $F$, obliczając wszystkie jej elementy:

$$ F=A\cdot B=\left(\begin(tablica) (cccc) 1 & 0 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 0 \\ -1 & 4 & -3 & 6 \ end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (ccc) -9 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 4 \\ 0 & -2 & 3 \\ 1 & 5 & 0 \ end(array) \right)\\ \begin(aligned) & f_(11)=1\cdot (-9)+0\cdot 2+(-1)\cdot 0+2\cdot 1=-7; \\ & f_(12)=1\cdot 1+0\cdot (-1)+(-1)\cdot (-2)+2\cdot 5=13; \\ & f_(13)=1\cdot 0+0\cdot 4+(-1)\cdot 3+2\cdot 0=-3;\\ \\ & f_(21)=3\cdot (-9 )+(-2)\cdot 2+5\cdot 0+0\cdot 1=-31;\\ & f_(22)=3\cdot 1+(-2)\cdot (-1)+5\cdot (-2)+0\cdot 5=-5;\\ & f_(23)=3\cdot 0+(-2)\cdot 4+5\cdot 3+0\cdot 0=7;\\ \\ & f_(31)=-1\cdot (-9)+4\cdot 2+(-3)\cdot 0+6\cdot 1=23; \\ & f_(32)=-1\cdot 1+4\cdot (-1)+(-3)\cdot (-2)+6\cdot 5=31;\\ & f_(33)=-1 \cdot 0+4\cdot 4+(-3)\cdot 3+6\cdot 0=7. \end(wyrównany) $$

Czyli $F=\left(\begin(array) (ccc) -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \end(array) \right)$. Chodźmy dalej. Macierz $C^T$ jest macierzą transponowaną dla macierzy $C$, tj. $ C^T=\left(\begin(array) (ccc) -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \end(array) \right) $. Jeśli chodzi o macierz $E$, jest to macierz tożsamości. W tym przypadku kolejność tej matrycy wynosi trzy, tj. $E=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end(array) \right)$.

W zasadzie możemy iść dalej krok po kroku, ale lepiej jest rozpatrywać pozostałe wyrażenie jako całość, nie rozpraszając się działaniami pomocniczymi. W rzeczywistości zostają nam tylko operacje mnożenia macierzy przez liczbę, a także operacje dodawania i odejmowania.

$$ D=2AB-3C^T+7E=2\cdot \left(\begin(array) (ccc) -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \ end(array) \right)-3\cdot \left(\begin(array) (ccc) -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \end(array) \ prawo)+7\cdot \left(\begin(tablica) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end(tablica) \right) $$

Pomnóżmy macierze po prawej stronie równości przez odpowiednie liczby (czyli przez 2, 3 i 7):

$$ 2\cdot \left(\begin(array) (ccc) -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \end(array) \right)-3\ cdot \left(\begin(array) (ccc) -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \end(array) \right)+7\cdot \left(\ begin(array) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) - 14 & 26 & -6 \\ -62 & -10 & 14 \\ 46 & 62 & 14 \end(array) \right)-\left(\begin(array) (ccc) -15 & 13 & 9 \\ -60 & 36 & -45 \\ 39 & 27 & 24 \end(tablica) \right)+\left(\begin(tablica) (ccc) 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 i 7 \end(tablica) \right) $$

Zróbmy ostatnie kroki: odejmowanie i dodawanie:

$$ \left(\begin(array) (ccc) -14 & 26 & -6 \\ -62 & -10 & 14 \\ 46 & 62 & 14 \end(array) \right)-\left(\begin (tablica) (ccc) -15 & 30 & 9 \\ -60 & 36 & -45 \\ 39 & 27 & 24 \end(array) \right)+\left(\begin(array) (ccc) 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end(array) \right)=\\ =\left(\begin(array) (ccc) -14-(-15)+7 & 26-30+0 & -6-9+0 \\ -62-(-60)+0 & -10-36+7 & 14-(-45)+0 \\ 46-39+0 & 62-27 +0 & 14-24+7 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \end(tablica)\prawo). $$

Problem rozwiązany, $D=\left(\begin(array) (ccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \end(array) \right)$ .

Odpowiadać: $D=\left(\begin(array) (ccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \end(array) \right)$.

Przykład #6

Niech $f(x)=2x^2+3x-9$ i macierz $ A=\left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right) $. Znajdź wartość $f(A)$.

Jeśli $f(x)=2x^2+3x-9$, to $f(A)$ jest macierzą:

$$ f(A)=2A^2+3A-9E. $$

Tak definiuje się wielomian w macierzy. Zatem musimy podstawić macierz $A$ do wyrażenia na $f(A)$ i otrzymać wynik. Ponieważ wszystkie działania zostały szczegółowo przeanalizowane wcześniej, tutaj po prostu podam rozwiązanie. Jeżeli proces wykonywania operacji $A^2=A\cdot A$ nie jest dla Ciebie jasny, to radzę zajrzeć do opisu mnożenia macierzy w pierwszej części tego tematu.

$$ f(A)=2A^2+3A-9E=2A\cdot A+3A-9E=2 \left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right)+3 \left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right)-9\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array) \right)=\\ =2 \left( \begin(tablica) (cc) (-3)\cdot(-3)+1\cdot 5 & (-3)\cdot 1+1\cdot 0 \\ 5\cdot(-3)+0\cdot 5 & 5\cdot 1+0\cdot 0 \end(array) \right)+3 \left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right)-9 \left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array) \right)=\\ =2 \left(\begin(array) (cc) 14 & -3 \\ - 15 & 5 \end(array) \right)+3 \left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right)-9\left(\begin(array ) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cc) 28 & -6 \\ -30 & 10 \end(array) \right) +\left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 15 & 0 \end(array) \right)-\left(\begin(array) (cc) 9 & 0 \\ 0 & 9 \ end(array) \right)=\left(\begin(array) (cc) 10 & -3 \\ -15 & 1 \end(array) \right). $$

Odpowiadać: $f(A)=\left(\begin(array) (cc) 10 & -3 \\ -15 & 1 \end(array) \right)$.

Niektóre własności operacji na macierzach.
Wyrażenia macierzowe

A teraz nastąpi kontynuacja tematu, w którym rozważymy nie tylko nowy materiał, ale także wypracujemy operacje na macierzach.

Niektóre własności operacji na macierzach

Istnieje wiele właściwości, które odnoszą się do operacji na macierzach, w tej samej Wikipedii można podziwiać smukłe szeregi odpowiednich reguł. Jednak w praktyce wiele właściwości jest w pewnym sensie „martwych”, gdyż tylko niektóre z nich są wykorzystywane w trakcie rozwiązywania rzeczywistych problemów. Moim celem jest rozważenie zastosowania właściwości na konkretne przykłady, a jeśli potrzebujesz rygorystycznej teorii, skorzystaj z innego źródła informacji.

Rozważ kilka wyjątki od reguły wymagane do wykonywania zadań praktycznych.

Jeśli macierz kwadratowa ma odwrotna macierz, to ich mnożenie jest przemienne:

macierz jednostkowa nazywa się macierzą kwadratową z główna przekątna jednostki są zlokalizowane, a pozostałe elementy są równe zeru. Na przykład: itp.

W którym następująca właściwość jest prawdziwa: jeśli dowolna macierz jest mnożona lewo czy prawo przez macierz jednostkową o odpowiednich rozmiarach, to wynikiem jest macierz pierwotna:

Jak widać, zachodzi tu również przemienność mnożenia macierzy.

Weźmy jakąś macierz, no powiedzmy macierz z poprzedniego zadania: .

Zainteresowani mogą sprawdzić i upewnić się, że:

Macierz jednostkowa dla macierzy jest odpowiednikiem jednostki liczbowej dla liczb, co szczególnie wyraźnie widać na przedstawionych przykładach.

Przemienność czynnika liczbowego względem mnożenia macierzy

W przypadku macierzy i liczb rzeczywistych obowiązuje następująca właściwość:

Oznacza to, że czynnik liczbowy może (i powinien) zostać przesunięty do przodu, aby „nie kolidował” z macierzami mnożenia.

Notatka : Ogólnie rzecz biorąc, sformułowanie własności jest niepełne - „lambda” można umieścić w dowolnym miejscu między matrycami, nawet na końcu. Reguła pozostaje ważna, jeśli mnoży się co najmniej trzy macierze.

Przykład 4

Oblicz produkt

Rozwiązanie:

(1) Według własności przesuń czynnik liczbowy do przodu. Samych matryc nie można przestawiać!

(2) - (3) Wykonaj mnożenie macierzy.

(4) Tutaj możesz podzielić każdą liczbę 10, ale wtedy wśród elementów macierzy pojawią się ułamki dziesiętne, co nie jest dobre. Zauważamy jednak, że wszystkie liczby w macierzy są podzielne przez 5, więc każdy element mnożymy przez .

Odpowiadać:

Mała szarada do samodzielnego rozwiązania:

Przykład 5

Oblicz jeśli

Rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.

Jaka technika jest ważna w trakcie rozwiązywania podobne przykłady? Radzenie sobie z liczbami ostatni .

Do lokomotywy dołączmy kolejny wagon:

Jak pomnożyć trzy macierze?

Przede wszystkim JAKI powinien być wynik mnożenia trzech macierzy? Kot nie urodzi myszy. Jeśli mnożenie macierzy jest wykonalne, to wynikiem będzie również macierz. Cóż, mój nauczyciel algebry nie rozumie, jak wytłumaczę domkliwość struktury algebraicznej względem jej elementów =)

Iloczyn trzech macierzy można obliczyć na dwa sposoby:

1) znajdź, a następnie pomnóż przez macierz „ce”: ;

2) najpierw znajdź , a następnie wykonaj mnożenie.

Wyniki z konieczności będą się pokrywać i teoretycznie właściwość ta nazywana jest asocjatywnością mnożenia macierzy:

Przykład 6

Mnożenie macierzy na dwa sposoby

Algorytm rozwiązania dwuetapowy: znajdź iloczyn dwóch macierzy, a następnie ponownie znajdź iloczyn dwóch macierzy.

1) Użyj wzoru

Akcja pierwsza:

Działanie drugie:

2) Użyj wzoru

Akcja pierwsza:

Działanie drugie:

Odpowiadać:

Bardziej znajomy i standardowy jest oczywiście pierwszy sposób rozwiązania, tam „jakby wszystko było w porządku”. Przy okazji, o zamówieniu. W rozważanym zadaniu często pojawia się złudzenie, że mówimy o jakiejś permutacji macierzy. Nie ma ich tu. Przypominam ci jeszcze raz, że ogólnie NIE ZAMIENIĆ MATRYC. Tak więc w drugim akapicie w drugim kroku wykonujemy mnożenie, ale w żadnym wypadku. Przy zwykłych liczbach taka liczba by minęła, ale nie przy macierzach.

Własność asocjatywności mnożenia obowiązuje nie tylko dla kwadratów, ale także dla dowolnych macierzy - o ile są one mnożone:

Przykład 7

Znajdź iloczyn trzech macierzy

To jest przykład zrób to sam. W przykładowym rozwiązaniu obliczenia przeprowadzono na dwa sposoby, przeanalizuj, który sposób jest bardziej opłacalny i krótszy.

Własność asocjatywności mnożenia macierzy zachodzi dla większej liczby czynników.

Teraz czas wrócić do mocy macierzy. Kwadrat matrycy rozważany jest na samym początku i na porządku dziennym jest pytanie:

Jak ułożyć w kostkę macierz i wyższe moce?

Te operacje są również zdefiniowane tylko dla macierzy kwadratowych. Aby podnieść kwadratową macierz do sześcianu, musisz obliczyć iloczyn:

W rzeczywistości jest to szczególny przypadek mnożenia trzech macierzy, zgodnie z właściwością łączności mnożenia macierzy: . A macierz pomnożona przez siebie jest kwadratem macierzy:

W ten sposób otrzymujemy działającą formułę:

Oznacza to, że zadanie wykonuje się w dwóch krokach: najpierw macierz musi zostać podniesiona do kwadratu, a następnie otrzymana macierz jest mnożona przez macierz.

Przykład 8

Podnieś macierz do sześcianu.

To mały problem do samodzielnego rozwiązania.

Podniesienie macierzy do czwartej potęgi odbywa się w sposób naturalny:

Korzystając z asocjatywności mnożenia macierzy, wyprowadzamy dwie działające formuły. Po pierwsze: jest iloczynem trzech macierzy.

jeden) . Innymi słowy, najpierw znajdujemy, potem mnożymy przez „być” - otrzymujemy sześcian, a na koniec ponownie wykonujemy mnożenie - będzie czwarty stopień.

2) Ale jest rozwiązanie o krok krótsze: . Oznacza to, że w pierwszym kroku znajdujemy kwadrat i omijając sześcian wykonujemy mnożenie

Zadanie dodatkowe do przykładu 8:

Podnieś macierz do czwartej potęgi.

Jak już wspomniano, można to zrobić na dwa sposoby:

1) Jak tylko sześcian jest znany, wykonujemy mnożenie.

2) Jeżeli jednak, zgodnie ze stanem problemu, wymagane jest zbudowanie macierzy dopiero w czwartym stopniu, wtedy korzystne jest skrócenie ścieżki - znajdź kwadrat macierzy i użyj wzoru .

Oba rozwiązania i odpowiedź znajdują się na końcu lekcji.

Podobnie matryca jest podnoszona do potęgi piątej i wyższej. Z praktycznego doświadczenia mogę powiedzieć, że czasami zdarzają się przykłady podnoszenia na IV stopień, ale czegoś już z V stopnia nie pamiętam. Ale na wszelki wypadek podam optymalny algorytm:

1) znaleźć;
2) znaleźć;
3) podnieść macierz do potęgi piątej: .

Oto być może wszystkie główne właściwości operacji na macierzach, które mogą być przydatne w praktycznych problemach.

W drugiej części lekcji przewidziana jest nie mniej kolorowa impreza.

Wyrażenia macierzowe

Powtórzmy zwykłe szkolne wyrażenia z liczbami. Wyrażenie numeryczne składa się z liczb, symboli matematycznych i nawiasów, na przykład: . W obliczeniach ważny jest znany priorytet algebraiczny: po pierwsze, zdanie wtrącone, a następnie wykonane potęgowanie / ekstrakcja korzeni, po mnożenie / dzielenie i wreszcie - dodawanie odejmowanie.

Jeśli wyrażenie numeryczne ma sens, to wynikiem jego oceny jest liczba, na przykład:

Wyrażenia macierzowe prawie dokładnie to samo! Z tą różnicą, że głównymi aktorami są macierze. Plus kilka specyficznych operacji na macierzach, takich jak transpozycja i znajdowanie odwrotności macierzy.

Rozważ wyrażenie macierzowe , gdzie są jakieś macierze. To wyrażenie macierzowe ma trzy wyrazy, a operacje dodawania/odejmowania są wykonywane jako ostatnie.

W pierwszym terminie najpierw musisz transponować macierz „be” , a następnie wykonać mnożenie i dodać „dwa” do otrzymanej macierzy. zauważ, że operacja transpozycji ma wyższy priorytet niż operacja mnożenia. Nawiasy, podobnie jak w wyrażeniach liczbowych, zmieniają kolejność operacji: - tutaj najpierw wykonuje się mnożenie, a następnie wynikową macierz transponuje się i mnoży przez 2.

W drugim terminie najpierw wykonuje się mnożenie macierzy, a macierz odwrotna jest już znaleziona z produktu. Jeśli usunięto nawiasy: , to najpierw musisz znaleźć macierz odwrotną , a następnie pomnożyć macierze: . Znalezienie macierzy odwrotnej również ma pierwszeństwo przed mnożeniem.

Z trzecim wyrazem wszystko jest oczywiste: podnosimy macierz do sześcianu i do otrzymanej macierzy dodajemy „piątkę”.

Jeśli wyrażenie macierzowe ma sens, to wynikiem jego oceny jest macierz.

Wszystkie zadania będą z prawdziwego kontrola działa, a zaczniemy od najprostszego:

Przykład 9

Dane macierzy . Odnaleźć:

Rozwiązanie: kolejność operacji jest oczywista, najpierw wykonuje się mnożenie, potem dodawanie.

Dodanie nie jest możliwe, ponieważ matryce mają różne rozmiary.

Nie zdziw się, w tego typu zadaniach często oferowane są oczywiście działania niemożliwe.

Spróbujmy obliczyć drugie wyrażenie:

Tutaj wszystko wporządku.

Odpowiadać: akcja nie może być wykonana, .

W lipcu 2020 NASA rozpoczyna wyprawę na Marsa. statek kosmiczny dostarczy na Marsa Media elektroniczne z nazwiskami wszystkich zarejestrowanych członków wyprawy.

Jeśli ten post rozwiązał Twój problem lub po prostu Ci się spodobał, udostępnij link do niego znajomym w sieciach społecznościowych.

Jedną z tych opcji kodu należy skopiować i wkleić do kodu strony internetowej, najlepiej między tagami oraz lub zaraz po tagu . Zgodnie z pierwszą opcją, MathJax ładuje się szybciej i mniej spowalnia stronę. Ale druga opcja automatycznie śledzi i ładuje najnowsze wersje MathJaxa. Jeśli wstawisz pierwszy kod, będzie on musiał być okresowo aktualizowany. Jeśli wkleisz drugi kod, strony będą ładować się wolniej, ale nie będziesz musiał stale monitorować aktualizacji MathJaxa.

Najprostszym sposobem na połączenie MathJax jest Blogger lub WordPress: w panelu sterowania witryny dodaj widżet przeznaczony do wstawiania kodu JavaScript innej firmy, skopiuj do niego pierwszą lub drugą wersję powyższego kodu ładowania i umieść widżet bliżej początek szablonu (nawiasem mówiąc, wcale nie jest to konieczne, ponieważ skrypt MathJax jest ładowany asynchronicznie). To wszystko. Teraz poznaj składnię znaczników MathML, LaTeX i ASCIIMathML i możesz osadzić formuły matematyczne na swoich stronach internetowych.

Kolejny sylwester... mroźna pogoda i płatki śniegu na szybie... To wszystko skłoniło mnie do ponownego napisania o... fraktalach io tym, co wie o tym Wolfram Alpha. Z tej okazji ukazał się ciekawy artykuł, w którym znajdują się przykłady dwuwymiarowych struktur fraktalnych. Tutaj rozważymy bardziej złożone przykłady trójwymiarowych fraktali.

Fraktal może być wizualnie przedstawiony (opisany) jako figura geometryczna lub ciało (co oznacza, że ​​oba są zbiorem, w tym przypadku zbiorem punktów), których szczegóły mają taki sam kształt jak sama oryginalna figura. Oznacza to, że jest to struktura samopodobna, biorąc pod uwagę szczegóły, których po powiększeniu zobaczymy ten sam kształt, co bez powiększenia. Natomiast w przypadku zwykłego figura geometryczna(nie fraktal), po zbliżeniu zobaczymy szczegóły, które mają prostszy kształt niż sama oryginalna figura. Na przykład przy wystarczająco dużym powiększeniu część elipsy wygląda jak odcinek linii prostej. Nie dzieje się tak z fraktalami: przy każdym ich wzroście ponownie zobaczymy ten sam złożony kształt, który z każdym wzrostem będzie się powtarzał.

Benoit Mandelbrot, twórca nauki o fraktalach, w swoim artykule Fractale and Art for Science napisał: „Fraktale to kształty geometryczne, które są tak złożone w swoich szczegółach, jak w swojej ogólnej formie. zostanie powiększony do wielkości całości, będzie wyglądał jak całość, lub dokładnie, a może z nieznaczną deformacją.

Algebra liniowa dla manekinów

Aby studiować algebrę liniową, możesz przeczytać i zagłębić się w książkę I. V. Belousova „Macierze i determinanty”. Jest jednak napisany ścisłym i suchym językiem matematycznym, który jest trudny do zrozumienia dla ludzi o przeciętnym umyśle. Dlatego powtórzyłem najtrudniejsze do zrozumienia fragmenty tej książki, starając się przedstawić materiał tak wyraźnie, jak to możliwe, wykorzystując do tego jak najwięcej rysunków. Pominąłem dowody twierdzeń. Szczerze mówiąc, sam w nie nie wchodziłem. Wierzę panu Belousov! Sądząc po jego pracy, jest kompetentnym i inteligentnym matematykiem. Możesz pobrać jego książkę na http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Belousov2006ru.pdf Jeśli zamierzasz zagłębić się w moją pracę, musisz to zrobić, ponieważ często będę odwoływać się do Belousova.

Zacznijmy od definicji. Czym jest macierz? Jest to prostokątna tablica liczb, funkcji lub wyrażeń algebraicznych. Dlaczego potrzebne są macierze? Znacznie ułatwiają kompleks obliczenia matematyczne. Macierz można podzielić na wiersze i kolumny (rys. 1).

Wiersze i kolumny są numerowane od lewej strony

na górze (Rysunek 1-1). Kiedy mówią: macierz o rozmiarze m n (lub m na n), mają na myśli przez m liczba linii, i pod n liczba kolumn. Na przykład macierz na rysunku 1-1 ma wymiary 4 na 3, a nie 3 na 4.

Spójrz na rys. 1-3, jakie są macierze. Jeśli macierz składa się z jednego wiersza, nazywana jest macierzą wierszową, a jeśli składa się z jednej kolumny, nazywana jest macierzą kolumnową. Macierz nazywa się kwadratem n-tego rzędu, jeśli liczba wierszy w niej jest równa liczbie kolumn i jest równa n. Jeżeli wszystkie elementy macierzy są zerowe, to jest to macierz zerowa. Macierz kwadratowa nazywana jest przekątną, jeśli wszystkie jej elementy są równe zeru, z wyjątkiem tych znajdujących się na głównej przekątnej.

Od razu wyjaśnię, jaka jest główna przekątna. Ma takie same numery wierszy i kolumn. Przechodzi od lewej do prawej, od góry do dołu. (Rys. 3) Elementy nazywane są przekątnymi, jeśli znajdują się na głównej przekątnej. Jeśli wszystkie elementy przekątne są równe jeden (a pozostałe zero), macierz nazywa się tożsamością. Mówi się, że dwie macierze A i B o tym samym rozmiarze są równe, jeśli wszystkie ich elementy są takie same.

2 Operacje na macierzach i ich własności

Iloczyn macierzy przez liczbę x jest macierzą o tym samym rozmiarze. Aby uzyskać ten produkt, musisz pomnożyć każdy element przez tę liczbę (ryc. 4). Aby uzyskać sumę dwóch macierzy tego samego rozmiaru, musisz dodać odpowiadające im elementy (ryc. 4). Aby otrzymać różnicę A - B dwóch macierzy tej samej wielkości, należy pomnożyć macierz B przez -1 i dodać otrzymaną macierz do macierzy A (rys. 4). W przypadku operacji na macierzach prawdziwe są następujące własności: A+B=B+A (własność przemienności).

(A + B)+C = A+(B + C) (właściwość łączności). Mówiąc prościej, suma nie zmienia się od zmiany miejsc terminów. W przypadku operacji na macierzach i liczbach prawdziwe są następujące właściwości:

(oznaczmy liczby jako x i y, a macierze jako A i B) x(yA)=(xy)A

Te właściwości są podobne do właściwości operujących na liczbach. Widzieć

przykłady na rysunku 5. Zobacz także przykłady Belousova 2.4 - 2.6 na stronie 9.

Mnożenie macierzy.

Mnożenie dwóch macierzy jest definiowane tylko wtedy, gdy (w tłumaczeniu na rosyjski: macierze można mnożyć tylko wtedy), gdy liczba kolumn pierwszej macierzy w iloczynie jest równa liczbie wierszy drugiej (rys. 7 powyżej, niebieskie nawiasy). Aby lepiej zapamiętać: numer 1 przypomina bardziej kolumnę. W wyniku mnożenia otrzymuje się macierz wielkości (patrz rysunek 6). Aby łatwiej było zapamiętać, przez co pomnożyć, proponuję następujący algorytm: patrz rysunek 7. Mnożymy macierz A przez macierz B.

macierz A dwie kolumny,

macierz B ma dwa wiersze - można mnożyć.

1) Zajmijmy się pierwszą kolumną macierzy B (ma tylko jedną kolumnę). Piszemy tę kolumnę w wierszu (transponuj

o transpozycji nieco niżej).

2) Kopiujemy tę linię, aby otrzymać macierz wielkości macierzy A.

3) Elementy tej macierzy mnożymy przez odpowiednie elementy macierzy A.

4) Dodajemy powstałe produkty w każdej linii i otrzymujemy macierz produktu składająca się z dwóch wierszy i jednej kolumny.

Rysunek 7-1 przedstawia przykłady mnożenia macierzy, które są większe.

1) Tutaj pierwsza macierz ma trzy kolumny, więc druga powinna mieć trzy wiersze. Algorytm jest dokładnie taki sam jak w poprzednim przykładzie, tylko tutaj w każdym wierszu są trzy wyrazy, a nie dwa.

2) Tutaj druga macierz ma dwie kolumny. Najpierw wykonujemy algorytm z pierwszą kolumną, potem z drugą i otrzymujemy macierz dwa na dwa.

3) Tutaj kolumna drugiej macierzy składa się z jednego elementu, kolumna nie zmieni się od transpozycji. I nie musisz nic dodawać, ponieważ pierwsza macierz ma tylko jedną kolumnę. Wykonujemy algorytm trzy razy i otrzymujemy macierz trzy na trzy.

Zachodzą następujące właściwości:

1. Jeżeli istnieje suma B + C i iloczyn AB, to A (B + C) = AB + AC

2. Jeśli iloczyn AB istnieje, to x (AB) = (xA) B = A (xB).

3. Jeżeli istnieją produkty AB i BC, to A (BC) = (AB) C .

Jeżeli iloczyn macierzy AB istnieje, to iloczyn BA nie musi istnieć. Nawet jeśli istnieją produkty AB i BA, mogą okazać się matrycami o różnych rozmiarach.

Oba produkty AB i BA istnieją i są macierzami tej samej wielkości tylko w przypadku macierzy kwadratowych A i B tego samego rzędu. Jednak nawet w tym przypadku AB może nie równać się BA.

Potęgowanie

Podnoszenie macierzy do potęgi ma sens tylko w przypadku macierzy kwadratowych (pomyśl dlaczego?). Wtedy dodatnia potęga całkowita m macierzy A jest iloczynem macierzy m równych A. Tak samo jak dla liczb. Potęga zerowa macierzy kwadratowej A jest macierzą jednostkową tego samego rzędu co A. Jeśli zapomniałeś, czym jest macierz jednostkowa, spójrz na ryc. 3.

Podobnie jak w przypadku liczb, zachodzą następujące relacje:

A mA k=A m+k (A m)k=A mk

Zobacz przykłady z Biełousowa na stronie 20.

Transpozycja macierzy

Transpozycja to przekształcenie macierzy A w macierz AT,

w którym wiersze macierzy A są wpisywane do kolumn AT z zachowaniem kolejności. (rys. 8). Można to powiedzieć w inny sposób:

kolumny macierzy A są wpisywane w wiersze macierzy AT z zachowaniem porządku. Zwróć uwagę, jak transpozycja zmienia rozmiar macierzy, czyli liczbę wierszy i kolumn. Zwróć również uwagę, że elementy w pierwszym wierszu, pierwszej kolumnie i ostatnim wierszu, ostatniej kolumnie pozostają na swoim miejscu.

Zachodzą następujące własności: (AT )T =A (transpozycja

matryca dwa razy - otrzymujesz tę samą matrycę)

(xA)T \u003d xAT (x oznacza liczbę, A oczywiście macierz) (jeśli musisz pomnożyć macierz przez liczbę i transponować, możesz najpierw pomnożyć, a następnie transponować lub odwrotnie)

(A+B)T = AT +BT (AB)T =BT AT

Matryce symetryczne i antysymetryczne

Rysunek 9 pokazuje symetryczną macierz w lewym górnym rogu. Jego elementy symetryczne względem głównej przekątnej są równe. A teraz definicja: macierz kwadratowa

A nazywamy symetrycznym, jeśli AT =A . Oznacza to, że macierz symetryczna nie zmienia się podczas transpozycji. W szczególności każda macierz diagonalna jest symetryczna. (Taka macierz pokazana jest na ryc. 2).

Teraz spójrz na macierz antysymetryczną (rysunek 9 na dole). Czym różni się od symetrycznego? Zauważ, że wszystkie jego przekątne elementy są równe zeru. Macierze antysymetryczne mają wszystkie elementy diagonalne równe zero. Pomyśl dlaczego? Definicja: Macierz kwadratowa A nazywa się

antysymetryczna, jeśli AT = -A . Zwróćmy uwagę na niektóre własności operacji na symetrycznych i antysymetrycznych

macierze. 1. Jeśli A i B są macierzami symetrycznymi (antysymetrycznymi), to A + B jest również macierzą symetryczną (antysymetryczną).

2. Jeśli A jest macierzą symetryczną (antysymetryczną), to xA jest również macierzą symetryczną (antysymetryczną). (w rzeczywistości, jeśli pomnożysz macierze z rysunku 9 przez jakąś liczbę, symetria zostanie zachowana)

3. Iloczyn AB dwóch symetrycznych lub dwóch antysymetrycznych macierzy A i B jest macierzą symetryczną dla AB = BA i antysymetryczną dla AB =-BA.

4. Jeśli A jest macierzą symetryczną, to A m (m = 1, 2, 3,...) jest macierzą symetryczną. Jeśli

Macierz antysymetryczna, to Am (m = 1, 2, 3,...) jest macierzą symetryczną dla parzystych m i antysymetryczną dla nieparzystych m.

5. Dowolną macierz kwadratową A można przedstawić jako sumę dwóch macierzy. (nazwijmy te macierze, na przykład A(s) i A(a) )

A=A(a)+A(a)

Należy zauważyć, że tylko macierze kwadratowe są podatne na tę operację. Równa liczba wierszy i kolumn - wymagany warunek podnieść macierz do potęgi. Podczas obliczeń macierz zostanie pomnożona przez siebie wymaganą liczbę razy.

Ten kalkulator online jest przeznaczony do wykonywania operacji podnoszenia macierzy do potęgi. Dzięki jego zastosowaniu nie tylko szybko poradzisz sobie z tym zadaniem, ale także uzyskasz jasne i szczegółowe wyobrażenie o samym przebiegu kalkulacji. Pomoże to lepiej skonsolidować materiał uzyskany teoretycznie. Widząc przed sobą szczegółowy algorytm obliczeniowy, lepiej zrozumiesz wszystkie jego subtelności, a następnie będziesz w stanie uniknąć błędów w obliczeniach ręcznych. Ponadto nigdy nie zaszkodzi sprawdzić swoje obliczenia, a najlepiej jest to również zrobić tutaj.

Aby podnieść macierz do potęgi online, będziesz potrzebować kilku prostych kroków. Przede wszystkim określ rozmiar matrycy, klikając ikony „+” lub „-” po jej lewej stronie. Następnie wprowadź liczby w polu matrycy. Trzeba też określić moc do jakiej podnoszona jest matryca. A potem wystarczy kliknąć przycisk: "Oblicz" na dole pola. Wynik będzie wiarygodny i dokładny, jeśli dokładnie i poprawnie wprowadzisz wszystkie wartości. Wraz z nim otrzymasz szczegółowy opis rozwiązania.