W ubiegłym wieku Ivan Bernoulli, Leonard Euler, a następnie Jean-Baptiste Fourier po raz pierwszy zastosowali reprezentację funkcji okresowych za pomocą szeregów trygonometrycznych. Ten pogląd jest szczegółowo omawiany na innych kursach, więc przypominamy tylko podstawowe relacje i definicje.

Jak wspomniano powyżej, każda funkcja okresowa ty (t) dla której równość u (t) = u (t + T) , gdzie T = 1 / F = 2p / W , może być reprezentowana przez szereg Fouriera:

Każdy wyraz z tej serii można rozszerzyć za pomocą wzoru cosinus na różnicę między dwoma kątami i przedstawić jako dwa wyrazy:

,

gdzie: A n = C n cosφ n, B n = C n sinφ n , więc , a

Szanse Jakiś oraz Zajazd są określone wzorami Eulera:

;
.

Na n = 0 :

a B 0 = 0.

Szanse Jakiś oraz Zajazd , są wartościami średnimi iloczynu funkcji ty (t) i oscylacje harmoniczne z częstotliwością północny zachód w przedziale czasu trwania T ... Wiemy już (sekcja 2.5), że są to funkcje korelacji krzyżowej, które określają miarę ich związku. Dlatego współczynniki Jakiś oraz B n pokaż nam "ile" sinusoid lub cosinusów z częstotliwością północny zachód zawarte w tej funkcji ty (t) rozszerzalny w serii Fouriera.

W ten sposób możemy reprezentować funkcję okresową ty (t) jako sumę drgań harmonicznych, gdzie liczby C n są amplitudy i liczby n - fazy. Zwykle w literaturze nazywa się widmem amplitud, a - spektrum faz. Często brane jest pod uwagę tylko widmo amplitud, które jest przedstawiane jako linie zlokalizowane w punktach północny zachód na osi częstotliwości i o wysokości odpowiadającej liczbie C n ... Należy jednak pamiętać, że w celu uzyskania korespondencji jeden-do-jednego między funkcją temporalną ty (t) i jego widma, konieczne jest wykorzystanie zarówno widma amplitudowego, jak i widma fazowego. Widać to na tak prostym przykładzie. Sygnały będą miały takie samo widmo amplitudy, ale całkowicie różnego rodzaju funkcje tymczasowe.

Widmo dyskretne może mieć nie tylko funkcję okresową. Na przykład sygnał: nie jest okresowy, ale ma dyskretne widmo składające się z dwóch linii widmowych. Nie będzie też sygnału ściśle okresowego składającego się z ciągu impulsów radiowych (impulsów z wypełnieniem wysokoczęstotliwościowym), w którym okres powtarzania jest stały, ale początkowa faza wypełnienia wysokoczęstotliwościowego zmienia się z impulsu na impuls zgodnie z do jakiegoś prawa. Takie sygnały nazywane są prawie okresowymi. Jak zobaczymy później, mają one również spektrum dyskretne. Badanie fizycznej natury widm takich sygnałów przeprowadzimy analogicznie jak dla sygnałów okresowych.

Formy notacji szeregów Fouriera. Sygnał nazywa się okresowy, jeśli jego kształt powtarza się cyklicznie w czasie Sygnał okresowy ty (t) ogólnie jest napisany w następujący sposób:

u (t) = u (t + mT), m = 0, ± 1, ± 2,…

Oto okres T sygnału. Sygnały okresowe mogą być proste lub złożone.

Do matematycznej reprezentacji sygnałów okresowych z okresem T często stosuje się szereg (2.2), w którym jako funkcje bazowe wybierane są oscylacje harmoniczne (sinusoidalne i cosinusoidalne) o wielu częstotliwościach

y 0 (t) = 1; y 1 (t) = sinw 1 t; r 2 (t) = cosw 1 t;

y 3 (t) = sin2w 1 t; y 4 (t) = cos2w 1 t; ..., (2.3)

gdzie w 1 = 2p / T jest podstawową częstotliwością kątową ciągu

Funkcje. Dla funkcji bazowych harmonicznych z szeregu (2.2) otrzymujemy szereg Fouriera (Jean Fourier jest francuskim matematykiem i fizykiem XIX wieku).

Funkcje harmoniczne postaci (2.3) w szeregu Fouriera mają następujące zalety: 1) prosty opis matematyczny; 2) niezmienność przekształceń liniowych, to znaczy, jeśli oscylacja harmoniczna działa na wejściu obwodu liniowego, to na jego wyjściu wystąpi również oscylacja harmoniczna, która różni się od wejścia tylko amplitudą i fazą początkową; 3) podobnie jak sygnał, funkcje harmoniczne są okresowe i mają nieskończony czas trwania; 4) technika generowania funkcji harmonicznych jest dość prosta.

Z kursu matematyki wiadomo, że do rozwinięcia sygnału okresowego w szereg w funkcje harmoniczne (2.3) konieczne jest spełnienie warunków Dirichleta. Ale wszystkie rzeczywiste sygnały okresowe spełniają te warunki i można je przedstawić jako szereg Fouriera, który można zapisać w jednej z następujących postaci:

u (t) = A 0/2 + (A mn cosnw 1 t + A” mn nw 1 t), (2.4)

gdzie współczynniki

Mn ”= (2.5)

u (t) = A 0/2 + (2.6)

Mn = (2.7)

lub w złożonej formie

u (t) = (2.8)

Cn = (2.9)

Z (2.4) - (2.9) wynika, że ​​w ogólnym przypadku sygnał okresowy u(t) zawiera składową stałą A 0/2 oraz zbiór drgań harmonicznych o częstotliwości podstawowej w 1 = 2pf 1 i jej harmonicznych o częstotliwościach wn = nw 1, n = 2 , 3,4, ... Każda z harmonicznej

oscylacje szeregu Fouriera charakteryzuje amplituda i faza początkowa y n .nn

Wykres spektralny i widmo sygnału okresowego. Jeśli jakikolwiek sygnał jest przedstawiony jako suma oscylacji harmonicznych o różnych częstotliwościach, to mówi się, że rozkład widmowy sygnał.

Wykres spektralny Sygnał jest zwykle nazywany graficzną reprezentacją współczynników szeregu Fouriera tego sygnału. Rozróżnij wykresy amplitudy i fazy. Na ryc. 2,6 na pewnej skali wzdłuż osi poziomej wykreślone są wartości częstotliwości harmonicznych, wzdłuż osi pionowej - ich amplitudy A mn i fazy y n. Ponadto amplitudy harmonicznych mogą przyjmować tylko wartości dodatnie, fazy - zarówno dodatnie, jak i ujemne w przedziale -p £ y n £ p

Widmo sygnału- jest zbiorem składowych harmonicznych o określonych wartościach częstotliwości, amplitud i faz początkowych, tworzących w sumie sygnał. W zastosowaniach technicznych w praktyce wykresy spektralne nazywane są krócej - widmo amplitudowe, widmo fazowe. Najczęściej interesuje ich wykres spektralny amplitudy. Może być używany do oszacowania procentu harmonicznych w widmie.

Przykład 2.3. Rozwiń okresową sekwencję prostokątnych impulsów wideo w serii Fouriera z znane parametry (U m, T, t z), nawet „W stosunku do punktu t = 0. Skonstruuj wykres spektralny amplitud i faz przy U m = 2B, T = 20 ms, S = T / t i = 2 i 8.

Dany sygnał okresowy w przedziale jednego okresu można zapisać jako

Aby przedstawić ten sygnał, użyjmy formy zapisu szeregu Fouriera v formularz (2.4). Ponieważ sygnał jest parzysty, w rozszerzeniu pozostaną tylko składowe cosinusów.

Ryż. 2.6. Wykresy widmowe sygnału okresowego:

a - amplituda; b- faza

Całka funkcji nieparzystej w okresie jest równa zeru. Korzystając ze wzorów (2.5), znajdujemy współczynniki

pozwalający na zapisanie szeregu Fouriera:

Aby skonstruować wykresy spektralne dla określonych danych liczbowych, ustawiamy i = 0, 1, 2, 3, ... i obliczamy współczynniki harmoniczne. Wyniki obliczeń pierwszych ośmiu składowych widma zestawiono w tabeli. 2.1. W serii (2.4) „mn = 0 i zgodnie z (2.7) A mn = | A 'mn |, częstotliwość podstawowa f 1 = 1 / T = 1 / 20-10 -3 = 50 Hz, w 1 = 2pf 1 = 2p * 50 = 314 rad / s . Widmo amplitudowe na ryc.

2.7 jest zbudowany dla takich n, w którym Mn więcej niż 5% wartości maksymalnej.

Z podanego przykładu 2.3 wynika, że ​​wraz ze wzrostem współczynnika wypełnienia wzrasta liczba składowych widmowych i maleją ich amplitudy. Mówi się, że taki sygnał ma bogate widmo. Należy zauważyć, że dla wielu praktycznie używanych sygnałów nie ma potrzeby obliczania amplitud i faz harmonicznych z podanych wcześniej wzorów.

Tabela 2.1. Amplitudy składowych szeregu Fouriera okresowego ciągu impulsów prostokątnych

Ryż. 2.7. Wykresy widmowe okresowej sekwencji impulsów: a-z cyklem pracy S-2; - b-gdy współczynnik wypełnienia S = 8

W podręcznikach matematycznych znajdują się tablice rozkładu sygnału w szeregu Fouriera. Jedna z tych tabel znajduje się w załączniku (Tabela A.2).

Często pojawia się pytanie: ile składowych widmowych (harmonicznych) należy przyjąć, aby przedstawić rzeczywisty sygnał jako szereg Fouriera? W końcu seria jest, ściśle mówiąc, nieskończona. Nie można tu udzielić jednoznacznej odpowiedzi. Wszystko zależy od kształtu sygnału i dokładności jego reprezentacji przez szereg Fouriera. Płynniejsza zmiana sygnału - mniej wymaganych harmonicznych. Jeśli sygnał ma skoki (nieciągłości), wówczas należy zsumować więcej harmonicznych, aby uzyskać ten sam błąd. Jednak w wielu przypadkach, na przykład w telegrafii, uważa się, że trzy harmoniczne są również wystarczające do przesyłania impulsów prostokątnych o stromych krawędziach.

Zajęcia z analizy matematycznej

Temat: Obliczanie sum cząstkowych i charakterystyk widmowych szeregu Fouriera dla funkcji jawnej

funkcja Fouriera widma sygnału

1.Model procesu fizycznego

Rozwiązanie problemu z obliczeniami teoretycznymi

Przykład rozwiązania problemu

Przykład rozwiązania problemu w środowisku Matlab R2009a

Bibliografia

1.Model procesu fizycznego

Model matematyczny sygnał radiowy może służyć jako pewna funkcja czasu F(T) . Funkcja ta może być rzeczywista lub złożona, jednowymiarowa lub wielowymiarowa, deterministyczna lub losowa (zaszumione sygnały). W inżynierii radiowej to samo model matematyczny opisuje prąd, napięcie, napięcie z równym powodzeniem pole elektryczne itp.

Rozważ rzeczywiste jednowymiarowe sygnały deterministyczne

Zbiory funkcji (sygnały) są zwykle uważane za znormalizowane przestrzenie funkcjonalno-liniowe, w których wprowadza się następujące pojęcia i aksjomaty:

) spełnione są wszystkie aksjomaty przestrzeni liniowej;

) iloczyn skalarny dwóch sygnałów rzeczywistych definiuje się następująco:

) dwa sygnały nazywamy ortogonalnymi, jeśli ich iloczyn skalarny wynosi zero;

) układ sygnałów ortogonalnych tworzy nieskończenie wymiarową bazę współrzędnych, zgodnie z którą można rozłożyć dowolny sygnał okresowy należący do przestrzeni liniowej;

Wśród różnych układów funkcji ortogonalnych, które można wykorzystać do dekompozycji sygnału, najczęstszym jest układ funkcji harmonicznych (sinusoidalnych i cosinusoidalnych):

Reprezentacja pewnego okresowego sygnału jako suma oscylacji harmonicznych o różnych częstotliwościach nazywana jest reprezentacją widmową sygnału. Poszczególne składowe harmoniczne sygnału tworzą jego widmo. Z matematycznego punktu widzenia reprezentacja spektralna jest równoważna rozwinięciu funkcji okresowej (sygnału) w szeregu Fouriera.

Znaczenie rozkładu spektralnego funkcji w radiotechnice wynika z kilku powodów:

) prostota badania właściwości sygnału, ponieważ funkcje harmoniczne są dobrze poznane;

) możliwość wygenerowania dowolnego sygnału, ponieważ technika generowania sygnałów harmonicznych jest dość prosta;

) łatwość nadawania i odbioru sygnału w kanale radiowym, tk. Oscylacja harmoniczna jest jedyną funkcją czasu, która zachowuje swój kształt podczas przechodzenia przez dowolny obwód liniowy. Sygnał na wyjściu układu pozostaje harmoniczny z tą samą częstotliwością, zmienia się tylko amplituda i początkowa faza oscylacji;

) rozkład sygnału na sinusy i cosinusy pozwala na zastosowanie symbolicznej metody opracowanej do analizy transmisji oscylacji harmonicznych przez układy liniowe.

Jako model procesu fizycznego rozważ elektrokardiogram serca.

2.Rozwiązanie problemu z obliczeniami teoretycznymi

Cel 1:

Opiszmy za pomocą szeregu Fouriera okresowo powtarzający się impuls w obszarze elektrokardiogramu, tzw. zespół QRS.

Zespół QRS można zdefiniować za pomocą następującej odcinkowo liniowej funkcji

Gdzie

Ta funkcja może być kontynuowana okresowo z kropką T = 2l.

Szereg funkcji Fouriera:

Definicja 1: Funkcja nazywa się odcinkowo ciągły na odcinku [a, b], jeśli jest ciągły we wszystkich punktach tego odcinka, z wyjątkiem skończonej liczby punktów, w których istnieją jego skończone jednostronne granice.

Definicja 2: Funkcja nazywa się kawałkami gładka na jakimś odcinku, jeśli on i jego pochodna są odcinkowo ciągłe.

Twierdzenie 1 (test Dirichleta): Szereg Fouriera funkcji odcinkowo gładkiej na przedziale F (x) zbiega się w każdym punkcie ciągłości do wartości funkcji w tym punkcie i do wartości w każdym punkcie nieciągłości.

Nasza funkcja spełnia warunki twierdzenia.

Dla danej funkcji otrzymujemy następujące współczynniki szeregu Fouriera:

Złożona forma szeregu Fouriera

Aby przedstawić szereg w postaci złożonej, używamy wzorów Eulera:

Wprowadźmy notację:

Następnie serię można przepisać jako

Ponadto współczynniki złożonego szeregu Fouriera można otrzymać bezpośrednio, obliczając je ze wzoru

Szereg Fouriera danej funkcji zapisujemy w postaci zespolonej

Charakterystyka spektralna serii

Wyrażenie w serii Fouriera nazywa się nharmoniczna. Wiadomo, że

gdzie lub

,

Agregaty są odpowiednio nazywane widmo amplitudowe i fazowe funkcja okresowa.

Widma są przedstawiane graficznie jako segmenty długości rysowane prostopadle do osi, na której wykreślana jest wartość n= 1,2 ... lub.

Obraz graficzny odpowiednie widmo nazywa się wykresem amplitudy lub fazy. W praktyce najczęściej wykorzystywane jest widmo amplitudowe.

.Przykład rozwiązania problemu

Zadanie 2: Rozważać konkretny przykład zadania dla wybranego modelu procesu fizycznego.

Rozszerzamy tę funkcję na całą oś liczbową, otrzymujemy funkcję okresową F(x) z okresem T = 2 ja= 18 (ryc. 1.).

Ryż. 1. Wykres funkcji okresowo kontynuowanej

Obliczmy współczynniki Fouriera danej funkcji.

Zapiszmy częściowe sumy szeregu:

Ryż. 2. Wykresy sum cząstkowych szeregu Fouriera

Wraz ze wzrostem n wykresy sum cząstkowych w punktach ciągłości zbliżają się do wykresu funkcji F(x) ... W punktach załamania zbliżają się wartości sum częściowych .

Zbudujmy wykresy amplitudy i fazy.

dać ćwierć.

Tabela

4. Przykład rozwiązania problemu w środowisku Matlab R2009a

Cel 3: Jako przykład rozważ całe odstępy PR i QT.

Ryż

Dla tej funkcji zbuduj wykresy sum cząstkowych, a także wykresy amplitudy i fazy.

Przyjmijmy dla naszego zadania konkretne wartości parametrów:

Skrypt do budowania wymaganych wykresów i wykresów.

Skrypt pozwala rozwiązać szereg podobnych problemów poprzez wybór parametrów i współrzędnych punktów Q, R, S.

OBLICZANIE % KWOT CZĘŚCIOWYCH I CHARAKTERYSTYK SPEKTRALNYCH SERII FOURIERA DLA EKSPRESOWYCH

% Analiza spektralna L I1 I2 Q R S I3 I4 I5 P T w v a b c d q r Qy Ry SynCase = 18; = 6; I2 = 10; Q = 11; Qy = -2; R = 12; Ry = 17; S = 13; Sy = -4; I3 = 15; I4 = 20; I5 = 26; = 2; T = 3; ExprNum = 9; = 250; = 30; = 0; flaga == 0 = 1; (k<15)

k = menu ("Zmiana parametrów", ...

sprintf ("Parametr1 P =% g", P), ... ("Parametr2 I1 =% g", I1), ... ("Parametr3 I2 =% g", I2), ... ("Parametr4 Qx =% g", Q), ... (" Parametr5 Qy =% g", Qy), ... (" Parametr6 Rx =% g", R), ... (" Parametr7 Ry =% g ", Ry), ... ("Parametr 8 Sx =% g", S), ... ("Parametr 9 Sy =% g", Sy), ... ("Parametr 10 I3 =% g", I3), .. ("Parametr 11 I4 =% g", I4), ... ("Parametr 12 T =% g", T), ... ("Parametr 13 I5 =% g", I5), ... ("Parametr 13 Ns =% g", Ns), ...

„Kontynuuj”); k == 1, = wejście ();

endk == 2, = wejście ();

endk == 3, = wejście ();

endk == 4, = wejście ();

endk == 5, = wejście ();

endk == 6, = wejście ();

endk == 7, = wejście ();

"Nowa wartość Sx ="]);

endk == 9, = wejście ();

endk == 10, = wejście ();

endk == 11, = wejście ();

endk == 12, = wejście ();

konieck == 13, = wejście ()

konieck == 14, = wejście ()

% Zastosowanie parametrów = Qy / (Q-I2);

v = Qy * I2 / (I2-Q); = (Ry-Qy) / (RQ); = (Qy * RQ * Ry) / (RQ); = (Sy-Ry) / (SR); = (Ry * SR * Sy) / (SR); = Sy / (S-I3); = I3 * Sy / (I3-S); = 2 * L / N; = 0: Ts: 2 * L; = długość (t ); = zera (1, Dim); = piętro (I1 * N / 2 / L) +1; = piętro ((I2-I1) * N / 2 / L) +1; = piętro ((Q-I2) * N / 2 / L) +1; = piętro ((RQ) * N / 2 / L) +1; = piętro ((SR) * N / 2 / L) +1; = piętro ((I3-S) * N / 2 / L) +1; = piętro ((I4-I3) * N / 2 / L) +1; = piętro ((I5-I4) * N / 2 / L) +1; = piętro (( 2 * L-I4) * N / 2 / L) +1; i = 1: u1 (i) = P * sin (pi * t (i) / I1); i = u1: u2 (i) = 0; i = (u2 + u1) :( u3 + u2 + u1) (i) = w * t (i) + v; i = (u3 + u2 + u1): (u4 + u3 + u2 + u1) (i) = a * t (i) + b; i = (u4 + u3 + u2 + u1): (u5 + u4 + u3 + u2 + u1) (i) = c * t (i) + d; i = (u5 + u4 + u3 + u2 + u1): (u6 + u5 + u4 + u3 + u2 + u1) (i) = q * t (i) + r; i = (u6 + u5 + u4 + u3 + u2 + u1 ): (u7 + u6 + u5 + u4 + u3 + u2 + u1) (i) = 0; i = (u7 + u6 + u5 + u4 + u3 + u2 + u1): (u8 + u7 + u6 + u5 + u4 + u3 + u2 + u1) (i) = T * sin (pi * (t (i) -I4) / (I5-I4)), (t, y, "Szerokość linii", 2), siatka, zestaw ( gca, "Nazwa Czcionki", "Arial Cyr", "Rozmiar Czcionki", 16);

tytuł („Wykres procesu”); xlabel („Czas (s)”); etykieta y („T (t)”);

% Wykres sumy częściowej n

n = 0; j = 1: ExprNum = j; j1 = quad (@f, 0, I1); 2 = a0 + quad (@f, I1, I2); 3 = a0 + quad (@f, I2, Q ); 4 = a0 + quad (@f, Q, R); 5 = a0 + quad (@f, R, S); 6 = a0 + quad (@f, S, I3); 7 = a0 + quad ( @f, I3, I4); 8 = a0 + quad (@f, I4, I5); 9 = a0 + quad (@f, I5, 2 ​​* L); = a0 / L; = zera (1, Ns) ; = zera (1, Ns); i = 1: Ns = i; j = 1: ExprNum = j; j1 (i) = quad (@f, 0, I1); (i) = quad (@g , 0 , I1); 2 (i) = an (i) + quad (@f, I1, I2); (i) = bn (i) + quad (@g, I1, I2); 3 (i) = an (i) + quad (@f, I2, Q); (i) = bn (i) + quad (@g, I2, Q); 4 (i) = an (i) + quad (@f, Q) , R ); (i) = bn (i) + quad (@g, Q, R); 5 (i) = an (i) + quad (@f, R, S); (i) = bn (i ) + quad (@g, R, S); 6 (i) = an (i) + quad (@f, S, I3); (i) = bn (i) + quad (@g, S, I3) ; 7 (i) = an (i) + quad (@f, I3, I4); (i) = bn (i) + quad (@g, I3, I4); 8 (i) = an (i) + quad ( @f, I4, I5); (i) = bn (i) + quad (@g, I4, I5); 9 (i) = an (i) + quad (@f, I5, 2 ​​* L); (i) = bn (i) + quad (@g, I5, 2 ​​* L); (i) = an (i) / L; (i) = bn (i) / L; = t ; = zera (1, długość (x)); = fn + a0 / 2; i = 1: Ns = i; = fn + an (i) * cos (n * pi * x / L) + bn (i) * sin (n * pi * x / L);(t, y, x, fn, "LineWidth", 2), grid, set (gca, "FontName", "Arial Cyr", "FontSize", 16);

tytuł („Wykres sygnału i sumy częściowej”); xlabel („Czas (s)”); ylabel (sprintf ("Sn (t)"));

% Wykreślanie wykresu amplitudy = zera (1, Ns);

wn = pi / L; = wn: wn: wn * Ns; i = 1: Ns (i) = sqrt (an (i). ^ 2 + bn (i). ^ 2); (Gn, A, ". "), siatka, zestaw (gca," FontName "," Arial Cyr "," FontSize ", 16); (" Diagram amplitudy sygnału "); xetykieta ("n"); etykieta y ("An");

% Budowa diagramu fazowego sygnału = zera (1, Ns);

dla i = 1: Ns ((i)> 0) (i) = atan (bn (i) / an (i)); (((i)<0)&&(bn(i))>0) (i) = atan (bn (i) / an (i)) + pi; (((i)<0)&&(bn(i))<0)(i)=pi-atan(bn(i)/an(i));((an(i)==0)&&(bn(i))>0) (i) = pi / 2; ((an (i) == 0) && (bn (i))<0)(i)=-pi/2;(Gn,Fi,"."), grid, set(gca,"FontName","Arial Cyr","FontSize",16);("Фазовая диаграмма сигнала"); xlabel("n"); ylabel("Fi");Figure 1;Figure 2;Figure 3;Figure 4;=0;=input("Закончить работу-<3>, przystępować - ");

Listaliteratura

1. Fikhtengolts, G.M. Przebieg rachunku różniczkowego i całkowego: w 3 tomach, Moskwa, 1997,3 tomy.

Vodnev, VT, Naumovich, AF, Naumovich, NF, Podstawowe wzory matematyczne. Mińsk, 1998

Widma i analiza Charkiewicza AA. Moskwa, 1958

Lazarev, Yu F., Początki programowania w środowisku MatLAB. Kijów 2003.

Demidovich, B.P. Zbiór problemów i ćwiczeń z analizy matematycznej, M., 1988.

Wśród różnych układów funkcji ortogonalnych, które można wykorzystać jako podstawy prezentacji sygnałów radiotechnicznych, wyjątkowe miejsce zajmują funkcje harmoniczne (sinusoidalne i cosinusoidalne). Znaczenie sygnałów harmonicznych w inżynierii radiowej wynika z wielu powodów.

W szczególności:

1. Sygnały harmoniczne są niezmiennicze w stosunku do przekształceń realizowanych przez stacjonarne liniowe obwody elektryczne. Jeżeli taki obwód jest wzbudzany przez źródło oscylacji harmonicznych, to sygnał na wyjściu obwodu pozostaje harmoniczny o tej samej częstotliwości, różniąc się od sygnału wejściowego jedynie amplitudą i fazą początkową.

2. Technika generowania sygnałów harmonicznych jest stosunkowo prosta.

Jeżeli jakiś sygnał przedstawiamy jako sumę oscylacji harmonicznych o różnych częstotliwościach, to mówi się, że przeprowadzono dekompozycję widmową tego sygnału. Poszczególne składowe harmoniczne sygnału tworzą jego widmo.

2.1. Sygnały okresowe i szeregi Fouriera

Model matematyczny powtarzającego się w czasie procesu to sygnał okresowy o następującej własności:

Tutaj T jest okresem sygnału.

Zadaniem jest znalezienie rozkładu spektralnego takiego sygnału.

Szeregi Fouriera.

Ustalmy przedział czasu rozważany w rozdz. I ortonormalna baza utworzona przez funkcje harmoniczne o wielu częstotliwościach;

Każda funkcja z tej podstawy spełnia warunek okresowości (2.1). Dlatego - po wykonaniu na tej podstawie dekompozycji ortogonalnej sygnału, czyli obliczeniu współczynników

otrzymujemy rozkład spektralny

która obowiązuje na całej nieskończoności osi czasu.

Szereg postaci (2.4) nazywamy szeregiem Fouriera danego sygnału. Wprowadźmy podstawową częstotliwość ciągu tworzącego sygnał okresowy. Obliczając współczynniki rozszerzalności ze wzoru (2.3), piszemy szereg Fouriera dla sygnału okresowego

ze współczynnikami

(2.6)

Tak więc, w ogólnym przypadku, sygnał okresowy zawiera niezależną od czasu składową stałą i nieskończony zestaw oscylacji harmonicznych, tak zwanych harmonicznych o częstotliwościach będących wielokrotnościami częstotliwości podstawowej sekwencji.

Każdą harmoniczną można opisać amplitudą i fazą początkową W tym celu współczynniki szeregu Fouriera należy zapisać w postaci

Podstawiając te wyrażenia w (2.5), otrzymujemy inną, - równoważną postać szeregu Fouriera:

co jest czasem wygodniejsze.

Wykres widmowy sygnału okresowego.

Tak więc zwyczajowo nazywa się graficzną reprezentację współczynników szeregu Fouriera dla konkretnego sygnału. Rozróżnij wykresy amplitudowe i fazowe (rys. 2.1).

Tutaj na osi poziomej, w określonej skali, kreślone są częstotliwości harmonicznych, a na osi pionowej kreślone są ich amplitudy i fazy początkowe.

Ryż. 2.1. Wykresy widmowe pewnego sygnału okresowego: a - amplituda; b - faza

Szczególnie interesuje ich wykres amplitudowy, który pozwala ocenić procentowy udział niektórych harmonicznych w widmie sygnału okresowego.

Spójrzmy na kilka konkretnych przykładów.

Przykład 2.1. Seria Fouriera okresowej sekwencji prostokątnych impulsów wideo o znanych parametrach, nawet względem punktu t = 0.

W inżynierii radiowej stosunek ten nazywa się cyklem pracy sekwencji. Korzystając ze wzorów (2.6), znajdujemy

Wygodnie jest zapisać ostateczną formułę szeregu Fouriera w postaci

Na ryc. 2.2 pokazuje wykresy amplitudy rozważanej sekwencji w dwóch skrajnych przypadkach.

Należy zauważyć, że sekwencja krótkich impulsów, które następują po sobie dość rzadko, ma bogaty skład spektralny.

Ryż. 2.2. Widmo amplitudowe okresowej sekwencji prostokątnych impulsów wideo: a - przy dużym cyklu pracy; b - przy niskim cyklu pracy

Przykład 2.2. Szereg Fouriera okresowego ciągu impulsów utworzonych przez sygnał harmoniczny o postaci ograniczonej na poziomie (przy założeniu tego).

Wprowadzamy specjalny parametr - kąt odcięcia, wyznaczony z zależności skąd

Zgodnie z tym wartość jest równa czasowi trwania jednego impulsu, wyrażonemu w miarach kątowych:

Zapis analityczny impulsu generującego rozważaną sekwencję ma postać

Stały składnik ciągu

Współczynnik amplitudy pierwszej harmonicznej

Podobnie obliczane są amplitudy - składowe harmoniczne przy

Uzyskane wyniki są zwykle zapisywane w następujący sposób:

gdzie funkcjonuje tzw. Berg:

Wykresy niektórych funkcji Berga pokazano na ryc. 2.3.

Ryż. 2.3. Działki kilku pierwszych funkcji Berg

Złożona forma szeregu Fouriera.

Rozkład widmowy sygnału okresowego można również przeprowadzić nieco jonowo za pomocą systemu funkcji bazowych składającego się z wykładników z urojonymi wykładnikami:

Łatwo zauważyć, że funkcje tego układu są okresowe z ortonormalizowanym okresem w przedziale czasu od

Szereg Fouriera dowolnego sygnału okresowego przyjmuje w tym przypadku postać

ze współczynnikami

Zwykle stosuje się następującą formę notacji:

Wyrażenie (2.11) to szereg Fouriera w postaci złożonej.

Widmo sygnału zgodnie ze wzorem (2.11) zawiera składowe na ujemnej półosi częstotliwości, oraz. W serii (2.11) terminy o częstotliwościach dodatnich i ujemnych są na przykład łączone w pary.

W wielu przypadkach zadanie uzyskania (obliczenia) widma sygnału jest następujące. Jest przetwornik ADC, który z częstotliwością próbkowania Fd przetwarza ciągły sygnał docierający na jego wejście w czasie T na próbki cyfrowe - N sztuk. Następnie tablica próbek jest wprowadzana do programu, który wyprowadza N/2 niektórych wartości liczbowych (programista, który ściągnięty z internetu napisał program, twierdzi, że wykonuje transformację Fouriera).

Aby sprawdzić, czy program działa poprawnie, stwórzmy tablicę próbek jako sumę dwóch sinusoid sin (10 * 2 * pi * x) + 0,5 * sin (5 * 2 * pi * x) i wsuńmy ją do programu . Program wylosował:

Rys. 1 Wykres funkcji czasu sygnału

Rys. 2 Wykres widma sygnału

Na wykresie widma znajdują się dwa drążki (harmoniczne) 5 Hz z amplitudą 0,5 V i 10 Hz – przy amplitudzie 1 V wszystko jest jak we wzorze oryginalnego sygnału. Wszystko w porządku, dobrze zrobiony programiście! Program działa poprawnie.

Oznacza to, że jeśli na wejście ADC przyłożymy rzeczywisty sygnał z mieszanki dwóch sinusoid, to otrzymamy podobne widmo składające się z dwóch harmonicznych.

Razem, nasz prawdziwy zmierzony sygnał, trwający 5 sekund, zdigitalizowany ADC, czyli przedstawiony oddzielny liczy, ma dyskretna nieokresowa widmo.

Z matematycznego punktu widzenia, ile błędów jest w tym zdaniu?

Teraz szefowie zdecydowali, że zdecydowaliśmy, że 5 sekund to za długo, zmierzmy sygnał w 0,5 sekundy.



Rys. 3 Wykres funkcji sin (10 * 2 * pi * x) + 0,5 * sin (5 * 2 * pi * x) przy okresie pomiarowym 0,5 sek.

Rys. 4 Widmo funkcji

Wygląda na to, że coś jest nie tak! Harmoniczna 10 Hz jest rysowana normalnie, a zamiast drążka 5 Hz pojawiło się kilka niezrozumiałych harmonicznych. Zaglądamy w Internecie, co i jak ...

Mówią, że na końcu próbki należy dodać zera, a widmo zostanie narysowane normalnie.

Rys. 5 Wykańczaliśmy zera do 5 sekund

Rys. 6 Otrzymane widmo

Wciąż nie to, co było po 5 sekundach. Będziemy musieli zająć się teorią. Iść do Wikipedia- źródło wiedzy.

2. Funkcja ciągła i jej reprezentacja przez szereg Fouriera

Matematycznie nasz sygnał o czasie trwania T sekund to jakaś funkcja f (x) zdefiniowana na przedziale (0, T) (X w tym przypadku to czas). Taką funkcję zawsze można przedstawić jako sumę funkcji harmonicznych (sinusoidy lub cosinusy) postaci:

(1), gdzie:

K - numer funkcji trygonometrycznej (numer składowej harmonicznej, numer harmonicznej)
T - segment, w którym funkcja jest zdefiniowana (czas trwania sygnału)
Ak jest amplitudą k-tej składowej harmonicznej,
θk jest początkową fazą składowej k-tej harmonicznej

Co to znaczy „reprezentować funkcję jako sumę szeregu”? Oznacza to, że dodając w każdym punkcie wartości składowych harmonicznych szeregu Fouriera, otrzymujemy wartość naszej funkcji w tym punkcie.

(Ściślej, odchylenie średniokwadratowe szeregu od funkcji f(x) będzie dążyło do zera, ale pomimo zbieżności średniokwadratowej, szereg Fouriera funkcji, ogólnie rzecz biorąc, nie ma obowiązku zbiegają się do niego punktowo (patrz https://ru.wikipedia.org/wiki/Fourier_Row).

Tę serię można również zapisać jako:

(2),
gdzie, k-ta amplituda zespolona.

Zależność między współczynnikami (1) i (3) wyrażają następujące wzory:

Zauważ, że wszystkie te trzy reprezentacje szeregu Fouriera są całkowicie równoważne. Czasami podczas pracy z szeregami Fouriera wygodniej jest używać wykładników argumentu urojonego zamiast sinusów i cosinusów, czyli użyć transformaty Fouriera w postaci złożonej. Ale wygodnie jest dla nas użyć wzoru (1), gdzie szereg Fouriera jest przedstawiony jako suma fal cosinusoidalnych z odpowiednimi amplitudami i fazami. W każdym razie błędem jest twierdzenie, że wynikiem transformacji Fouriera sygnału rzeczywistego będą złożone amplitudy harmonicznych. Jak słusznie mówi Wiki, „Transformacja Fouriera (ℱ) jest operacją, która przypisuje jedną funkcję do zmiennej rzeczywistej do innej funkcji, również zmiennej rzeczywistej”.

Całkowity:
Matematyczną podstawą analizy widmowej sygnałów jest transformata Fouriera.

Transformacja Fouriera pozwala przedstawić funkcję ciągłą f (x) (sygnał), zdefiniowaną na odcinku (0, T) jako sumę nieskończonej liczby (nieskończonego szeregu) funkcji trygonometrycznych (sinusoidy i \ lub cosinus) z pewnymi amplitudy i fazy, również brane pod uwagę na odcinku (0, T). Taki szereg nazywa się szeregiem Fouriera.

Zwróćmy uwagę na kilka punktów, których zrozumienie jest wymagane do prawidłowego zastosowania transformaty Fouriera do analizy sygnału. Jeśli weźmiemy pod uwagę szereg Fouriera (suma sinusoid) na całej osi X, widzimy, że poza segmentem (0, T), funkcja reprezentowana przez szereg Fouriera będzie okresowo powtarzać naszą funkcję.

Na przykład na wykresie na rys. 7 pierwotna funkcja jest zdefiniowana na przedziale (-T \ 2, + T \ 2), a szereg Fouriera reprezentuje funkcję okresową określoną na całej osi x.

Dzieje się tak, ponieważ same sinusoidy są funkcjami okresowymi, a zatem ich suma będzie funkcją okresową.

Rys. 7 Reprezentacja nieokresowej funkcji pierwotnej przez szereg Fouriera

Zatem:

Nasza pierwotna funkcja jest ciągła, nieokresowa, określona na pewnym odcinku długości T.
Widmo tej funkcji jest dyskretne, to znaczy przedstawiane jest w postaci nieskończonej serii składowych harmonicznych - szeregu Fouriera.
W rzeczywistości szereg Fouriera definiuje pewną funkcję okresową, która pokrywa się z naszą na odcinku (0, T), ale dla nas okresowość ta nie jest istotna.

Okresy składowych harmonicznych są wielokrotnościami wartości odcinka (0, T), na którym zdefiniowana jest pierwotna funkcja f(x). Innymi słowy, okresy harmonicznych są wielokrotnościami czasu trwania pomiaru sygnału. Na przykład okres pierwszej harmonicznej szeregu Fouriera jest równy przedziałowi T, na którym zdefiniowana jest funkcja f(x). Okres drugiej harmonicznej szeregu Fouriera jest równy przedziałowi T/2. I tak dalej (patrz rys. 8).

Rys. 8 Okresy (częstotliwości) składowych harmonicznych szeregu Fouriera (tu T = 2π)

W związku z tym częstotliwości składowych harmonicznych są wielokrotnościami 1 / T. Oznacza to, że częstotliwości składowych harmonicznych Fk są równe Fk = k \ T, gdzie k wynosi od 0 do ∞, na przykład k = 0 F0 = 0; k = 1 F1 = 1 \ T; k = 2 F2 = 2 \ T; k = 3 F3 = 3 \ T;… Fk = k \ T (przy zerowej częstotliwości - składnik stały).

Niech naszą pierwotną funkcją będzie sygnał zarejestrowany przez T = 1 sek. Wtedy okres pierwszej harmonicznej będzie równy czasowi trwania naszego sygnału T1 = T = 1 sek, a częstotliwość harmonicznej wyniesie 1 Hz. Okres drugiej harmonicznej będzie równy czasowi trwania sygnału podzielonemu przez 2 (T2 = T / 2 = 0,5 s), a częstotliwość wynosi 2 Hz. Dla trzeciej harmonicznej T3 = T/3 s, a częstotliwość wynosi 3 Hz. Itp.

Krok między harmonicznymi w tym przypadku wynosi 1 Hz.

W ten sposób sygnał o czasie trwania 1 s można rozłożyć na składowe harmoniczne (w celu uzyskania widma) z rozdzielczością częstotliwościową 1 Hz.
Aby zwiększyć rozdzielczość 2 razy do 0,5 Hz należy zwiększyć czas pomiaru 2 razy - do 2 sek. Sygnał o czasie trwania 10 sekund można rozłożyć na składowe harmoniczne (w celu uzyskania widma) z rozdzielczością częstotliwościową 0,1 Hz. Nie ma innych sposobów na zwiększenie rozdzielczości częstotliwości.

Istnieje sposób na sztuczne wydłużenie czasu trwania sygnału poprzez dodanie zer do tablicy próbek. Ale nie zwiększa rzeczywistej rozdzielczości częstotliwości.

3. Sygnały dyskretne i dyskretna transformata Fouriera

Wraz z rozwojem technologii cyfrowej zmieniły się również metody przechowywania danych pomiarowych (sygnałów). O ile wcześniej sygnał mógł być nagrany na magnetofonie i zapisany na taśmie w postaci analogowej, to teraz sygnały są digitalizowane i zapisywane w plikach w pamięci komputera jako zbiór liczb (liczb).

Typowy schemat pomiaru i digitalizacji sygnału jest następujący.

Rys. 9 Schemat kanałów pomiarowych

Sygnał z przetwornika pomiarowego podawany jest do ADC przez czas T. Próbki sygnału (próbki) uzyskane w czasie T są przesyłane do komputera i zapisywane w pamięci.

Rys. 10 Sygnał cyfrowy - N próbek uzyskanych w czasie T

Jakie są wymagania dotyczące parametrów digitalizacji sygnału? Urządzenie, które przekształca wejściowy sygnał analogowy w kod dyskretny (sygnał cyfrowy) nazywa się konwerterem analogowo-cyfrowym (ADC) (Wiki).

Jednym z głównych parametrów przetwornika ADC jest maksymalna częstotliwość próbkowania (lub częstotliwość próbkowania, angielska częstotliwość próbkowania) - częstotliwość próbkowania sygnału ciągłego w czasie podczas jego próbkowania. Mierzone w hercach. ((Wiki))

Zgodnie z twierdzeniem Kotelnikowa, jeśli sygnał ciągły ma widmo ograniczone częstotliwością Fmax, to można go całkowicie i jednoznacznie zrekonstruować z jego dyskretnych próbek pobranych w odstępach czasu , tj. o częstotliwości Fd ≥ 2 * Fmax, gdzie Fd jest częstotliwością próbkowania; Fmax to maksymalna częstotliwość widma sygnału. Innymi słowy, częstotliwość próbkowania sygnału (częstotliwość próbkowania ADC) musi być co najmniej 2 razy większa niż maksymalna częstotliwość sygnału, który chcemy zmierzyć.

A co się stanie, jeśli pobierzemy próbki z mniejszą częstotliwością niż wymaga tego twierdzenie Kotelnikowa?

W tym przypadku występuje efekt „aliasingu” (aka efekt stroboskopowy, efekt mory), w którym sygnał o wysokiej częstotliwości po digitalizacji zamienia się w sygnał o niskiej częstotliwości, który w rzeczywistości nie istnieje. Na ryc. 11 czerwona sinusoida wysokiej częstotliwości to prawdziwy sygnał. Niebieska sinusoida o niższej częstotliwości to sygnał pozorny, który powstaje dzięki temu, że w czasie próbkowania udaje mu się przejść ponad połowę okresu sygnału o wysokiej częstotliwości.

Ryż. 11. Pojawienie się fałszywego sygnału o niskiej częstotliwości przy niewystarczająco wysokiej częstotliwości próbkowania

Aby uniknąć efektu aliasingu, przed przetwornikiem ADC zainstalowany jest specjalny filtr antyaliasingowy – filtr dolnoprzepustowy (filtr dolnoprzepustowy), który przepuszcza częstotliwości poniżej połowy częstotliwości próbkowania ADC i odcina wyższe częstotliwości.

W celu obliczenia widma sygnału z jego dyskretnych próbek stosuje się dyskretną transformatę Fouriera (DFT). Należy ponownie zauważyć, że widmo sygnału dyskretnego jest „z definicji” ograniczone przez częstotliwość Fmax, mniejszą niż połowa częstotliwości próbkowania Fd. Dlatego widmo sygnału dyskretnego może być reprezentowane przez sumę skończonej liczby harmonicznych, w przeciwieństwie do nieskończonej sumy dla szeregu Fouriera sygnału ciągłego, którego widmo może być nieograniczone. Zgodnie z twierdzeniem Kotelnikowa maksymalna częstotliwość harmonicznej musi być taka, aby miała co najmniej dwa zliczenia, więc liczba harmonicznych jest równa połowie liczby zliczeń sygnału dyskretnego. Oznacza to, że jeśli w próbce jest N próbek, liczba harmonicznych w widmie będzie równa N / 2.

Rozważmy teraz dyskretną transformatę Fouriera (DFT).

W porównaniu z szeregiem Fouriera

Widzimy, że się pokrywają, z wyjątkiem tego, że czas w DFT jest dyskretny, a liczba harmonicznych jest ograniczona do N/2, co stanowi połowę liczby zliczeń.

Wzory DFT są zapisywane w bezwymiarowych zmiennych całkowitych k, s, gdzie k to liczby próbek sygnału, s to liczby składowych widmowych.
Wartość s pokazuje liczbę całkowitych oscylacji harmonicznych w okresie T (czas trwania pomiaru sygnału). Dyskretna transformata Fouriera służy do liczbowego znajdowania amplitud i faz harmonicznych, tj. "na komputerze"

Wracając do wyników na początku. Jak już wspomniano powyżej, przy rozszerzeniu funkcji nieokresowej (nasz sygnał) w szereg Fouriera, wynikowy szereg Fouriera w rzeczywistości odpowiada funkcji okresowej o okresie T (rys. 12).

Rys. 12 Funkcja okresowa f(x) z okresem T0, z okresem pomiarowym T>T0

Jak widać na rys. 12, funkcja f(x) jest okresowa z okresem T0. Jednak ze względu na to, że czas trwania próbki pomiarowej T nie pokrywa się z okresem funkcji T0, funkcja otrzymana jako szereg Fouriera ma nieciągłość w punkcie T. W rezultacie widmo tej funkcji będzie zawierają dużą liczbę harmonicznych o wysokiej częstotliwości. Gdyby czas trwania próbki pomiarowej T pokrywał się z okresem funkcji T0, to w widmie uzyskanym po przekształceniu Fouriera obecna byłaby tylko pierwsza harmoniczna (sinusoida o okresie równym czasowi trwania próbki), gdyż funkcja f (x) jest sinusoidą.

Innymi słowy, program DFT „nie wie”, że nasz sygnał jest „odcinkiem sinusoidy”, ale próbuje przedstawić funkcję okresową jako szereg, który ma nieciągłość z powodu niespójności poszczególnych kawałków sinusoidy.

W efekcie w widmie pojawiają się harmoniczne, które powinny podsumowywać kształt funkcji, w tym tę nieciągłość.

Tak więc, aby uzyskać „poprawne” widmo sygnału, które jest sumą kilku sinusoid o różnych okresach, konieczne jest, aby całkowita liczba okresów każdej sinusoidy mieściła się w okresie pomiaru sygnału. W praktyce warunek ten może być spełniony dla wystarczająco długiego czasu pomiaru sygnału.

Rys. 13 Przykład funkcji i widma sygnału błędu kinematycznego skrzyni biegów

Przy krótszym czasie obraz będzie wyglądał „gorzej”:

Rys. 14 Przykład funkcji i widma sygnału drgań wirnika

W praktyce może być trudno zrozumieć, gdzie są „elementy rzeczywiste”, a gdzie są „artefakty” spowodowane tym, że okresy składowych i czas próbkowania sygnału nie są wielokrotne, czyli „skoki i przerwy” przebiegu. Oczywiście słowa „rzeczywiste komponenty” i „artefakty” nie są na próżno brane w cudzysłów. Obecność wielu harmonicznych na wykresie widma nie oznacza, że ​​nasz sygnał w rzeczywistości „składa się” z nich. To tak, jakby myśleć, że liczba 7 „składa się” z liczb 3 i 4. Liczbę 7 można przedstawić jako sumę liczb 3 i 4 – to prawda.

Czyli nasz sygnał… a raczej nie „nasz sygnał”, ale funkcję okresową składającą się z powtarzania naszego sygnału (próbki) można przedstawić jako sumę harmonicznych (sinusoid) o określonych amplitudach i fazach. Jednak w wielu przypadkach ważnych dla praktyki (patrz rysunki powyżej) naprawdę możliwe jest powiązanie harmonicznych uzyskanych w widmie z rzeczywistymi procesami, które mają charakter cykliczny i wnoszą znaczący wkład w kształt sygnału.

Niektóre wyniki

1. Rzeczywisty zmierzony sygnał, czas trwania T s, zdigitalizowany przez ADC, czyli reprezentowany przez zestaw dyskretnych próbek (N sztuk), ma dyskretne widmo nieokresowe, reprezentowane przez zestaw harmonicznych (N/2 sztuki ).

2. Sygnał jest reprezentowany przez zestaw wartości rzeczywistych, a jego widmo jest reprezentowane przez zestaw wartości rzeczywistych. Częstotliwości harmoniczne są dodatnie. Fakt, że matematycy uważają, że wygodniej jest przedstawić widmo w postaci złożonej przy użyciu ujemnych częstotliwości, nie oznacza, że ​​„to jest poprawne” i „zawsze należy to robić”.

3. Sygnał mierzony w przedziale czasowym T jest określany tylko w przedziale czasowym T. Co było zanim zaczęliśmy mierzyć sygnał, a co będzie potem - to nie jest znane nauce. A w naszym przypadku nie jest to interesujące. DFT sygnału ograniczonego w czasie daje jego „prawdziwe” widmo, w tym sensie, że w pewnych warunkach pozwala obliczyć amplitudę i częstotliwość jego składowych.

Używane materiały i inne przydatne materiały.