Testuj motyw funkcji kilku zmiennych. Test: Limit i ciągłość funkcji kilku zmiennych. Dział: Najwyższa matematyka

Departament: Wyższa matematyka

abstrakcyjny

pod dyscypliną "wyższą matematyką"

Przedmiot: "Limit i ciągłość funkcji kilku zmiennych"

Tolyatti, 2008.

Wprowadzenie

Koncepcja funkcji jednej zmiennej nie obejmuje wszystkich zależności istniejących w naturze. Nawet w najprostszych zadaniach, których wartości są określone przez zestaw wielu wartości kilku ilości.

Aby zbadać takie zależności, koncepcja funkcji kilku zmiennych zostanie wprowadzona.

Koncepcja funkcji kilku zmiennych

Definicja. Wartość u. Nazywany funkcją kilku zmiennych niezależnych ( x., y., z., …, t.) Jeśli każdy zestaw wartości tych zmiennych jest umieszczony zgodnie z określoną wartością wielkości u..

Jeśli zmienna jest funkcją z dwóch zmiennych h.i w., a następnie zależność funkcjonalna jest oznaczona

z.= fA.(x., y.).

Symbol fA. Określa tutaj zestaw działań lub reguły, aby obliczyć wartość z. Zgodnie z tym parą wartości h.i w..

Więc dla funkcji z.= x.2 + 3xY.

dla h. \u003d 1 I. w. \u003d 1 ma z. = 4,

dla h. \u003d 2 I. w. \u003d 3 ma z. = 22,

dla h. \u003d 4 I. w. \u003d 0 ma z. \u003d 16 itd.

Podobnie nazywany wartością u.funkcja z trzech zmiennych x., y., z., jeśli zasada jest podana jako na tych potrójnych wartościach x., y. i z. Oblicz odpowiednią wartość u.:

u.= FA.(x., y., z.).

Tutaj symbol FA. Określa zestaw działań lub zasady, aby obliczyć wartość u.Odpowiadający tym wartościom x., y. i z..

Więc dla funkcji u.= xY.+ 2xz.– 3yZ.

dla h. = 1, w. \u003d 1 I. z. \u003d 1 ma u.= 0,

dla h. = 1, w. \u003d -2 I. z. \u003d 3 ma u.= 22,

dla h. = 2, w. \u003d -1 I. z. \u003d -2 ma u.= -16 itp.

Tak więc, jeśli z powodu prawa każdego całości p. liczby ( x., y., z., …, t.) z jakiegoś zestawu MI.zgodnie z pewną wartością zmiennej u., że ja. u. zwana funkcją OT. p. zmienne x., y., z., …, t.zdefiniowane na zestawie MI.i jest wyznaczony

u.= fA.(x., y., z., …, t.).

Zmienne x., y., z., …, t. nazywane argumentami funkcji, ustawione MI. - Obszar definicji funkcji.

Wartość prywatna funkcji jest wartość funkcji w pewnym momencie M.0(x.0, y.0, z.0, …, t.0) i oznaczony fA. (M.0) = fA. (x.0, y.0, z.0, …, t.0).

Obszar definicji funkcji jest zestawem wszystkich wartości argumentów odpowiadających wszelkim prawidłowym wartościom funkcji.

Funkcja dwóch zmiennych z.= fA.(x., y.) przestrzeń wydaje się być pewną powierzchnią. To znaczy, gdy punkt z współrzędnymi h., w. Uruchamianie całego obszaru definicji pola znajdującej się w samolocie hou.Odpowiadający punktowi przestrzennym, ogólnie mówić, opisuje powierzchnię.

Funkcja trzech zmiennych u.= FA.(x., y., z.) Rozważmy jako funkcję pewnego zestawu punktów trójwymiarowych. Podobnie funkcja p. zmienne u.= fA.(x., y., z., …, t.) Rozważaj jako funkcję niektórych p.- Przestrzeń wymiarowa.

Limit funkcji kilku zmiennych

Aby dać koncepcję limitu funkcji kilku zmiennych, ogranicz się do przypadku dwóch zmiennych h. i w.. Według funkcji definicji fA.(x., y.) ma limit w punkcie ( h.0, w.0) równa liczbie ALEoznaczony przez:

(odpisać fA.(x., y.) →ALEdla (x., y.) → (h., w.)) Jeśli zostanie zdefiniowany w niektórych sąsiedztwie punktu ( h., w.), z wyjątkiem, samego samego punktu i jeśli istnieje limit

cokolwiek ofiara ( h., w.) Sekwencja punktowa ( x.k., y.k.).

Ponadto, jak w przypadku funkcji jednej zmiennej można wprowadzić kolejne równoważne określenie limitu funkcji dwóch zmiennych: funkcji fA.ma w punkcie ( h., w.) Limit równy ALEJeśli jest określony w niektórych sąsiedztwie punktu ( h., w.) Z wyjątkiem samego samego punktu i dla każdego ε\u003e 0 jest takie δ\u003e 0

| fA.(x., y.) – ZA.| < ε(3)

dla wszystkich (x., y.)

0 < />< δ. (4)

Ta definicja z kolei jest równoważna następujących: dla każdego ε\u003e 0 jest dzielnica δ punktu ( h., w.) Takie jak dla wszystkich ( x., y.) z tej dzielnicy innej niż ( h., w.), nierówności (3) jest wykonywana.

Podział strony--

Ponieważ współrzędne arbitralnego punktu ( x., y.) Okolica punktowa ( h., w.) można napisać jako x \u003d x.+ Δ h., y \u003d U.+ Δ w., Równość (1) odpowiada następującym równości:

Rozważ niektóre funkcje określone w sąsiedztwie punktu ( h., w.) Poza tym, być może sama sama.

Niech ω \u003d (Ω h., ω w.) - dowolna jednostka długości wektorowej (| ω | 2 \u003d Ω h.2+ Ω. w.2 \u003d 1) i t.\u003e 0 - skalar. Punkty typu

(h.0+ t.ω h., y.0+ t.ω w.) (0 < t.)

tworzą wiązkę wychodzącą z ( h.0, w.0) W kierunku wektora Ω. Dla każdego Ω można rozważyć funkcję

fA.(h.0+ t.ω h., y.0+ t.ω w.) (0 < t.< δ)

z zmiennej skalarnej t.gdzie Δ jest niewielką liczbą.

Limit tej funkcji (jedna zmienna t.)

/> fA.(h.+ t.ω h., y.+ t.ω w.),

fA.w punkcie ( h., w.) W kierunku Ω.

Przykład 1.Funkcje

zdefiniowane na płaszczyźnie ( x., y.) Z wyjątkiem punktu h.= 0, w.\u003d 0. Mamy (weź pod uwagę, że /\u003e i /\u003e):

(Dla ε\u003e 0, zakładamy δ \u003d ε / 2, a następnie | fA.(x., y.) | < ε, если />< δ).

z którego widać, że limit φ w punkcie (0, 0) przez różne obszary Ogólnie, butelkowane (pojedyncze belki wektor y.= kX., h.\u003e 0, ma widok

Przykład 2.Rozważ B. R.2 funkcja

/> (h.4+ w.2≠ 0).

Ta cecha W punkcie (0, 0) dla dowolnego bezpośredniego y.= kX.Przechodząc przez pochodzenie współrzędnej, ma limit równy zero:

/\u003e Warstwa h.→ 0.

Jednak ta funkcja nie ma ograniczeń do punktu (0, 0), dla y \u003d x.2

Pisujemy /\u003e Jeśli funkcja fA.zdefiniowane w niektórych sąsiedztwie punktu ( h., w.), z wyjątkiem samego punktu ( h., w.) i dla każdego N.\u003e 0 Jest Δ\u003e

|fA.(x., y.) | > N.,

kohl wkrótce 0.< />< δ.

Nieprzerwany
--Podział strony--

Możesz także porozmawiać o limicie fA.gdy h., w.→ ∞:

ALErówność (5) należy rozumieć w tym sensie, że dla każdego ε\u003e 0 N.\u003e 0 Co dla wszystkich h., w.Dla kogo |. x.| > N., |y.| > N.funkcjonować fA.określony i istnieje nierówność

|fA.(x., y.) – ALE| < ε.

Równa równość

gdzie może być. h.→ ∞, w.→ ∞. W tym samym czasie, jak zwykle, limity (koniec) w lewej części istnieją, jeśli istnieją ograniczenia fA.i φ.

Udowodni, na przykład (7).

Niech bądź ( x.k., y.k.) → (h., w.) ((x.k., y.k.) ≠ (h., w.)); następnie

W ten sposób limit w lewej części (9) istnieje i jest równa właściwej części (9), a od sekwencji ( x.k., y.k.) stara się ( h., w.) Zgodnie z dowolnym prawem limit ten jest równy limitowi funkcji fA.(x., y.) ∙φ (x., y.) w punkcie ( h., w.).

Twierdzenie.jeśli funkcja fA.(x., y.) ma limit, który nie jest równy zero w punkcie ( h., w.), tj.

następnie jest Δ\u003e 0, że dla wszystkich h., w.satysfakcjonujące nierówności

0 < />< δ, (10)

spełnia nierówność

Dlatego dla tych (x., y.)

te. Istnieje nierówność (11). Z nierówności (12) dla określonego (x., y.) postępuj zgodnie z /\u003e z /\u003e, kiedy ZA.\u003e 0 i /\u003e, kiedy

ZA.< 0 (сохранение знака).

Według funkcji definicji. fA.(x.) = fA.(x.1, …, x.n.) = ZA.ma limit w punkcie

x.\u003d /\u003e równa liczbie ALEoznaczony przez:

(odpisać fA.(x.) → ZA.(x.→ x.)) Jeśli jest określona na niektórych sąsiedztwie punktu x.z wyjątkiem, być może, a jeśli jest limit

cokolwiek ofiara x.sekwencja punktów h.k.z określonej dzielnicy ( k.\u003d 1, 2, ...) inne niż x..

Kolejna równoważna definicja jest następująca: Funkcja fA.ma w pkt x.limit jest równy ALEJeśli jest określony w niektórych sąsiedztwie punktu x., chyba, że \u200b\u200bjest to własna, a dla każdego ε\u003e 0 jest taka Δ\u003e 0

Nieprzerwany
--Podział strony--

dla wszystkich h.satysfakcjonujące nierówności

0 < |x.– x.| < δ.

Ta definicja z kolei jest równoważna następujących: dla każdego ε\u003e 0 Jest sąsiedztwo U.(x.) zwrotnica x.takie, że dla wszystkich h./>U.(x.) , h.≠ x., nierówność (13) jest wykonywana.

Oczywiście, jeśli numer ALEjest limit fA.(x.) w x.T. ALEistnieje funkcja limitu fA.(x.0 + h.) z h.w punkcie zerowym:

i wzajemnie.

Rozważaj pewną funkcję fA.zdefiniowane we wszystkich punktach punktu sąsiedztwa x.z wyjątkiem tego może punkty x.; Niech Ω \u003d (ω1, ..., ω p.) - arbitralna jednostka długości wektorowej (| Ω | \u003d 1) i t.\u003e 0 - skalar. Punkty typu x.+ t.ω (0 < t.) Formularz przeoczywa x.promień w kierunku wektora Ω. Dla każdego Ω można rozważyć funkcję

/> (0 < t.< δω)

z zmiennej skalarnej t.gdzie ΔΩ jest liczbą zależną od Ω. Limit tej funkcji (z jednej zmiennej t.)

jeśli istnieje, naturalnie zadzwoń do limitu fA.w punkcie x.w kierunku wektora Ω.

Pisujemy /\u003e Jeśli funkcja fA.zdefiniowane w niektórych otoczeniu x.Z wyjątkiem bycia x.i dla wszystkich N.\u003e 0 jest Δ\u003e 0, że | fA.(x.) | >N., od 0.< |x.– x.| < δ.

Możesz porozmawiać o limicie fA.gdy h.→ ∞:

Na przykład w przypadku liczby skończonej ALErówność (14) należy rozumieć w tym sensie, że dla każdego ε\u003e 0 można określić N.\u003e 0, że dla punktów h.Dla kogo |. x.| > N.funkcjonować fA.określona jest nierówność /\u003e.

Więc limit funkcji fA.(x.) = fA.(x.1, ..., h.p.) z p.zmienne są określane przez analogię w taki sam sposób, jak dla funkcji dwóch zmiennych.

Dlatego też przystępujemy do określania limitu funkcji kilku zmiennych.

Numer ALEnazywany limitem funkcji fA.(M.) dla M.→ M.Jeśli dla dowolnej liczby ε\u003e 0 jest zawsze taka liczba Δ\u003e 0, która dla każdego punktu M.inny niż M.i satysfakcjonujący warunek | Mm.| < δ, будет иметь место неравенство |fA.(M.) – ALE| < ε.

Limit jest oznaczony przez /\u003e w przypadku funkcji dwóch zmiennych /\u003e

Twierdzenia dotyczą limitów.Jeśli funkcje fA.1(M.) i fA.2(M.) dla M.→ M.ey do końca limitu końcowego, to:

Nieprzerwany
--Podział strony--

Przykład 1.Znajdź limit funkcji: /\u003e

Decyzja. Przekształcimy limit w następujący sposób:

Zostawiać y.= kX., następnie /\u003e

Przykład 2.Znajdź limit funkcji: /\u003e

Decyzja. Używamy pierwszego wspaniałego limitu /\u003e następnie /\u003e

Przykład 3.Znajdź limit funkcji: /\u003e

Decyzja. Używamy drugiego cudownego limitu /\u003e następnie /\u003e

Ciągłość funkcji kilku zmiennych

Według funkcji definicji. fA.(x., y.) ciągły w punkcie ( h., w.) Jeśli jest zdefiniowany w niektórych jego otoczeniu, w tym w samym punkcie ( h., w.) I jeśli limit fA.(x., y.) w tym momencie jest jego wartość:

Stan ciągłości fA.w punkcie ( h., w.) Może być napisany w odpowiedniej formie:

te. funkcjonować fA.ciągły w punkcie ( h., w.) Jeśli funkcja ciągła fA.(H.+ Δ h., w.+ Δ y)z zmiennych Δ. h., Δ w.w Δ. h.= Δ y \u003d.0.

Możesz wprowadzić przyrost Δ ifunkcje i= fA.(x., y.) w punkcie (x., y.) Odpowiada przyrostowi Δ h., Δ w.argumenty

Δ i= fA.(H.+ Δ h., w.+ Δ y)– fA.(x., y.)

w tym języku określa ciągłość fA.w (x., y.) : Funkcja fA.ciągły w pkt (x., y.) , Jeśli

Twierdzenie.Ilość, różnica, praca i prywatna ciągła w punkcie ( h., w.) Funkcje fA.i φ jest funkcją ciągłą w tym momencie, chyba że oczywiście w przypadku prywatnego φ ( h., w.) ≠ 0.

Stały z można uznać za funkcję fA.(x., y.) = z z zmiennych x., y.. Jest ciągły na tych zmiennych, ponieważ

/>|fA.(x., y.) – fA.(h., w.) | = |c - S.| = 0 0.

Poniżej znajdują się funkcje fA.(x., y.) = h.i fA.(x., y.) = w.. Można również uznać za funkcje (x., y.) A jednocześnie są ciągłe. Na przykład funkcja fA.(x., y.) = h.odpowiada każdemu punktu (x., y.) numer równy h.. Ciągłość tej funkcji w arbitralnym punkcie (x., y.) można to udowodnić:

Nieprzerwany
--Podział strony--

/>| fA.(H.+ Δ h., w.+ Δ y)– fA.(x., y.) | = |fA.(H.+ Δ x) - x| = | Δ h.| ≤ />0.

Jeśli produkcja funkcji x., y.i ciągłe działanie dodawania, odejmowania i mnożenia ostatecznie, a następnie otrzymamy funkcje zwane wielomianami z x., y.. Na podstawie właściwości formułowanych powyżej, wielomianów z zmiennych x., y.- Ciągłe funkcje z tych zmiennych dla wszystkich punktów (x., y.) />R.2.

Nastawienie P./ P.dwa wielomianów OT. (x., y.) odbywa się racjonalna funkcja (x., y.) Oczywiście ciągły w całości R.2, z wyjątkiem punktów (x., y.) gdzie P.(x., y.) = 0.

R.(x., y.) = h.3– w.2+ h.2w.– 4

może być przykładem wielomianu (x., y.) trzeci stopień i funkcja

R.(x., y.) = h.4– 2h.2w.2+w.4

jest przykład wielomianu (x., y.) czwarty stopień.

Daj nam przykład twierdzenia, który zatwierdza ciągłość funkcji ciągłych funkcji.

Twierdzenie.Pozwól funkcji fA.(x., y., z.) ciągły w pkt (x., y., z.) przestrzeń R.3 (Punkty (x., y., z.) ) i funkcje

x.= φ (U, V), Y= ψ (U, V) Z= χ (U, V)

ciągły w pkt (u., v.) przestrzeń R.2 (Punkty (u., v.) ). Oprócz

x.= φ (u., v.), y.= ψ (u., v.), z.= χ (u., v.) .

Następnie funkcjonuj FA.(u., v.) = fA.[ φ (u., v.), ψ (u., v.), χ (u., v.) ] Ciągły (przez

(u., v.) ) W punkcie (u., v.) .

Dowód. Ponieważ znak limitu może być wykonany przez znak funkcji ciągłej

Twierdzenie.Funkcjonować fA.(x., y.) , ciągły w punkcie ( h., w.) i nie równa zero w tym momencie zapisuje znak numeru fA.(h., w.) w niektórych sąsiedztwie punktu ( h., w.).

Według funkcji definicji. fA.(x.) = fA.(x.1, ..., h.p.) ciągły w pkt h.= (H.1, ..., h.p.) Jeśli jest zdefiniowany w niektórych jego otoczeniu, w tym w samym punkcie h.a jeśli jego limit w punkcie h.równy jej znaczeniu:

Stan ciągłości fA.w punkcie h.może być napisany w równoważnej formie:

te. funkcjonować fA.(x.) ciągły w pkt h.jeśli funkcja ciągła fA.(H.+ h.) z h.w punkcie h.= 0.

Nieprzerwany
--Podział strony--

Możesz wprowadzić przyrost fA.w punkcie h.odpowiadający przyrostowi h.= (h.1, ..., h.p.) ,

Δ h.fA.(H.) = fA.(H.+ h.) – fA.(H.)

i w jego języku określa ciągłość fA.w h.: Funkcja fA.ciągły B. h., Jeśli

Twierdzenie.Kwota, różnica, praca i prywatna ciągła w punkcie h.funkcje fA.(x.) i φ. (x.) w tym momencie jest funkcja ciągła, chyba że oczywiście w przypadku prywatnego φ (H.) ≠ 0.

Komentarz. Przyrost δ. h.fA.(H.) nazywany również pełnym przyrostem funkcji fA.w punkcie h..

W kosmosie R.n.zwrotnica h.= (x.1, ..., h.p.) ustawmy wiele punktów SOL..

A-PRIORY. h.= (H.1, ..., h.p.) jest wewnętrzny punkt zestawu SOL.Jeśli jest otwarta piłka z centrum, w pełni należąca do SOL..

Wiele SOL./>R.n.nazywany jest otwarty, jeśli wszystkie jego kropki są wewnętrzne.

Mówi się, że funkcje

h.1 \u003d φ1. (t), ..., h.p.= φ p.(t)(a ≤ t ≤ b)

ciągły na segmencie [ zA., b.] zdefiniuj ciągłą krzywą R.n.złączony h.1= (H.11, ..., h.1p.) i h.2= (H.21, ..., h.2p.) gdzie h.11 \u003d φ1. (ale), ..., h.1p.= φ p.(ale), h.21 \u003d φ1. (b.) , ..., h.2p.= φ p.(b.) . List t.nazywany parametrem krzywej.

Wiele SOL.zwany podłączony, jeśli jakieś dwa punkty h.1, h.2 można podłączyć do ciągłego krzywej należącej SOL..

Podłączony zestaw otwarty jest nazywany obszarem.

Twierdzenie.Pozwól funkcji fA.(x.) zdefiniowane i ciągłe R.n.(W ogóle punkty R.n.). Potem set. SOL.zwrotnica h.gdzie spełnia nierówność

fA.(x.) > z(lub fA.(x.) < z), Niezależnie od stałej z, jest otwarty zestaw.

W rzeczywistości funkcja FA.(x.) = fA.(x.) – zciągły włączony R.n.i wiele wszystkich punktów h.gdzie FA.(x.) \u003e 0, zbiegają się z SOL.. Zostawiać h./>SOL., to jest piłka

| h.–h.| < δ,

na którym FA.(x.) \u003e 0, tj. Należy do K. SOL.i pkt h./>SOL.- Wewnętrzny SOL..

Sprawa S. fA.(x.) < zudowodniono podobnie.

Zatem funkcja kilku zmiennych fA.(M)nazywany w punkcie ciągłego M.Jeśli spełnia następujące trzy warunki:

funkcja fA.(M)zdefiniowany w pkt M.i w pobliżu tego punktu;

b) Istnieje limit /\u003e;

Jeśli w punkcie M.przynajmniej jeden z tych warunków jest uszkodzony, a funkcja w tym punkcie cierpi szczelinę. Punkty Gap może tworzyć linie pęknięć, powierzchnię luki itp. Funkcja fA.(M)zwany ciągłą w okolicy SOL.Jeśli jest ciągły w każdym miejscu tego obszaru.

Przykład 1.Znajdź funkcje punktów przerwania: z.= ln.(x.2+ y.2) .

Decyzja. Funkcjonować z.= ln.(x.2+ y.2) toleruje przerwę w punkcie h.= 0, w.\u003d 0. W konsekwencji punkt O(0, 0) to punkt przerwy.

Przykład 2.Znajdź funkcje punktu przerwy: /\u003e

Decyzja. Funkcja nie jest zdefiniowana w punktach, w których mianownik odnosi się do zera, tj. x.2+ y.2– z.2 \u003d 0. W konsekwencji powierzchnia stożkowa

x.2+ y.2= z.2 Powierzchnia pęknięcia.

Wniosek

Początkowe informacje o granicach i ciągłości znajduje się w szkoleniu matematyki.

W trakcie analizy matematycznej koncepcja limitu jest jednym z głównych. Przy użyciu limitu wprowadza się pochodna i pewna integralna; Ograniczenia są głównymi środkami w konstruowaniu teorii wierszy. Koncepcja limitu pojawiła się po raz pierwszy w XVII wieku w pracach Newtona jest używany i dalej rozwinięty w teorii wierszy. W tej części analizy badano kwestie związane z sumą nieskończonej sekwencji wartości (zarówno stałej i funkcji).

Ciągłość funkcji daje pomysł na jego harmonogram. Oznacza to, że harmonogram jest linią solidną i nie składa się z oddzielnych odmiennych sekcji. Ta funkcja jest szeroko stosowana w dziedzinie ekonomii.

Dlatego koncepcje limitu i ciągłości odgrywają ważną rolę w badaniu funkcji kilku zmiennych.

Lista używanych literatury

1. Bugrov Ya.S., Nikolsky S.m. Najwyższa matematyka: Podręcznik do uniwersytetów. Objętość 2: rachunek różnicowy i zintegrowany. Moskwa: Drop, 2004, 512 p.

2. Kremer N.SH., Putko B.a., Trishin I.m., Friedma M.n. Najwyższa matematyka dla ekonomistów. Moskwa: Uniti, 2000, 271 p.

3. Chernko V.D. Najwyższa matematyka w przykładach i zadaniach. Samouczek na uniwersytety. Petersburg: Politechniczna, 2003, 703 p.

4. Elib.ispu.ru/library/math/sem2/index.html.

5. www.academiaxxi.ru/www_books/hm/fn/toc.htm.

Temat "Funkcje kilku zmiennych"

Temat 3.Funkcje kilku zmiennych

Definicja funkcji dwóch zmiennych, metod zadania.

Prywatne pochodne.

Ekstremalna funkcja dwóch zmiennych

Gradient funkcji jednej zmiennej

Największe i najmniejsze wartości funkcji dwóch zmiennych w okolicy

Co powinien wiedzieć student

Pytania kontrolne.

Test kontroli.

1. Definicja funkcji kilku zmiennych, metody zadania

Wartość zmiennej jest nazywana dwa funkcja zmiennych. Wartości i Na planie
Jeśli każda para wartości
odpowiada jedynej wartości wielkości.

Symbolicznie funkcja dwóch zmiennych jest wskazana w następujący sposób:


itp.

Zmienne i nazwane niezależne zmienne lub argumenty funkcji , I zestaw
- obszar definicji funkcji. . Dla funkcje dwóch zmiennych
obszar definicji jest niektórzy. wiele punktów w samolocie
oraz obszar wartości - luka na osi
.

Na przykład - funkcja dwóch zmiennych.

Dla reprezentacji wizualnej funkcje dwóch zmianstosowany poziom linii.

Przykład 1. Dla funkcji
Zbuduj linię wykresu i poziomu. Napisz równanie linii przechodzącej przez punkt
.

Wykresowa funkcja liniowa to A. samolot w kosmosie.

Dla funkcji wykres jest samolotem przechodzącym przez punkty
,
,
.

Linie konkurencyjne funkcji są równoległe proste, które równanie
.

Dla funkcja liniowa dwóch zmiennych
Linie poziomowe są ustawiane przez równanie
i reprezentuje rodzina równoległa prosto w samolocie.

4

Funkcja harmonogramu. 0 1 2 x

Funkcja poziomu linii

Prywatne pochodne

Rozważ funkcję
. Daj nam zmienną W punkcie
Arbitralny przyrost
Odejście zmienna wartość niezmieniony.. Odpowiedni przyrost funkcji jest nazywany prywatny przyrost funkcji według zmiennej W punkcie
.

Podobnie określony prywatna funkcja przyrostuwedług zmiennej: .

Wyznaczenie prywatnej pochodnej : , ,
,
. Znaleźć prywatną pochodną
Zmienna wykorzystuje zasady różnicowania funkcji jednej zmiennej, biorąc pod uwagę zmienną. stały.

Prywatna funkcja pochodna według zmiennejzwany limitem :

.

Oznaczenia: , ,
,
. Znaleźć prywatną pochodną według zmiennej zmienna jest uważana za stałą .

Przykład 2.. Znajdź wartości prywatnych funkcji pochodnych w punkcie
.

Biorąc pod uwagę stałe i różnicowanie, jako funkcja zmiennej, znajdziemy prywatną pochodną:

.

Oblicz wartość tej pochodnej w punkcie
: .

Biorąc pod uwagę stałą i różnicowanie, jako funkcję, znajdujemy prywatną pochodną:

.

Obliczamy wartość pochodnej w punkcie:

Przykład 3.. Dla funkcji
Znaleźć prywatne pochodne
,
i oblicz swoje wartości w punkcie
.

Prywatna funkcja pochodna
Zgodnie ze zmienną, przy założeniu, że jest stała:

Znajdujemy prywatną pochodną funkcji oprogramowania, biorąc pod uwagę stałą:

Oblicz wartości prywatnych pochodnych, gdy
,
:

;
.

Nazywane są również częściowe pochodne funkcji kilku zmiennych prywatny pochodne pierwszego rzędu lub pierwsze prywatne pochodne.

Prywatne pochodne drugiego rzędu Funkcje kilku zmiennych nazywane są prywatnymi pochodnymi z prywatnych pochodnych pierwszego zamówienia, jeśli istnieją.

Piszemy do funkcji prywatnych pochodnych 2 rzędu:

;
;

;
.

;
itp.

Jeśli mieszane prywatne pochodne z wielu zmiennych są ciągłe w pewnym momencie
, wtedy oni równy sobie nawzajem W tym momencie. Tak więc, dla funkcji dwóch zmiennych wartości mieszanych prywatnych pochodnych nie zależy od procedury różnicowania:
.

Przykład 4. W celu znalezienia prywatnych instrumentów pochodnych drugiego rzędu
i
.

Mieszana prywatna pochodna to pierwsza funkcja sekwencyjnej różnicowania (stała zliczająca), a następnie zróżnicowanie pochodnej
przez (stała licząca).

Pochodna
jest różnicowanie pierwszych funkcji , potem pochodna przez .

Mieszane prywatne pochodne są równe wzajemnie:
.

Różnicowanie prywatnych instrumentów pochodnych drugiego rzędu jako h.i w., Otrzymamy prywatne pochodne trzeciego rzędu.

Przykład 5. Znajdź częściowe pochodne z drugiego rzędu
.

Konsekwentnie znaleźliśmy

3. Ekstremalna funkcja dwóch zmiennych

Maksymalny (minimum ) Funkcje
W punkcie M. 0 (x. 0 ,y. 0) Nazywa się jego wartością
co jest więcej (mniej) wszystkich innych jego wartości podjętych w punktach
, wystarczająco blisko do punktu
I inne niż to.

Maksymalne i minimalne punkty nazywane są punktami ekstremum i wartości funkcji w tych punktach są nazywane skrajny .

Wymagane warunki ekstremum. Jeśli funkcja różnicowa
ma na razie ekstremum
, jego prywatne pochodne w tym momencie są zero, tj.

. Punkty, w których
i
Nazywa nieruchomy punkty funkcji.
.

Wystarczające warunki Ekstremum. Niech będzie to stacjonarny punkt funkcji i pozwolić
,
,
. Zrobić determinant.
. Następnie:

jeśli
Następnie w stacjonarnym punkcie
brak ekstremum;

jeśli
, wtedy w miejscu występuje ekstremum, a maksimum, jeśli< 0, Minimum, jeśli
;

jeśli
Wymaga dodatkowych badań.

Przykład 6.. Przeglądaj funkcję Extremum
.

Znajdujemy prywatne pochodne pierwszego rzędu:
;
Rozwiązywanie układu równań
Dostajemy dwa punkty stacjonarne:
i
. Znalezimy prywatne pochodne drugiego rzędu:
,
,
. Poznawamy każdy stacjonarny punkt.

4. Funkcja gradientu dwóch zmiennych

.

Gradient właściwości

Przykład 7.. Funkcja Dana.
. Znajdź jakość gradientu w punkcie
I zbuduj go.

Znajdziemy współrzędne Gradient - prywatne pochodne.

W punkcie
gradient równy. Początkowy wektor
W punkcie, a koniec jest w punkcie.

5

5. Największe i najmniejsze wartości funkcji dwóch zmiennych w regionie

Sformułowanie problemu. Niech płaszczyzna zamkniętego ograniczonego obszaru ustala nierówności systemowe
. Wymagane jest znalezienie w obszarze punktu, w którym funkcja zajmuje największe i najmniejsze wartości.

Ważny jest zadanie znalezienia ekstremum, model matematyczny który zawiera ograniczenia liniowe. (równania, nierówności) i liniowy Funkcjonować
.

Sformułowanie problemu. Znajdź największe i najmniejsze wartości funkcji
Z ograniczeniami

Od liniowy Funkcje kilku zmiennych nie ma krytycznych punktów wewnątrz Region
T. optymalne rozwiązaniektóry dostarcza funkcję docelową ekstremum uzyskuje się tylko na granicy regionu. W przypadku regionu podane przez ograniczenia liniowe punkty możliwego ekstremum są punkty narożne. Pozwala to rozważyć rozwiązanie problemu metoda graficzna.

Geometryczne ustawienie problemu. Znajdź w obszarze roztworów systemu nierówności liniowych, przez którą linia poziomowa przechodzi odpowiadająca najwyższą (najmniejszą) wartości funkcji liniowej z dwiema zmiennymi.

Sekwencjonowanie:

wskazać linię poziomu "wejścia" do obszaru. Ten punkt definiuje punkt najmniejszej wartości funkcji;

point w linii poziomu "wyjście" z obszaru. Ten punkt definiuje punkt największej wartości funkcji.

4. Znajdź współrzędne punktu A, rozwiązując system równań bezpośrednich przecinających się w punkcie A i oblicz najmniejszą wartość funkcji
. Podobnie - dla punktu i największej funkcji
.

Przykład 8.. Znajdź największe i najmniejsze wartości funkcji
W dziedzinie rozwiązań systemu nierówności liniowych

1. Build. region rozwiązań nierówności liniowych. Aby to zrobić, zbudujemy pół samolotu i znajdziesz ich skrzyżowanie. Jako "punkt kontrolny" weź punkt
że nie należy Granica prosta.

W.

1

Prosto ()
- Punkty do budowy
i
. Tak jak
PRAWDA, pół-płaszczyzna jest narysowana w kierunku punktu kontrolnego.

Prosto ()
Budować według punktów
i
; nierówność
Cel, pół-samolot jest skierowany do punktu kontrolnego ..

Prosto ()
Zbudowany przez punkty
i
; Połowa płaszczyzna jest narysowana w kierunku punktu kontrolnego ..

Nierówności
i
Pokazano, że pożądany obszar (przecięcie wszystkich pół-pozycji) jest w pierwszej kwartale współrzędnych.

2. Build. funkcja gradientu - wektor z współrzędnymi
Z początkiem na początku współrzędnych. Prostopadle do gradientu, aby skonstruować jeden z linie poziomu..

3. Równoległe ruch linii poziomu w kierunku gradientu Znajdziemy "Wejście" punkt linii poziomu do regionu jest punktem O (0,0). Oblicz wartość funkcji w tym momencie :.

4. Kontynuowanie ruchu linii poziomu w kierunku gradientu, znajdziemy punkt "wyjście" linii poziomu obszaru z regionu jest punkt A. Aby określić jego współrzędne poprzez rozwiązanie systemu równań bezpośrednich i:
Rozwiązywanie układu równań
i
.

5. Oblicz wartość funkcji w punkcie
: .

Odpowiedź:
,
.

Co powinien wiedzieć student

1. Koncepcja funkcji kilku zmiennych.

2. Obszar definicji i wiele wartości funkcji kilku zmiennych.

3. Koncepcja linii poziomu.

4. Częściowe pochodne z wielu zmiennych.

5. Częściowe pochodne najwyższych zleceń funkcji kilku zmiennych.

6. Ekstremalna funkcja kilku zmiennych.

7. Największe i najmniejsze wartości funkcji dwóch zmiennych w okolicy.

Pytania kontrolne.

Koncepcja funkcji kilku zmiennych. Obszar definicji, metody zadania, poziom funkcji dwóch zmiennych

Częściowe pochodne kilku zmiennych

Funkcja ekstremalna wieloma zmiennymi

Największe i najmniejsze wartości funkcji dwóch zmiennych w okolicy

Test kontroli.

Która z poniższych funkcji jest funkcją dwóch zmiennych zależnych:

za)
; b)
; w)
; re)
.

2. Dla funkcji
Prywatna pochodna równy:

za)
; b)
; w)
; re)
. W punkcie jest ... a) 1; b) 0; w 1; d) 4.

12. Gradient pola skalarnego w punkcie jest wektor ...

ale) b)

płyta CD)

13. Prywatna funkcja pochodna w zmiennej w punkcie jest równa ...

ale) mI. b) 2. e c)3e d)3

14. Maksymalna wartość funkcji Z ograniczeniami

Równie ... (wprowadź odpowiedź).

15. Obszar dopuszczalnych rozwiązań problemu programowania liniowego ma formularz:

Następnie maksymalna wartość funkcji jest równa ...

A) 10 b) 14 c) 13 g) 11

16. Obszar dopuszczalnych rozwiązań Problem Programowania liniowego ma formularz:

Następnie maksymalna wartość funkcji na równi…

A) 29 b) 31 c) 27 g) 20

17. Maksymalna wartość funkcji docelowej z \u003d x 1 + 2x 2 podczas ograniczeń Równe: a) 13 b) 12 V) 8 g) 6

18. Maksymalna wartość funkcji podczas ograniczeń jest równa ... (wprowadź odpowiedź).

funkcje kilkazmienne 4.1. Zadania temat "Różnicowanie funkcjekilkazmienne " Zadanie 1. Znajdź i przedstawia istnienie w samolocie funkcje ... 3. Znajdź największe i najmniejsze wartości funkcje z \u003d f (x, y), zdefiniowany ...

Temat 5 Funkcje dwóch zmiennych prywatnych pochodnych

Dokument

Wartości funkcje dwa zmienne W zamkniętym ograniczonym obszarze 1. Definicja funkcjekilkazmienne, Metody zadania Funkcjonować dwa zmienne nazywa ...

Matematyka Część 4 Różnicowe obliczanie funkcji kilku zmiennych równania różnicowe Wiersz

Instruktaż

Ustalona funkcjonowaćkilkazmienne? Jaki jest harmonogram funkcje dwa zmienne? Formułować definicje limitu. funkcje dwa zmienne ...

Rozdział 3 Funkcje kilku zmiennych § 1 Funkcje kilku zmiennych Podstawowe koncepcje 1 Definicja funkcji kilku zmiennych

Prawo

Rozdział 3. Funkcjekilkazmienne § Jeden. Funkcjekilkazmienne. Podstawowe pojęcia 1. Definicja funkcjekilkazmienne. Definicja. Niech ℝ. FunkcjonowaćZdefiniowane na zestawie i mając obszar ...

Aby cieszyć się podgląd prezentacj, utwórz konto ( konto) Google i zaloguj się do tego: https://accounts.google.com

Podpisy do slajdów:

Testuj na temat algebry "Funkcja" Grade 7

Podaj test i określił poziom swojej wiedzy na temat "Funkcja"

Numer zadania 1 Jaka jest funkcja? Zależność jednej zmiennej z drugiej, jeśli niezależna zmienna odpowiada jedynej wartości zmiennej zależnej. Zmienna, której wartość jest wybrana arbitralnie. Domena.

Zadanie Numer 2 w argumencie funkcji jest nazywany ... niezależną zmienną. Wartość funkcji. Zmienna zależna. Zdobyłeś 0 punktów

Zadanie Numer 2 w argumencie funkcji jest nazywany ... niezależną zmienną. Wartość funkcji. Zmienna zależna. Zdobyłeś 1 punktów

Numer zadania 3 dla dni mierzona temperatura powietrza. Określ obszar definicji funkcji. Od 0 do 24. Od 0 do 12. Od 1 do 24. Zdobyłeś 0 punktów

Numer zadania 3 dla dni mierzona temperatura powietrza. Określ obszar definicji funkcji. Od 0 do 24. Od 0 do 12. Od 1 do 24. Zdobyłeś 1 punktów

Numer zadania 3 dla dni mierzona temperatura powietrza. Określ obszar definicji funkcji. Od 0 do 24. Od 0 do 12. Od 1 do 24. Zdobyłeś 2 punkty

Numer zadania 4 Funkcja podaje się za pomocą wzoru Y \u003d 12x. Znajdź wartość funkcji, jeśli argument wynosi 2. 24. 2. 6. Zdobyłeś 0 punktów

Numer zadania 4 Funkcja podaje się za pomocą wzoru Y \u003d 12x. Znajdź wartość funkcji, jeśli argument jest 2 .. 24. 2. 6. Zdobyłeś 1 punktów

Numer zadania 4 Funkcja podaje się za pomocą wzoru Y \u003d 12x. Znajdź wartość funkcji, jeśli argument wynosi 2. 24. 2. 6. Zdobyłeś 2 punkty

Numer zadania 4 Funkcja podaje się za pomocą wzoru Y \u003d 12x. Znajdź wartość funkcji, jeśli argument wynosi 2. 24. 2. 6. Zdobyłeś 3 punkty

Numer zadania 5 Funkcja podaje się za pomocą wzoru Y \u003d 12x. Dzięki wartości wartości argumentu funkcji wynosi 24? 2. 12. 24. Zdobyłeś 0 punktów

Numer zadania 5 Funkcja podaje się za pomocą wzoru Y \u003d 12x. Dzięki wartości wartości argumentu funkcji wynosi 24? 2. 12. 24. Zdobyłeś 1 punktów

Numer zadania 5 Funkcja podaje się za pomocą wzoru Y \u003d 12x. Dzięki wartości wartości argumentu funkcji wynosi 24? 2. 12. 24. Zdobyłeś 2 punkty

Numer zadania 5 Funkcja podaje się za pomocą wzoru Y \u003d 12x. Dzięki wartości wartości argumentu funkcji wynosi 24? 2. 12. 24. Zdobyłeś 3 punkty

Numer zadania 5 Funkcja podaje się za pomocą wzoru Y \u003d 12x. Dzięki wartości wartości argumentu funkcji wynosi 24? 2. 12. 24. Zdobyłeś 4 punkty

Twój znak "2" Niestety, dziś pokazałeś niski poziom wiedzy na ten temat. Radzę powtórzyć zasady. Upewnij się, że odniesie sukces!

Twój znak "3" dziś pokazałeś średni poziom wiedzy na ten temat. Radzę powtórzyć zasady. Upewnij się, że odniesie sukces!

Twój znak "4" Twój poziom wiedzy na ten temat jest całkiem dobry.

Twój znak "5" dobrze zrobiony! W tym temacie pokazałeś wysoki poziom wiedzy. Życzę dalszego sukcesu!

Na ten temat: Rozwój metodyczny, prezentacje i abstrakty

Testy w języku rosyjskim, test końcowy na klasę 5, test "ekspresyjne", lekcje na dziełach zabawnych i chivihiny

Testy szkoleniowe do przygotowania do egzaminu. Możesz użyć jako zadanie testowe, aby wypracować wiedzę na temat zadania testu B8Itogue dla 5 klasycznego rozwoju lekcji w pracach ...

EGE English Test Test TOEFL Test IELTS CAE Testy testów Audytu Testy testów testowych w słownictwie, co musisz wiedzieć o udanym poddaniu się

Przetestuj TOEFLTEST IELTSCAE TESTSTESTS DLA Readitorów do czytania Zasobowania Czym, co musisz wiedzieć, aby udana dostawa wykrycia nie nauczyłaby się osoby przez całe życie, zawsze będzie ...