Qui continueremo l'argomento delle operazioni su matrici iniziato nella prima parte e analizzeremo un paio di esempi in cui sarà necessario applicare più operazioni contemporaneamente.

Elevazione a potenza di una matrice.

Sia k un intero non negativo. Per qualsiasi matrice quadrata $ A_ (n \ volte n) $ abbiamo: $$ A ^ k = \ underbrace (A \ cdot A \ cdot \ ldots \ cdot A) _ (k \; volte) $$

In questo caso, assumiamo che $ A ^ 0 = E $, dove $ E $ è la matrice identità dell'ordine corrispondente.

Esempio n. 4

Viene data la matrice $ A = \ left (\ begin (array) (cc) 1 & 2 \\ -1 & -3 \ end (array) \ right) $. Trova le matrici $ A ^ 2 $ e $ A ^ 6 $.

Secondo la definizione, $ A ^ 2 = A \ cdot A $, cioè per trovare $ A ^ 2 $ basta moltiplicare la matrice $ A $ per se stessa. L'operazione di moltiplicazione della matrice è stata considerata nella prima parte dell'argomento, quindi qui ci limiteremo a scrivere il processo di soluzione senza spiegazioni dettagliate:

$$ A ^ 2 = A \ cdot A = \ left (\ begin (array) (cc) 1 & 2 \\ -1 & -3 \ end (array) \ right) \ cdot \ left (\ begin (array) (cc) 1 & 2 \\ -1 & -3 \ fine (matrice) \ destra) = \ sinistra (\ inizio (matrice) (cc) 1 \ cdot 1 + 2 \ cdot (-1) & 1 \ cdot 2 +2 \ cdot (-3) \\ -1 \ cdot 1 + (- 3) \ cdot (-1) & -1 \ cdot 2 + (- 3) \ cdot (-3) \ fine (array) \ destra ) = \ sinistra (\ inizio (matrice) (cc) -1 & -4 \\ 2 e 7 \ fine (matrice) \ destra). $$

Per trovare la matrice $ A ^ 6 $ abbiamo due opzioni. Opzione uno: è banale continuare a moltiplicare $ A ^ 2 $ per la matrice $ A $:

$$ A ^ 6 = A ^ 2 \ cdot A \ cdot A \ cdot A \ cdot A. $$

Tuttavia, puoi procedere in un modo leggermente più semplice, utilizzando la proprietà di associatività della moltiplicazione di matrici. Mettiamo le parentesi nell'espressione per $ A ^ 6 $:

$$ A ^ 6 = A ^ 2 \ cdot A \ cdot A \ cdot A \ cdot A = A ^ 2 \ cdot (A \ cdot A) \ cdot (A \ cdot A) = A ^ 2 \ cdot A ^ 2 \ punto A ^ 2. $$

Se risolvere il primo metodo richiederebbe quattro operazioni di moltiplicazione, quindi per il secondo metodo - solo due. Pertanto, andiamo nel secondo modo:

$$ A ^ 6 = A ^ 2 \ cdot A ^ 2 \ cdot A ^ 2 = \ left (\ begin (array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \ end (array) \ right) \ cdot \ sinistra (\ inizio (matrice) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \ fine (matrice) \ destra) \ cdot \ sinistra (\ inizio (matrice) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \ fine (matrice) \ destra) = \\ = \ sinistra (\ inizio (matrice) (cc) -1 \ cdot (-1) + (- 4) \ cdot 2 & -1 \ cdot (-4 ) + (- 4) \ cdot 7 \\ 2 \ cdot (-1) +7 \ cdot 2 & 2 \ cdot (-4) +7 \ cdot 7 \ fine (array) \ destra) \ cdot \ sinistra (\ inizio (matrice) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \ fine (matrice) \ destra) = \ sinistra (\ inizio (matrice) (cc) -7 & -24 \\ 12 & 41 \ fine ( array) \ right) \ cdot \ left (\ begin (array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \ end (array) \ right) = \\ = \ left (\ inizio (array) (cc ) -7 \ cdot (-1) + (- 24) \ cdot 2 & -7 \ cdot (-4) + (- 24) \ cdot 7 \\ 12 \ cdot (-1) +41 \ cdot 2 & 12 \ cdot (-4) +41 \ cdot 7 \ end (array) \ right) = \ left (\ begin (array) (cc) -41 & -140 \\ 70 & 239 \ end (array) \ destra). $$

Risposta: $ A ^ 2 = \ sinistra (\ inizio (matrice) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \ fine (matrice) \ destra) $, $ A ^ 6 = \ sinistra (\ inizio (matrice) (cc) -41 & -140 \\ 70 & 239 \ fine (matrice) \ destra) $.

Esempio n. 5

Date le matrici $ A = \ left (\ begin (array) (cccc) 1 & 0 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 0 \\ -1 & 4 & -3 & 6 \ end (array) \ destra) $, $ B = \ sinistra (\ inizio (array) (ccc) -9 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 4 \\ 0 & -2 & 3 \\ 1 & 5 & 0 \ fine (matrice) \ destra) $, $ C = \ sinistra (\ inizio (matrice) (ccc) -5 & -20 & 13 \\ 10 & 12 & 9 \\ 3 & -15 & 8 \ fine (matrice) \ a destra) $. Trova la matrice $ D = 2AB-3C ^ T + 7E $.

Iniziamo a calcolare la matrice $ D $ trovando il risultato del prodotto $ AB $. Le matrici $ A $ e $ B $ possono essere moltiplicate, poiché il numero di colonne nella matrice $ A $ è uguale al numero di righe nella matrice $ B $. Indichiamo $ F = AB $. In questo caso, la matrice $ F $ avrà tre colonne e tre righe, ad es. sarà quadrato (se questa conclusione non sembra ovvia, vedere la descrizione della moltiplicazione matriciale nella prima parte di questo argomento). Troviamo la matrice $ F $ calcolando tutti i suoi elementi:

$$ F = A \ cdot B = \ left (\ begin (array) (cccc) 1 & 0 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 0 \\ -1 & 4 & -3 & 6 \ end (array) \ right) \ cdot \ left (\ begin (array) (ccc) -9 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 4 \\ 0 & -2 & 3 \\ 1 & 5 & 0 \ end (array) \ right) \\ \ begin (allineato) & f_ (11) = 1 \ cdot (-9) +0 \ cdot 2 + (- 1) \ cdot 0 + 2 \ cdot 1 = -7; \\ & f_ (12) = 1 \ cdot 1 + 0 \ cdot (-1) + (- 1) \ cdot (-2) +2 \ cdot 5 = 13; \\ & f_ (13) = 1 \ cdot 0 + 0 \ cdot 4 + (- 1) \ cdot 3 + 2 \ cdot 0 = -3; \\ \\ & f_ (21) = 3 \ cdot (-9 ) + (- 2) \ cdot 2 + 5 \ cdot 0 + 0 \ cdot 1 = -31; \\ & f_ (22) = 3 \ cdot 1 + (- 2) \ cdot (-1) +5 \ cdot (-2) +0 \ cdot 5 = -5; \\ & f_ (23) = 3 \ cdot 0 + (- 2) \ cdot 4 + 5 \ cdot 3 + 0 \ cdot 0 = 7; \\ \\ & f_ (31) = - 1 \ cdot (-9) +4 \ cdot 2 + (- 3) \ cdot 0 + 6 \ cdot 1 = 23; \\ & f_ (32) = - 1 \ cdot 1 + 4 \ cdot (-1) + (- 3) \ cdot (-2) +6 \ cdot 5 = 31; \\ & f_ (33) = - 1 \ cdot 0 + 4 \ cdot 4 + (- 3) \ cdot 3 + 6 \ cdot 0 = 7. \ fine (allineato) $$

Quindi $ F = \ left (\ begin (array) (ccc) -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \ end (array) \ right) $. Andiamo oltre. La matrice $ C ^ T $ è la trasposizione della matrice $ C $, ad es. $ C ^ T = \ sinistra (\ inizio (matrice) (ccc) -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \ fine (matrice) \ destra) $. Per quanto riguarda la matrice $ E $, questa è la matrice identità. In questo caso, l'ordine di questa matrice è tre, ad es. $ E = \ sinistra (\ inizio (matrice) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ fine (matrice) \ destra) $.

In linea di principio, possiamo continuare ad andare per gradi, ma è meglio considerare l'espressione rimanente nella sua interezza, senza essere distratti da azioni ausiliarie. Infatti, ci restano solo le operazioni di moltiplicazione delle matrici per un numero, nonché le operazioni di addizione e sottrazione.

$$ D = 2AB-3C ^ T + 7E = 2 \ cdot \ left (\ begin (array) (ccc) -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \ end (array) \ right) -3 \ cdot \ left (\ begin (array) (ccc) -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \ end (array) \ destra) +7 \ cdot \ sinistra (\ inizio (matrice) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ fine (matrice) \ destra) $$

Moltiplica le matrici a destra dell'uguaglianza per i numeri corrispondenti (ad esempio 2, 3 e 7):

$$ 2 \ cdot \ left (\ begin (array) (ccc) -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \ end (array) \ right) -3 \ cdot \ left (\ begin (array) (ccc) -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \ end (array) \ right) +7 \ cdot \ left (\ inizio (matrice) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ fine (matrice) \ destra) = \\ = \ sinistra (\ inizio (matrice) (ccc) - 14 & 26 & -6 \\ -62 & -10 & 14 \\ 46 & 62 & 14 \ fine (matrice) \ destra) - \ sinistra (\ inizio (matrice) (ccc) -15 & 13 & 9 \\ -60 & 36 & -45 \\ 39 & 27 & 24 \ fine (matrice) \ destra) + \ sinistra (\ inizio (matrice) (ccc) 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \ fine (array) \ destra) $$

Eseguiamo gli ultimi passaggi: sottrazione e addizione:

$$ \ sinistra (\ inizio (matrice) (ccc) -14 & 26 & -6 \\ -62 & -10 & 14 \\ 46 & 62 & 14 \ fine (matrice) \ destra) - \ sinistra (\ inizio (matrice) (ccc) -15 & 30 & 9 \\ -60 & 36 & -45 \\ 39 & 27 & 24 \ fine (matrice) \ destra) + \ sinistra (\ inizio (matrice) (ccc) 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \ fine (matrice) \ destra) = \\ = \ sinistra (\ inizio (matrice) (ccc) -14 - (- 15) +7 & 26-30 + 0 & -6-9 + 0 \\ -62 - (- 60) +0 & -10-36 + 7 & 14 - (- 45) +0 \\ 46-39 + 0 & 62-27 +0 & 14-24 + 7 \ fine (matrice) \ destra) = \ sinistra (\ inizio (matrice) (ccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \ fine (array) \ destra). $$

Problema risolto, $ D = \ left (\ begin (array) (ccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \ end (array) \ right) $ ...

Risposta: $ D = \ sinistra (\ inizio (matrice) (ccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \ fine (matrice) \ destra) $.

Esempio n. 6

Sia $ f (x) = 2x ^ 2 + 3x-9 $ e matrice $ A = \ left (\ begin (array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \ end (array) \ right) $. Trova il valore di $ f (A) $.

Se $ f (x) = 2x ^ 2 + 3x-9 $, allora per $ f (A) $ intendiamo la matrice:

$$ f (A) = 2A ^ 2 + 3A-9E. $$

Ecco come viene definito un polinomio di una matrice. Quindi, dobbiamo sostituire la matrice $ A $ nell'espressione per $ f (A) $ e ottenere il risultato. Poiché tutte le azioni sono state discusse in dettaglio in precedenza, qui darò solo una soluzione. Se il processo di esecuzione dell'operazione $ A ^ 2 = A \ cdot A $ non ti è chiaro, ti consiglio di guardare la descrizione della moltiplicazione di matrici nella prima parte di questo argomento.

$$ f (A) = 2A ^ 2 + 3A-9E = 2A \ cdot A + 3A-9E = 2 \ sinistra (\ inizio (matrice) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \ fine (matrice) \ destra) \ cdot \ sinistra (\ inizio (matrice) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \ fine (matrice) \ destra) +3 \ sinistra (\ inizio (matrice) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \ fine (matrice) \ destra) -9 \ sinistra (\ inizio (matrice) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \ fine (matrice) \ destra) = \\ = 2 \ sinistra ( \ begin (array) (cc) (-3) \ cdot (-3) +1 \ cdot 5 & (-3) \ cdot 1 + 1 \ cdot 0 \\ 5 \ cdot (-3) +0 \ cdot 5 & 5 \ cdot 1 + 0 \ cdot 0 \ end (array) \ right) +3 \ left (\ begin (array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \ end (array) \ destra) -9 \ sinistra (\ inizio (matrice) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \ fine (matrice) \ destra) = \\ = 2 \ sinistra (\ inizio (matrice) (cc) 14 & -3 \\ - 15 & 5 \ fine (matrice) \ destra) +3 \ sinistra (\ inizio (matrice) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \ fine (matrice) \ destra) -9 \ sinistra (\ inizio (matrice) ) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \ fine (matrice) \ destra) = \ sinistra (\ inizio (matrice) (cc) 28 & -6 \\ -30 & 10 \ fine (matrice) \ destra) + \ sinistra (\ inizio (matrice) (cc) -9 & 3 \\ 15 & 0 \ fine (matrice) \ destra) - \ sinistra (\ inizio (matrice) (cc) 9 & 0 \\ 0 & 9 \ fine (matrice) \ destra) = \ sinistra (\ inizio (matrice) (cc) 10 & -3 \\ -15 & 1 \ fine (matrice) \ destra). $$

Risposta: $ f (A) = \ sinistra (\ inizio (matrice) (cc) 10 & -3 \\ -15 & 1 \ fine (matrice) \ destra) $.

Alcune proprietà delle operazioni su matrici.
Espressioni di matrice

E ora seguirà la continuazione dell'argomento, in cui prenderemo in considerazione non solo il nuovo materiale, ma anche il lavoro operazioni con matrici.

Alcune proprietà delle operazioni su matrici

Ci sono alcune proprietà che riguardano azioni con matrici, nella stessa Wikipedia puoi ammirare i ranghi snelli delle regole corrispondenti. Tuttavia, in pratica, molte proprietà sono, in un certo senso, "morte", poiché solo alcune di esse vengono utilizzate per risolvere problemi reali. Il mio obiettivo è considerare l'applicazione di proprietà su esempi specifici, e se hai bisogno di una teoria rigorosa, usa un'altra fonte di informazioni.

Prendi in considerazione alcuni eccezioni alla regola che sarà necessario per svolgere compiti pratici.

Se una matrice quadrata ha matrice inversa, allora la loro moltiplicazione è commutativa:

Matrice delle unitàè detta matrice quadrata in cui su diagonale principale si trovano le unità e il resto degli elementi è uguale a zero. Ad esempio:, ecc.

in cui vale la seguente proprietà: se si moltiplica una matrice arbitraria sinistra o destra sulla matrice identità di dimensioni adeguate, il risultato sarà la matrice originale:

Come puoi vedere, anche qui avviene la commutatività della moltiplicazione di matrici.

Prendiamo una sorta di matrice, diciamo, la matrice del problema precedente: .

Gli interessati possono verificare e assicurarsi che:

La matrice identità per le matrici è un analogo dell'unità numerica per i numeri, che è particolarmente evidente dagli esempi appena considerati.

Commutatività di un fattore numerico rispetto alla moltiplicazione matriciale

Per matrici e numeri reali vale la seguente proprietà:

Cioè, il fattore numerico può (e dovrebbe) essere spostato in avanti in modo che "non interferisca" con la moltiplicazione delle matrici.

Nota : In generale, la formulazione della proprietà è incompleta - la "lambda" può essere posizionata ovunque tra le matrici, anche alla fine. La regola rimane vera se si moltiplicano tre o più matrici.

Esempio 4

Calcola il prodotto

Soluzione:

(1) Secondo la proprietà sposta in avanti il ​​fattore numerico. Le matrici stesse non possono essere riorganizzate!

(2) - (3) Eseguire la moltiplicazione di matrici.

(4) Qui puoi dividere ogni numero per 10, ma poi appariranno frazioni decimali tra gli elementi della matrice, il che non va bene. Tuttavia, notiamo che tutti i numeri nella matrice sono divisibili per 5, quindi moltiplichiamo ciascun elemento per.

Risposta:

Una piccola farsa per l'auto-soluzione:

Esempio 5

Calcola se

Soluzione e risposta alla fine della lezione.

Quale tecnica è importante durante la soluzione esempi simili? Ci occupiamo del numero all'ultimo posto .

Attacciamo un'altra carrozza alla locomotiva:

Come si moltiplicano tre matrici?

Innanzitutto, QUALE dovrebbe essere il risultato della moltiplicazione di tre matrici? Un gatto non darà alla luce un topo. Se la moltiplicazione matriciale è fattibile, anche il risultato sarà una matrice. Hmmm, beh il mio insegnante di algebra non vede come spiego la chiusura di una struttura algebrica rispetto ai suoi elementi =)

Il prodotto di tre matrici può essere calcolato in due modi:

1) trova e poi moltiplica per la matrice "tse":;

2) o trova prima e poi moltiplica.

I risultati corrisponderanno sicuramente, e in teoria questa proprietà è chiamata associatività della moltiplicazione matriciale:

Esempio 6

Moltiplicare le matrici in due modi

Algoritmo soluzioni in due fasi: trova il prodotto di due matrici, quindi trova nuovamente il prodotto di due matrici.

1) Usiamo la formula

Prima azione:

Seconda azione:

2) Usiamo la formula

Prima azione:

Seconda azione:

Risposta:

Più familiare e standard, ovviamente, è la prima soluzione, c'è “tutto in ordine”. A proposito, sull'ordine. Nel problema in esame sorge spesso l'illusione che si tratti di una sorta di permutazione di matrici. Loro non sono qui. Ti ricordo ancora che generalmente MATRICE NON SOSTITUIBILE... Quindi, nel secondo paragrafo, al secondo passaggio, eseguiamo la moltiplicazione, ma in nessun caso. Con i numeri ordinari, un tale numero sarebbe passato, ma con le matrici - no.

La proprietà di associatività della moltiplicazione è valida non solo per il quadrato, ma anche per matrici arbitrarie, purché moltiplicate:

Esempio 7

Trova il prodotto di tre matrici

Questo è un esempio di soluzione fai-da-te. Nella soluzione di esempio, i calcoli vengono eseguiti in due modi, analizza quale modo è più redditizio e più breve.

La proprietà associativa della moltiplicazione matriciale avviene per un numero maggiore di fattori.

Ora è il momento di tornare ai poteri delle matrici. Il quadrato della matrice è considerato all'inizio e all'ordine del giorno c'è la domanda:

Come cubare una matrice e poteri superiori?

Queste operazioni sono definite anche solo per le matrici quadrate. Per costruire una matrice quadrata in un cubo, devi calcolare il prodotto:

In effetti, questo è un caso speciale di moltiplicazione di tre matrici, per la proprietà di associatività della moltiplicazione di matrici:. E la matrice moltiplicata per se stessa è il quadrato della matrice:

Quindi, otteniamo una formula di lavoro:

Cioè, l'attività viene eseguita in due passaggi: in primo luogo, la matrice deve essere quadrata, quindi la matrice risultante deve essere moltiplicata per la matrice.

Esempio 8

Converti la matrice in un cubo.

Questo è un piccolo compito per una soluzione indipendente.

L'elevazione della matrice alla quarta potenza avviene in modo naturale:

Usando l'associatività della moltiplicazione matriciale, deriviamo due formule di lavoro. Primo: è il prodotto di tre matrici.

1) . In altre parole, prima troviamo, poi lo moltiplichiamo per "bh" - otteniamo un cubo e, infine, eseguiamo di nuovo la moltiplicazione - ci sarà il quarto grado.

2) Ma c'è una soluzione un passo più breve:. Cioè, al primo passo, troviamo il quadrato e, aggirando il cubo, eseguiamo la moltiplicazione

Attività aggiuntiva per l'Esempio 8:

Eleva la matrice alla quarta potenza.

Come appena notato, ci sono due modi per farlo:

1) Non appena il cubo è noto, eseguiamo la moltiplicazione.

2) Tuttavia, se, in base alla condizione del problema, è necessario costruire la matrice solo al quarto grado, allora è vantaggioso abbreviare il percorso: trova il quadrato della matrice e usa la formula.

Entrambe le soluzioni e la risposta sono alla fine della lezione.

Allo stesso modo, la matrice viene elevata alla quinta e alle potenze superiori. Per esperienza pratica posso dire che a volte mi imbatto in esempi di elevazione al 4° grado, ma non ricordo il quinto grado. Ma per ogni evenienza, darò l'algoritmo ottimale:

1) trovare;
2) trovare;
3) eleviamo la matrice alla quinta potenza:.

Queste sono, forse, tutte le proprietà principali delle operazioni matriciali che possono essere utili nei problemi pratici.

Nella seconda parte della lezione è prevista una festa altrettanto colorata.

Espressioni di matrice

Ripetiamo le solite espressioni scolastiche con i numeri. Un'espressione numerica è costituita da numeri, simboli matematici e parentesi, ad esempio: ... Nel calcolo vale la familiare priorità algebrica: parentesi, poi funziona elevazione a potenza / estrazione della radice, dopo moltiplicazione / divisione Ultimo ma non meno importante - addizione / sottrazione.

Se un'espressione numerica ha senso, il risultato della sua valutazione è un numero, Per esempio:

Espressioni di matrice sono organizzati più o meno allo stesso modo! Con la differenza che i protagonisti sono le matrici. Inoltre alcune operazioni specifiche della matrice come la trasposizione e la ricerca della matrice inversa.

Considera l'espressione matriciale , dove sono alcune matrici. In questa espressione di matrice, vengono eseguiti per ultimi tre termini e operazioni di addizione/sottrazione.

Nel primo termine, devi prima trasporre la matrice "bie": quindi eseguire la moltiplicazione e aggiungere il "due" alla matrice risultante. notare che l'operazione di trasposizione ha la precedenza sulla moltiplicazione... Le parentesi, come nelle espressioni numeriche, cambiano l'ordine delle azioni: - qui viene eseguita prima la moltiplicazione, quindi la matrice risultante viene trasposta e moltiplicata per 2.

Nel secondo termine, prima di tutto, viene eseguita la moltiplicazione della matrice e la matrice inversa è già dal prodotto. Se le parentesi vengono rimosse:, prima devi trovare la matrice inversa, quindi moltiplicare le matrici:. Anche trovare l'inversa di una matrice ha la precedenza sulla moltiplicazione.

Con il terzo termine, tutto è ovvio: eleviamo la matrice a un cubo e aggiungiamo un "cinque" alla matrice risultante.

Se l'espressione della matrice ha senso, il risultato del suo calcolo è la matrice.

Tutti i compiti verranno dal reale il controllo funziona e inizieremo con il più semplice:

Esempio 9

Matrici date ... Trova:

Soluzione: L'ordine è ovvio, si esegue prima la moltiplicazione, poi l'addizione.

L'addizione non è possibile perché le matrici sono di dimensioni diverse.

Non essere sorpreso, azioni volutamente impossibili sono spesso suggerite in compiti di questo tipo.

Cercando di valutare la seconda espressione:

Va tutto bene qui.

Risposta: l'azione non può essere eseguita, .

La NASA lancerà una spedizione su Marte nel luglio 2020. Navicella spaziale consegnerà a Marte vettore elettronico con i nomi di tutti i membri registrati della spedizione.

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Una di queste varianti di codice deve essere copiata e incollata nel codice della tua pagina web, preferibilmente tra i tag e o subito dopo il tag ... Secondo la prima opzione, MathJax si carica più velocemente e rallenta meno la pagina. Ma la seconda opzione tiene traccia e carica automaticamente le ultime versioni di MathJax. Se inserisci il primo codice, sarà necessario aggiornarlo periodicamente. Se inserisci il secondo codice, le pagine si caricheranno più lentamente, ma non avrai bisogno di monitorare costantemente gli aggiornamenti di MathJax.

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Un altro capodanno ... tempo gelido e fiocchi di neve sul vetro della finestra ... Tutto questo mi ha spinto a scrivere di nuovo su ... frattali e su ciò che ne sa Wolfram Alpha. C'è un articolo interessante su questo, che contiene esempi di strutture frattali bidimensionali. Qui esamineremo esempi più complessi di frattali 3D.

Un frattale può essere visualizzato (descritto) come una figura geometrica o un corpo (nel senso che entrambi sono un insieme, in questo caso, un insieme di punti), i cui dettagli hanno la stessa forma della figura originale. Cioè, è una struttura autosimile, considerando i cui dettagli con l'ingrandimento vedremo la stessa forma senza ingrandimento. Mentre nel caso del solito forma geometrica(non un frattale), quando ingrandiamo, vedremo dettagli che hanno una forma più semplice rispetto alla forma originale stessa. Ad esempio, con un ingrandimento sufficientemente elevato, parte dell'ellisse ha l'aspetto di un segmento di linea. Questo non accade con i frattali: ad ogni loro aumento, vedremo di nuovo la stessa forma complessa, che si ripeterà più e più volte ad ogni aumento.

Benoit Mandelbrot, il fondatore della scienza dei frattali, ha scritto nel suo articolo Fractals and Art for Science: "I frattali sono forme geometriche complesse nei dettagli come nella loro forma generale. parte del frattale sarà ingrandita alla dimensione di il tutto, sembrerà un intero, o esattamente, o forse con una leggera deformazione. "

Algebra lineare per manichini

Per studiare l'algebra lineare, puoi leggere e approfondire il libro di IV Belousov "Matrici e determinanti". Tuttavia, è scritto in un linguaggio matematico rigoroso e asciutto, difficile da percepire per le persone con una mente media. Pertanto, ho fatto una rivisitazione delle parti più difficili da capire di questo libro, cercando di presentare il materiale nel modo più chiaro possibile, usando il più possibile le immagini per questo. Ho omesso le dimostrazioni dei teoremi. Francamente, io stesso non li ho approfonditi. Credo che il signor Belousov! A giudicare dal suo lavoro, è un matematico letterato e intelligente. Puoi scaricare il suo libro su http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Belousov2006ru.pdf Se hai intenzione di approfondire il mio lavoro, questo deve essere fatto, perché farò spesso riferimento a Belousov.

Partiamo dalle definizioni. Che cos'è una matrice? È una tabella rettangolare di numeri, funzioni o espressioni algebriche. Perché sono necessarie le matrici? Facilitano notevolmente il complesso calcoli matematici... La matrice può essere distinta per righe e colonne (Fig. 1).

Le righe e le colonne sono numerate a partire da sinistra

dall'alto (Figura 1-1). Quando dicono: una matrice di dimensione m n (o m per n), intendono m numero di righe e sotto n numero di colonne... Ad esempio, la matrice nella Figura 1-1 è 4 per 3 anziché 3 per 4.

Vedi fig. 1-3, quali sono le matrici. Se una matrice è composta da una riga, viene chiamata matrice di righe e se è composta da una colonna, allora una matrice di colonne. Una matrice si chiama quadrato n-esimo ordine se il numero di righe in essa è uguale al numero di colonne ed è uguale a n. Se tutti gli elementi della matrice sono uguali a zero, allora questa è una matrice zero. Una matrice quadrata è chiamata diagonale se tutti i suoi elementi sono uguali a zero, tranne quelli situati sulla diagonale principale.

Spiego subito qual è la diagonale principale. Su di esso, i numeri di riga e colonna sono gli stessi. Va da sinistra a destra, dall'alto verso il basso. (Fig. 3) Gli elementi sono chiamati diagonali se si trovano sulla diagonale principale. Se tutti gli elementi diagonali sono uguali a uno (e il resto è zero), la matrice è chiamata matrice identità. Due matrici A e B della stessa dimensione si dicono uguali se tutti i loro elementi sono uguali.

2 Operazioni su matrici e loro proprietà

Il prodotto di una matrice per x è una matrice della stessa dimensione. Per ottenere questo prodotto, devi moltiplicare ogni elemento per questo numero (Figura 4). Per ottenere la somma di due matrici della stessa dimensione è necessario sommare i rispettivi elementi (Fig. 4). Per ottenere la differenza A - B di due matrici della stessa dimensione, è necessario moltiplicare la matrice B per -1 e aggiungere la matrice risultante con la matrice A (Fig. 4). Per le operazioni su matrici valgono le seguenti proprietà: A + B = B + A (proprietà commutativa).

(A + B) + C = A + (B + C) (proprietà associativa). In parole povere, la somma non cambia da un cambiamento nei luoghi dei termini. Per le operazioni su matrici e numeri, sono vere le seguenti proprietà:

(indichiamo i numeri con le lettere x e y e le matrici con le lettere A e B) x (yA) = (xy) A

Queste proprietà sono simili a quelle per le operazioni sui numeri. Aspetto

esempi in figura 5. Vedi anche esempi 2.4 - 2.6 di Belousov a pagina 9.

Moltiplicazione di matrici.

La moltiplicazione di due matrici è definita solo se (tradotto in russo: le matrici possono essere moltiplicate solo se), quando il numero di colonne della prima matrice nel prodotto è uguale al numero di righe della seconda (Fig. 7, sopra, parentesi blu). Per ricordare meglio: il numero 1 è più simile a una colonna. Come risultato della moltiplicazione, si ottiene una matrice di dimensioni (vedi figura 6). Per rendere più facile ricordare per cosa moltiplicare, propongo il seguente algoritmo: vedere la Figura 7. Moltiplicare la matrice A per la matrice B.

la matrice A è due colonne,

la matrice B ha due righe: puoi moltiplicare.

1) Trattiamo la prima colonna della matrice B (ne ha solo una). Scriviamo questa colonna in una riga (transpose

colonna, sulla trasposizione appena sotto).

2) Copia questa riga in modo da ottenere una matrice delle dimensioni della matrice A.

3) Moltiplichiamo gli elementi di questa matrice per i corrispondenti elementi della matrice A.

4) Aggiungiamo i lavori risultanti in ogni riga e otteniamo una matrice prodotto di due righe e una colonna.

La Figura 7-1 fornisce esempi di moltiplicazione di matrici più grandi.

1) Qui la prima matrice ha tre colonne, quindi la seconda dovrebbe avere tre righe. L'algoritmo è esattamente lo stesso dell'esempio precedente, solo che qui in ogni riga ci sono tre termini, non due.

2) Qui la seconda matrice ha due colonne. Prima eseguiamo l'algoritmo con la prima colonna, poi con la seconda e otteniamo una matrice due per due.

3) Qui, la seconda matrice ha una colonna costituita da un elemento, la colonna non cambierà dalla trasposizione. E non è necessario aggiungere nulla, poiché c'è solo una colonna nella prima matrice. Eseguiamo l'algoritmo tre volte e otteniamo una matrice tre per tre.

Si verificano le seguenti proprietà:

1. Se esistono la somma B + C e il prodotto AB, allora A (B + C) = AB + AC

2. Se il prodotto AB esiste, allora x (AB) = (xA) B = = A (xB).

3. Se esistono i prodotti AB e BC, allora A (BC) = (AB) C.

Se esiste il prodotto matrice AB, allora il prodotto BA potrebbe non esistere. Anche se i prodotti AB e BA esistono, possono risultare matrici di dimensioni diverse.

Entrambi i prodotti AB e BA esistono e sono matrici della stessa dimensione solo nel caso di matrici quadrate A e B dello stesso ordine. Tuttavia, anche in questo caso, AB potrebbe non essere uguale a BA.

elevazione a potenza

L'elevamento a potenza di una matrice ha senso solo per le matrici quadrate (pensate perché?). Allora la potenza intera positiva m della matrice A è il prodotto di m matrici uguali ad A. Come per i numeri. Il grado zero di una matrice quadrata A è inteso come una matrice identità dello stesso ordine di A. Se hai dimenticato cos'è una matrice identità, dai un'occhiata alla Fig. 3.

Proprio come i numeri, si verificano le seguenti relazioni:

A mA k = A m + k (A m) k = A mk

Vedi gli esempi di Belousov a pagina 20.

Matrici di trasposizione

La trasposizione è la trasformazione della matrice A nella matrice AT,

in cui le righe della matrice A sono scritte nelle colonne di AT con il mantenimento dell'ordine. (fig. 8). Puoi dire in un altro modo:

le colonne della matrice A vengono scritte nelle righe della matrice AT mantenendo l'ordine. Notare come la trasposizione modifica la dimensione della matrice, ovvero il numero di righe e colonne. Si noti inoltre che gli elementi sulla prima riga, prima colonna e ultima riga, ultima colonna rimangono al loro posto.

Valgono le seguenti proprietà: (AT) T = A (transpose

matrice due volte - ottieni la stessa matrice)

(xA) T = xAT (x significa un numero, A, ovviamente, una matrice) (se devi moltiplicare la matrice per un numero e trasporre, puoi prima moltiplicare, poi trasporre o viceversa)

(A + B) T = AT + BT (AB) T = BT AT

Matrici simmetriche e antisimmetriche

La Figura 9 mostra una matrice simmetrica in alto a sinistra. I suoi elementi, simmetrici rispetto alla diagonale principale, sono uguali. E ora la definizione: Matrice quadrata

A si dice simmetrico se AT = A. Cioè, la matrice simmetrica non cambia quando trasposta. In particolare, qualsiasi matrice diagonale è simmetrica. (Tale matrice è mostrata in Fig. 2).

Ora guarda la matrice antisimmetrica (Figura 9, in basso). In cosa differisce dal simmetrico? Nota che tutti i suoi elementi diagonali sono zero. Per le matrici antisimmetriche, tutti gli elementi diagonali sono uguali a zero. Pensa perché? Definizione: si chiama una matrice quadrata A

antisimmetrico se AT = -A. Notiamo alcune proprietà delle operazioni su simmetrico e antisimmetrico

matrici. 1. Se A e B sono matrici simmetriche (antisimmetriche), allora anche A + B è una matrice simmetrica (antisimmetrica).

2. Se A è una matrice simmetrica (antisimmetrica), anche xA è una matrice simmetrica (antisimmetrica). (infatti, se moltiplichi le matrici della Figura 9 per qualche numero, la simmetria sarà comunque preservata)

3. Il prodotto AB di due matrici simmetriche o antisimmetriche A e B è una matrice simmetrica per AB = BA e antisimmetrica per AB =-BA.

4. Se A è una matrice simmetrica, allora A m (m = 1, 2, 3,...) è una matrice simmetrica. Se un

Una matrice antisimmetrica, allora Am (m = 1, 2, 3,...) È una matrice simmetrica per m pari e una matrice antisimmetrica per m dispari.

5. Una matrice quadrata arbitraria A può essere rappresentata come la somma di due matrici. (chiamiamo queste matrici, per esempio, A (s) e A (a))

A = A (s) + A (a)

Va notato che solo le matrici quadrate si prestano a questa operazione. Uguale numero di righe e colonne - condizione richiesta elevare una matrice a potenza. Durante il calcolo, la matrice verrà moltiplicata per se stessa il numero di volte richiesto.

Questo calcolatore online è progettato per eseguire l'operazione di elevazione di una matrice a potenza. Grazie al suo utilizzo, non solo affronterai rapidamente questo compito, ma avrai anche un'idea chiara e dettagliata del corso stesso del calcolo. Ciò contribuirà a consolidare meglio il materiale ottenuto in teoria. Vedendo di fronte a te un algoritmo di calcolo dettagliato, capirai meglio tutte le sue sottigliezze e successivamente sarai in grado di evitare errori nei calcoli manuali. Inoltre, non fa mai male ricontrollare i calcoli, e anche questo è meglio farlo qui.

Per creare una matrice online, hai bisogno di una serie di semplici passaggi. Prima di tutto, specifica la dimensione della matrice facendo clic sulle icone "+" o "-" a sinistra di essa. Quindi inserisci i numeri nel campo della matrice. È inoltre necessario indicare il grado di innalzamento della matrice. E poi devi solo fare clic sul pulsante: "Calcola" nella parte inferiore del campo. Il risultato sarà affidabile e preciso se inserisci tutti i valori con attenzione e correttamente. Insieme ad esso, ti verrà fornita una trascrizione dettagliata della soluzione.