Testare il tema della funzione di diverse variabili. Test: limite e continuità delle funzioni di diverse variabili. Dipartimento: Matematica più alta

Dipartimento: Matematica superiore

astratto

sotto la disciplina "Matematica superiore"

Oggetto: "Il limite e la continuità delle funzioni di diverse variabili"

TOLYATTI, 2008.

introduzione

Il concetto della funzione di una variabile non copre tutte le dipendenze esistenti in natura. Anche nei compiti più semplici, i cui valori sono determinati dal set di più valori di diverse quantità.

Per studiare tali dipendenze, viene introdotto il concetto di una funzione di diverse variabili.

Il concetto di una funzione di diverse variabili

Definizione. Valore u. chiamato la funzione di diverse variabili indipendenti ( x., y., z., …, t.) Se ogni set di valori di queste variabili è inserito in conformità con un determinato valore della grandezza u..

Se la variabile è una funzione da due variabili h.e w., quindi la dipendenza funzionale è denotata

z.= f.(x., y.).

Simbolo f. Determina qui un insieme di azioni o regola per calcolare il valore z. Secondo questa coppia di valori h.e w..

Quindi per la funzione z.= x.2 + 3xY.

per h. \u003d 1 I. w. \u003d 1 ha. z. = 4,

per h. \u003d 2 I. w. \u003d 3 hanno z. = 22,

per h. \u003d 4 I. w. \u003d 0 ha. z. \u003d 16, ecc.

Allo stesso modo chiamato il valore u.funzione da tre variabili x., y., z., se la regola viene data come su questi valori tripli x., y. e z. Calcola il valore appropriato u.:

u.= F.(x., y., z.).

Qui simbolo F. Determina il set di azioni o regola per calcolare il valore u.corrispondente a questi valori x., y. e z..

Quindi per la funzione u.= xY.+ 2xZ.– 3yz.

per h. = 1, w. \u003d 1 I. z. \u003d 1 ha. u.= 0,

per h. = 1, w. \u003d -2 I. z. \u003d 3 hanno u.= 22,

per h. = 2, w. \u003d -1 I. z. \u003d -2 hanno u.= -16, ecc.

Quindi, se a causa di qualche legge di ogni totalità p. Numeri ( x., y., z., …, t.) Da qualche set E.metti in conformità con un determinato valore della variabile u., che io. u. Chiamato funzione OT. p. variabili x., y., z., …, t.definito sul set E.ed è designato

u.= f.(x., y., z., …, t.).

Variabili x., y., z., …, t. chiamato gli argomenti della funzione, impostare E. - Area di definizione della funzione.

Il valore privato della funzione è il valore della funzione ad un certo punto M.0(x.0, y.0, z.0, …, t.0) e denotato f. (M.0) = f. (x.0, y.0, z.0, …, t.0).

L'area di definizione della funzione è l'insieme di tutti i valori degli argomenti che corrispondono a qualsiasi valori validi della funzione.

Funzione di due variabili z.= f.(x., y.) lo spazio sembra essere una superficie. Cioè, quando il punto con le coordinate h., w. Gestire l'intera area di definizione del campo situata nell'aereo hou.Corrispondente al punto spaziale, in generale, descrive la superficie.

Funzione di tre variabili u.= F.(x., y., z.) Considerare come una funzione del punto di un determinato set di punti tridimensionali. Allo stesso modo, una funzione p. variabili u.= f.(x., y., z., …, t.) Considera come funzione di un punto di alcuni p.- Spazio dimensionale.

Limite della funzione di diverse variabili

Al fine di dare il concetto del limite della funzione di diverse variabili, limitarci al caso di due variabili h. e w.. Per definizione della funzione f.(x., y.) ha un limite al punto ( h.0, w.0) uguale al numero MAdenotato da:

(rispondere f.(x., y.) →MAper (x., y.) → (h., w.)) Se è definito in qualche quartiere del punto ( h., w.), tranne, forse, lo stesso punto stesso e se c'è un limite

qualunque sia la vittima h., w.) Sequenza del punto ( x.k., y.k.).

Inoltre, come nel caso della funzione di una variabile, è possibile inserire un'altra determinazione equivalente del limite della funzione di due variabili: una funzione f.ha al punto ( h., w.) limite uguale MASe è determinato in qualche quartiere del punto ( h., w.) Tranne, forse, lo stesso punto stesso, e per qualsiasi ε\u003e 0 c'è tale Δ\u003e 0

| f.(x., y.) – UN.| < ε(3)

per tutti (x., y.)

0 < />< δ. (4)

Questa definizione, a sua volta, è equivalente a quanto segue: per qualsiasi ε\u003e 0 c'è un quartiere δ di un punto ( h., w.) Come per tutti ( x., y.) Da questo quartiere diverso da ( h., w.), viene eseguita la disuguaglianza (3).

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Dal momento che le coordinate di un punto arbitrario ( x., y.) Punto quartiere ( h., w.) può essere scritto come x \u003d x.+ Δ h., y \u003d u.+ Δ w., L'uguaglianza (1) è equivalente alla seguente uguaglianza:

Considera alcune funzioni specificate nel quartiere di un punto ( h., w.), inoltre, forse, il punto stesso.

Sia Ω \u003d (Ω h., ω w.) - Unità di lunghezza vettoriale arbitraria (| Ω | 2 \u003d Ω h.2+ Ω. w.2 \u003d 1) e t.\u003e 0 - Scalare. Punti di tipo

(h.0+ t.ω h., y.0+ t.ω w.) (0 < t.)

formare un raggio che esce da ( h.0, w.0) Nella direzione del vettore Ω. Per ogni Ω, puoi considerare la funzione

f.(h.0+ t.ω h., y.0+ t.ω w.) (0 < t.< δ)

da una variabile scalare t.dove Δ è un piccolo numero.

Il limite di questa funzione (una variabile t.)

/> f.(h.+ t.ω h., y.+ t.ω w.),

f.al punto ( h., w.) Nella direzione di Ω.

Esempio 1.Funzioni

definito sul piano ( x., y.) Tranne il punto h.= 0, w.\u003d 0. Abbiamo (prendi in considerazione che /\u003e e /\u003e):

(Per ε\u003e 0, assumiamo δ \u003d ε / 2 e poi | f.(x., y.) | < ε, если />< δ).

da cui si può vedere che il limite φ al punto (0, 0) da aree diverse In generale, imbottigliato (vettore a fascio singolo y.= kx., h.\u003e 0, ha la vista

ESEMPIO 2.Considera B. R.2 funzione

/> (h.4+ w.2≠ 0).

Questa caratteristica Al punto (0, 0) per qualsiasi diretto y.= kx.Passando attraverso l'origine della coordinata, ha un limite uguale a zero:

/\u003e Ply. h.→ 0.

Tuttavia, questa funzione non ha un limite al punto (0, 0), per y \u003d x.2

Scriveremo /\u003e Se la funzione f.definito in qualche quartiere del punto ( h., w.), tranne, forse il punto stesso ( h., w.) E per qualsiasi N.\u003e 0 c'è δ\u003e 0 tale che

|f.(x., y.) | > N.,

kohl presto 0.< />< δ.

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Puoi anche parlare del limite f.quando h., w.→ ∞:

MAl'uguaglianza (5) deve essere compresa nel senso che per qualsiasi ε\u003e 0 c'è tale N.\u003e 0 cosa per tutti h., w.per chi |. x.| > N., |y.| > N.funzione f.determinato e c'è disuguaglianza

|f.(x., y.) – MA| < ε.

Uguaglianza uguale

dove può essere h.→ ∞, w.→ ∞. Allo stesso tempo, come al solito, i limiti (fine) nelle parti sinistro esistono se ci sono limiti f.e φ.

Proviamo ad esempio (7).

Lascia che sia ( x.k., y.k.) → (h., w.) ((x.k., y.k.) ≠ (h., w.)); poi

Pertanto, il limite nella parte sinistra (9) esiste ed è uguale alla parte giusta (9), e dalla sequenza ( x.k., y.k.) Cercare ( h., w.) Secondo qualsiasi legge, questo limite è uguale al limite della funzione f.(x., y.) ∙φ (x., y.) al punto ( h., w.).

Teorema.se la funzione. f.(x., y.) ha un limite che non è uguale a zero al punto ( h., w.), I.e.

poi c'è Δ\u003e 0 tale che per tutti h., w.soddisfacendo le disuguaglianze

0 < />< δ, (10)

lei soddisfa la disuguaglianza

Pertanto, per quelli (x., y.)

quelli. C'è una disuguaglianza (11). Dalla disuguaglianza (12) per il specificato (x., y.) segui /\u003e da /\u003e quando UN.\u003e 0 e /\u003e quando

UN.< 0 (сохранение знака).

Per definizione della funzione f.(x.) = f.(x.1, …, x.n.) = UN.ha un limite al punto

x.\u003d /\u003e uguale al numero MAdenotato da:

(rispondere f.(x.) → UN.(x.→ x.)) Se è determinato su un certo quartiere del punto x.Tranne, forse, e se c'è un limite

qualunque sia la vittima x.sequenza di punti h.k.dal quartiere specificato ( k.\u003d 1, 2, ...) diverso da x..

Un'altra definizione equivalente è la seguente: Funzione f.ha in punto x.il limite è uguale MASe è determinato in qualche quartiere del punto x., tranne, forse, da solo, e per qualsiasi ε\u003e 0 c'è tale Δ\u003e 0 quello

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per tutti h.soddisfacendo le disuguaglianze

0 < |x.– x.| < δ.

Questa definizione a sua volta è equivalente a quanto segue: per qualsiasi ε\u003e 0 c'è un quartiere U.(x.) punti x.tale per tutti h./>U.(x.) , h.≠ x., viene eseguita la disuguaglianza (13).

Ovviamente, se il numero MAc'è un limite f.(x.) nel x.T. MAc'è una funzione limite f.(x.0 + h.) a partire dal h.nel punto zero:

e viceversa.

Considera qualche funzione f.definito in tutti i punti del punto di vicinato x.Tranne forse punti x.; Sia ω \u003d (ω1, ..., Ω p.) - Unità di lunghezza vettoriale arbitraria (| Ω | \u003d 1) e t.\u003e 0 - Scalare. Punti di tipo x.+ t.ω (0 < t.) Forma con vista x.raggio nella direzione del vettore Ω. Per ogni Ω, puoi considerare la funzione

/> (0 < t.< δω)

da una variabile scalare t.dove ΔΩ è un numero dipendente da Ω. Limite di questa funzione (da una variabile t.)

se esiste, chiamare naturalmente il limite f.al punto x.nella direzione del vettore Ω.

Scriveremo /\u003e Se la funzione f.definito in alcuni dintorni x.tranne che essere x.e per tutti N.\u003e 0 c'è Δ\u003e 0 tale che | f.(x.) | >N., dal momento che 0.< |x.– x.| < δ.

Puoi parlare del limite f.quando h.→ ∞:

Ad esempio, nel caso di un numero finito MAl'uguaglianza (14) deve essere compresa nel senso che per qualsiasi ε\u003e 0 può essere specificato N.\u003e 0 quello per i punti h.per chi |. x.| > N.funzione f.la disuguaglianza /\u003e è determinata.

Quindi, il limite della funzione f.(x.) = f.(x.1, ..., h.p.) a partire dal p.le variabili sono determinate dall'analogia allo stesso modo di una funzione di due variabili.

Pertanto, procediamo a definire il limite della funzione di diverse variabili.

Numero MAchiamato il limite della funzione f.(M.) per M.→ M.Se per qualsiasi numero ε\u003e 0 c'è sempre un numero δ\u003e 0, che per qualsiasi punto M.diverso da M.e condizioni soddisfacenti | Mm.| < δ, будет иметь место неравенство |f.(M.) – MA| < ε.

Il limite è indicato da /\u003e nel caso della funzione di due variabili /\u003e

I teoremi riguardano i limiti.Se funzioni f.1(M.) e f.2(M.) per M.→ M.ey a ciascuno al limite finale, quindi:

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Esempio 1.Trova il limite della funzione: /\u003e

Decisione. Trasformiamo il limite come segue:

Lascia che sia. y.= kx., quindi /\u003e

ESEMPIO 2.Trova il limite della funzione: /\u003e

Decisione. Usiamo il primo limite meraviglioso /\u003e quindi /\u003e

ESEMPIO 3.Trova il limite della funzione: /\u003e

Decisione. Usiamo il secondo limite meraviglioso /\u003e quindi /\u003e

Continuità della funzione di diverse variabili

Per definizione della funzione f.(x., y.) continuo al punto ( h., w.) Se è definito in alcuni dei suoi dintorni, anche nel punto ( h., w.) E se il limite f.(x., y.) a questo punto è il suo valore in esso:

Continuità Condizione f.al punto ( h., w.) Può essere scritto in una forma equivalente:

quelli. funzione f.continuo al punto ( h., w.) Se funzione continua f.(H.+ Δ h., w.+ Δ y)dalle variabili Δ. h., Δ w.a δ. h.= Δ y \u003d.0.

Puoi inserire l'incremento Δ efunzioni e= f.(x., y.) al punto (x., y.) Corrispondente agli incrementi Δ h., Δ w.argomenti

Δ e= f.(H.+ Δ h., w.+ Δ y)– f.(x., y.)

e in questa lingua determinare la continuità f.nel (x., y.) : Funzione f.continuo al punto (x., y.) , se un

Teorema.Importo, differenza, lavoro e privati \u200b\u200bcontinui al punto ( h., w.) Funzioni f.e φ è una funzione continua a questo punto, a meno che, ovviamente, nel caso di un privato φ ( h., w.) ≠ 0.

Permanente a partire dal può essere considerato come una funzione f.(x., y.) = a partire dal dalle variabili x., y.. È continuo su queste variabili, perché

/>|f.(x., y.) – f.(h., w.) | = |c - S.| = 0 0.

Le seguenti sono caratteristiche f.(x., y.) = h.e f.(x., y.) = w.. Loro possono anche essere considerati come funzioni da (x., y.) E allo stesso tempo sono continui. Ad esempio, una funzione f.(x., y.) = h.corrisponde a ciascun punto (x., y.) numero uguale h.. Continuità di questa funzione in un punto arbitrario (x., y.) può essere dimostrato così:

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/>| f.(H.+ Δ h., w.+ Δ y)– f.(x., y.) | = |f.(H.+ Δ x) - x| = | Δ h.| ≤ />0.

Se producono le funzioni x., y.e azione costante di aggiunta, sottrazione e moltiplicazione di in definitiva, riceveremo le funzioni chiamate polinomi da x., y.. Sulla base delle proprietà formulate sopra, polinomi dalle variabili x., y.- Funzioni continue da queste variabili per tutti i punti (x., y.) />R.2.

Atteggiamento P./ Q.due polinomi ot. (x., y.) c'è una funzione razionale da (x., y.) ovviamente continuo in tutto R.2, ad eccezione dei punti (x., y.) dove Q.(x., y.) = 0.

R.(x., y.) = h.3– w.2+ h.2w.– 4

può essere un esempio di un polinomio da (x., y.) terzo grado e funzione

R.(x., y.) = h.4– 2h.2w.2+w.4

c'è un esempio di un polinomio da (x., y.) quarto grado.

Forniamo un esempio del teorema che approva la continuità della funzione da funzioni continue.

Teorema.Lascia la funzione f.(x., y., z.) continuo al punto (x., y., z.) spazio R.3 (punti. (x., y., z.) ) e funzioni

x.= φ (u, v), y= ψ (U, v), z= χ (U, v)

continuo al punto (u., v.) spazio R.2 (punti. (u., v.) ). Lasciare, inoltre

x.= φ (u., v.), y.= ψ (u., v.), z.= χ (u., v.) .

Quindi funzionare F.(u., v.) = f.[ φ (u., v.), ψ (u., v.), χ (u., v.) ] continuo (da

(u., v.) ) A Punto (u., v.) .

Prova. Poiché il segno limite può essere effettuato dal segno della funzione continua, quindi

Teorema.Funzione f.(x., y.) , continuo al punto ( h., w.) e non uguale a zero a questo punto salva il segno del numero f.(h., w.) In qualche quartiere del punto ( h., w.).

Per definizione della funzione f.(x.) = f.(x.1, ..., h.p.) continuo al punto h.= (H.1, ..., h.p.) Se è definito in alcuni dei suoi dintorni, incluso nel punto stesso h.E se il suo limite al punto h.uguale al suo significato in esso:

Continuità Condizione f.al punto h.può essere scritto in una forma equivalente:

quelli. funzione f.(x.) continuo al punto h.Se la funzione continua f.(H.+ h.) a partire dal h.al punto h.= 0.

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Puoi inserire l'incremento f.al punto h.corrispondente all'incremento h.= (h.1, ..., h.p.) ,

Δ h.f.(H.) = f.(H.+ h.) – f.(H.)

e nella sua lingua determinare la continuità f.nel h.: Funzione f.b. h., se un

Teorema.Importo, differenza, lavoro e continuo privato al punto h.funzioni f.(x.) e φ. (x.) c'è una funzione continua a questo punto, a meno che, ovviamente, nel caso di un privato φ (H.) ≠ 0.

Commento. L'incremento Δ. h.f.(H.) chiamato anche il pieno incremento della funzione f.al punto h..

Nello spazio R.n.punti h.= (x.1, ..., h.p.) mettiamo molti punti G..

A-priory. h.= (H.1, ..., h.p.) c'è un punto interiore di set G.Se c'è una palla aperta con il centro in esso, appartenente completamente a G..

Molti G./>R.n.È chiamato aperto, se tutti i suoi punti sono interni.

Si dice che funzioni

h.1 \u003d φ1. (t), ..., h.p.= φ p.(t)(a ≤ t ≤ b)

continuo sul segmento [ uN., b.], definisci una curva continua in R.n.Collegamento h.1= (H.11, ..., h.1p.) e h.2= (H.21, ..., h.2p.) dove h.11 \u003d φ1. (ma), ..., h.1p.= φ p.(ma), h.21 \u003d φ1. (b.) , ..., h.2p.= φ p.(b.) . Lettera t.chiamato il parametro della curva.

Molti G.chiamato connesso se due punti h.1, h.2 può essere collegato a una curva continua appartenente G..

Il set aperto collegato è chiamato un'area.

Teorema.Lascia la funzione f.(x.) definito e continuo su R.n.(A tutti i punti R.n.). Quindi il set. G.punti h.dove soddisfa la disuguaglianza

f.(x.) > a partire dal(o f.(x.) < a partire dal), Qualunque sia la costante a partire dal, c'è un set aperto.

In effetti, la funzione F.(x.) = f.(x.) – a partire dalcontinuo acceso R.n., e molti punti tutti h.dove F.(x.) \u003e 0, coincide con G.. Lascia che sia. h./>G., quindi c'è una palla

| h.–h.| < δ,

in cui F.(x.) \u003e 0, I.e. Appartiene a K. G.e punto h./>G.- interno per G..

Caso S. f.(x.) < a partire dalÈ provato in modo simile.

Quindi, la funzione di diverse variabili f.(M)chiamato continuo al punto M.Se soddisfa le seguenti tre condizioni:

una funzione f.(M)definito nel punto M.e vicino a questo punto;

b) C'è un limite /\u003e;

Se al punto M.almeno una di queste condizioni è rotta, quindi la funzione a questo punto soffre il divario. Punti il \u200b\u200bgap può formare linee di rottura, la superficie del gap, ecc. Funzione f.(M)chiamato continuo nella zona G.Se è continuo in ogni punto di questa zona.

Esempio 1.Trova le caratteristiche dei punti di interruzione: z.= ln.(x.2+ y.2) .

Decisione. Funzione z.= ln.(x.2+ y.2) tollera il gap al punto h.= 0, w.\u003d 0. Di conseguenza, il punto DI(0, 0) è un punto di interruzione.

ESEMPIO 2.Trova un punto di interruzione Caratteristiche: /\u003e

Decisione. La funzione non è definita nei punti in cui il denominatore si riferisce a zero, I.e. x.2+ y.2– z.2 \u003d 0. Di conseguenza, la superficie del cono

x.2+ y.2= z.2 la superficie della rottura.

Conclusione

Le informazioni iniziali sui limiti e sui continuità si trovano nel corso scolastico della matematica.

Nel corso dell'analisi matematica, il concetto di limite è uno dei principali. Usando il limite, viene introdotto un derivato e un certo integrale; I limiti sono i mezzi principali nella costruzione della teoria delle righe. Il concetto del limite apparvero per la prima volta nel 17 ° secolo nelle opere di Newton è usato e ulteriormente sviluppato nella teoria delle file. In questa sezione dell'analisi, vengono indagati problemi relativi alla somma della sequenza infinita dei valori (sia costanti che funzioni).

La continuità della funzione dà un'idea del suo programma. Ciò significa che il programma è una linea solida e non è costituita da sezioni disparate separate. Questa caratteristica della funzione è ampiamente utilizzata nel campo dell'economia.

Pertanto, i concetti di limite e continuità svolgono un ruolo importante nello studio delle funzioni di diverse variabili.

Elenco di letteratura usata

1. Bugrov Ya.s., Nikolsky S.M. Matematica più alta: manuale per le università. Volume 2: calcolo differenziale e integrale. Moscow: Goccia, 2004, 512 p.

2. Kremer N.Sh., Putko B.A., Trishin I.M., Friedma M.N. Matematica più alta per gli economisti. Moscow: Uniti, 2000, 271 p.

3. Chernenko V.D. Matematica più alta in esempi e compiti. Tutorial per le università. San Pietroburgo: Politecnico, 2003, 703 p.

4. ELIB.ISPU.RU/Library/math/sem2/index.html.

5. www.academiaxxi.ru/www_books/hm/fn/toc.htm.

Tema "Funzioni di diverse variabili"

Argomento 3.Funzioni di diverse variabili

Definizione della funzione di due variabili, metodi di compito.

Derivati \u200b\u200bprivati.

Funzione estrema di due variabili

Gradiente della funzione di una variabile

I valori più grandi e più piccoli della funzione di due variabili nell'area

Cosa dovrebbe sapere uno studente

Domande di controllo

Test di controllo

1. Definizione della funzione di diverse variabili, metodi di compito

Il valore variabile è chiamato due variabili funzione Valori e Sul set
Se ogni coppia di valori
corrisponde all'unico valore della grandezza.

Simbolicamente, la funzione di due variabili è indicata come segue:


eccetera.

Variabili e chiamate variabili indipendenti o argomenti di funzione , E il set.
- area di definizione della funzione . Per funzioni di due variabili
area di definizione è un po ' molti punti sull'aereo
e l'area dei valori - il divario sull'asse
.

Ad esempio, - la funzione di due variabili.

Per la rappresentazione visiva funzioni di due modificheapplicato livello della linea.

Esempio 1. Per funzione
Costruire una linea di grafico e livello. Scrivi l'equazione della linea di livello che passa attraverso il punto
.

Funzione lineare grafico è un aereo nello spazio.

Per una funzione, il grafico è un piano che passa attraverso i punti
,
,
.

Linee di livello funzione sono paralleli dritti, l'equazione di cui
.

Per funzione lineare di due variabili
Le linee di livello sono impostate dall'equazione
e rappresentare. famiglia parallela dritto sull'aereo.

4

Funzione di programmazione 0 1 2 x

Funzione a livello di linea

Derivati \u200b\u200bprivati

Considera una funzione
. Diamo una variabile Al punto
Incremento arbitrario
In partenza valore variabile invariato. L'incremento corrispondente della funzione è chiamato incremento privato della funzione per variabile Al punto
.

Allo stesso modo determinato funzione di incremento privatoper variabile: .

La designazione del derivato privato : , ,
,
. Per trovare un derivato privato
La variabile utilizza le regole per la differenziazione della funzione di una variabile, considerando la variabile costante.

Funzione derivata privata per variabilechiamato il limite :

.

Designazioni: , ,
,
. Per trovare un derivato privato per variabile la variabile è considerata costante .

ESEMPIO 2.. Trova i valori delle funzioni derivate private al punto
.

Considerando costante e differenziazione, in funzione di una variabile, troviamo il derivato privato di:

.

Calcola il valore di questo derivato nel punto
: .

Considerando costante e differenziazione, come funzione, troviamo un derivato privato di:

.

Calcoliamo il valore del derivato nel punto:

ESEMPIO 3.. Per funzione
Trova derivati \u200b\u200bprivati
,
e calcola i loro valori al punto
.

Funzione derivata privata
Secondo la variabile, sotto l'ipotesi che è costante:

Troviamo il derivato privato della funzione software, considerando la costante:

Calcolare i valori dei derivati \u200b\u200bprivati \u200b\u200bquando
,
:

;
.

Sono anche chiamati anche derivati \u200b\u200bparziali delle funzioni di diverse variabili privato derivati \u200b\u200bdel primo ordine o primi derivati \u200b\u200bprivati.

Derivati \u200b\u200bprivati \u200b\u200bdel secondo ordine Le funzioni di diverse variabili sono chiamate derivate private dai derivati \u200b\u200bprivati \u200b\u200bdel primo ordine se esistono.

Scriviamo alla funzione dei derivati \u200b\u200bprivati \u200b\u200bdel 2 ° ordine:

;
;

;
.

;
eccetera.

Se i derivati \u200b\u200bprivati \u200b\u200bmisti di variabili multiple sono continui ad un certo punto
, Allora loro uguale all'altro A questo punto. Quindi, per la funzione di due variabili, i valori dei derivati \u200b\u200bprivati \u200b\u200bmisti non dipendono dalla procedura di differenziazione:
.

ESEMPIO 4. Per la funzione per trovare derivati \u200b\u200bprivati \u200b\u200bdel secondo ordine
e
.

Derivativo privato misto è una prima funzione di differenziazione sequenziale (Contanti costante), quindi differenziare il derivato
da (conteggio costante).

Derivato
sta differenziando le prime funzioni , quindi il derivato da.

I derivati \u200b\u200bprivati \u200b\u200bmisti sono uguali l'uno all'altro:
.

Differenziando i derivati \u200b\u200bprivati \u200b\u200bdel secondo ordine come h.e w., Riceveremo derivati \u200b\u200bprivati \u200b\u200bdi terzo ordine.

ESEMPIO 5. Trova derivati \u200b\u200bparziali della funzione del secondo ordine
.

Abbiamo riscontrato costantemente

3. Funzione estrema di due variabili

Massimo (minimo ) Funzioni
Al punto M. 0 (x. 0 ,y. 0) È chiamato il suo valore
che è più (meno) di tutti gli altri dei suoi valori presi in punti
, abbastanza vicino al punto
E oltre ad esso.

I punti massimi e minimi sono chiamati punti estremo e i valori della funzione in questi punti sono chiamati estremo .

Condizioni estremose richieste. Se una funzione differenziale
ha un estremo al punto
, i suoi derivati \u200b\u200bprivati \u200b\u200ba questo punto sono zero, cioè.

. Punti in cui
e
Chiamato stazionario punti di funzione
.

Condizioni sufficienti Estremo. Lascia che sia un punto di funzione stazionario e lascia
,
,
. Fare un determinante
. Poi:

se un
Quindi in un punto stazionario
nessun estremo;

se un
, quindi al punto c'è un estremo e il massimo, se< 0, Minimo, if.
;

se un
Richiede una ricerca aggiuntiva.

ESEMPIO 6.. Esplora la funzione estremo
.

Troviamo derivati \u200b\u200bprivati \u200b\u200bdel primo ordine:
;
Risolvere il sistema di equazioni
Otteniamo due punti fermi:
e
. Troviamo derivati \u200b\u200bprivati \u200b\u200bdel secondo ordine:
,
,
. Esploriamo ogni punto stazionario.

4. Funzione gradiente di due variabili

.

Properties Gradient.

Esempio 7.. Caratteristica Dana
. Trova un gradiente di qualità al punto
E costruirlo.

Troveremo le coordinate del gradiente - derivati \u200b\u200bprivati.

Al punto
pendenza pari. Vettore di inizio
Alla fine, e la fine è al punto.

5

5. I valori più piccoli e più piccoli della funzione di due variabili nella regione

Formulazione del problema. Lascia che il piano dell'area chiusa limitata fissa le disuguaglianze del sistema
. Deve essere trovato nell'area del punto in cui la funzione richiede i valori più grandi e più piccoli.

IMPORTANTE IS. il compito di trovare extrem, modello matematico che contiene restrizioni lineari (Equazioni, disuguaglianze) e lineare Funzione
.

Formulazione del problema. Trova i valori più grandi e più piccoli della funzione
Con restrizioni

Poiché per lineare Funzioni di diverse variabili Nessun punto critico dentro Regione
T. soluzione ottimaleche offre solo la funzione di destinazione dell'estremo è raggiungibile solo al confine della regione. Per una regione data da restrizioni lineari, i punti di possibile estremo sono punti d'angolo. Questo ti consente di considerare la soluzione del problema metodo grafico.

Impostazione geometrica del problema. Trova nella zona di soluzioni di un sistema di disuguaglianze lineari il punto attraverso il quale passa la linea di livello corrispondente al valore più alto (più piccolo) di una funzione lineare con due variabili.

Sequenziamento:

puntare una linea di livello "input" per l'area. Questo punto definisce il punto del valore della funzione più piccolo;

punta la linea di livello "Output" dall'area. Questo punto definisce il punto del maggior valore della funzione.

4. Trova le coordinate del punto A, risolvendo un sistema di equazioni di intersezione diretta al punto A, e calcolare il valore più piccolo della funzione
. Allo stesso modo - per punto in e la più grande funzione
.

ESEMPIO 8.. Trova i valori più grandi e più piccoli della funzione
Nel campo delle soluzioni di un sistema di disuguaglianze lineari

1. Costruisci. regione di soluzioni di disuguaglianze lineari. Per fare questo, costruiamo un mezzo piano e troviamo il loro incrocio. Come "punto di controllo" prendi il punto
quella non appartiene Limite dritto.

W.

1

Dritto ()
- Punti per la costruzione
e
. Come
È vero, il mezzo piano è disegnato verso il punto di controllo.

Dritto ()
Costruire per punti
e
; disuguaglianza
Scopo, mezzo piano è diretto verso il punto di controllo ..

Dritto ()
Costruito da punti
e
; Il mezzo piano è disegnato verso il punto di controllo ..

Disuguaglianze
e
Viene mostrato che l'area desiderata (intersezione di tutte le semi-posizioni) è nel primo trimestre di coordinate.

2. Costruisci funzione gradiente - Vettore con le coordinate
Con l'inizio all'inizio delle coordinate. Perpendicolare al gradiente per costruire uno di linee di livello.

3. Movimento parallelo della linea di livello nella direzione del gradiente Troveremo il punto "input" della linea di livello nella regione della regione è un punto o (0.0). Calcola il valore della funzione a questo punto :.

4. Continuando il movimento della linea di livello nella direzione del gradiente, troviamo il punto di "output" della linea del livello dell'area dalla regione è punto A. per determinare le sue coordinate risolvendo il sistema di equazioni di Direct e:
Risolvere il sistema di equazioni
e
.

5. Calcola il valore della funzione al punto
: .

Risposta:
,
.

Cosa dovrebbe sapere uno studente

1. Il concetto della funzione di diverse variabili.

2. L'area di definizione e molti valori della funzione di diverse variabili.

3. Il concetto di una linea di livello.

4. Derivati \u200b\u200bparziali di variabili multiple.

5. Derivati \u200b\u200bparziali dei più alti ordini di funzione di diverse variabili.

6. Funzione estrema di diverse variabili.

7. I valori più piccoli e più piccoli della funzione di due variabili nell'area.

Domande di controllo

Il concetto della funzione di diverse variabili. Area di definizione, metodi di compito, livello di funzione di due variabili

Derivati \u200b\u200bparziali di diverse variabili

Funzione estrema variabili multiple

I valori più grandi e più piccoli della funzione di due variabili nell'area

Test di controllo

Quale delle seguenti funzioni è dipendente dalla funzione di due variabili:

un)
; b)
; nel)
; d)
.

2. Per la funzione
derivata privata uguale a:

un)
; b)
; nel)
; d)
., Al punto è ... a) 1; b) 0; in 1; d) 4.

12. Il gradiente del campo scalare al punto è il vettore ...

ma) b)

c) d)

13. La funzione derivata privata in una variabile a un punto è uguale a ...

ma) e. b) 2. e c)3e d)3

14. Valore massimo della funzione Con restrizioni

Allo stesso modo ... (inserisci la risposta).

15. L'area delle soluzioni consentite del problema di programmazione lineare ha il modulo:

Quindi il valore massimo della funzione è uguale ...

A) 10 b) 14 c) 13 g) 11

16. L'area delle soluzioni consentite del problema di programmazione lineare ha il modulo:

Quindi il valore massimo della funzione Allo stesso modo ...

A) 29 b) 31 c) 27 g) 20

17. Il valore massimo della funzione di destinazione z \u003d x 1 + 2x 2 durante le restrizioni Uguale: a) 13 b) 12 V) 8 g) 6

18. Il valore massimo della funzione durante le restrizioni è uguale a ... (immettere la risposta).

funzioni parecchivariabili 4.1. Compiti per argomento "Differenziazione funzioniparecchivariabili " Compito 1. Trova e descrive un'esistenza sull'aereo funzioni ... 3. Trova i valori più grandi e più piccoli funzioni z \u003d f (x, y), definito ...

Tema 5 Funzioni di due variabili di derivati \u200b\u200bprivati

Documento

Valori funzioni Due variabili In una zona limitata chiusa 1. Definizione funzioniparecchivariabili, Metodi di compito Funzione Due variabili chiamato ...

Matematica Parte 4 Calcolo differenziale delle funzioni di diverse variabili Equazioni differenziali della riga

Tutorial

Determinato funzioneparecchivariabili? Cos'è un programma funzioni Due variabili? Formulare definizioni limite funzioni Due variabili ...

Capitolo 3 Funzioni di diverse variabili § 1 Funzioni di diverse variabili Concetti di base 1 Definizione di una funzione di diverse variabili

Legge

Capitolo 3. Funzioniparecchivariabili § uno. Funzioniparecchivariabili. Concetti di base 1. Definizione funzioniparecchivariabili. Definizione. Lascia ℝ. Funzionedefinito sul set e con un'area ...

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Firme per diapositive:

Test sul tema algebra "Funzione" Grado 7

Passare il test e determinato il livello delle tue conoscenze sull'argomento "Funzione"

Attività numero 1 Qual è una funzione? La dipendenza da una variabile da un'altra se una variabile indipendente corrisponde all'unico valore della variabile dipendente. Variabile il cui valore viene scelto arbitrariamente. Dominio.

Attività Il numero 2 nell'argomento funzione è chiamato ... una variabile indipendente. Il valore della funzione. Variabile dipendente. Hai segnato 0 punti

Attività Il numero 2 nell'argomento funzione è chiamato ... una variabile indipendente. Il valore della funzione. Variabile dipendente. Hai segnato 1 punti

Attività numero 3 per i giorni Temperatura dell'aria misurata. Specificare l'area della definizione della funzione. Da 0 a 24. Da 0 a 12. Da 1 a 24. Hai segnato 0 punti

Attività numero 3 per i giorni Temperatura dell'aria misurata. Specificare l'area della definizione della funzione. Da 0 a 24. Da 0 a 12. Da 1 a 24. Hai segnato 1 punti

Attività numero 3 per i giorni Temperatura dell'aria misurata. Specificare l'area della definizione della funzione. Da 0 a 24. Da 0 a 12. Da 1 a 24. Hai segnato 2 punti

Attività numero 4 La funzione è data dalla formula y \u003d 12x. Trova il valore della funzione se l'argomento è 2. 24. 2. 6. Hai segnato 0 punti

Attività numero 4 La funzione è data dalla formula y \u003d 12x. Trova il valore della funzione se l'argomento è 2 .. 24. 2. 6. Hai segnato 1 punti

Attività numero 4 La funzione è data dalla formula y \u003d 12x. Trova il valore della funzione se l'argomento è 2. 24. 2. 6. Hai segnato 2 punti

Attività numero 4 La funzione è data dalla formula y \u003d 12x. Trova il valore della funzione se l'argomento è 2. 24. 2. 6. Hai segnato 3 punti

Attività numero 5 La funzione è data dalla formula y \u003d 12x. Con quali valori del valore dell'argomento della funzione è 24? 2. 12. 24. Hai segnato 0 punti

Attività numero 5 La funzione è data dalla formula y \u003d 12x. Con quali valori del valore dell'argomento della funzione è 24? 2. 12. 24. Hai segnato 1 punti

Attività numero 5 La funzione è data dalla formula y \u003d 12x. Con quali valori del valore dell'argomento della funzione è 24? 2. 12. 24. Hai segnato 2 punti

Attività numero 5 La funzione è data dalla formula y \u003d 12x. Con quali valori del valore dell'argomento della funzione è 24? 2. 12. 24. Hai segnato 3 punti

Attività numero 5 La funzione è data dalla formula y \u003d 12x. Con quali valori del valore dell'argomento della funzione è 24? 2. 12. 24. Hai segnato 4 punti

Il tuo segno "2" Sfortunatamente, oggi hai mostrato un basso livello di conoscenza su questo argomento. Ti consiglio di ripetere le regole. Assicurati che ci riuscirai!

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Il tuo segno "4" il tuo livello di conoscenza su questo argomento è abbastanza buono.

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Sull'argomento: sviluppo metodico, presentazioni e abstract

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