Testez sur le thème de la fonction de plusieurs variables. Test: limite et continuité des fonctions de plusieurs variables. Département: Mathématiques les plus élevées

Département: Mathématiques plus élevées

abstrait

sous la discipline "Mathématiques supérieures"

Objet: "La limite et la continuité des fonctions de plusieurs variables"

Tolyatti, 2008.

introduction

Le concept de fonction d'une variable ne couvre pas toutes les dépendances existant dans la nature. Même dans les tâches les plus simples, dont les valeurs sont déterminées par l'ensemble de plusieurs valeurs de plusieurs quantités.

Pour étudier de telles dépendances, le concept d'une fonction de plusieurs variables est introduit.

Le concept d'une fonction de plusieurs variables

Définition. Valeur u. appelé la fonction de plusieurs variables indépendantes ( x., y., z., …, t.) Si chaque ensemble de valeurs de ces variables est mis en conformité avec une certaine valeur de la magnitude u..

Si la variable est une fonction de deux variables h.et w., alors la dépendance fonctionnelle est notée

z.= f.(x., y.).

symbole f. Détermine ici un ensemble d'actions ou de règles pour calculer la valeur z. Selon cette paire de valeurs h.et w..

Donc pour la fonction z.= x.2 + 3xy.

pour h. \u003d 1 I. w. \u003d 1 ont z. = 4,

pour h. \u003d 2 I. w. \u003d 3 ont z. = 22,

pour h. \u003d 4 I. w. \u003d 0 ont z. \u003d 16, etc.

De même appelé la valeur u.fonction de trois variables x., y., z., si la règle est donnée comme sur cette triple valeurs x., y. et z. Calculer la valeur appropriée u.:

u.= F.(x., y., z.).

Ici symbol F. Détermine l'ensemble des actions ou de la règle pour calculer la valeur u.correspondant à ces valeurs x., y. et z..

Donc pour la fonction u.= xy.+ 2xz.– 3yz.

pour h. = 1, w. \u003d 1 I. z. \u003d 1 ont u.= 0,

pour h. = 1, w. \u003d -2 I. z. \u003d 3 ont u.= 22,

pour h. = 2, w. \u003d -1 I. z. \u003d -2 ont u.= -16, etc.

Ainsi, si en raison d'une loi de chaque totalité p Nombres ( x., y., z., …, t.) d'un ensemble E.mettre en conformité avec une certaine valeur de la variable u., que je. u. Appelé la fonction OT p variables x., y., z., …, t.défini sur l'ensemble E.et est désigné

u.= f.(x., y., z., …, t.).

Variables x., y., z., …, t. appelé les arguments de la fonction, définis E. - Zone de définition de la fonction.

La valeur privée de la fonction est la valeur de la fonction à un moment donné. M.0(x.0, y.0, z.0, …, t.0) et noté f. (M.0) = f. (x.0, y.0, z.0, …, t.0).

La zone de définition de la fonction est l'ensemble de toutes les valeurs des arguments correspondant à toutes les valeurs valides de la fonction.

Fonction de deux variables z.= f.(x., y.) l'espace semble être une surface. C'est-à-dire quand le point de coordonnées h., w. Exécuter toute la zone de définition de champ située dans l'avion houCorrespondant au point spatial, de manière générale, décrit la surface.

Fonction de trois variables u.= F.(x., y., z.) Prenez en compte en fonction du point d'un certain ensemble de points tridimensionnels. De même, une fonction p variables u.= f.(x., y., z., …, t.) Considère comme une fonction d'un point de certains p- Espace dimensionnel.

Limite de la fonction de plusieurs variables

Afin de donner le concept de la limite de la fonction de plusieurs variables, limitez-vous au cas de deux variables h. et w.. Par définition fonction f.(x., y.) a une limite au point ( h.0, w.0) égal au nombre MAISnoté par:

(répondre f.(x., y.) →MAISpour (x., y.) → (h., w.)) Si cela est défini dans un quartier du point ( h., w.), sauf peut-être que le point même lui-même et s'il y a une limite

quelle que soit la victime ( h., w.) Séquence Point ( x.k., y.k.).

De plus, comme dans le cas de la fonction d'une variable, vous pouvez entrer une autre détermination équivalente de la limite de la fonction de deux variables: une fonction f.a au point ( h., w.) limite égale MAISS'il est déterminé dans certains quartiers du point ( h., w.) Sauf, peut-être, le point même lui-même, et pour tout ε\u003e 0 il y a un tel δ\u003e 0 que

| f.(x., y.) – UNE.| < ε(3)

pour tous (x., y.)

0 < />< δ. (4)

Cette définition est à son tour équivalente à ce qui suit: pour tout ε\u003e 0 il y a un Δ-quartier du point ( h., w.) Comme pour tous ( x., y.) de ce quartier autre que ( h., w.), l'inégalité (3) est effectuée.

Saut de page--

Depuis les coordonnées d'un point arbitraire ( x., y.) Point Quartier ( h., w.) peut être écrit comme x \u003d x.+ Δ h., y \u003d u+ Δ w., L'égalité (1) équivaut à l'égalité suivante:

Considérez certaines fonctions spécifiées dans le quartier d'un point ( h., w.), outre, peut-être, le point même lui-même.

Soit \u003d \u200b\u200b(Ω h., ω w.) - Unité de longueur de vecteur arbitraire (| Ω | 2 \u003d Ω h.2+ Ω. w.2 \u003d 1) et t.\u003e 0 - scalaire. Points de type

(h.0+ t.ω h., y.0+ t.ω w.) (0 < t.)

former un faisceau sortant de ( h.0, w.0) dans la direction du vecteur Ω. Pour chaque Ω, vous pouvez envisager la fonction

f.(h.0+ t.ω h., y.0+ t.ω w.) (0 < t.< δ)

d'une variable scalaire t.où δ est un petit nombre.

La limite de cette fonction (une variable t.)

/> f.(h.+ t.ω h., y.+ t.ω w.),

f.À ce point ( h., w.) Dans la direction de Ω.

Exemple 1.Les fonctions

défini sur l'avion ( x., y.) Sauf pour le point h.= 0, w.\u003d 0. Nous avons (prendre en compte cette /\u003e et /\u003e):

(Pour ε\u003e 0, nous supposons δ \u003d ε / 2 puis | f.(x., y.) | < ε, если />< δ).

à partir de laquelle on peut voir que la limite φ au point (0, 0) par différentes régions En général, bouteille (vecteur de faisceau unique y.= kX., h.\u003e 0, a la vue

Exemple 2.Considérer B. R2 fonction

/> (h.4+ w.2≠ 0).

Cette fonctionnalité Au point (0, 0) pour tout droit direct y.= kX.Passer à travers l'origine de la coordonnée, a une limite égale à zéro:

/\u003e Pli h.→ 0.

Cependant, cette fonction n'a pas de limite au point (0, 0), pour y \u003d x.2

Nous allons écrire /\u003e si la fonction f.défini dans certains quartiers du point ( h., w.), sauf peut-être le point lui-même ( h., w.) et pour tout N.\u003e 0 il y a δ\u003e 0 tel que

|f.(x., y.) | > N.,

kohl bientôt 0.< />< δ.

A continué
--Saut de page--

Vous pouvez également parler de la limite f.lorsque h., w.→ ∞:

MAISl'égalité (5) doit être comprise en ce sens que pour tout ε\u003e 0 il y a tellement N.\u003e 0 quoi pour tous h., w.Pour qui | x.| > N., |y.| > N.une fonction f.déterminé et il y a des inégalités

|f.(x., y.) – MAIS| < ε.

Égalité égale

où peut être h.→ ∞, w.→ ∞. Dans le même temps, comme d'habitude, les limites (finies) dans leurs parties gauche existent s'il y a des limites f.et.

Nous prouvons par exemple (7).

Laisser être ( x.k., y.k.) → (h., w.) ((x.k., y.k.) ≠ (h., w.)); ensuite

Ainsi, la limite de la partie gauche (9) existe et est égale à la partie droite (9), et depuis la séquence ( x.k., y.k.) cherche à ( h., w.) Selon n'importe quelle loi, cette limite est égale à la limite de la fonction f.(x., y.) ∙φ (x., y.) À ce point ( h., w.).

Théorème.si la fonction f.(x., y.) a une limite qui n'est pas égale à zéro au point ( h., w.), c'est à dire.

alors il y a δ\u003e 0 tel que pour tous h., w.Inégalités satisfaisantes

0 < />< δ, (10)

elle satisfait l'inégalité

Donc, pour ceux (x., y.)

ceux. Il y a une inégalité (11). De l'inégalité (12) pour le spécifié (x., y.) suivez /\u003e de /\u003e quand UNE.\u003e 0 et /\u003e quand

UNE.< 0 (сохранение знака).

Par définition fonction f.(x.) = f.(x.1, …, x.n.) = UNE.a une limite au point

x.\u003d /\u003e égal au nombre MAISnoté par:

(répondre f.(x.) → UNE.(x.→ x.)) Si cela est déterminé sur certains quartiers du point x.sauf peut-être et s'il y a une limite

quelle que soit la victime x.séquence de points h.k.du quartier spécifié ( k.\u003d 1, 2, ...) autre que x..

Une autre définition équivalente est la suivante: fonction f.a en points x.la limite est égale MAISS'il est déterminé dans certains quartiers du point x., sauf peut-être, c'est-à-dire et pour tout ε\u003e 0 il y a un tel δ\u003e 0 que

A continué
--Saut de page--

pour tous h.Inégalités satisfaisantes

0 < |x.– x.| < δ.

Cette définition est équivalente à ce qui suit: pour tout ε\u003e 0 il y a un quartier U.(x.) points x.tel que pour tous h./>U.(x.) , h.≠ x., l'inégalité (13) est effectuée.

Évidemment, si le nombre MAISil existe une limite f.(x.) dans x.T. MAISil y a une fonction limite f.(x.0 + h.) de h.en point zéro:

et vice versa.

Considérer une certaine fonction f.défini dans tous les points du point de quartier x.sauf peut-être des points x.; Let ω \u003d (Ω1, ..., Ω p) - unité de longueur de vecteur arbitraire (| Ω | \u003d 1) et t.\u003e 0 - scalaire. Points de type x.+ t.ω (0 < t.) formulaire surplombant x.rayons dans la direction du vecteur Ω. Pour chaque Ω, vous pouvez envisager la fonction

/> (0 < t.< δω)

d'une variable scalaire t.où Δω est un numéro dépendant de Ω. Limite de cette fonction (d'une variable t.)

s'il existe, appelez naturellement la limite f.au point x.dans la direction du vecteur Ω.

Nous allons écrire /\u003e si la fonction f.défini dans certains environnements x.sauf d'être x.et pour tous N.\u003e 0 il y a δ\u003e 0 tel que | f.(x.) | >N., depuis 0< |x.– x.| < δ.

Vous pouvez parler de la limite f.lorsque h.→ ∞:

Par exemple, dans le cas d'un nombre fini MAISl'égalité (14) doit être comprise en ce sens que pour tout ε\u003e 0 peut être spécifié N.\u003e 0 que pour les points h.Pour qui | x.| > N.une fonction f.l'inégalité /\u003e est déterminée.

Donc, la limite de la fonction f.(x.) = f.(x.1, ..., h.p) de ples variables sont déterminées par analogie de la même manière que pour une fonction de deux variables.

Ainsi, nous procédons à la définition de la limite de la fonction de plusieurs variables.

Nombre MAISappelé la limite de la fonction f.(M.) pour M.→ M.Si pour un nombre ε\u003e 0, il y a toujours un tel nombre δ\u003e 0, qui pour tout point M.autre que M.et condition satisfaisante | Mm.| < δ, будет иметь место неравенство |f.(M.) – MAIS| < ε.

La limite est désignée par /\u003e dans le cas de la fonction de deux variables /\u003e

Les théores sont des limites.Si fonctionne f.1(M.) et f.2(M.) pour M.→ M.eY à chacun à la limite finale, alors:

A continué
--Saut de page--

Exemple 1.Trouver la limite de fonction: /\u003e

Décision. Nous transformons la limite comme suit:

Laisser être y.= kX., alors /\u003e

Exemple 2.Trouver la limite de fonction: /\u003e

Décision. Nous utilisons la première limite merveilleuse /\u003e alors /\u003e

Exemple 3.Trouver la limite de fonction: /\u003e

Décision. Nous utilisons la deuxième limite merveilleuse /\u003e alors /\u003e

Continuité de la fonction de plusieurs variables

Par définition fonction f.(x., y.) continu au point ( h., w.) Si cela est défini dans certains de ses environs, y compris au point même ( h., w.Et si la limite f.(x., y.) À ce stade, sa valeur est sa valeur:

Condition de continuité f.À ce point ( h., w.) Il peut être écrit sous une forme équivalente:

ceux. une fonction f.continu au point ( h., w.) Si la fonction continue f.(H.+ Δ h., w.+ Δ y)des variables δ. h., Δ w.à δ. h.= Δ y \u003d0.

Vous pouvez entrer l'incrément δ etles fonctions et= f.(x., y.) au point (x., y.) correspondant à des incréments δ h., Δ w.arguments

Δ et= f.(H.+ Δ h., w.+ Δ y)– f.(x., y.)

et dans cette langue déterminer la continuité f.dans (x., y.) : Une fonction f.continu au point (x., y.) , si un

Théorème.Montant, différence, travail et privé continu au point ( h., w.) Les fonctions f.et φ est une fonction continue à ce stade, sauf si, bien sûr, dans le cas d'un privé ( h., w.) ≠ 0.

Permanent de peut être considéré comme une fonction f.(x., y.) = de des variables x., y.. Il est continu sur ces variables, car

/>|f.(x., y.) – f.(h., w.) | = |c - S.| = 0 0.

Les éléments suivants sont des fonctionnalités f.(x., y.) = h.et f.(x., y.) = w.. Ils peuvent également être considérés comme des fonctions de (x., y.) Et en même temps ils sont continus. Par exemple, une fonction f.(x., y.) = h.correspond à chaque point (x., y.) nombre égal h.. Continuité de cette fonction à un point arbitraire (x., y.) il peut être prouvé alors:

A continué
--Saut de page--

/>| f.(H.+ Δ h., w.+ Δ y)– f.(x., y.) | = |f.(H.+ Δ x) - x| = | Δ h.| ≤ />0.

Si produit sur des fonctions x., y.et action constante d'addition, de soustraction et de multiplication de fin de compte, alors nous recevrons des fonctions appelées polynômes de x., y.. Basé sur les propriétés formulées ci-dessus, des polynômes des variables x., y.- fonctions continues de ces variables pour tous les points (x., y.) />R2.

Attitude P./ Q.deux polynômes ot. (x., y.) il y a une fonction rationnelle de (x., y.) évidemment continu tout au long de R2, sauf pour les points (x., y.) où Q.(x., y.) = 0.

R(x., y.) = h.3– w.2+ h.2w.– 4

peut être un exemple de polynôme de (x., y.) troisième degré et fonction

R(x., y.) = h.4– 2h.2w.2+w.4

il y a un exemple de polynôme de (x., y.) quatrième degré.

Donnons un exemple du théorème qui approuve la continuité de la fonction des fonctions continues.

Théorème.Laisser la fonction f.(x., y., z.) continu au point (x., y., z.) espace R3 (points (x., y., z.) ), et fonctions

x.= φ (u, v), y= ψ (U, v), z= χ (U, v)

continu au point (u., v.) espace R2 (points (u., v.) ). Laissez, d'ailleurs

x.= φ (u., v.), y.= ψ (u., v.), z.= χ (u., v.) .

Puis fonction F.(u., v.) = f.[ φ (u., v.), ψ (u., v.), χ (u., v.) ] continu (par

(u., v.) ) Au point (u., v.) .

Preuve. Depuis que le signe limite peut être effectué par le signe de la fonction continue, puis

Théorème.Une fonction f.(x., y.) , continu au point ( h., w.) et pas égal à zéro à ce stade sauve le signe du nombre f.(h., w.) Dans certains quartiers du point ( h., w.).

Par définition fonction f.(x.) = f.(x.1, ..., h.p) continu au point h.= (H.1, ..., h.p) S'il est défini dans certains de ses environs, y compris au point même h.et si sa limite au point h.égal à sa signification dedans:

Condition de continuité f.au point h.il peut être écrit sous une forme équivalente:

ceux. une fonction f.(x.) continu au point h.Si fonction continue f.(H.+ h.) de h.au point h.= 0.

A continué
--Saut de page--

Vous pouvez entrer incrémenter f.au point h.correspondant à l'incrément h.= (h.1, ..., h.p) ,

Δ h.f.(H.) = f.(H.+ h.) – f.(H.)

et dans sa langue déterminer la continuité f.dans h.: Une fonction f.b. h., si un

Théorème.Montant, différence, travail et privé continu au point h.les fonctions f.(x.) et. (x.) il y a une fonction continue à ce stade, sauf si, bien sûr, dans le cas d'un privé (H.) ≠ 0.

Commenter. L'incrément δ. h.f.(H.) également appelé l'incrément complet de la fonction f.au point h..

Dans l'espace Rn.points h.= (x.1, ..., h.p) laissez-nous définir de nombreux points G..

Prieure h.= (H.1, ..., h.p) il y a un point intérieur d'ensemble G.S'il y a une balle ouverte avec le centre, appartenant pleinement à G..

Beaucoup de G./>Rn.il s'appelle ouvert, si tous ses points sont internes.

On dit que les fonctions

h.1 \u003d φ1 (t), ..., h.p= φ p(t)(un ≤ t ≤ b)

continu sur le segment [ uNE., b.], définir une courbe continue dans Rn.de liaison h.1= (H.11, ..., h.1p) et h.2= (H.21, ..., h.2p) où h.11 \u003d φ1 (mais), ..., h.1p= φ p(mais), h.21 \u003d φ1 (b.) , ..., h.2p= φ p(b.) . Lettre t.appelé le paramètre de la courbe.

Beaucoup de G.appelé connecté si deux points h.1, h.2 peut être connecté à une courbe continue appartenant G..

L'ensemble ouvert connecté est appelé zone.

Théorème.Laisser la fonction f.(x.) défini et continu sur Rn.(à tout moment Rn.). Puis l'ensemble G.points h.où elle satisfait l'inégalité

f.(x.) > de(ou alors f.(x.) < de), Quelle que soit la constante de, il y a un ensemble ouvert.

En fait, la fonction F.(x.) = f.(x.) – decontinu Rn.et beaucoup de points h.où F.(x.) \u003e 0, coïncide avec G.. Laisser être h./>G., alors il y a une balle

| h.–h.| < δ,

sur lequel F.(x.) \u003e 0, c'est-à-dire Il appartient à K. G.et point h./>G.- interne pour G..

Cas S. f.(x.) < deil est prouvé de la même manière.

Ainsi, la fonction de plusieurs variables f.(M)appelé continu au point M.S'il répond aux trois conditions suivantes:

une fonction f.(M)défini au point M.et près de ce point;

b) il y a une limite /\u003e;

Si au point M.au moins une de ces conditions est cassée, la fonction à ce stade subit l'écart. Points que l'écart peut former des lignes de rupture, la surface de l'écart, etc. f.(M)appelé continu dans la zone G.S'il est continu à chaque point de cette zone.

Exemple 1.Trouvez les points de rupture des points: z.= ln.(x.2+ y.2) .

Décision. Une fonction z.= ln.(x.2+ y.2) tolératez l'écart au point h.= 0, w.\u003d 0. Par conséquent, le point À PROPOS DE(0, 0) est un point de rupture.

Exemple 2.Trouver un point de rupture Caractéristiques: /\u003e

Décision. La fonction n'est pas définie aux points dans lesquels le dénominateur fait référence à zéro, c'est-à-dire. x.2+ y.2– z.2 \u003d 0. Par conséquent, la surface du cône

x.2+ y.2= z.2 la surface de la rupture.

Conclusion

Les informations initiales sur les limites et la continuité se trouvent dans le cours d'école de mathématiques.

Au cours de l'analyse mathématique, le concept de limite est l'un des principaux. En utilisant la limite, une dérivée et une certaine intégrale est introduite; Les limites sont les principaux moyens de construire la théorie des rangées. Le concept de la limite est apparu pour la première fois au 17ème siècle des œuvres de Newton est utilisé et développé davantage dans la théorie des rangées. Dans cette section de l'analyse, des problèmes liés à la somme de la séquence infinie des valeurs (à la fois constantes et fonctions) sont étudiées.

La continuité de la fonction donne une idée de son horaire. Cela signifie que la planification est une ligne solide et ne consiste pas en des sections distinctes disparates. Cette caractéristique de la fonction est largement utilisée dans le domaine de l'économie.

Par conséquent, les concepts de limite et de continuité jouent un rôle important dans l'étude des fonctions de plusieurs variables.

Liste des littérature d'occasion

1. Bugrov ya.s. Nikolsky S.M. Mathématiques les plus élevées: manuel pour les universités. Volume 2: calcul différentiel et intégré. Moscou: Drop, 2004, 512 p.

2. Kremer N.sh., Putko B.A., Trishin I.M., Friedma M.n.n. Mathématiques les plus élevées pour les économistes. Moscou: Unita, 2000, 271 p.

3. CHERNENKO V.D. Mathématiques les plus élevées dans des exemples et des tâches. Tutoriel pour les universités. Saint-Pétersbourg: Polytechnic, 2003, 703 p.

4. elib.ispu.ru/library/math/sem2/index.html.

5. www.academiaxxi.ru/www_books/hm/fn/toc.htm.

Thème "Fonctions de plusieurs variables"

Sujet 3.Fonctions de plusieurs variables

Définition de la fonction de deux variables, méthodes de tâche.

Dérivés privés.

Fonction extrême de deux variables

Gradient de la fonction d'une variable

Les valeurs les plus grandes et les plus petites de la fonction de deux variables dans la région

Que devrait savoir un élève

Questions de contrôle

Test de contrôle

1. Définition de la fonction de plusieurs variables, méthodes de tâche

La valeur variable est appelée deux variables fonctionnent Valeurs et Sur l'ensemble
Si chaque paire de valeurs
correspond à la seule valeur de la magnitude.

Symboliquement, la fonction de deux variables est indiquée comme suit:


etc.

Variables et appelé variables indépendantes ou alors arguments de la fonction , Et l'ensemble
- zone de définition de la fonction . Pour fonctions de deux variables
zone de définition est certains beaucoup de points dans l'avion
et la zone de valeurs - l'écart sur l'axe
.

Par exemple, - la fonction de deux variables.

Pour une représentation visuelle fonctions de deux changementsappliqué niveau de ligne.

Exemple 1. Pour la fonction
Construire une graphique et une ligne de niveau. Écrivez l'équation de la ligne de niveau traversant le point
.

Fonction linéaire graphique est un avion dans l'espace.

Pour une fonction, le graphique est un avion qui passe à travers des points
,
,
.

Lignes de niveau de fonction sont parallèles droit, l'équation dont
.

Pour fonction linéaire de deux variables
Les lignes de niveau sont définies par l'équation
et représenter famille parallèle directement sur l'avion.

4

Fonction de planification 0 1 2 x

Fonction de niveau de ligne

Dérivés privés

Considérer une fonction
. Donnons une variable Au point
Incrément arbitraire
Sortie valeur variable inchangé. L'augmentation correspondante de la fonction est appelée incrément privé de la fonction par variable Au point
.

De même déterminé fonction d'incrément privépar variable: .

La désignation du dérivé privé : , ,
,
. Pour trouver un dérivé privé
La variable utilise les règles de différenciation de la fonction d'une variable, considérant la variable constant.

Fonction dérivée privée par variableappelé la limite :

.

Désignation: , ,
,
. Pour trouver un dérivé privé par variable la variable est considérée comme constante .

Exemple 2.. Trouvez les valeurs des fonctions dérivées privées au point
.

Considérant la constante et la différenciation, en fonction d'une variable, nous trouvons le dérivé privé de:

.

Calculer la valeur de ce dérivé au point
: .

Considérant la constante et la différenciation, en tant que fonction, nous trouvons un dérivé privé de:

.

Nous calculons la valeur de la dérivée au point:

Exemple 3.. Pour la fonction
Trouver des dérivés privés
,
et calculer leurs valeurs au point
.

Fonction dérivée privée
Selon la variable, sous l'hypothèse constante:

Nous trouvons le dérivé privé de la fonction logicielle, en tenant compte de la constante:

Calculer les valeurs des dérivés privés lorsque
,
:

;
.

Les dérivés partiels des fonctions de plusieurs variables sont également appelés privé dérivés de premier ordre ou les premiers dérivés privés.

Dérivés privés de second ordre Les fonctions de plusieurs variables sont appelées dérivées privées des dérivés privés du premier ordre si elles existent.

Nous écrivons sur la fonction des dérivés privés du 2ème ordre:

;
;

;
.

;
etc.

Si des dérivés privés mixtes de variables multiples sont continus à un moment donné
, puis ils égal à l'autre À ce point. Ainsi, pour la fonction de deux variables, les valeurs des dérivés privés mixtes ne dépendent pas de la procédure de différenciation:
.

Exemple 4. Pour la fonction de trouver des dérivés privés du deuxième ordre
et
.

Dérivé privé mixte est une première fonction de différenciation séquentielle (Comptage constant), puis différencie la dérivée
par (compter constante).

Dérivé
est la différenciation des premières fonctions , alors le dérivé par .

Les dérivés privés mixtes sont égaux les uns aux autres:
.

Différenciant les dérivés privés de second ordre comme h.et w., Nous recevrons des dérivés tiers privés.

Exemple 5. Trouver des dérivés partiels de la fonction de deuxième ordre
.

Nous avons constamment trouvé

3. Fonction extrême de deux variables

Maximum (le minimum ) Les fonctions
Au point M. 0 (x. 0 ,y. 0) il s'appelle sa valeur
qui est plus (moins) de toutes les autres valeurs prises à des points
, assez proche du point
Et autre que cela.

Les points maximum et minimum sont appelés points s'emmêler et les valeurs de la fonction à ces points sont appelées extrême .

Conditions d'extremum requises. Si la fonction différentiable
a un extremum au point
, ses dérivés privés à ce stade sont zéro, c'est-à-dire

. Points dans lesquels
et
Appelé stationnaire points de fonctionnement
.

Conditions suffisantes S'emmêler. Laissez-le être un point de fonctionnement stationnaire et laisser
,
,
. Déterminer
. Puis:

si un
Puis dans un point fixe
pas d'extremum;

si un
, alors au point, il y a un extremum et le maximum, si< 0, Minimum, si
;

si un
Cela nécessite des recherches supplémentaires.

Exemple 6.. Explorez la fonction extremum
.

Nous trouvons des dérivés privés de la première commande:
;
Système d'équations de résolution
Nous obtenons deux points fixes:
et
. Nous trouvons des dérivés privés du deuxième ordre:
,
,
. Nous explorons chaque point fixe.

4. Fonction de gradient de deux variables

.

Gradient de propriétés

Exemple 7.. Caractéristique DANA
. Trouver un gradient de qualité au point
Et le construire.

Nous trouverons les coordonnées des dérivés de gradient - privé.

Au point
pente égal. Vecteur de départ
Au point, et la fin est au point.

5

5. Les valeurs les plus grandes et les plus petites de la fonction de deux variables dans la région

Formulation du problème. Laissez le plan de la zone limitée fermée définit les inégalités du système
. Il faut être trouvé dans la zone de points dans laquelle la fonction prend les valeurs les plus grandes et les plus petites.

Important est la tâche de trouver extremum, modèle mathématique qui contient restrictions linéaires (équations, inégalités) et linéaire Une fonction
.

Formulation du problème. Trouver les valeurs les plus grandes et les plus petites de la fonction
Avec des restrictions

Depuis linéaire Fonctions de plusieurs variables Aucun point critique à l'intérieur Région
T. solution optimalequi fournit la fonction cible de l'extremum n'est obtenue que À la frontière de la région. Pour une région donnée par des restrictions linéaires, des points d'extremum possibles sont points d'angle. Cela vous permet de considérer la solution du problème méthode graphique.

Réglage géométrique du problème. Trouvez dans la zone des solutions d'un système d'inégalités linéaires, le point à travers lequel la ligne de niveau passe correspondant à la valeur la plus élevée (la plus petite) d'une fonction linéaire avec deux variables.

Séquençage:

pointez une ligne de niveau «entrée» dans la zone. Ce point définit le point de la plus petite valeur de la fonction;

point dans la ligne de niveau "de sortie" de la zone. Ce point définit le point de la plus grande valeur de la fonction.

4. Trouvez les coordonnées du point A, résolvant un système d'équations d'intersection directe au point A et calculer la plus petite valeur de la fonction
. De même - pour point dans et la plus grande fonction
.

Exemple 8.. Trouver les valeurs les plus grandes et les plus petites de la fonction
Dans le domaine des solutions d'un système de inégalités linéaires

1. Construire région de solutions de inégalités linéaires. Pour ce faire, nous construisons un demi-avion et trouvons leur intersection. Comme un "point de contrôle", prenez le point
cette n'appartient pas Frontière droite.

W.

1

Droit ()
- points pour la construction
et
. Comme
Vrai, le demi-plan est tiré vers le point de contrôle.

Droit ()
Construire par points
et
; inégalité
But, demi-avion est dirigé vers le point de contrôle.

Droit ()
Construit par des points
et
; Le demi-plan est dessiné vers le point de contrôle ..

Inégalités
et
Il est montré que la zone souhaitée (intersection de toutes les semi-positions) est dans le premier trimestre de coordonnées.

2. Construire fonction de gradient - Vecteur avec coordonnées
Avec le début au début des coordonnées. Perpendiculaire au gradient de construire l'un des lignes de niveau.

3. mouvement parallèle de la ligne de niveau dans la direction du gradient Nous trouverons le point "Intrée" de la ligne de niveau à la région est un point O (0,0). Calculez la valeur de la fonction à ce stade :.

4. Continuant le mouvement de la ligne de niveau dans la direction du gradient, nous trouvons que le point de la ligne «de sortie» du niveau de la zone de la région est le point A. Pour déterminer ses coordonnées en résolvant le système d'équations de Direct. et:
Système d'équations de résolution
et
.

5. Calculez la valeur de la fonction au point
: .

Répondre:
,
.

Que devrait savoir un élève

1. Le concept de fonction de plusieurs variables.

2. La zone de définition et de nombreuses valeurs de la fonction de plusieurs variables.

3. Le concept d'une ligne de niveau.

4. Dérivés partiels de plusieurs variables.

5. Dérivés partiels des ordres de fonctionnement les plus élevés de plusieurs variables.

6. Fonction extrême de plusieurs variables.

7. Les valeurs les plus grandes et les plus petites de la fonction de deux variables dans la région.

Questions de contrôle

Le concept de fonction de plusieurs variables. Zone de définition, méthodes de tâche, niveau de fonction de deux variables

Dérivés partiels de plusieurs variables

Fonction extrême plusieurs variables

Les valeurs les plus grandes et les plus petites de la fonction de deux variables dans la région

Test de contrôle

Laquelle des fonctions suivantes est une fonction de deux variables dépendantes:

une)
; b)
; dans)
; ré)
.

2. Pour la fonction
dérivé privé égal à:

une)
; b)
; dans)
; ré)
., Au point est ... a) 1; b) 0; en 1; d) 4.

12. Le gradient du champ scalaire au point est le vecteur ...

mais) b)

c) d)

13. La fonction dérivée privée dans une variable au point est égale à ...

mais) e. b) 2. e c)3e d)3

14. Valeur de fonction maximale Avec des restrictions

De même ... (entrez la réponse).

15. La zone de solutions autorisées du problème de programmation linéaire a la forme:

Ensuite, la valeur de fonction maximale est égale ...

A) 10 b) 14 c) 13 g) 11

16. La zone de solutions autorisées du problème de programmation linéaire a la forme:

Puis la valeur maximale de la fonction également…

A) 29 b) 31 c) 27 g) 20

17. La valeur maximale de la fonction cible Z \u003d x 1 + 2x 2 lors de restrictions Égal: a) 13 b) 12 V) 8 g) 6

18. La valeur maximale de la fonction lors des restrictions est égale à ... (entrez la réponse).

les fonctions plusieursvariables 4.1. Tâches pour sujet "Différenciation les fonctionsplusieursvariables " Tâche 1. Trouver et décrire une existence dans l'avion les fonctions ... 3. Trouvez les plus grandes et les plus petites valeurs les fonctions z \u003d f (x, y), défini ...

Thème 5 Fonctions de deux variables de dérivés privés

Document

Valeurs les fonctions deux variables Dans une zone limitée fermée 1. Définition les fonctionsplusieursvariables, Méthodes de tâche Une fonction deux variables appelé ...

Mathématiques Partie 4 Calcul différentiel des fonctions de plusieurs variables équations différentielles de la rangée

Didacticiel

Déterminé une fonctionplusieursvariables? Qu'est-ce qu'un horaire les fonctions deux variables? Formuler des définitions limites les fonctions deux variables ...

Chapitre 3 Fonctions de plusieurs variables § 1 Fonctions de plusieurs variables Concepts de base 1 Définition d'une fonction de plusieurs variables

Droit

Chapitre 3. Les fonctionsplusieursvariables § une. Les fonctionsplusieursvariables. Concepts de base 1. Définition les fonctionsplusieursvariables. Définition. Soit ℝ. Une fonctiondéfini sur l'ensemble et avoir une zone ...

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Signatures pour les diapositives:

Test sur le thème d'algèbre «Fonction» 7e année 7

Passer le test et déterminé le niveau de vos connaissances sur la rubrique "Fonction"

Tâche numéro 1 Qu'est-ce qu'une fonction? La dépendance d'une variable d'une autre si une variable indépendante correspond à la seule valeur de la variable dépendante. Variable dont la valeur est choisie arbitrairement. Domaine.

La tâche numéro 2 dans l'argument de la fonction est appelée ... une variable indépendante. La valeur de la fonction. Variable dépendante. Vous avez marqué 0 points

La tâche numéro 2 dans l'argument de la fonction est appelée ... une variable indépendante. La valeur de la fonction. Variable dépendante. Vous avez marqué 1 points

Numéro de tâche 3 pour les jours de température de l'air mesuré. Spécifiez la zone de définition de la fonction. De 0 à 24. De 0 à 12. De 1 à 24. Vous avez marqué 0 points

Numéro de tâche 3 pour les jours de température de l'air mesuré. Spécifiez la zone de définition de la fonction. De 0 à 24 heures de 0 à 12. De 1 à 24. Vous avez marqué 1 points

Numéro de tâche 3 pour les jours de température de l'air mesuré. Spécifiez la zone de définition de la fonction. De 0 à 24 heures de 0 à 12. De 1 à 24. Vous avez marqué 2 points

Numéro de tâche 4 La fonction est donnée par la formule Y \u003d 12x. Trouvez la valeur de la fonction si l'argument est 2. 24. 2. 6. Vous avez marqué 0 points

Numéro de tâche 4 La fonction est donnée par la formule Y \u003d 12x. Trouvez la valeur de la fonction si l'argument est 2 .. 24. 2. 6. Vous avez marqué 1 points

Numéro de tâche 4 La fonction est donnée par la formule Y \u003d 12x. Trouvez la valeur de la fonction si l'argument est 2. 24. 2. 6. Vous avez marqué 2 points

Numéro de tâche 4 La fonction est donnée par la formule Y \u003d 12x. Trouvez la valeur de la fonction si l'argument est 2. 24. 2. 6. Vous avez marqué 3 points

Tâche numéro 5 La fonction est donnée par la formule Y \u003d 12x. Avec quelles valeurs de la valeur de l'argument de la fonction est 24? 2. 12. 24. Vous avez marqué 0 points

Tâche numéro 5 La fonction est donnée par la formule Y \u003d 12x. Avec quelles valeurs de la valeur de l'argument de la fonction est 24? 2. 12. 24. Vous avez marqué 1 points

Tâche numéro 5 La fonction est donnée par la formule Y \u003d 12x. Avec quelles valeurs de la valeur de l'argument de la fonction est 24? 2. 12. 24. Vous avez marqué 2 points

Tâche numéro 5 La fonction est donnée par la formule Y \u003d 12x. Avec quelles valeurs de la valeur de l'argument de la fonction est 24? 2. 12. 24. Vous avez marqué 3 points

Tâche numéro 5 La fonction est donnée par la formule Y \u003d 12x. Avec quelles valeurs de la valeur de l'argument de la fonction est 24? 2. 12. 24. Vous avez marqué 4 points

Votre marque "2" Malheureusement, aujourd'hui, vous avez montré un faible niveau de connaissances sur ce sujet. Je vous conseille de répéter les règles. Assurez-vous de réussir!

Votre marque «3» aujourd'hui, vous avez montré un niveau moyen de connaissances sur ce sujet. Je vous conseille de répéter les règles. Assurez-vous de réussir!

Votre marque "4" Votre niveau de connaissances sur ce sujet est assez bon.

Votre marque "5" bien fait! Vous avez montré un niveau élevé de connaissances sur ce sujet. Je souhaite un nouveau succès!

Sur le sujet: développement méthodique, présentations et résumés

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