Pytania do lekcji:
· Pamiętaj, co nazywa się jednomianem;
· Pamiętaj, jak doprowadzić jednomiany do standardowej postaci;
· Omów współczynniki i stopnie jednomianów;
· Pamiętaj, które jednomiany są podobne.
Materiał lekcji
Najpierw pamiętajmy, co nazywa się jednomianem.
Definicja.
Monomial nazywana jest iloczynem liczb i stopni zmiennych z naturalnymi wykładnikami.
Liczby i stopnie zmiennych są również brane pod uwagę jednomiany.
Ale wywoływana jest liczba 0 (zero) zero jednomianu.
Zadanie.
Na ekranie są zapisane następujące wyrażenia:
Wybierzmy, które z powyższych wyrażeń są jednomianami, a które nie. Po kolei rozważymy każde wyrażenie.
Decyzja:
Zwróć uwagę, że w ostatnim jednomianu możemy pomnożyć liczby i stopnie z tymi samymi zasadami między sobą. Dlatego bardzo ważną rolę podczas pracy z jednomianami odgrywa dobrze znany twierdzenia o stopniu.
Pamiętajmy o nich. to mnożenie i podział stopni o tej samej podstawie, potęgowanie, i mnożenie i podział stopni z tymi samymi wskaźnikamiale z różnych powodów.
Wróćmy do naszego ostatniego jednomianu i uprość go.
Mamy jednomian :.
Ten rodzaj jednomianu nazywa się standard.
Pamiętaj, że w jednomianu standardowej postaci czynniki są ułożone w określonej kolejności: na pierwszym miejscu jest czynnik liczbowy, zapisany liczbami, po którym następuje iloczyn potęg różnych zmiennych.
W takim przypadku powinieneś wiedzieć, że zwyczajowo pisze się listy jednomianami standardowej formy w porządku alfabetycznym.
Nawiasem mówiąc, każdy jednomian można sprowadzić do standardowej postaci. Odwołanie algorytm redukcji jednomianu do postaci standardowej.
Aby doprowadzić jednomian do standardowego formularza, potrzebujesz:
1) pomnóż wszystkie czynniki liczbowe;
2) na pierwszym miejscu umieścić wynikowy współczynnik liczbowy;
3) pomnóż wszystkie stopnie, czyli uzyskaj część literową.
Przykład.
Doprowadź jednomian do standardowej postaci: 
.
Decyzja: oddzielnie mnożymy czynniki liczbowe i oddzielnie stopnie zmiennych. W rezultacie otrzymujemy
Zauważ, że każda liczba jest standardowym jednomianem.
Zadanie.
Wśród jednomianów :; ; ; ; określ jednomiany o standardowej formie.
Decyzja: Chociaż pierwszy jednomian jest iloczynem, zauważ, że zmienna b jest w nim powtórzona dwukrotnie. A to sugeruje, że nie jest napisane w standardowej formie.
Tego samego nie można powiedzieć o drugim jednomianu. Jest to iloczyn liczby i stopnia zmiennej. Oznacza to, że jest napisany w standardowej formie.
Następny jednomian jest iloczynem liczby i potęg zmiennych. Ponadto wszystkie zmienne są zapisane w kolejności alfabetycznej. Dlatego jest napisany w standardowej formie.
Czwarty jednomian to iloczyn. Należy jednak pamiętać, że współczynnik liczbowy nie jest uproszczony. Oznacza to, że ten jednomian nie jest zapisywany w standardowej formie.
I ostatni jednomian. Jest to iloczyn liczby i potęg zmiennych. Ponadto wszystkie zmienne są zapisane w kolejności alfabetycznej. Dlatego jest napisany w standardowej formie.
Definicja.
Nazywa się czynnik liczbowy w jednomianu standardowej postaci współczynnikjednomian.
We wskazanych przez nas jednomianach standardowej postaci współczynniki wynoszą 2, - 4,5 i 5,3.
Jeśli współczynnik wynosi 𝟏, to nie jest zapisywany. Na przykład,
Jeśli współczynnik wynosi (−𝟏), to tylko znak „-” jest zapisywany przed współczynnikami literowymi. Na przykład,
Wróćmy do jednomianu. Znajdźmy sumę stopni wszystkich zmiennych w omawianym jednomianu. Nie jest trudno to obliczyć. Równa się 16. Przypomnij sobie, że ta suma jest nazywana stopień jednomianowy.
Definicja.
Stopień ekonomiczny wywołaj sumę wykładników wszystkich zawartych w niej zmiennych.
Jeśli jednomian jest liczbą inną niż zero, to jego stopień jest równy zero. Na przykład stopień jednomianu wynosi zero. Stopień jednomianu również wynosi zero.
Możesz też powiedzieć, że tak jednomiany zero stopni... Ale stopień zerowego jednomianu nieokreślony.
Zadanie.
Znajdź stopnie jednomianów :; ; ...
Decyzja: stopień pierwszego jednomianu 5𝑥𝑦 jest równy 2, ponieważ stopnie zmiennych 𝑥 i 𝑦 są równe jeden.
Stopień drugiego jednomianu to:
Trzeci jednomian: jest jednomianem 16 stopnia, ponieważ
Definicja.
Nazywa się mononomie zredukowane do standardowej formy lubićjeśli mają tę samą część literową.
Podobnymi jednomianami mogą być:
Dodanie i odejmowanie podobnych jednomianów nazywa sprowadzanie podobnych członków.
Zwielokrotniać lub podzielić dwa jednomiany - to znaczy zaprezentować swoją pracę lub szczególnie w standardowej formie.
Podnieś jednomian do potęgi - to znaczy przedstawić ten stopień w standardowej formie.
Zadanie.
Wykonaj czynności:
a) znajdź sumę: 4𝑥, 6𝑥, 𝑥;
b) znaleźć różnicę:,;
c) znaleźć pracę:,;
d) podwyższenie do II stopnia :;
e) znajdź iloraz:,.
Decyzja. W pierwszym przykładzie musisz znaleźć sumę jednomianów. Wszystkie te trzy jednomiany mają standardową postać i tę samą część alfabetyczną. Dlatego są podobne. A to oznacza, że \u200b\u200bmożemy znaleźć ich sumę. Aby to zrobić, dodajemy ich współczynniki i przepisujemy część literową bez zmian. Dostajemy
Dlatego dodaliśmy trzy jednomiany, a wynikiem jest jednomian, który jest również przedstawiony w standardowej formie.
W drugim przykładzie musisz znaleźć różnicę jednomianów. Te jednomiany są zapisane w standardowej formie i są podobne. Oznacza to, że możemy znaleźć ich różnicę. Aby to zrobić, odejmiemy współczynniki i przepiszemy część literową bez zmian. Dostajemy
W następnym przykładzie znajdujemy iloczyn jednomianów. Są to jednomiany standardowej postaci, ponieważ na pierwszym miejscu znajdują się czynniki numeryczne, a następnie stopnie zmiennych. Zapiszmy iloczyn tych jednomianów. Następnie użyjemy właściwości przemieszczania i kombinacji mnożenia. Następnie mnożymy współczynniki liczbowe i wykonujemy mnożenie potęg na tych samych podstawach. W rezultacie otrzymujemy
W ten sposób pomnożymy jeden jednomian przez drugi, w wyniku czego otrzymaliśmy jednomian, który przedstawiliśmy w standardowej postaci.
W poniższym przykładzie musisz podnieść jednomian do drugiej potęgi. Stosujemy zasadę podnoszenia produktu do władzy i otrzymujemy,
W ten sposób podnosząc jednomian do potęgi, otrzymaliśmy również jednomian i standardową formę.
I ostatni przykład. Tutaj musimy wykonać podział jednomianowy. Oba jednomiany mają standardową postać. Dla wygodniejszego rozwiązania użyjemy linii frakcji. Najpierw podzielmy współczynniki liczbowe. Następnie dzielimy współczynniki literowe jednomianów, opierając się na twierdzeniu o podziale potęg. Dostajemy
W ten sposób podzieliliśmy jeden jednomian przez drugi i w rezultacie ponownie otrzymaliśmy jednomian standardowej postaci.
Odwołanie, co nie zawsze ma miejsce podczas dzielenia jednomianów, wynikiem będzie jednomian. Jeśli dzielnik zawiera zmienne, które są obecne w dywidendzie, a niektóre lub wszystkie odpowiadające im wykładniki w dzielniku są większe niż w dywidendzie, to wynikiem takiego podziału będzie ułamek algebraiczny.
Ułamek algebraiczny otrzymujemy również, jeśli dzielnik zawiera zmienne nieobecne w dywidendzie.
Podsumowanie lekcji
W tej lekcji dokonaliśmy przeglądu podstawowych pojęć związanych z jednomianami. Mianowicie przypomnieli sobie, że jednomian jest iloczynem liczb i stopni zmiennych z naturalnymi wykładnikami. Nawiasem mówiąc, liczby i stopnie zmiennych są również uważane za jednomian. Ale liczba zero nazywa się jednomianem zero. Przypomnieliśmy sobie, jak doprowadzić jednomiany do standardowej postaci. Rozmawialiśmy o ich współczynnikach i stopniach jednomianów. Następnie przypomnieliśmy sobie, które jednomiany są podobne i wykonaliśmy na nich czynności.
Zauważyliśmy, że może to być dowolny jednomian doprowadzić do standardowej formy... W tym artykule dowiemy się, co nazywa się redukcją jednomianu do standardowej postaci, jakie działania pozwalają na przeprowadzenie tego procesu i rozważymy rozwiązania przykładów ze szczegółowymi wyjaśnieniami.
Nawigacja po stronach.
Co to znaczy doprowadzić jednomian do standardowej postaci?
Praca z jednomianami jest wygodna, gdy są napisane w standardowej formie. Jednak jednomiany są często podawane w innej formie niż standardowa. W takich przypadkach zawsze można przejść od pierwotnego jednomianu do jednomianu standardowej postaci, wykonując identyczne przekształcenia. Proces przeprowadzania takich przekształceń nazywa się redukcją jednomianu do postaci standardowej.
Uogólnijmy powyższe rozumowanie. Doprowadź jednomian do standardowej postaci - to znaczy wykonać z nim identyczne przekształcenia, aby przybrał standardową formę.
Jak doprowadzić jednomian do standardowej postaci?
Czas wymyślić, jak doprowadzić jednomiany do standardowej postaci.
Jak wiadomo z definicji, jednomiany niestandardowe są iloczynami liczb, zmiennych i ich stopni oraz ewentualnie powtarzaniem. Jednomian standardowej postaci może zawierać w swoim rekordzie tylko jedną liczbę i niepowtarzające się zmienne lub ich stopnie. Teraz pozostaje zrozumieć, jak doprowadzić dzieła pierwszego rodzaju do formy drugiego?
Aby to zrobić, musisz użyć następującego zasada redukcji jednomianu do postaci standardowejskłada się z dwóch etapów:
- Najpierw grupuje się czynniki liczbowe oraz te same zmienne i ich stopnie;
- Po drugie, iloczyn liczb jest obliczany i stosowany.
W wyniku zastosowania reguły dźwięcznej dowolny jednomian zostanie zredukowany do postaci standardowej.
Przykłady, rozwiązania
Pozostaje nauczyć się, jak zastosować regułę z poprzedniego akapitu podczas rozwiązywania przykładów.
Przykład.
Zmniejsz jednomian 3 · x · 2 · x 2 do jego standardowej postaci.
Decyzja.
Pogrupujmy czynniki numeryczne i czynniki ze zmienną x. Po zgrupowaniu pierwotny jednomian przyjmuje postać (3 · 2) · (x · x 2). Iloczyn liczb w pierwszych nawiasach wynosi 6, a reguła mnożenia potęg o tej samej podstawie pozwala na przedstawienie wyrażenia w drugim nawiasie jako x 1 + 2 \u003d x 3. W rezultacie otrzymujemy wielomian o standardowej postaci 6 · x 3.
Oto krótki opis rozwiązania: 3 x 2 x 2 \u003d (3 2) (x x 2) \u003d 6 x 3.
Odpowiedź:
3 x 2 x 2 \u003d 6 x 3.
Aby więc przynieść jednomian do standardowej postaci, musisz umieć grupować czynniki, mnożyć liczby i pracować z potęgami.
Aby utrwalić materiał, rozwiążemy jeszcze jeden przykład.
Przykład.
Przedstaw jednomian w standardowej formie i wskaż jego współczynnik.
Decyzja.
Oryginalny jednomian ma w notacji unikalny czynnik numeryczny - 1, przenosimy go na początek. Następnie osobno grupujemy czynniki ze zmienną a, osobno - ze zmienną b i nie ma z czym pogrupować zmiennej m, zostawiamy ją tak, jak jest, mamy 
... Po wykonaniu działań ze stopniami w nawiasach, jednomian przybierze standardową postać, z której możemy zobaczyć współczynnik jednomianu równy -1. Minus jeden można zastąpić znakiem minusa :.
Monomial jest wyrażeniem reprezentującym iloczyn dwóch lub więcej czynników, z których każdy jest liczbą wyrażoną za pomocą litery, cyfr lub potęgi (z nieujemną liczbą całkowitą):
2za, za 3 x, 4aBC, -7x
Ponieważ iloczyn tych samych czynników można zapisać w postaci potęgi, to potęga pobierana oddzielnie (z nieujemnym wykładnikiem będącym liczbą całkowitą) jest również jednomianem:
(-4) 3 , x 5 ,
Ponieważ liczbę (całkowitą lub ułamkową), wyrażoną literą lub liczbami, można zapisać jako iloczyn tej liczby przez jeden, to każda oddzielnie wzięta liczba może być również uznana za jednomian:
x, 16, -za,
Standardowy typ jednomianu
Standardowy typ jednomianu - jest jednomianem z tylko jednym współczynnikiem liczbowym, który należy wpisać w pierwszej kolejności. Wszystkie zmienne są w porządku alfabetycznym i tylko raz są zawarte w jednomianu.
Liczby, zmienne i stopnie zmiennych odnoszą się również do standardowych jednomianów:
7, b, x 3 , -5b 3 z 2 - jednomiany typu standardowego.
Numeryczny współczynnik jednomianu standardowej postaci jest nazywany współczynnik jednomianu... Współczynniki mononomiczne równe 1 i -1 zwykle nie są zapisywane.
Jeśli w jednomianu standardowej postaci nie ma współczynnika liczbowego, zakłada się, że współczynnik jednomianu wynosi 1:
x 3 \u003d 1 x 3
Jeśli jednomian o standardowej postaci nie ma współczynnika liczbowego, a przed nim znajduje się znak minus, zakłada się, że współczynnik jednomianu wynosi -1:
-x 3 \u003d -1 x 3
Redukcja jednomianu do postaci standardowej
Aby sprowadzić jednomian do standardowego formularza, potrzebujesz:
- Pomnóż współczynniki liczbowe, jeśli jest ich kilka. Podnieś współczynnik liczbowy do potęgi, jeśli ma wykładnik. Najpierw umieść czynnik liczbowy.
- Pomnóż wszystkie te same zmienne, aby każda zmienna pojawiła się w jednomianu tylko raz.
- Rozmieść zmienne po czynniku liczbowym w porządku alfabetycznym.
Przykład. Przedstaw jednomian w jego standardowej formie:
a) 3 yx 2 (-2) y 5 x; b) 6 pne 0.5 ab 3
Decyzja:
a) 3 yx 2 (-2) y 5 x \u003d 3 (-2) x 2 xyy 5 = -6x 3 y 6
b) 6 pne 0.5 ab 3 \u003d 6 0,5 abb 3 do = 3ab 4 do
Stopień ekonomiczny
Stopień ekonomiczny jest sumą wykładników wszystkich zawartych w nim liter.
Jeśli jednomian jest liczbą, to znaczy nie zawiera zmiennych, wówczas jego stopień jest równy zero. Na przykład:
5, -7, 21 - jednomiany zero stopni.
Dlatego, aby znaleźć stopień jednomianu, konieczne jest określenie wykładnika każdej z zawartych w nim liter i dodanie tych wskaźników. Jeśli wykładnik litery nie jest określony, jest równy jeden.
Przykłady:
Więc jak się masz x wykładnik nie jest określony, więc jest równy 1. Jednomian nie zawiera innych zmiennych, więc jego stopień wynosi 1.
Jednomian zawiera tylko jedną zmienną drugiego stopnia, więc stopień tego jednomianu wynosi 2.
3) ab 3 do 2 re
Indeks za równa się 1, wykładnik b - 3, wskaźnik do - 2, wskaźnik re - 1. Stopień danego jednomianu jest równy sumie tych wskaźników.
Monomiale są iloczynami liczb, zmiennych i ich mocy. Liczby, zmienne i ich stopnie są również uważane za jednomiany. Na przykład: 12ac, -33, a ^ 2b, a, c ^ 9. Jednomian 5aa2b2b można zredukować do postaci 20a ^ 2b ^ 2. Postać tę nazywamy standardową postacią jednomianu, czyli standardową postacią jednomianu jest iloczyn współczynnika (w pierwszej kolejności) i stopni zmiennych. Współczynniki 1 i -1 nie są zapisywane, ale zachowują minus od -1. Monomial i jego standardowa forma
Wyrażenia 5a2x, 2a3 (-3) x2, b2x to iloczyn liczb, zmiennych i ich potęg. Takie wyrażenia nazywane są jednomianami. Za monomiony uważa się również liczby, zmienne i ich stopnie.
Na przykład wyrażenia - 8, 35, y i y2 - są jednomianami.
Standardową postacią jednomianu jest jednomian w postaci iloczynu w pierwszej kolejności czynnika liczbowego i stopni różnych zmiennych. Każdy jednomian można zredukować do standardowej postaci, mnożąc wszystkie zawarte w nim zmienne i liczby. Oto przykład redukcji jednomianu do standardowej postaci:
4x2y4 (-5) yx3 \u003d 4 (-5) x2x3y4y \u003d -20x5y5
Numeryczny współczynnik jednomianu zapisany w standardowej postaci nazywany jest współczynnikiem jednomianu. Na przykład współczynnik jednomianu -7x2y2 wynosi -7. Współczynniki jednomianów x3 i -xy są uważane za równe 1 i -1, ponieważ x3 \u003d 1x3 i -xy \u003d -1xy
Stopień jednomianu jest sumą wykładników wszystkich zawartych w nim zmiennych. Jeśli jednomian nie zawiera zmiennych, to znaczy jest liczbą, wówczas jego stopień jest równy zero.
Na przykład stopień jednomianu 8x3yz2 wynosi 6, jednomianu 6x wynosi 1, a jednomianu -10 wynosi 0.
Mnożenie jednomianów. Potęgowanie jednomianów
Przy mnożeniu jednomianów i podnoszeniu jednomianów do potęgi stosuje się regułę mnożenia potęg o tej samej podstawie oraz regułę podnoszenia potęgi do potęgi. W takim przypadku uzyskuje się jednomian, który jest zwykle przedstawiany w standardowej formie.
na przykład
4x3y2 (-3) x2y \u003d 4 (-3) x3x2y2y \u003d -12x5y3
((-5) x3y2) 3 \u003d (-5) 3x3 * 3y2 * 3 \u003d -125x9y6
