W tym miejscu będziemy kontynuować temat operacji na macierzach zapoczątkowany w pierwszej części i przeanalizujemy kilka przykładów, w których trzeba będzie wykonać kilka operacji naraz.

Potęgowanie macierzy.

Niech k będzie nieujemną liczbą całkowitą. Dla dowolnej macierzy kwadratowej $ A_ (n \\ razy n) $ mamy: $$ A ^ k \u003d \\ underbrace (A \\ cdot A \\ cdot \\ ldots \\ cdot A) _ (k \\; times) $$

Ponadto zakładamy, że $ A ^ 0 \u003d E $, gdzie $ E $ jest macierzą tożsamości odpowiedniego rzędu.

Przykład nr 4

Podano macierz $ A \u003d \\ left (\\ begin (array) (cc) 1 & 2 \\\\ -1 & -3 \\ end (array) \\ right) $. Znajdź macierze $ A ^ 2 $ i $ A ^ 6 $.

Zgodnie z definicją $ A ^ 2 \u003d A \\ cdot A $, czyli aby znaleźć $ A ^ 2 $ musimy po prostu pomnożyć macierz $ A $ przez samą siebie. Operacja mnożenia macierzy została rozważona w pierwszej części tematu, więc tutaj po prostu opiszemy proces rozwiązania bez szczegółowych wyjaśnień:

$$ A ^ 2 \u003d A \\ cdot A \u003d \\ left (\\ begin (array) (cc) 1 & 2 \\\\ -1 & -3 \\ end (array) \\ right) \\ cdot \\ left (\\ begin (array) (cc) 1 & 2 \\\\ -1 & -3 \\ end (array) \\ right) \u003d \\ left (\\ begin (array) (cc) 1 \\ cdot 1 + 2 \\ cdot (-1) & 1 \\ cdot 2 +2 \\ cdot (-3) \\\\ -1 \\ cdot 1 + (- 3) \\ cdot (-1) & -1 \\ cdot 2 + (- 3) \\ cdot (-3) \\ end (array) \\ right ) \u003d \\ left (\\ begin (array) (cc) -1 & -4 \\\\ 2 & 7 \\ end (array) \\ right). $$

Aby znaleźć macierz $ A ^ 6 $ mamy dwie możliwości. Opcja pierwsza: banalne jest dalsze mnożenie $ A ^ 2 $ przez macierz $ A $:

$$ A ^ 6 \u003d A ^ 2 \\ cdot A \\ cdot A \\ cdot A \\ cdot A. $$

Możesz jednak pójść w nieco prostszy sposób, używając właściwości asocjatywności mnożenia macierzy. Umieśćmy nawiasy w wyrażeniu na $ A ^ 6 $:

$$ A ^ 6 \u003d A ^ 2 \\ cdot A \\ cdot A \\ cdot A \\ cdot A \u003d A ^ 2 \\ cdot (A \\ cdot A) \\ cdot (A \\ cdot A) \u003d A ^ 2 \\ cdot A ^ 2 \\ cdot A ^ 2. $$

Jeśli rozwiązanie pierwszej metody wymagałoby czterech operacji mnożenia, to w przypadku drugiej metody tylko dwie. Dlatego przejdźmy w drugą stronę:

$$ A ^ 6 \u003d A ^ 2 \\ cdot A ^ 2 \\ cdot A ^ 2 \u003d \\ left (\\ begin (array) (cc) -1 & -4 \\\\ 2 & 7 \\ end (array) \\ right) \\ 2 & 7 \\ end (array) \\ right) \u003d \\\\ \u003d \\ left (\\ begin (array) (cc) -1 \\ cdot (-1) + (- 4) \\ cdot 2 & -1 \\ cdot (-4 ) + (- 4) \\ cdot 7 \\\\ 2 \\ cdot (-1) +7 \\ cdot 2 & 2 \\ cdot (-4) +7 \\ cdot 7 \\ end (array) \\ right) \\ cdot \\ left (\\ tablica) \\ right) \\ cdot \\ left (\\ begin (array) (cc) -1 & -4 \\\\ 2 & 7 \\ end (tablica) \\ right) \u003d \\\\ \u003d \\ left (\\ begin (array) (cc ) -7 \\ cdot (-1) + (- 24) \\ cdot 2 & -7 \\ cdot (-4) + (- 24) \\ cdot 7 \\\\ 12 \\ cdot (-1) +41 \\ cdot 2 & 12 \\ cdot (-4) +41 \\ cdot 7 \\ end (array) \\ right) \u003d \\ left (\\ begin (array) (cc) -41 & -140 \\\\ 70 & 239 \\ end (array) \\ right). $$

Odpowiedź: $ A ^ 2 \u003d \\ left (\\ begin (array) (cc) -1 & -4 \\\\ 2 & 7 \\ end (array) \\ right) $, $ A ^ 6 \u003d \\ left (\\ begin (array) (cc) -41 i -140 \\\\ 70 i 239 \\ end (array) \\ right) $.

Przykład nr 5

Dane macierzy $ A \u003d \\ left (\\ begin (array) (cccc) 1 & 0 & -1 & 2 \\\\ 3 & -2 & 5 & 0 \\\\ -1 & 4 & -3 & 6 \\ end (array) \\ right) $, $ B \u003d \\ left (\\ begin (array) (ccc) -9 & 1 & 0 \\\\ 2 & -1 & 4 \\\\ 0 & -2 & 3 \\\\ 1 & 5 & 0 \\ end (tablica) \\ po prawej) $, $ C \u003d \\ left (\\ begin (array) (ccc) -5 & -20 & 13 \\\\ 10 & 12 & 9 \\\\ 3 & -15 & 8 \\ end (array) \\ Znajdź macierz $ D \u003d 2AB-3C ^ T + 7E $.

Obliczanie macierzy $ D $ zaczynamy od znalezienia wyniku iloczynu $ AB $. Macierze $ A $ i $ B $ można pomnożyć, ponieważ liczba kolumn w macierzy $ A $ jest równa liczbie wierszy w macierzy $ B $. Oznaczmy $ F \u003d AB $. W tym przypadku macierz $ F $ będzie miała trzy kolumny i trzy wiersze, tj. będzie kwadratowa (jeśli ten wniosek nie wydaje się oczywisty, zobacz opis mnożenia macierzy w pierwszej części tego tematu). Znajdźmy macierz $ F $ obliczając wszystkie jej elementy:

$$ F \u003d A \\ cdot B \u003d \\ left (\\ begin (array) (cccc) 1 & 0 & -1 & 2 \\\\ 3 & -2 & 5 & 0 \\\\ -1 & 4 & -3 & 6 \\ end (tablica) \\ right) \\\\ \\ begin (wyrównane) & f_ (11) \u003d 1 \\ cdot (-9) +0 \\ cdot 2 + (- 1) \\ cdot 0 + 2 \\ cdot 1 \u003d -7; \\\\ & f_ (12) \u003d 1 \\ cdot 1 + 0 \\ cdot (-1) + (- 1) \\ cdot (-2) +2 \\ cdot 5 \u003d 13; \\\\ & f_ (13) \u003d 1 \\ cdot 0 + 0 \\ cdot 4 + (- 1) \\ cdot 3 + 2 \\ cdot 0 \u003d -3; \\\\ \\\\ & f_ (21) \u003d 3 \\ cdot (-9 ) + (- 2) \\ cdot 2 + 5 \\ cdot 0 + 0 \\ cdot 1 \u003d -31; \\\\ & f_ (22) \u003d 3 \\ cdot 1 + (- 2) \\ cdot (-1) +5 \\ cdot (-2) +0 \\ cdot 5 \u003d -5; \\\\ & f_ (23) \u003d 3 \\ cdot 0 + (- 2) \\ cdot 4 + 5 \\ cdot 3 + 0 \\ cdot 0 \u003d 7; \\\\ \\\\ \\\\ & f_ (32) \u003d - 1 \\ cdot 1 + 4 \\ cdot (-1) + (- 3) \\ cdot (-2) +6 \\ cdot 5 \u003d 31; \\\\ & f_ (33) \u003d - 1 \\ cdot 0 + 4 \\ cdot 4 + (- 3) \\ cdot 3 + 6 \\ cdot 0 \u003d 7. \\ end (aligned) $$

Więc $ F \u003d \\ left (\\ begin (array) (ccc) -7 & 13 & -3 \\\\ -31 & -5 & 7 \\\\ 23 & 31 & 7 \\ end (array) \\ right) $. Idźmy dalej. Macierz $ C ^ T $ jest transpozycją macierzy $ C $, tj. $ C ^ T \u003d \\ left (\\ begin (array) (ccc) -5 & 10 & 3 \\\\ -20 & 12 & -15 \\\\ 13 & 9 & 8 \\ end (array) \\ right) $. Jeśli chodzi o macierz $ E $, to jest to macierz jednostkowa. W tym przypadku kolejność tej macierzy wynosi trzy, tj. $ E \u003d \\ left (\\ begin (array) (ccc) 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \\ end (array) \\ right) $.

W zasadzie możemy nadal postępować krok po kroku, ale lepiej rozważyć pozostałe wyrażenie w całości, nie rozpraszając się działaniami pomocniczymi. W rzeczywistości pozostają nam tylko operacje mnożenia macierzy przez liczbę, a także operacje dodawania i odejmowania.

$$ D \u003d 2AB-3C ^ T + 7E \u003d 2 \\ cdot \\ left (\\ begin (array) (ccc) -7 i 13 i -3 \\\\ -31 i -5 i 7 \\\\ 23 i 31 i 7 \\ right) +7 \\ cdot \\ left (\\ begin (array) (ccc) 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \\ end (array) \\ right) $$

Macierze po prawej stronie równości mnożymy przez odpowiednie liczby (tj. 2, 3 i 7):

$$ 2 \\ cdot \\ left (\\ begin (array) (ccc) -7 & 13 & -3 \\\\ -31 & -5 & 7 \\\\ 23 & 31 & 7 \\ end (array) \\ right) -3 \\ begin (array) (ccc) 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \\ end (array) \\ right) \u003d \\\\ \u003d \\ left (\\ begin (array) (ccc) - 14 & 26 & -6 \\\\ -62 & -10 & 14 \\\\ 46 & 62 & 14 \\ end (array) \\ right) - \\ left (\\ begin (array) (ccc) -15 & 13 & 9 \\\\ 0 & 7 \\ end (tablica) \\ right) $$

Wykonajmy ostatnie kroki: odejmowanie i dodawanie:

$$ \\ left (\\ begin (array) (ccc) -14 & 26 & -6 \\\\ -62 & -10 & 14 \\\\ 46 & 62 & 14 \\ end (array) \\ right) - \\ left (\\ begin (tablica) (ccc) -15 i 30 i 9 \\\\ -60 i 36 i -45 \\\\ 39 i 27 i 24 \\ end (tablica) \\ right) + \\ left (\\ begin (array) (ccc) 7 & 0 i 0 \\\\ 0 i 7 i 0 \\\\ 0 i 0 i 7 \\ end (tablica) \\ right) \u003d \\\\ \u003d \\ left (\\ begin (array) (ccc) -14 - (- 15) +7 & 26-30 + 0 i -6-9 + 0 \\\\ -62 - (- 60) +0 i -10-36 + 7 i 14 - (- 45) +0 \\\\ 46-39 + 0 i 62-27 +0 i 14-24 + 7 \\ end (tablica) \\ right) \u003d \\ left (\\ begin (array) (ccc) 8 & -4 & -15 \\\\ -2 & -39 & 59 \\\\ 7 & 35 & -3 \\ end (tablica) \\ right). $$

Problem rozwiązany, $ D \u003d \\ left (\\ begin (array) (ccc) 8 & -4 & -15 \\\\ -2 & -39 & 59 \\\\ 7 & 35 & -3 \\ end (array) \\ right) $ ...

Odpowiedź: $ D \u003d \\ left (\\ begin (array) (ccc) 8 & -4 & -15 \\\\ -2 & -39 & 59 \\\\ 7 & 35 & -3 \\ end (array) \\ right) $.

Przykład nr 6

Niech $ f (x) \u003d 2x ^ 2 + 3x-9 $ i macierz $ A \u003d \\ left (\\ begin (array) (cc) -3 & 1 \\\\ 5 & 0 \\ end (array) \\ right) $. Znajdź wartość $ f (A) $.

Jeśli $ f (x) \u003d 2x ^ 2 + 3x-9 $, to przez $ f (A) $ mamy na myśli macierz:

$$ f (A) \u003d 2A ^ 2 + 3A-9E. $$

W ten sposób definiuje się wielomian macierzy. Musimy więc podstawić macierz $ A $ do wyrażenia dla $ f (A) $ i otrzymać wynik. Ponieważ wszystkie działania zostały szczegółowo omówione wcześniej, tutaj podam tylko rozwiązanie. Jeśli proces wykonywania operacji $ A ^ 2 \u003d A \\ cdot A $ nie jest dla Ciebie jasny, to radzę przyjrzeć się opisowi mnożenia macierzy w pierwszej części tego tematu.

$$ f (A) \u003d 2A ^ 2 + 3A-9E \u003d 2A \\ cdot A + 3A-9E \u003d 2 \\ left (\\ begin (array) (cc) -3 & 1 \\\\ 5 & 0 \\ end (array) \\ right) \\ cdot \\ left (\\ begin (array) (cc) -3 & 1 \\\\ 5 & 0 \\ end (array) \\ right) +3 \\ left (\\ begin (array) (cc) -3 & 1 \\\\ 5 & 0 \\ end (tablica) \\ right) -9 \\ left (\\ begin (array) (cc) 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \\ end (array) \\ right) \u003d \\\\ \u003d 2 \\ left ( \\ begin (array) (cc) (-3) \\ cdot (-3) +1 \\ cdot 5 & (-3) \\ cdot 1 + 1 \\ cdot 0 \\\\ 5 \\ cdot (-3) +0 \\ cdot 5 & 5 \\ cdot 1 + 0 \\ cdot 0 \\ end (array) \\ right) +3 \\ left (\\ begin (array) (cc) -3 & 1 \\\\ 5 & 0 \\ end (array) \\ right) -9 \\ left (\\ begin (array) (cc) 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \\ end (array) \\ right) \u003d \\\\ \u003d 2 \\ left (\\ begin (array) (cc) 14 & -3 \\\\ - 15 i 5 \\ end (tablica) \\ right) +3 \\ left (\\ begin (array) (cc) -3 & 1 \\\\ 5 & 0 \\ end (array) \\ right) -9 \\ left (\\ begin (tablica ) (cc) 1 i 0 \\\\ 0 i 1 \\ end (tablica) \\ right) \u003d \\ left (\\ begin (array) (cc) 28 i -6 \\\\ -30 i 10 \\ end (tablica) \\ right) + \\ left (\\ begin (array) (cc) -9 i 3 \\\\ 15 i 0 \\ end (array) \\ right) - \\ left (\\ begin (array) (cc) 9 i 0 \\\\ 0 i 9 \\ $$

Odpowiedź: $ f (A) \u003d \\ left (\\ begin (array) (cc) 10 & -3 \\\\ -15 & 1 \\ end (array) \\ right) $.

Wybrane własności operacji na macierzach.
Wyrażenia macierzowe

A teraz nastąpi kontynuacja tematu, w którym rozważymy nie tylko nowy materiał, ale także wypracujemy operacje na macierzach.

Wybrane własności operacji na macierzach

Istnieje kilka właściwości, które odnoszą się do działań z macierzami, w tej samej Wikipedii można podziwiać uporządkowane rzędy odpowiednich reguł. Jednak w praktyce wiele właściwości jest w pewnym sensie „martwych”, ponieważ tylko kilka z nich służy do rozwiązywania rzeczywistych problemów. Moim celem jest przyjrzenie się zastosowaniu właściwości na konkretnych przykładach, a jeśli potrzebujesz ścisłej teorii, skorzystaj z innego źródła informacji.

Rozważ kilka wyjątki od regułyktóre będą potrzebne do wykonywania praktycznych zadań.

Jeśli macierz kwadratowa ma macierz odwrotna , to ich mnożenie jest przemienne:

Macierz jednostek nazywana jest macierzą kwadratową, w której na główna przekątna jednostki są zlokalizowane, a pozostałe elementy są równe zero. Na przykład: itp.

W którym następująca właściwość jest prawdziwa: jeśli mnożona jest dowolna macierz lewo czy prawo na macierzy tożsamości o odpowiednich rozmiarach, wynikiem będzie oryginalna macierz:

Jak widać, tutaj również zachodzi przemienność mnożenia macierzy.

Weźmy jakąś macierz, powiedzmy, macierz z poprzedniego problemu: .

Zainteresowani mogą sprawdzić i upewnić się, że:

Macierz identyczności macierzy jest analogiem jednostki numerycznej dla liczb, co jest szczególnie wyraźnie widoczne w właśnie rozważanych przykładach.

Przemienność czynnika liczbowego ze względu na mnożenie macierzy

W przypadku macierzy i liczb rzeczywistych prawdziwa jest następująca właściwość:

Oznacza to, że współczynnik liczbowy może (i powinien) zostać przesunięty do przodu, aby nie „przeszkadzał” w mnożeniu macierzy.

Uwaga : Ogólnie rzecz biorąc, wyrażenie właściwości jest niekompletne - „lambda” można umieścić w dowolnym miejscu między macierzami, nawet na końcu. Reguła pozostaje prawdziwa, jeśli pomnożone są trzy lub więcej macierzy.

Przykład 4

Oblicz produkt

Decyzja:

(1) Według właściwości przesunąć czynnik liczbowy do przodu. Samych matryc nie można przestawiać!

(2) - (3) Wykonaj mnożenie macierzy.

(4) Tutaj możesz podzielić każdą liczbę przez 10, ale wtedy wśród elementów macierzy pojawią się ułamki dziesiętne, co nie jest dobre. Jednak zauważamy, że wszystkie liczby w macierzy są podzielne przez 5, więc każdy element mnożymy przez.

Odpowiedź:

Mała szarada na samodzielne rozwiązanie:

Przykład 5

Oblicz, czy

Rozwiązanie i odpowiedź na koniec lekcji.

Jaka technika jest ważna podczas rozwiązywania takich przykładów? Radzenie sobie z liczbą nie mniej ważny .

Podepnijmy kolejny wagon do lokomotywy:

Jak pomnożyć trzy macierze?

Przede wszystkim CO powinno być wynikiem pomnożenia trzech macierzy? Kot nie urodzi myszy. Jeśli mnożenie macierzy jest możliwe, wynik również będzie macierzą. Hmmm, mój nauczyciel algebry nie widzi, jak wyjaśnić zamknięcie struktury algebraicznej w stosunku do jej elementów \u003d)

Iloczyn trzech macierzy można obliczyć na dwa sposoby:

1) znajdź, a następnie pomnóż przez macierz „tse” :;

2) albo najpierw znajdź, a potem pomnóż.

Wyniki na pewno będą zgodne i teoretycznie ta właściwość nazywa się asocjatywnością mnożenia macierzy:

Przykład 6

Mnożenie macierzy na dwa sposoby

Algorytm rozwiązania dwuetapowy: znajdź iloczyn dwóch macierzy, a następnie ponownie znajdź iloczyn dwóch macierzy.

1) Używamy wzoru

Pierwsza akcja:

Druga akcja:

2) Używamy wzoru

Pierwsza akcja:

Druga akcja:

Odpowiedź:

Im bardziej znane i standardowe jest oczywiście pierwsze rozwiązanie, jest „wszystko w porządku”. Przy okazji, o zamówieniu. W rozważanym problemie często pojawia się złudzenie, że mówimy o pewnego rodzaju permutacjach macierzy. Nie ma ich tu. Jeszcze raz przypominam ogólnie NIE WYMIANA MATRYCY... Tak więc w drugim kroku, w drugim kroku, wykonujemy mnożenie, ale w żadnym wypadku. Przy zwykłych liczbach taka liczba by minęła, ale przy macierzach - nie.

Własność asocjatywności mnożenia obowiązuje nie tylko dla kwadratu, ale także dla dowolnych macierzy - jeśli tylko zostaną pomnożone:

Przykład 7

Znajdź iloczyn trzech macierzy

To jest przykład rozwiązania zrób to sam. W przykładowym rozwiązaniu obliczenia wykonywane są na dwa sposoby, analizuj, który z nich jest bardziej opłacalny i krótszy.

Właściwość asocjatywności mnożenia macierzy zachodzi dla większej liczby czynników.

Nadszedł czas, aby powrócić do potęg macierzy. Kwadrat macierzy jest rozważany na samym początku, a na porządku obrad jest pytanie:

Jak kostkować macierz i wyższe moce?

Te operacje są również zdefiniowane tylko dla macierzy kwadratowych. Aby zbudować kwadratową macierz do sześcianu, musisz obliczyć iloczyn:

W rzeczywistości jest to szczególny przypadek mnożenia trzech macierzy przez właściwość asocjatywności mnożenia macierzy: A macierz pomnożona przez siebie jest kwadratem macierzy:

W ten sposób otrzymujemy działającą formułę:

Oznacza to, że zadanie jest wykonywane w dwóch etapach: najpierw macierz należy podnieść do kwadratu, a następnie wynikową macierz należy pomnożyć przez macierz.

Przykład 8

Cube macierz.

To małe zadanie dla niezależnego rozwiązania.

Podniesienie macierzy do czwartej potęgi odbywa się w naturalny sposób:

Korzystając z asocjatywności mnożenia macierzy, wyprowadzamy dwie działające formuły. Pierwsza: jest iloczynem trzech macierzy.

1). Innymi słowy, najpierw znajdujemy, potem mnożymy przez „bh” - otrzymujemy sześcian, a na koniec ponownie mnożymy - będzie czwarty stopień.

2) Ale jest rozwiązanie o krok krótsze: Oznacza to, że w pierwszym kroku znajdujemy kwadrat i pomijając sześcian, wykonujemy mnożenie

Dodatkowe ćwiczenie dla przykładu 8:

Podnieś macierz do czwartej potęgi.

Jak już wspomniano, można to zrobić na dwa sposoby:

1) Jak tylko sześcian jest znany, wykonujemy mnożenie.

2) Jeżeli jednak zgodnie ze stwierdzeniem problemu wymagane jest skonstruowanie macierzy tylko do czwartego stopnia, wówczas korzystne jest skrócenie ścieżki - znajdź kwadrat macierzy i użyj wzoru.

Oba rozwiązania i odpowiedź znajdują się na końcu lekcji.

Podobnie macierz jest podnoszona do piątej i wyższej potęgi. Z praktycznego doświadczenia mogę powiedzieć, że czasami spotykam się z przykładami podnoszenia się na IV stopień, ale nie pamiętam piątego stopnia. Ale na wszelki wypadek podam optymalny algorytm:

1) znaleźć;
2) znaleźć;
3) podnosimy macierz do piątej potęgi:

To być może wszystkie główne właściwości operacji macierzowych, które mogą być przydatne w praktycznych problemach.

W drugiej części lekcji spodziewana jest równie kolorowa impreza.

Wyrażenia macierzowe

Powtórzmy zwykłe wyrażenia szkolne z liczbami. Wyrażenie liczbowe składa się z liczb, symboli matematycznych i nawiasów, na przykład: ... Podczas obliczania obowiązuje znajomy priorytet algebraiczny: pierwszy nawiasynastępnie wykonany potęgowanie / ekstrakcja korzeni, następnie mnożenie / dzielenie Ostatni ale nie mniej ważny - dodawanie odejmowanie.

Jeśli wyrażenie liczbowe ma sens, wynikiem jego oceny jest liczbanp .:

Wyrażenia macierzowe są ułożone w podobny sposób! Z tą różnicą, że głównymi bohaterami są matryce. Plus pewne operacje specyficzne dla macierzy, takie jak transpozycja i odwrotne wyszukiwanie macierzy.

Rozważmy wyrażenie macierzowe , gdzie są jakieś macierze. W tym wyrażeniu macierzowym trzy wyrazy i operacje dodawania / odejmowania są wykonywane jako ostatnie.

W pierwszym terminie musisz najpierw przetransponować macierz „bie”:, następnie pomnożyć i dodać „dwa” do otrzymanej macierzy. zauważ, że operacja transpozycji ma pierwszeństwo przed mnożeniem... Nawiasy, podobnie jak w wyrażeniach numerycznych, zmieniają kolejność działań: - w tym przypadku najpierw wykonywane jest mnożenie, następnie wynikowa macierz jest transponowana i mnożona przez 2.

W drugim terminie mnożenie macierzy jest wykonywane jako pierwsze, a macierz odwrotna jest znajdowana z iloczynu. Jeśli nawiasy zostaną usunięte:, to najpierw musisz znaleźć macierz odwrotną, a następnie pomnożyć macierze :. Znalezienie odwrotności macierzy ma również pierwszeństwo przed mnożeniem.

W przypadku trzeciego członu wszystko jest oczywiste: podnosimy macierz do sześcianu i dodajemy „piątkę” do otrzymanej macierzy.

Jeśli wyrażenie macierzowe ma sens, to wynikiem jego oceny jest macierz.

Wszystkie zadania będą pochodzić z prawdziwych testów, a zaczniemy od najprostszych:

Przykład 9

Podane macierze ... Znaleźć:

Decyzja: Kolejność jest oczywista, najpierw wykonywane jest mnożenie, a następnie dodawanie.

Dodatek jest niemożliwy, ponieważ matryce mają różne rozmiary.

Nie dziw się, w zadaniach tego typu często sugerowane są celowo niemożliwe działania.

Próbuję ocenić drugie wyrażenie:

Tutaj wszystko wporządku.

Odpowiedź: akcja nie może zostać wykonana, .

W lipcu 2020 roku NASA rozpocznie ekspedycję na Marsa. Statek kosmiczny dostarczy na Marsa elektroniczny nośnik z nazwiskami wszystkich zarejestrowanych członków ekspedycji.

Jeśli ten post rozwiązał Twój problem lub po prostu go polubił, udostępnij link do niego znajomym w sieciach społecznościowych.

Jeden z tych wariantów kodu należy skopiować i wkleić do kodu swojej strony internetowej, najlepiej między tagami i lub zaraz po tagu ... Zgodnie z pierwszą opcją MathJax ładuje się szybciej i mniej spowalnia stronę. Ale druga opcja automatycznie śledzi i ładuje najnowsze wersje MathJaxa. Jeśli wstawisz pierwszy kod, będzie on wymagał okresowej aktualizacji. Jeśli wstawisz drugi kod, strony będą ładować się wolniej, ale nie będziesz musiał stale monitorować aktualizacji MathJax.

Najłatwiejszym sposobem na połączenie MathJaxa jest Blogger lub WordPress: na pulpicie nawigacyjnym witryny dodaj widżet do wstawiania kodu JavaScript innej firmy, skopiuj do niego pierwszą lub drugą wersję powyższego kodu do pobrania i umieść widget bliżej początku szablonu (nawiasem mówiąc, nie jest to wcale konieczne ponieważ skrypt MathJax jest ładowany asynchronicznie). To wszystko. Teraz poznaj składnię znaczników MathML, LaTeX i ASCIIMathML i możesz już osadzać formuły matematyczne na stronach internetowych swojej witryny.

Kolejny Sylwester… mroźna pogoda i płatki śniegu na szybie… To wszystko skłoniło mnie do ponownego napisania o… fraktalach i tym, co wie o tym Wolfram Alpha. Jest na ten temat ciekawy artykuł, który zawiera przykłady dwuwymiarowych struktur fraktalnych. Tutaj przyjrzymy się bardziej złożonym przykładom fraktali 3D.

Fraktal można wizualizować (opisać) jako figurę geometryczną lub ciało (co oznacza, że \u200b\u200boba są zbiorem, w tym przypadku zbiorem punktów), których szczegóły mają taki sam kształt jak sama oryginalna figura. Oznacza to, że jest to struktura samopodobna, biorąc pod uwagę szczegóły, których przy powiększeniu zobaczymy ten sam kształt, co bez powiększenia. Natomiast w przypadku regularnego kształtu geometrycznego (nie fraktala), po powiększeniu zobaczymy szczegóły, które mają prostszy kształt niż sam pierwotny kształt. Na przykład przy dostatecznie dużym powiększeniu część elipsy wygląda jak odcinek linii. Nie dzieje się tak w przypadku fraktali: przy każdym ich wzroście ponownie zobaczymy ten sam złożony kształt, który będzie się powtarzał z każdym wzrostem.

Benoit Mandelbrot, twórca nauki o fraktalach, napisał w swoim artykule Fractals and Art for Science: „Fraktale to kształty geometryczne, które są równie złożone w szczegółach, jak w ich ogólnej formie. część fraktala zostanie powiększona do rozmiaru całości, będzie wyglądać jak całość, lub dokładnie, a może z niewielką deformacją. "

Algebra liniowa dla opornych

Aby studiować algebrę liniową, możesz przeczytać i zagłębić się w książkę IV Belousova „Matrices and Determinants”. Jednak jest napisany surowym i suchym językiem matematycznym, który jest trudny do zrozumienia dla osób o przeciętnym umyśle. Dlatego też przedstawiłem najtrudniejsze do zrozumienia miejsca w tej książce, starając się przedstawić materiał tak jasno, jak to tylko możliwe, wykorzystując jak najwięcej zdjęć. Pominąłem dowody twierdzeń. Szczerze mówiąc, sam się w nie nie zagłębiałem. Wierzę, panie Belousov! Sądząc po jego pracy, jest piśmiennym i inteligentnym matematykiem. Możesz pobrać jego książkę pod adresem http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Belousov2006ru.pdfJeśli masz zamiar zagłębić się w moją pracę, musisz to zrobić, ponieważ często będę odwoływał się do Belousova.

Zacznijmy od definicji. Co to jest matryca? Jest to prostokątna tabela liczb, funkcji lub wyrażeń algebraicznych. Dlaczego potrzebne są matryce? Znacznie ułatwiają złożone obliczenia matematyczne. Macierz wyróżnia się wierszami i kolumnami (rys. 1).

Wiersze i kolumny są numerowane począwszy od lewej strony

od góry (rysunek 1-1). Kiedy mówią: macierz o rozmiarze m n (lub m na n), mają na myśli m liczba liniii pod n liczba kolumn... Na przykład macierz na rysunku 1-1 to „4 na 3” zamiast „3 na 4”.

Patrz rys. 1-3, jakie są macierze. Jeśli macierz składa się z jednego wiersza, nazywana jest macierzą wierszową, a jeśli składa się z jednej kolumny, jest to macierz kolumnowa. Macierz nazywana jest kwadratowym n-tym porządkiem, jeśli liczba wierszy jest równa liczbie kolumn i jest równa n. Jeśli wszystkie elementy macierzy są równe zero, to jest to macierz zerowa. Macierz kwadratowa nazywana jest przekątną, jeśli wszystkie jej elementy są równe zero, z wyjątkiem tych znajdujących się na głównej przekątnej.

Od razu wyjaśniam, jaka jest główna przekątna. Ma te same numery wierszy i kolumn. Przechodzi od lewej do prawej od góry do dołu. (Rys. 3) Elementy nazywane są przekątnymi, jeśli znajdują się na głównej przekątnej. Jeśli wszystkie elementy przekątne są równe jeden (a reszta jest równa zero), macierz nazywana jest macierzą tożsamości. Mówi się, że dwie macierze A i B tego samego rozmiaru są równe, jeśli wszystkie ich elementy są takie same.

2 Działania na macierzach i ich własności

Iloczyn macierzy x to macierz o tym samym rozmiarze. Aby otrzymać ten iloczyn, musisz pomnożyć każdy element przez tę liczbę (rysunek 4). Aby otrzymać sumę dwóch macierzy o tym samym rozmiarze, należy dodać ich odpowiednie elementy (ryc.4). Aby otrzymać różnicę A - B dwóch macierzy tego samego rozmiaru, należy pomnożyć macierz B przez -1 i dodać otrzymaną macierz z macierzą A (ryc. 4). W przypadku operacji na macierzach prawdziwe są następujące właściwości: A + B \u003d B + A (właściwość przemienna).

(A + B) + C \u003d A + (B + C) (właściwość asocjatywności). Mówiąc prosto, suma nie zmienia się od zmiany miejsc terminów. W przypadku operacji na macierzach i liczbach prawdziwe są następujące właściwości:

(liczby oznaczamy literami xiy, a macierze literami A i B) x (yA) \u003d (xy) A

Te właściwości są podobne do właściwości operacji na liczbach. Widzieć

przykłady na rysunku 5. Zobacz także przykłady 2.4 - 2.6 autorstwa Belousova na stronie 9.

Mnożenie macierzy.

Mnożenie dwóch macierzy jest definiowane tylko wtedy, gdy (przetłumaczone na rosyjski: macierze można pomnożyć tylko wtedy, gdy), gdy liczba kolumn pierwszej macierzy w iloczynu jest równa liczbie wierszy drugiej (ryc. 7, powyżej, niebieskie nawiasy). Aby lepiej zapamiętać: cyfra 1 bardziej przypomina kolumnę.W wyniku mnożenia uzyskuje się macierz wielkości (patrz rysunek 6). Aby ułatwić sobie zapamiętanie, co pomnożyć przez co, proponuję następujący algorytm: patrz rysunek 7. Mnożenie macierzy A przez macierz B.

macierz A to dwie kolumny,

macierz B ma dwa wiersze - możesz pomnożyć.

1) Zajmijmy się pierwszą kolumną macierzy B (ona ma tylko jedną). Zapisujemy tę kolumnę w wierszu (transpozycja

kolumna, o transpozycji tuż poniżej).

2) Skopiuj tę linię, aby otrzymać macierz wielkości macierzy A.

3) Mnożymy elementy tej macierzy przez odpowiadające im elementy macierzy A.

4) Dodajemy wynikowe prace w każdej linii i otrzymujemymacierz iloczynu składająca się z dwóch wierszy i jednej kolumny.

Rysunek 7-1 przedstawia przykłady większego mnożenia macierzy.

1) Tutaj pierwsza macierz ma trzy kolumny, więc druga powinna mieć trzy wiersze. Algorytm jest dokładnie taki sam jak w poprzednim przykładzie, tylko tutaj w każdym wierszu są trzy wyrazy, a nie dwa.

2) Tutaj druga macierz ma dwie kolumny. Najpierw wykonujemy algorytm z pierwszą kolumną, potem z drugą i otrzymujemy macierz dwa na dwa.

3) Tutaj druga macierz ma kolumnę składającą się z jednego elementu, kolumna nie zmieni się od transpozycji. I nie musisz niczego dodawać, ponieważ w pierwszej macierzy jest tylko jedna kolumna. Uruchamiamy algorytm trzykrotnie i otrzymujemy macierz trzy na trzy.

Mają miejsce następujące właściwości:

1. Jeśli istnieje suma B + C i iloczyn AB, to A (B + C) \u003d AB + AC

2. Jeśli iloczyn AB istnieje, to x (AB) \u003d (xA) B \u003d \u003d A (xB).

3. Jeśli istnieją produkty AB i BC, to A (BC) \u003d (AB) C.

Jeśli istnieje iloczyn macierzy AB, to iloczyn BA może nie istnieć. Nawet jeśli istnieją produkty AB i BA, mogą okazać się matrycami o różnych rozmiarach.

Oba iloczyny AB i BA istnieją i są macierzami tej samej wielkości tylko w przypadku macierzy kwadratowych A i B tego samego rzędu. Jednak nawet w tym przypadku AB może nie być równe BA.

Potęgowanie

Potęgowanie macierzy ma sens tylko w przypadku macierzy kwadratowych (pomyśl dlaczego?). Wtedy dodatnia liczba całkowita m macierzy A jest iloczynem m macierzy równych A. To samo co dla liczb. Zerowy stopień kwadratowej macierzy A jest rozumiany jako macierz jednostkowa tego samego rzędu co A. Jeśli zapomniałeś, czym jest macierz jednostkowa, spójrz na rys. 3.

Podobnie jak w przypadku liczb, zachodzą następujące relacje:

A mA k \u003d A m + k (A m) k \u003d A mk

Zobacz przykłady z Biełousowa na stronie 20.

Macierze transponowane

Transpozycja to transformacja macierzy A do macierzy AT,

w którym wiersze macierzy A są zapisywane w kolumnach AT z zachowaniem kolejności. (rys.8). Inny sposób powiedzenia:

kolumny macierzy A są zapisywane w wierszach macierzy AT z zachowaniem kolejności. Zwróć uwagę, jak transpozycja zmienia rozmiar macierzy, to znaczy liczbę wierszy i kolumn. Zwróć również uwagę, że elementy w pierwszym wierszu, pierwszej kolumnie i ostatnim wierszu i ostatniej kolumnie pozostają na miejscu.

Zachowują następujące właściwości: (AT) T \u003d A (transpozycja

matrix dwa razy - otrzymasz tę samą matrycę)

(xA) T \u003d xAT (x oznacza liczbę, A oczywiście macierz) (jeśli chcesz pomnożyć macierz przez liczbę i transponować, możesz najpierw pomnożyć, a następnie transponować lub odwrotnie)

(A + B) T \u003d AT + BT (AB) T \u003d BT AT

Macierze symetryczne i antysymetryczne

Rysunek 9 przedstawia symetryczną macierz w lewym górnym rogu. Jego elementy, symetryczne względem głównej przekątnej, są równe. A teraz definicja: macierz kwadratowa

A nazywa się symetrycznym, jeśli AT \u003d A. Oznacza to, że symetryczna macierz nie zmienia się podczas transpozycji. W szczególności każda macierz diagonalna jest symetryczna. (Taką macierz pokazano na rys. 2).

Teraz spójrz na macierz antysymetryczną (rysunek 9, na dole). Czym różni się od symetrycznej? Zauważ, że wszystkie jego przekątne elementy mają wartość zero. W przypadku macierzy antysymetrycznych wszystkie elementy przekątne są równe zeru. Pomyśl, dlaczego? Definicja: Nazywa się macierz kwadratową A.

antysymetryczny, jeśli AT \u003d -A. Zwróćmy uwagę na pewne właściwości operacji na symetrii i antysymetrii

matryce. 1. Jeśli A i B są macierzami symetrycznymi (antysymetrycznymi), to A + B jest również macierzą symetryczną (antysymetryczną).

2. Jeśli A jest macierzą symetryczną (antysymetryczną), to xA jest również macierzą symetryczną (antysymetryczną). (w rzeczywistości, jeśli pomnożymy macierze z rysunku 9 przez pewną liczbę, symetria zostanie zachowana)

3. Iloczyn AB dwóch symetrycznych lub dwóch antysymetrycznych macierzy A i B jest macierzą symetryczną dla AB \u003d BA i antysymetryczną dla AB \u003d-BA.

4. Jeśli A jest macierzą symetryczną, to Am (m \u003d 1, 2, 3, ...) jest macierzą symetryczną. Jeśli

Macierz antysymetryczna, to Am (m \u003d 1, 2, 3, ...) Jest macierzą symetryczną dla parzystego mi macierzą antysymetryczną dla nieparzystego m.

5. Dowolną macierz kwadratową A można przedstawić jako sumę dwóch macierzy. (nazwijmy te macierze, na przykład A (s) i A (a))

A \u003d A (s) + A (a)

Należy zauważyć, że do tej operacji nadają się tylko macierze kwadratowe. Równa liczba wierszy i kolumn jest warunkiem wstępnym podniesienia macierzy do potęgi. Podczas obliczeń macierz zostanie pomnożona przez siebie wymaganą liczbę razy.

Ten kalkulator online jest przeznaczony do wykonywania operacji podnoszenia macierzy do potęgi. Dzięki jego zastosowaniu nie tylko szybko poradzisz sobie z tym zadaniem, ale także uzyskasz jasny i szczegółowy obraz samego procesu obliczeniowego. Pomoże to lepiej utrwalić materiał uzyskany w teorii. Widząc przed sobą szczegółowy algorytm obliczeniowy, lepiej zrozumiesz wszystkie jego subtelności, a następnie będziesz w stanie uniknąć błędów w ręcznych obliczeniach. Ponadto podwójne sprawdzanie obliczeń nigdy nie boli, i najlepiej to zrobić tutaj.

Aby podnieść matrycę online, potrzebujesz serii prostych kroków. Przede wszystkim określ rozmiar matrycy, klikając ikonę „+” lub „-” po jej lewej stronie. Następnie wprowadź liczby w polu macierzy. Musisz także wskazać stopień podniesienia macierzy. A potem wystarczy kliknąć przycisk: „Oblicz” u dołu pola. Wynik będzie wiarygodny i dokładny, jeśli wszystkie wartości zostaną wprowadzone ostrożnie i poprawnie. Wraz z nim otrzymasz szczegółowy zapis rozwiązania.