Język obliczeń technicznych
Miliony inżynierów i naukowców na całym świecie używają MATLAB ® do analizowania i opracowywania systemów i produktów, które zmieniają nasz świat. Język macierzowy MATLAB jest najbardziej naturalny sposób na świecie do wyrażania matematyki obliczeniowej. Wbudowana grafika ułatwia wizualizację i zrozumienie danych. Środowisko komputerowe zachęca do eksperymentowania, eksploracji i odkrywania. Te narzędzia i możliwości MATLAB są rygorystycznie testowane i zaprojektowane do współpracy.
MATLAB pomaga urzeczywistniać Twoje pomysły poza komputerem. Eksploracje można uruchamiać na dużych zestawach danych i skalować do klastrów i chmur. Kod MATLAB można zintegrować z innymi językami, co pozwala na wdrażanie algorytmów i aplikacji w systemach internetowych, korporacyjnych i przemysłowych.
Początek pracy
Poznaj podstawy MATLAB
Podstawy języka
Składnia, indeksowanie i przetwarzanie tablic, typy danych, operatory
Importuj i analizuj dane
Import i eksport danych, w tym dużych plików; wstępne przetwarzanie danych, wizualizacja i badania
Matematyka
Algebra liniowa, różniczkowanie i całkowanie, transformaty Fouriera i inna matematyka
Grafika
Grafika 2D i 3D, obrazy, animacja
Programowanie
Skrypty, funkcje i klasy
Tworzenie aplikacji
Tworzenie aplikacji za pomocą App Designer, Programmable Workflow lub GUIDE
Narzędzia do tworzenia oprogramowania
Debugowanie i testowanie, organizacja dużych projektów, integracja z systemem kontroli wersji, pakowanie zestawu narzędzi
Tablice są głównymi obiektami w systemie MATLAB : tylko w wersjach 4.xtablice jednowymiarowe- wektory - i tablice dwuwymiarowe - macierze; w wersji 5.0 możliwe jest stosowanie tablic wielowymiarowych - tensorów. Poniżej opisano funkcje tworzenia tablic i macierzy, operacje na macierzach, macierze specjalne w systemie MATLAB wersje 4.x.
Tworzenie tablic specjalnego typu
- ZERA - tworzenie tablicy zer
- JEDEN - tworzenie tablicy jednostek
- OKO - tworzenie pojedynczej matrycy
- SKRAJ - tworzenie tablicy elementów rozłożonych zgodnie z jednolitym prawem
- RANDN - tworzenie tablicy elementów rozłożonych zgodnie z prawem normalnym
- KRZYŻ - produkt wektorowy
- KRON - tworzenie iloczynu tensorowego
- LINSPACE - tworzenie liniowego szyku równomiernie rozmieszczonych węzłów
- PRZESTRZEŃ LOGOWA - tworzenie węzłów siatki logarytmicznej
- SIATKA - tworzenie węzłów siatek dwuwymiarowych i trójwymiarowych
- : - tworzenie wektorów i podmacierzy
Operacje na macierzach
- DIAG - tworzenie lub wydobywanie przekątnych macierzy
- TRIL - tworzenie dolnej trójkątnej matrycy (macierzy)
- TRIU - tworzenie górnej trójkątnej matrycy (macierzy)
- FLIPLR - obrót matrycy wokół osi pionowej
- FLIPUD - obrót matrycy względem osi poziomej
- ROT90 - obróć matrycę o 90 stopni
- PRZEKSZTAŁTY - konwersja rozmiaru macierzy
Matryce specjalne
- FIRMA jest macierzą towarzyszącą wielomianu charakterystycznego
- HADAMARD - Matryca Hadamarda
- HANKEL - Matryca Hankla
- HILB, INVHILB - macierz Hilberta
- MAGIA - magiczny kwadrat
- PASCAL - Macierz Pascala
- ROSSER - Matryca Rossera
- TOEPLITZ - Matryca Toeplitz
- VANDERA - Matryca Vandermonde
- WILKINSON - Macierz Wilkinsona
|
KONW, DEKONW |
Splot jednowymiarowych tablic |
Składnia:
Z = konw(x, y)
= dekonw(z, x)
Opis:
Jeśli podano tablice jednowymiarowex i y o długości odpowiednio m = długość(x) i n = długość(y), to splot z jest jednowymiarową tablicą o długości m + n -1, k-ty element co określa wzór
Funkcja z = conv(x, y) oblicza splot z dwóch jednowymiarowych tablic x i y.
Traktując te macierze jako próbki dwóch sygnałów, możemy sformułować twierdzenie o splocie w następującej postaci:
Jeśli X = fft() i Y = fft() są zgodnymi rozmiarowo transformatami Fouriera sygnałów x i y, to conv(x, y) = ifft(X.*Y) jest prawdziwe.
Innymi słowy, splot dwóch sygnałów jest równoważny mnożeniu transformat Fouriera tych sygnałów.
Funkcja = deconv(z, x) wykonuje odwrotność splotu. Ta operacja jest równoznaczna z określeniem odpowiedź impulsowa filtr. Jeśli relacja z = conv(x, y) jest prawidłowa, to q = y, r = 0.
Powiązane funkcje: przetwarzanie sygnałów Przybornik.
1. Podręcznik użytkownika zestawu narzędzi przetwarzania sygnału. Natick: MathWorks, Inc., 1993.
Ustawienie szablonu macierzy i wektorów (Matrix...)
Operacja Macierz... (Macierze) zapewnia definicję wektorów lub macierzy. MathCAD używa tablice jednowymiarowewektory i dwuwymiarowe macierze właściwe
Macierz charakteryzuje się liczbą wierszy (Rows) oraz liczbą kolumn (Columns). Zatem liczba elementów macierzy lub jej wymiar jest równa Wiersze x Kolumny Elementami macierzy mogąbyćliczby, stałe, zmienne a nawet wyrażenia matematyczne Odpowiednio macierze mogąbyćliczbowe i symboliczne
Jeśli użyjesz operacji Matrix..., w bieżącym oknie pojawi się małe okno, pozwalające na ustawienie wymiaru wektora lub macierzy (patrz Rys. 515 po prawej). liczba wierszy Wiersze i liczba kolumn Kolumny Wstaw (Wstaw) w oknie, możesz wyprowadzić macierz lub szablon wektora (wektor ma jeden z parametrów wymiaru równy 1)
Szablon zawiera nawiasy i małe ciemne prostokąty, które wskazują, gdzie wprowadzasz wartości (liczbowe lub znakowe) dla elementów wektora lub macierzy. Jeden z prostokątów można uaktywnić (zaznaczając go kursorem myszy). Jednocześnie leży w kącie. Oznacza to, że zostaną do niego wprowadzone wartości odpowiedniego elementu. Używając klawiszy kursora, możesz przewijać poziomo przez wszystkie prostokąty i wprowadzać wszystkie elementy wektora lub macierzy.
Ryż. 5. 15 Wyjście szablonów wektorowych i matrycowych oraz ich wypełnienie
Podczas wprowadzania elementów wektorów lub macierzy, puste szablony wyświetlane bez żadnych komentarzy. Jeśli jednak zakończysz wprowadzanie, zanim szablony zostaną całkowicie wypełnione, system wyświetli komunikat o błędzie, a pusty szablon zmieni kolor na czerwony. Na czerwono wyświetlany jest również wynik nieistniejącej macierzy lub błędne wskazanie jej indeksów.
W przypadku użycia operacji Wstaw (Inclusion) z już wyprowadzonym szablonem macierzy, macierz rozszerza się i zwiększa jej rozmiar. Przycisk Usuń (Wymazywanie) umożliwia usunięcie rozwinięcia macierzy poprzez usunięcie z niej wiersza lub kolumny.
Każdy element macierzy charakteryzuje zmienna indeksowana, a jego położenie w macierzy wskazują dwa wskaźniki: jeden oznacza numer wiersza, drugi numer kolumny. W przypadku zestawu indeksowanych zmiennych należy najpierw wprowadzić nazwę zmiennej, a następnie przejść do zestawu indeksów, naciskając klawisz wprowadzający znak]. Indeks wiersza jest określony jako pierwszy, a następnie indeks kolumny, oddzielony przecinkami. Przykłady wyjścia zmiennych indeksowanych (elementy macierzy M) podano również na rys. 5.14.
Macierz zdegenerowana do jednego wiersza lub jednej kolumny jest wektorem. Jego elementami są zmienne indeksowane o jeden indeks. Dolną granicę indeksów określa wartość zmiennej systemowej ORIGIN. Zwykle jego wartość jest ustawiona na 0 lub 1.
Korzystanie z tablic umożliwia dostęp do wielu lokalizacji pamięci o tej samej nazwie. Zastanówmy się, w jaki sposób w systemie MATLAB powstają i opisywane są tablice jedno-, dwu- i wielowymiarowe oraz pokażmy, jak wykonywać obliczenia za pomocą tablic.
Tablice jednowymiarowe. Często konieczne jest przechowywanie w pamięci komputera dużego zbioru danych o cechach charakterystycznych, takich jak np. zestaw ocen otrzymanych przez uczniów w teście. Tworząc tablicę, zamiast nadać każdej komórce pamięci używanej do przechowywania jednego elementu danych osobną nazwę, cała sekwencja komórek otrzymuje jedną nazwę. O konkretnym elemencie danych decyduje jego lokalizacja w sekwencji. Do utworzenia takiej tablicy używana jest operacja konkatenacji, która jest oznaczona nawiasami kwadratowymi. Na przykład operacja
tworzy tablicę liczb, która będzie wyświetlana na ekranie w następujący sposób:
Tablice numeryczne to elementy typu double. Jako element tablicy można użyć dowolnego elementu. wpisz zmienne podwójne, czyli liczby rzeczywiste lub zespolone, a także zmienne, które same są tablicami. Aby uzyskać dostęp do określonego elementu lub składnika tablicy, niektóre Dodatkowe informacje. Takie informacje są dostarczane przez wyrażenie indeksu tablicy. Aby uzyskać dostęp do dowolnego elementu tablicy, używana jest operacja indeksowania, która jest oznaczona nawiasami:
Jeśli wymagane jest na przykład przypisanie nowej wartości do drugiego elementu tablicy, to operacje indeksowania i przypisywania muszą być zastosowane do niego jednocześnie.
Teraz tablica a będzie wyglądać tak:
Wykonując funkcję length (name), możesz dowiedzieć się, z ilu elementów składa się tablica za pomocą nadane imię. Na przykład:
>> długość(a)
Przypisując wartość typu double do nieistniejącego czwartego elementu, otrzymujemy tablicę, która powiększyła się o jeden element:
Jeśli przypiszesz podwójną wartość, na przykład do ósmego elementu, to wszystkie elementy o numerach z zakresu od 4 do 8 będą miały wartości zerowe.
>>a
a = 2 93 6 1 0 0 0 5
Rozważmy inny sposób tworzenia tablic za pomocą funkcji jedynek i zer, które natychmiast tworzą tablicę o wymaganym rozmiarze, wypełnioną odpowiednio jedynkami (jedynkami) lub zerami (zerami). Na przykład, aby utworzyć tablicę a, możesz najpierw wywołać funkcję ones:
>>a=jedynki(1,3)
a następnie za pomocą operacji indeksowania i przypisywania do przyrostowego tworzenia tablicy:
>> a(2)=93;
Wreszcie, ostatnia droga tworzenie mas jednowymiarowych opiera się na zastosowaniu operacji „:”. Ta operacja jest używana, gdy konieczne jest utworzenie tablicy liczb, które zmieniają się wraz z podanymi krokami wraz ze wzrostem indeksu. Na przykład musisz utworzyć tablicę liczb z zakresu od 3 do 17 z krokiem 0,7. Wyrażenie będzie wyglądać tak:
>>b=3:0.7:17
b = Kolumny od 1 do 7
3.0000 3.7000 4.4000 5.1000 5.8000 6.5000 7.2000
Kolumny od 8 do 14
7.9000 8.6000 9.3000 10.0000 10.7000 11.4000 12.1000
Kolumny 15 do 21
12.8000 13.5000 14.2000 14.9000 15.6000 16.3000 17.0000
tablice dwuwymiarowe. Tablice tego typu są podobne do tablic jednowymiarowych, z tą różnicą, że ich elementy są określone nie przez jeden indeks, ale przez dwa. W matematyce takie tablice nazywa się macierzami składającymi się z wierszy i kolumn. Dowolny wiersz (lub kolumna) w macierzy jest jednowymiarową tablicą, która zwykle nazywana jest odpowiednio wektorem wiersza lub wektorem kolumny. Macierz jest tworzona przez operację konkatenacji, która jest oznaczona nawiasami kwadratowymi. Poniżej pokazano, w jaki sposób powstaje dwuwymiarowa tablica za pomocą operacji pionowy powiązanie. W tym przypadku elementy każdego kolejnego wiersza tablicy są oddzielone od poprzedniego wiersza średnikiem, natomiast elementy tego samego wiersza są oddzielone przecinkami lub spacjami:
>>c=
Ta sama macierz może być utworzona przez poziome łączenie wektor - kolumny;
>> c=[,]
Elementy macierzy można również określić za pomocą funkcji cat, której argumenty są ujęte w nawiasy. W przypadku konkatenacji pionowej pierwszym argumentem jest 1:
>> c=kot(1,,,)
a dla poziomu jest równy 2:
>> c=kot(2,,)
Rozmiar utworzonej tablicy można znaleźć za pomocą funkcji rozmiaru:
Wynikiem tej funkcji jest para liczb, przy czym pierwsza to liczba rzędów, a druga to liczba kolumn. Poniżej znajduje się przykład zastosowania funkcji rozmiaru do zmiennej składającej się z jednej liczby:
Wynika z tego, że w systemie MATLAB wszystkie zmienne typu double są reprezentowane jako tablice dwuwymiarowe, a mianowicie: wektory - jako tablice dwuwymiarowe, których wielkość w jednym z kierunków jest równa jeden; macierze - w postaci dwuwymiarowych tablic o rozmiarze m x n; skalary - w postaci dwuwymiarowych tablic o rozmiarze 1x1.
Jest również pusty tablica oznaczona nawiasami kwadratowymi , pomiędzy którymi: nie ma nic. Taka tablica jest traktowana jako macierz 0x0. Zwykle pusta tablica służy do usuwania wierszy lub kolumn macierzy. Na przykład:
>>A=
A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9
>>A(3,:)=
Informacje o wszystkich utworzonych tablicach w bieżącym obszarze roboczym można uzyskać wydając polecenie whos, na przykład:
Nazwa Rozmiar Bajty Klasa
Podwójna tablica 2x3 48
podwójna macierz 1x4 32
jak 1x2 16 podwójna tablica
b 1x21 168 podwójna tablica
c 3x2 48 podwójna tablica
d 1x1 8 podwójna tablica
W systemie MATLAB występuje operacja transpozycji, na co wskazuje znak """ (apostrof). Poniżej przykład transpozycji danej macierzy A:
>>A=
A =1 2 34 5 67 8 9
odp =1 4 7 2 5 8 3 6 9
W wyniku zastosowania operacji transpozycji do wektora wierszowego uzyskuje się wektor kolumnowy i odwrotnie. Poniższy przykład wyraźnie ilustruje te kroki:
>>a=
Wielowymiarowe tablice liczbowe. Tablice wielowymiarowe to tablice o wymiarach większych niż dwa. Aby wywołać element takiej tablicy, wymagane są trzy lub więcej indeksów, wskazujących położenie wymaganego elementu w kilku kierunkach.
Tworzenie tablic wielowymiarowych odbywa się podobnie do pracy z tablicami jedno- i dwuwymiarowymi za pomocą funkcji jedynki, zera lub kot. W ten sposób najpierw tworzona jest tablica zer lub jedynek o danym rozmiarze, a następnie za pomocą operacji indeksowania i przypisywania można uzyskać pożądaną tablicę numeryczną.
Poniższy przykład wyraźnie ilustruje użycie tych funkcji do tworzenia wielowymiarowej tablicy liczbowej.
Rysunek - Schematyczne przedstawienie trójwymiarowej tablicy
Niech dzienną temperaturę mierzy się co miesiąc w określonym mieście przez dziesięć lat, a wszystkie wyniki za jeden rok wpisać w prostokątnej tabeli. Następnie po dziesięciu latach otrzymamy dziesięć dwuwymiarowych tablic. Aby uporządkować wszystkie te dane, wygodnie jest ułożyć tabele w jednym kierunku i je ponumerować. W ten sposób otrzymano trójwymiarową macierz T1.
Aby go utworzyć w systemie MATLAB należy najpierw wykonać funkcję zer lub jedynek:
>> T1=jedynki(M,N,L)
gdzie M, N, L są wymiarami tablicy trójwymiarowej w trzech kierunkach.
W ten przykładМ=12 (liczba miesięcy w roku), N=31 ( maksymalna ilość dni w miesiącu), L=10 (liczba lat, w których dokonywane są pomiary). Tych. funkcja będzie wyglądać tak:
>> T1=jedynki(12,31,10)
>> T1=zera(12,31,10);
Następnie, korzystając z operacji indeksowania i przypisywania, możesz ustawić wartość każdego elementu
>> T1(1,1,1)=-5;T1(2,1,1)=-20;...T1(12,31,10)=-9;
Należy zauważyć, że za pomocą funkcji jedynek i zer można tworzyć tylko tablice jedno-, dwu- i trójwymiarowe.
Niech trójwymiarowa tablica T2 zawiera dane tego samego typu co w T1, ale dla innego miasta. Po połączeniu danych obu tablic w jedną można otrzymać czterowymiarową tablicę T. Aby ją utworzyć, należy skorzystać z drugiego sposobu wykonania operacji konkatenacji - za pomocą funkcji cat:
T=kot (4, T1, T2)
gdzie liczba 4 jest numerem kierunku, wzdłuż którego odbywa się konkatenacja.
Dla konkatenacji wzdłuż piątego kierunku (pomiaru), na przykład, jeśli zbierane są dane dla miast z różnych krajów, musisz najpierw utworzyć czterowymiarową tablicę C (dla miast z innego kraju), a następnie połączyć ją z tablicą T:
Taka operacja jest możliwa, jeśli wymiary tablic T i C są takie same. W przeciwnym razie program wyświetli na ekranie komunikat o błędzie. Utworzoną tablicę A można modyfikować za pomocą poniższych funkcji.
reshape (X,m,n) - tworzy macierz m x n z elementów obiektu X. Przykład.
>>X=
X = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
>> B=przekształć(X,3,4)
B = 1 10 8 6 4 2 11 9 7 5 3 122
rref (X) — konwertuje macierz X do postaci trójkąta przy użyciu metody Gaussa. Przykład.
>>X=;
>> R=rref(X)
R = 1 0 -1 0 1 2 0 0 0 0 0 0
Operacja dwukropek
W poprzedniej sekcji ta operacja została wykorzystana do stworzenia tablicy z zadanym krokiem:
<НЗМ>:<Шаг>:<КЗМ>
gdzie<НЗМ> - wartość początkowa szyk;<КЗМ>- wartość końcowa tablicy.
W ten sposób do tablic mają zastosowanie następujące zasady:
Jeśli krok nie jest ustawiony, przyjmuje się go jako równy 1 lub -1, zgodnie z określonymi zasadami. Na przykład:
>> 1:7
ans = 1 2 3 4 5 6 7
>> 11:-3:2
ans = 11 8 5 2
Wyrażenia z operatorem „;” może być również używany jako argumenty funkcji, aby uzyskać wiele wartości tych funkcji. Na przykład w poniższym przykładzie funkcje Bessela rzędu od 0 do 3 są obliczane przy x=0,5.
>> B=bessel(0:3,x)
0.9385 0.2423 0.0306 0.0026
Poniższy przykład pokazuje, jak utworzyć macierz 2x3 za pomocą operatora „;”.
>>A=
Tego operatora można również użyć do indeksowania elementów istniejącej tablicy, na przykład:
Tak więc operacja „;” to bardzo przydatne narzędzie do sekwencjonowania liczb i tablic indeksujących.
transkrypcja
1 MINISTERSTWO EDUKACJI I NAUKI FEDERACJI ROSYJSKIEJ FEDERALNE PAŃSTWO BUDŻETOWE INSTYTUCJA EDUKACYJNA WYŻSZEGO SZKOLNICTWA ZAWODOWEGO „PAŃSTWOWY UNIWERSYTET TECHNICZNY N.I. R. E. ALEKSEEVA DZIAŁ „TECHNOLOGIE KOMPUTEROWE W PROJEKTOWANIU I PRODUKCJI” PRACA Z MACIERZAMI W PRACACH LABORATORYJNYCH SEDA MATLAB w dyscyplinie „Aparaty Matematyczne Układów Dynamicznych” dla studentów studiów stacjonarnych w obszarach kształcenia: .. „Projektowanie i technologia środki elektroniczne”,.. „Technologie teleinformatyczne i systemy komunikacyjne”, .. „Inżynieria radiowa” (profil szkoleniowy „Technologia mikrofalowa i anteny”), w dyscyplinie „Modele systemów dynamicznych dla studentów studiów stacjonarnych w kierunku kształcenia 9 .. “ Systemy informacyjne i technologie" Niżny Nowogród
3 Opracował Kukushkin A.V. UDC 68 Praca z tablicami w środowisku MATLAB: lab. praca na dyscyplinie „Aparat matematyczny układów dynamicznych” dla studentów studiów stacjonarnych w zakresie kształcenia:.. „Projektowanie i technologia środków radioelektronicznych”,.. „Technologie teleinformatyczne i systemy łączności”,.. anteny”), w dyscyplinie „Modele systemów dynamicznych dla studentów studiów stacjonarnych w kierunku kształcenia 9 .. „Systemy i technologie informacyjne”, Państwowy Uniwersytet Techniczny w Niżnym Nowogrodzie. R. E. Alekseeva, 7 s. Państwowy Uniwersytet Techniczny w Niżnym Nowogrodzie. ODNOŚNIE. Alekseeva, Kukushkin A. V.,
5 . Cel pracy Celem pracy jest nabycie umiejętności pracy z tablicami w środowisko oprogramowania MatLab, ponieważ Wszystkie dane w MatLabie są reprezentowane i przechowywane jako tablice. W artykule omówiono operacje i obliczenia na wektorach (macierze jednowymiarowe) i macierzach (macierze dwuwymiarowe). Krótka informacja z teorii Tablica z przypisaną do niej nazwą jest uporządkowanym, ponumerowanym zbiorem jednorodnych danych [, ]. Tablice różnią się liczbą wymiarów: jednowymiarowe, dwuwymiarowe i wielowymiarowe. Rozmiar tablicy to liczba elementów w każdym wymiarze. Dostęp do elementów odbywa się za pomocą indeksu (numeracja elementów rozpoczyna się od indeksu, równy jeden). Jeśli wektor (wektor wierszowy lub kolumnowy), macierz lub tensor są pojęciami matematycznymi (obiektami), to tablice jednowymiarowe, dwuwymiarowe i wielowymiarowe są sposobami przechowywania lub przedstawiania tych obiektów w komputerze. jego wykonanie Prace wykonywane są w wiersz poleceń(w konsoli) pakietu MatLab zgodnie z instrukcją podaną w opisie. Zadania kontrolne podążaj za tekstem opisu Tablice jednowymiarowe. Mnożenie wektorów Wektory można mnożyć ze sobą skalarnie, wektorowo lub tworzyć tak zwany „iloczyn zewnętrzny”. W pierwszym przypadku tworzony jest skalar (liczba), w drugim wektor, aw trzecim macierz. Iloczyn skalarny dwóch wektorów przechowywanych w tablicach a, b o długości N jest określony wzorem N a b a b k k. Dlatego stosuje się mnożenie tablic według elementów, czyli if
6 a...7 b następnie w linii poleceń należy wpisać: >> a=[.; -.;.7]; >>b=[.; 6.; -0,9]; >> s=sum(a.*b) Aby obliczyć moduł (długość) wektora a, wpisz polecenie >> d=sqrt(sum(a.*a)) Iloczyn wektorowy jest zdefiniowany tylko w przestrzeń i jej wynik będzie również trójwymiarowym wektorem. Aby to zrobić, MATLAB ma polecenie krzyżowe. >>a=[.; -.;.7]; >>b=[.; 6.; -0,9]; >> c=krzyż(a,b) Zadanie: do treningu oblicz a b b a. Powinieneś otrzymać wektor 3D z trzema składowymi zerowymi. Mieszany iloczyn trzech wektorów a b c daje objętość równoległościanu zbudowanego na tych wektorach jak na ścianach. Zadanie: zdefiniuj trzy odpowiadające sobie macierze wektorów do wyboru i używając polecenia >> V=abs(sum(a.*cross(b,c))) oblicz wartość odpowiadającej objętości. Iloczynem „zewnętrznym” wektorów o długościach N i M jest macierz o rozmiarze M N, w której elementy są obliczane zgodnie z regułami mnożenia macierzy, dla których stosuje się polecenie >> c=a*b. służy jako operator mnożenia macierzy, a „apostrof” transponuje macierz b . Zadanie: samodzielnie wykonaj odpowiednie ćwiczenia z wektorami a i b o różnej długości.,
7 Użyj polecenia whos obok, aby wyświetlić zmienne obszaru roboczego... Tablice dwuwymiarowe. Macierze... Wprowadzanie macierzy. Najprostsze operacje. Macierz A może być postrzegana jako wektor wierszowy złożony z trzech elementów, z których każdy jest wektorem kolumnowym o długości dwa, lub jako wektor kolumnowy złożony z dwóch elementów, z których każdy jest wektorem wierszowym o długości trzy. Dlatego, aby go wprowadzić, możesz użyć poleceń de >> A=[[;] [;] [-;]] >> A=[ -; ] Inna metoda wybierania jest następująca. Zacznij pisać w wierszu poleceń (klawisz „Enter” przechodzi do następnej linii), >> B=[ 7 - ] naciskając klawisz „Enter” po nawiasie zamykającym, otrzymasz wynik: B 7 Macierze są dodawane i odejmowane element po elemencie za pomocą zwykłych poleceń algebraicznych, więc musisz monitorować koincydencję wymiarów macierzy. Wpisz pierwszą macierz C o tym samym wymiarze co macierz A i dodaj je, sprawdzając wynik.
8 6 >> C=[[;] [-;] ]; >> S=A+C Gwiazdka jest przeznaczona do mnożenia macierzy >> P=C*B P = Możesz również pomnożyć macierz przez liczbę używając gwiazdki. >> P=A* (lub P=*A) Transpozycja macierzy, podobnie jak wektora, odbywa się za pomocą polecenia:., symbol oznacza sprzężenie złożone. W przypadku rzeczywistych macierzy te operacje prowadzą do tych samych wyników. >> B" i = >> B." ans = Koniugacja i transpozycja macierzy zawierających liczby zespolone da w wyniku różne macierze. >> K=[-i,+i;-i,-9i]
9K=. -.i. +.i. -.i. - 9.i >> K" ans =. +.i. +.i. -.i. + 9.i >> K." ans =. -.i. -.i. +.i. - 9.i Podnoszenie macierzy kwadratowej do potęgi całkowitej odbywa się za pomocą operatora ^. >> B=B^ B = Zadanie: znajdź wartość następującego wyrażenia A C B A C T gdzie indeks górny T oznacza transpozycję. Ponieważ wektor kolumnowy lub wektor wierszowy w MATLAB-ie są macierzami o jednym wymiarze równym jeden, powyższe operacje dotyczą również mnożenia macierzy przez wektory. Zadanie: oceń wyrażenie, 7
10 Rozwiązywanie układów liniowych równań algebraicznych Za pomocą działań algebraicznych z macierzą i wektorem kolumnowym w programie MATLAB można rozwiązywać układy liniowych równań algebraicznych. Rozwiążmy system trzema niewiadomymi.x.x.x.; x.x.x..9; ().9x.7x.6x.. Zadanie: wprowadzić macierz współczynników układu () do tablicy A, dla wektora współczynników prawej strony układu użyj tablicy b. Rozwiąż system za pomocą \ 8 >> x=a\b Sprawdź, czy wynik jest poprawny, mnożąc A przez x.... Odczyt i zapis danych duża liczba równania liniowe, a macierz i wektor współczynników układu są przechowywane w plikach. Stajemy przed zadaniem rozwiązania systemu, którego matryca i prawa strona są przechowywane w plikach tekstowych matr.txt, rside.txt, a wynik zapisania do pliku sol.txt. Macierz jest zapisywana w pliku linia po linii, elementy w linii są oddzielone spacją, wektor prawej strony jest zapisany w kolumnie. Zadanie: przygotować pliki z danymi systemowymi () w program standardowy Notatnik Windows(Notatnik). Skopiuj pliki matr.txt, rside.txt do podkatalogu roboczego głównego katalogu MATLAB. Aby odczytać z pliku, użyj polecenia load,
11 dla wpisu zapisu. Format wywoływania tych poleceń z argumentami wyjściowymi to: >>A=load(matr.txt); >>b=load(rside.txt); >>x=a\b; >>save sol.txt x ascii Parametr ascii oznacza pisanie w formacie tekstowym. Po wykonaniu tych poleceń w katalogu roboczym tworzony jest plik sol.txt, w którym w kolumnie zapisane jest rozwiązanie systemowe. Możesz wyświetlić zawartość pliku za pomocą dowolnego Edytor tekstu. Pisanie z binarną precyzją wymaga polecenia save sol.txt x ascii double. Podobnie możesz zapisać zawartość tablicy macierzy A do pliku tekstowego. Polecenie >> save sol.txt A ascii zapisuje tablicę macierzy A do pliku matra.txt.... Macierze blokowe. Często w aplikacjach występują macierze złożone z nieprzecinających się macierzy blokowych. Odpowiednie rozmiary bloków muszą się zgadzać. Wprowadź macierze A B C D i utwórz macierz blokową K A C B D >> A=[- ;- ]; >> B=[ ; ]; >> C=[ -;- ]; 9
12 >> D=; >> K= K = Macierz bloków, gdzie a S K, b. S a b Wypełnianie macierzy za pomocą indeksowania i tworzenia macierzy specjalnego rodzaju Wygenerujmy macierz Generowanie macierzy odbywa się w trzech krokach. T. Tworzy tablicę pięć na pięć T z zerami.. Wypełnia pierwszy wiersz jedynkami.. Wypełnia część ostatniego wiersza jedynkami aż do ostatniego elementu..
13 Dostęp do elementów macierzy uzyskuje się za pomocą argumentu składającego się z dwóch indeksów numerów wierszy i kolumn. Na przykład >>A(,) wywołuje element macierzy A, który znajduje się w drugim wierszu i trzeciej kolumnie. Dlatego polecenia do generowania macierzy T będą wyglądać tak: >> A(:,:)= A = >> A(,:)= A = >> A(end,:end)=- A =
14 - - - Tworzenie niektórych specjalnych macierzy odbywa się za pomocą wbudowanych funkcji. MATLAB Wypełnienie zerami prostokątnej macierzy odbywa się poprzez wywołanie wbudowanej funkcji zer, której argumentami jest liczba wierszy i kolumn macierzy. >> A=zera(,6) A = >> A=zera() A = Macierz tożsamości jest generowana przez funkcję oka. Przykłady: >> I=oko() I = >> I=oko(,8) I =
15 Macierz składająca się tylko z jedynek jest wywoływana przez funkcję jedności: >> E=jedynki(,) E = Funkcja rand wywołuje macierz wypełnioną liczbami losowymi od zera do jednego, funkcja randn tworzy macierz liczb rozłożonych według normalne prawo. >> R=rand(,) R = >> RN=randn(8) RN =
16 Funkcja diag tworzy macierz diagonalną z wektora kolumnowego lub wektora wierszowego, umieszczając ich elementy po przekątnej. Aby wypełnić nie główną, ale drugorzędną przekątną, można wywołać tę funkcję z dwoma argumentami. Przykłady: >> d=; >> D=diag(d) D = >> d=[;]; >> D=diag(d,) D = >> D=diag(d,-)
17 D = Zastanów się, dlaczego rozmiar matrycy nie jest wskazany w dwóch ostatnich przypadkach? Funkcja diag służy również do wyodrębnienia przekątnej macierzy do wektora, na przykład >> A=[ ; ; 7]; >> d=diag(a) d = 7 Zadanie: uzupełnij i zapisz w plikach następujące macierze.. G M
18..6. Operacje element po elemencie na macierzach Operacje element po elemencie na macierzach są wykonywane w zwykły sposób, tj. używając „kropki” przed odpowiednim operatorem. Na przykład mnożenie pierwszej macierzy przez drugą (oczywiście tej samej wielkości!) wykonuje operator.*, dzielenie elementów pierwszej macierzy przez odpowiadające im elementy drugiej dokonuje się za pomocą funkcji operator./, przeciwnie, podział elementów drugiej macierzy przez elementy pierwszej dokonuje operator.\. Wprowadź dwie macierze A 9 B 7 8. Wykonaj na nich operacje: >>C=A.*B >>R=A./B >>R=A.\B >>P=A.^ >>PB=A .^B () Wydrukuj ostatni wynik w formacie "long" używając polecenia format long >> format long >>PB Zauważ, że nie było konieczne ponowne obliczenie macierzy PB, ponieważ wszystkie obliczenia są zawsze wykonywane z podwójną precyzją.. pytania testowe.. Wyjaśnij, dlaczego, w przeciwieństwie do operacji dodawania i odejmowania, możliwe i konieczne jest mnożenie macierzy różnych 6
19 wymiarów. Jakie parametry wymiarowe macierzy mnożonych muszą się zgadzać, aby uniknąć błędu?. Wyjaśnij, dlaczego operację „potęgowania” można wykonać tylko z macierzami kwadratowymi i potęgami całkowitymi? Referencje) Dyakonov V.P. MATLAB 6/6./6. + Simulink/. Podstawy aplikacji. Kompletna instrukcja obsługi, / V.P. Diakonowa. M.: SOLON-Press,. 768s.) Matthews DG Metody numeryczne. Używając MATLAB: [tłum. z angielskiego], / D.G. Matthews, KD Fink. M.: Wyd. Dom Williamsa. 7c.) Teoria funkcji analitycznych. Aspekty zastosowań, / L.V. Shirokov i inni Arzamas, ASPI, 7. 87s.) Sveshnikov A.G. Teoria funkcji zmiennej zespolonej, / A.G. Sveshnikov, A.N., Tichonow M.: Nauka, 979.) Bateman G. Wyższe funkcje transcendentalne. T., / G. Bateman, A. Erdeyi. M.: Nauka,
Praca laboratoryjna 3 Praca z macierzami w MatLabie Cel pracy: rozwinięcie umiejętności pracy z macierzami w MatLabie. Wymagany sprzęt i oprogramowanie: PC klasy Pentium lub wyższej, sala operacyjna
Praca laboratoryjna Praca z wektorami w MatLabie Cel pracy: rozwinięcie umiejętności pracy z wektorami w MatLabie. Wymagany sprzęt i oprogramowanie: komputer klasy Pentium lub wyższy, sala operacyjna
MINISTERSTWO EDUKACJI I NAUKI Federacji Rosyjskiej R.
MATRYCE I DZIAŁANIA NA NIM PODSTAWOWE POSTANOWIENIA TEORETYCZNE 11 Mnożenie macierzy 12 Transpozycja macierzy 13 Macierz odwrotna 14 Dodawanie macierzy 15 Obliczanie wyznaczników Zwróć uwagę na specyfikę
Wektory i macierze Podczas pracy w MATLAB należy wziąć pod uwagę dwie istotne cechy implementacji obliczeń arytmetycznych w tym systemie. Po pierwsze, w MATLAB wszystkie zmienne skalarne są traktowane jako
1 Praca laboratoryjna 1. Programowanie w MatLabie Pierwsza znajomość z MATLAB
Ministerstwo Edukacji i Nauki Federacja Rosyjska Federalna Państwowa Budżetowa Instytucja Edukacyjna Wyższego Szkolnictwa Zawodowego „NARODOWE BADANIA TOMSK POLYTECHNICAL
(definicja typy macierzy dodawanie macierzy mnożenie macierzy własności operacji mnożenia mnożenie macierzy przez liczbę wielomian w macierzach transpozycja macierzy przykłady) Macierz to zbiór m elementów
Informacje ogólne MATLAB to wysoce wydajny język inżynierii i obliczeń naukowych. Obsługuje obliczenia matematyczne, wizualizację graficzną i programowanie za pomocą łatwego do opanowania
Temat3. Operacje na wektorach i macierzach Wektor w MatLAB to jednowymiarowa tablica liczb, a macierz to dwuwymiarowa tablica. Domyślnie zakłada się, że dowolna zmienna ma wartość
Rozdział 7 Algebra Liniowa Zagadnienia algebry liniowej rozwiązywane w Mth można warunkowo podzielić na dwie klasy. Pierwsza to najprostsze operacje macierzowe, które sprowadzają się do pewnych operacji arytmetycznych
Geometria analityczna Moduł 1. Algebra macierzy. Wykład z algebry wektorowej 1.1 Abstrakcyjne macierze. Rodzaje macierzy. Przekształcenia elementarne macierzy. Operacje liniowe na macierzach (porównywanie, dodawanie,
Prace laboratoryjne ROZWIĄZYWANIE PROBLEMÓW ALGEBRY LINIOWEJ Lista jest sposobem strukturyzacji danych. Elementami listy mogą być dowolne wyrażenia Mathematca, w tym inne listy. Listy wprowadza się z klawiatury
ALGEBRA LINIOWA I GEOMETRIA ANALITYCZNA PREZENTACJE Wykłady h. Zajęcia praktyczne h. Razem h. Końcowy egzamin kontrolny. Prof., d.ph.-.m.s. Panteleev Andrey Vladimirovich LITERATURA. Beklemishev D.V.
Wprowadzenie do macierzy algebry liniowej. Definicja. Tablica mn liczb w postaci m m n n mn składająca się z m wierszy i n kolumn nazywana jest macierzą. Elementy macierzy są numerowane podobnie jak elementy wyznacznika
PRACA LABORATORYJNA „PODEJMOWANIE DECYZJI W ŚRODOWISKU SCILAB”. Wprowadzenie Sclb to komputerowy system matematyczny przeznaczony do wykonywania obliczeń inżynierskich i naukowych, w tym zadań związanych z wykonywaniem
Temat nauczania na odległość algebry liniowej MATRYCA) Podstawowe definicje teorii macierzy Definicja Macierz wymiarów jest prostokątną tabelą liczb składającą się z wierszy i kolumn Ta tabela jest zwykle
Wykład 3 Obliczenia macierzowe w MathCAD Procesor symboliczny MathCAD pozwala na wykonywanie różnorodnych obliczeń macierzowych. W takim przypadku do obliczeń macierzowych można zastosować poprzednio rozważane polecenie
Temat. MATRYCE I DETERMINANTY MATRYCA m x n to prostokątna tablica liczb zawierająca m wierszy i n kolumn. Wyznaczony:. m n Liczby tworzące macierz nazywane są elementami macierzy.
Wykład 1 Praca z macierzami. 1. Podstawowe pojęcia. Definicja. Macierz wymiarów liczb zawierających wiersze i kolumny. nazywa się tablicą numerowaną. Na podstawie tej definicji macierzy można stworzyć
Macierze i akcje na nich
Federalna Agencja ds. Edukacji Państwowa Instytucja Edukacyjna Wyższego Szkolnictwa Zawodowego „MATI” Rosyjski Państwowy Uniwersytet Technologiczny. K.E. Ciołkowskij
Praca w oknie poleceń Zadanie 1 Wykonaj polecenie „Dlaczego” w wierszu poleceń 10 razy. Skopiuj wynik wykonania polecenia w programie Word, przetłumacz zdania na język rosyjski. Porównaj swój wynik z wynikiem
UDC 519,85 LBC 22,18 Ya49 Elektroniczny kompleks edukacyjno-metodologiczny w dyscyplinie „Oprogramowanie matematyczne” został przygotowany w ramach innowacyjnego program edukacyjny„Innowacyjna edukacja
Moskiewski Państwowy Uniwersytet Techniczny. N.E. Wydział Nauk Podstawowych Wydziału Bauman wyższa matematyka Geometria analityczna Moduł 1. Algebra macierzy. Wykład z algebry wektorowej
Rozdział I. Elementy algebry liniowej Algebra liniowa jest częścią algebry badającą przestrzenie i podprzestrzenie liniowe, operatory liniowe, funkcje liniowe, dwuliniowe i kwadratowe na przestrzeniach liniowych.
) Macierze, podstawowe definicje) Elementarna algebra macierzy) Wyznaczniki i ich własności 4) Macierze odwrotne) Macierze, podstawowe definicje I Definicje Zbiór elementów ułożonych w postaci
Instytut Rolnictwa Północnego-Wschodu, -8 s ELEMENTY MATRYCY ALGEBRA Algebra macierzowa jest systemem notacji upraszczającym opisy zbioru liczb i symboli Algebra macierzowa ma taki sam związek z algebrą skalarną
Wykład 2 Operacje na macierzach Podstawowe definicje Macierz o rozmiarze n jest zbiorem n liczb zapisanych w postaci prostokątnej tabeli składającej się z n wierszy i kolumn i ujętej w nawiasy kwadratowe: a11
WYKŁAD 4. Algorytmy przetwarzania tablic dwuwymiarowych. Cel wykładu: Zapoznanie z pojęciem macierzy, jako tablica dwuwymiarowa. Nabycie umiejętności konstruowania algorytmów przetwarzania macierzy.
Podstawy programowania Wybór opcji zadania Numer opcji zadania odpowiada numerowi seryjnemu ucznia w grupie. Jeżeli numer seryjny jest większy niż liczba opcji, numeracja jest uważana za cykliczną.
Matematyka (BkPl-100) MP. Kharlamov Rok akademicki 2011/2012, I semestr Wykład 3. Elementy algebry liniowej (macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych i wzory Cramera) 1 Temat 1: Macierze 1.1. pojęcie
SPIS TREŚCI Przedmowa ................................................ .. 3 Rozdział 1 Elementy algebry liniowej .................................................. 5 1.1. Macierze i wyznaczniki................................ 5 1.2. Przestrzenie liniowe ..............................
Państwowa Instytucja Edukacyjna Wyższego Kształcenia Zawodowego "Moskiewski Instytut Lotniczy (National Research University)" Katedra Matematyki Wyższej ALGEBRA LINIOWA
05 setgray0 05 setgray Wykład MATRYCA Definicja macierzy Zdefiniujmy macierz o rozmiarze m n Definicja Macierz o rozmiarze m n nad zbiorem X jest uporządkowanym zbiorem m n elementów tego zbioru,
Temat: Rozwiązywanie układów równań liniowych, praca z macierzami Cel pracy: Badanie możliwości pakietu Ms Ecel w rozwiązywaniu problemów algebry liniowej. Nabycie umiejętności rozwiązywania układów algebraiki liniowej
Rozdział 5 MATLAB 5.1. Wprowadzenie MATLAB - MAtrix LABoratory to język programowania i środowisko do tworzenia algorytmów, analizy danych, wizualizacji i obliczeń numerycznych. Mathworks produkuje około 100
PRACA LABORATORYJNA Temat: Rozwiązywanie układów równań liniowych praca z macierzami Cel pracy: Badanie możliwości pakietu Ms Ecel w rozwiązywaniu problemów algebry liniowej. Nabycie umiejętności rozwiązywania systemów
Macierze i wyznaczniki macierzy Macierze Przy rozwiązywaniu szeregu problemów aplikacyjnych stosuje się specjalne wyrażenia matematyczne zwane macierzami Definicja Macierz wymiaru m n jest nazywana
Zadanie praktyczne Opcja 1 Napisz program, który czyta z plik tekstowy trzy zdania i wypisuje je w odwrotnej kolejności. Opisz klasę, która implementuje stos. Napisz program, który używa
Fundusz narzędzi oceny do przeprowadzania pośredniej certyfikacji studentów w dyscyplinie (moduł) Informacje ogólne 1 Katedra Matematyki, Fizyki i Technologie informacyjne 2 Kierunek szkolenia 010302
Macierze i wyznaczniki Algebra Liniowa Definicja macierzy Macierz numeryczna o rozmiarze mxn jest zbiorem liczb ułożonych w tabeli zawierającej m wierszy i n kolumn 11 21... m1 12......
Wykład 1: Determinanty drugiego i trzeciego rzędu Ural Federal University, Institute of Mathematics i Informatyka, Katedra Algebry i Matematyki Dyskretnej
66 ROZDZIAŁ 6 PRZESTRZENIE LINIOWE Definicja przestrzeni liniowej W rozdziale 5 n-wymiarową przestrzeń wektorową zdefiniowano jako uporządkowany układ liczb n. Wprowadzono operacje na n-wymiarowych wektorach.
8. Fundusz narzędzi oceny do przeprowadzania pośredniej certyfikacji studentów w dyscyplinie (moduł): Informacje ogólne
Wykład CHARAKTERYSTYKA NUMERYCZNA UKŁADU DWÓCH ZMIENNYCH LOSOWYCH - WEKTOR LOSOWY WYMIAROWY CEL WYKŁADU: wyznaczenie charakterystyk liczbowych układu dwóch zmiennych losowych: momentu początkowego i centralnego, kowariancji
MODUŁ Algebra wektorowa i geometria analityczna Elementy algebry liniowej Lecius Pojęcie macierzy i wyznacznika Własności wyznaczników Streszczenie: Wykład wskazuje zastosowanie wyznaczników dla
Wykłady przygotowane przez dr hab. Musinę MV Wektory Operacje liniowe na wektorach Definicja Odcinek skierowany (czyli taka sama uporządkowana para punktów) nazwiemy wektorem Oznaczenie: AB Wektor zerowy
ALGEBRA LINIOWA Macierze i wyznaczniki. Układy liniowych równań algebraicznych. Opracowali: docent Katedry Informatyki i mgr inż. n. Romanova N.Yu. Powszechne stosowanie metod matematycznych we współczesnych
12 Lekcja praktyczna 2 Rozwiązywanie układów liniowych równań algebraicznych metodami bezpośrednimi Czas trwania pracy 2 godziny Cel pracy: utrwalenie wiedzy o metodzie Gaussa i Jordana (Gauss Jordan), o
Algebra Liniowa Wykład 7 Wektory Wstęp W matematyce istnieją dwa rodzaje wielkości skalary i wektory Skalar to liczba, a wektor jest intuicyjnie rozumiany jako obiekt, który ma wartość i kierunek Rachunek wektorowy
Rozwiązywanie problemu algebry liniowej w arkuszach kalkulacyjnych Przykład.9. Rozwiąż według metody odwrotna macierz następujący układ równań: - -. W tym przypadku macierz współczynników A i wektor współczynników swobodnych
Moskiewski Państwowy Uniwersytet Techniczny im. NE Baumana Wydział Nauk Podstawowych Wydział Modelowania Matematycznego AN Kanatnikov, AP Krikak
Ćwiczenie 3 Zadanie Musisz zaimplementować program wykonujący operacje na tablicach. Część 1 pozwala na użycie tablic o rozmiarach statycznych. Podczas wykonywania części 2
(4 godz.) Numeryczne rozwiązywanie układów liniowych równań algebraicznych Cel pracy: zdobycie praktycznych umiejętności konstruowania algorytmów rozwiązywania układów liniowych równań algebraicznych, wdrażanie oprogramowania
ELEMENTY ALGEBRA LINIOWEJ OBJĘCIE MATRYCY I DZIAŁANIE NA NIe Podaj definicję macierzy Klasyfikacja macierzy według wielkości Co to są macierze zerowe i macierze identyczności? W jakich warunkach macierze są uważane za równe?
Wykład 1. Algebra macierzy. Macierze prostokątne i kwadratowe. Macierze trójkątne i ukośne. Transpozycja macierzy. Dodawanie macierzy, mnożenie macierzy przez liczbę, mnożenie macierzy. Podstawowe właściwości
Temat: Tablice dwuwymiarowe Laboratorium 6 Cel: Nauczenie się definiowania tablic dwuwymiarowych w C#. Nabycie umiejętności kompilowania i debugowania programów z wykorzystaniem tablic dwuwymiarowych. 1 Teoretyczny
1) Znajdź wszystkie dodatkowe nierzędne wyznacznika 1 9 11 0 0 0 56 18 2. Niech będzie dana macierz kwadratowa rzędu n. Dodatkowe małe a macierzy jest wyznacznikiem jednego elementu mniej M ij
Zadania do Praca laboratoryjna przez MathCAD. Cechy pracy z MathCAD I). Zapoznaj się z wytycznymi dotyczącymi pracy z MathCAD II). Korzystając z narzędzi MathCAD, zgodnie z wybraną opcją, wykonaj
Algebra liniowa. Matryce (wstępne definicje i przykłady) Zastrzeżenie: Poniższe informacje są jedynie podsumowaniem i nie mają na celu zastąpienia istniejących pomoc naukowa. Macierz w matematyce to tabela,
Temat: Cel: Czas: Zadanie: Literatura: Praktyczna praca 0. Używanie bezwzględnych i względnych adresów komórek we wzorach, rozwiązywanie równań i układów liniowych równań algebraicznych za pomocą
Wykład 8 Rozdział Wektory Algebra Wektory Wielkości określone tylko przez ich wartość liczbową nazywamy skalarnymi Przykłady wielkości skalarnych: długość, powierzchnia, objętość, temperatura, praca, masa
MINISTERSTWO EDUKACJI I NAUKI FEDERACJI ROSYJSKIEJ federalna państwowa budżetowa instytucja edukacyjna szkolnictwa wyższego „Kurgan Uniwersytet stanowy" Krzesło
semestr. ROZDZIAŁ. Algebra liniowa. Podstawowe definicje. Definicja. Macierz o rozmiarze mn, gdzie m to liczba wierszy, n to liczba kolumn, to tablica liczb ułożonych w określonej kolejności. Te liczby
Własności wektorów własnych operatora liniowego. 1. Jeżeli λ 1,..., λ k (k n) są różnymi wartościami własnymi operatora ϕ, to odpowiadające im wektory własne x 1,..., x k są liniowo niezależne. Dowód:
Temat 2-16: Macierz grama i wyznacznik grama A. Ya Ovsyannikov Ural Federalny Uniwersytet Instytut Matematyki i Informatyki Wydział Algebry i Matematyki Dyskretnej Algebra i Geometria dla
Rozwiązanie typowych problemów dla sekcji „Macierze” Oblicz
ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW LINIOWYCH RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH W PROCESIE TABELIOWYM MICROSOFT EXCEL. ZADANIE OBLICZENIOWE I GRAFICZNE Problem określenia rozwiązania systemu ma długą tradycję. Metod jest wiele
MatLab prezentuje wszystkie dane w postaci tablic. Bardzo ważne jest, aby zrozumieć, jak prawidłowo używać tablic. Bez tego efektywna praca w MatLabie jest niemożliwa, w szczególności kreślenie wykresów, rozwiązywanie problemów algebry liniowej, przetwarzanie danych, statystyka i wiele innych. W tym podrozdziale opisano obliczenia za pomocą wektorów.
Tablica to uporządkowany, ponumerowany zbiór jednorodnych danych. Tablica musi mieć nazwę. Tablice różnią się liczbą wymiarów lub wymiarów: jednowymiarowe, dwuwymiarowe, wielowymiarowe. Dostęp do elementów uzyskuje się za pomocą indeksu. W MatLabie numeracja elementów tablicy zaczyna się od jednego. Oznacza to, że indeksy muszą być większe lub równe jedności.
Ważne jest, aby zrozumieć, że wektor, wektor wierszowy lub macierz jest obiektem matematycznym, a tablice jednowymiarowe, dwuwymiarowe lub wielowymiarowe są sposobami przechowywania tych obiektów w komputerze. Wszędzie poniżej słowa wektor i macierz będą używane, jeśli sam obiekt jest bardziej interesujący niż sposób, w jaki jest przechowywany. Wektor można zapisać w kolumnie (wektor kolumnowy) iw wierszu (wektor wierszowy). Wektory kolumnowe i wektory wierszowe będą często nazywane po prostu wektorami, z rozróżnieniem w przypadkach, w których ważny jest sposób przechowywania wektora w MatLabie. Wektory i macierze oznaczono kursywą, a odpowiadające im tablice zwykłą czcionką o stałej szerokości, na przykład: "wektor a zawarte w tablicy a", "zapisz macierz R do tablicy r".
Wprowadź dodawanie i odejmowanie wektorów
Zacznijmy pracę z tablicami od prostego przykładu - obliczania sumy wektorów:
, .
Użyj tablic a i b do przechowywania wektorów. Wpisz szyk a w wierszu poleceń, używając nawiasy kwadratowe i oddzielenie elementów wektora średnikiem:
» a =
a =
1.3000
5.4000
6.9000
Ponieważ wprowadzone wyrażenie nie jest zakończone średnikiem, pakiet MatLab automatycznie wydedukował wartość zmiennej a. Wprowadź teraz drugi wektor, wyłączając wyświetlanie
» b = ;
Znak + służy do znajdowania sumy wektorów. Oblicz sumę, zapisz wynik do tablicy c i wyślij jej elementy do okna poleceń:
» c \u003d a + b
c =
8.4000
8.9000
15.1000
Znajdź wymiar i rozmiar tablicy za pomocą wbudowanych funkcji ndims i size:
» ndim(a)
ans =
2
» rozmiar(a)
ans =
3 1
Więc wektor a przechowywane w dwuwymiarowej tablicy a o wymiarze trzy po jednym (wektor kolumnowy trzech wierszy i jednej kolumny). Podobne operacje można wykonać dla tablic b oraz c. Ponieważ liczby w pakiecie MatLab są reprezentowane jako dwuwymiarowa tablica jeden po drugim, przy dodawaniu wektorów używany jest ten sam znak plus, co przy dodawaniu liczb.
Wektor wiersza jest wpisywany w nawiasach kwadratowych, ale elementy muszą być oddzielone spacjami lub przecinkami. Operacje dodawania, odejmowania i obliczania funkcji elementarnych z wektorów wierszowych są wykonywane w taki sam sposób, jak w przypadku wektorów kolumnowych, co daje wektor wierszowy o takim samym rozmiarze jak oryginalne. Na przykład:
» s1 =
s1 =
3 4 9 2
» s2 =
s1 =
5 3 3 2
» s3 = s1 + s2
s3 =
8 7 12 4
Uwaga 1
Jeśli rozmiary wektorów, do których stosuje się dodawanie lub odejmowanie, nie są zgodne, wyświetlany jest komunikat o błędzie.
Oczywiście, aby znaleźć różnicę wektorów, należy użyć znaku minus, przy mnożeniu sytuacja jest nieco bardziej skomplikowana.
Wprowadź dwa wektory wierszy:
» v1 = ;
» v2 = ;
Operacja .* (nie wstawiaj spacji między kropką a gwiazdką!) powoduje mnożenie elementów wektorów o tej samej długości. Wynikiem jest wektor z elementami równymi iloczynowi odpowiednich elementów oryginalnych wektorów:
» u = v1.*v2
ty =
14 -15 -24 9
Używając .^, potęgowanie elementów jest przeprowadzane:
» p = v1.^2
p=
4 9 16 1
Wykładnik może być wektorem o tej samej długości, co ten, który jest podnoszony do potęgi. W takim przypadku każdy element pierwszego wektora jest podnoszony do potęgi równej odpowiadającemu elementowi drugiego wektora:
» p = vl.^v2
P =
128.0000 -243.0000 0.0002 1.0000
Podział odpowiadających sobie elementów wektorów o tej samej długości odbywa się za pomocą operacji ./
» d = v1./v2
d=
0.2857 -0.6000 -0.6667 0.1111
Odwrotny podział element po elemencie (podział elementów drugiego wektora przez odpowiednie elementy pierwszego) odbywa się za pomocą operacji.\
» dinv=vl.\v2
div=
3.5000 -1.6667 -1.5000 9.0000
Tak więc kropka w MatLabie służy nie tylko do wpisywania ułamków dziesiętnych, ale także do wskazania, że dzielenie lub mnożenie tablic o tej samej wielkości należy wykonać element po elemencie.
Operacje element po elemencie obejmują również operacje z wektorem i liczbą. Dodanie wektora i liczby nie powoduje wyświetlenia komunikatu o błędzie. MatLab dodaje numer do każdego elementu wektora. To samo dotyczy odejmowania:
» v = ;
» s = v + 1,2
s=
5.2000 6.2000 9.2000 11.2000
» r = 1,2 - v
r=
-2.8000 -4.8000 -6.8000 -8.8000
» r1 = v - 1,2
r1 = 2,8000 4,8000 6,8000 8,8000
Możesz pomnożyć wektor przez liczbę zarówno po prawej, jak i po lewej stronie:
» v = ;
» p = v*2
p=.
8 12 16 20
» pi = 2*v
pi =
8 12 16 20
Możesz podzielić wektor za pomocą znaku / przez liczbę:
» р = v/2
p=
2 3 4 5
Próba podzielenia liczby przez wektor powoduje wyświetlenie komunikatu o błędzie:
» р = 2/v
??? Błąd przy użyciu ==> /
Wymiary matrycy muszą się zgadzać.
Jeśli chcesz podzielić liczbę przez każdy element wektora i zapisać wynik do nowego wektora, powinieneś użyć operacji ./.
» w = ;
» d = 12./w
d=
3 6 2
Wszystkie powyższe operacje dotyczą zarówno wektorów wierszy, jak i wektorów kolumn.
Funkcja MatLab do reprezentowania wszystkich danych w postaci tablic jest bardzo wygodna. Niech na przykład wymagane jest obliczenie wartości funkcji sin od razu dla wszystkich elementów wektora Z(który jest przechowywany w tablicy c) i zapisuje wynik do wektora d. Aby uzyskać wektor d wystarczy użyć jednego operatora przypisania:
» d = grzech(y)
d=
0.8546
0.5010
0.5712
Tak więc podstawowe funkcje wbudowane w MatLab dostosowują się do postaci argumentów; jeśli argumentem jest tablica, to wynikiem funkcji będzie tablica o tym samym rozmiarze, ale z elementami równymi wartości funkcji z odpowiednich elementów oryginalnej tablicy. Sprawdź to na innym przykładzie. Jeśli chcesz znaleźć pierwiastek kwadratowy z elementów wektora d ze znakiem minus wystarczy napisać:
» sqrt(-d)
ans =
0 + 0,9244i
0 + 0,7078i
0 + 0.7558i
Operator przypisania nie został użyty, więc pakiet MatLab zapisał odpowiedź w standardowej zmiennej ans.
Aby określić długość wektorów kolumn lub wektorów wierszy, użyj wbudowanej funkcji length:
» długość(s1)
ans =
4
Wiele wektorów kolumn można połączyć w jeden, używając nawiasów kwadratowych i oddzielając oryginalne wektory kolumn średnikiem:
» v1 = ;
» v2 = ;
»v=
v=
1
2
3
4
5
Łączenie wektorów wierszy również używa nawiasów kwadratowych, ale połączone wektory wierszy są oddzielone spacjami lub przecinkami:
» v1 = ;
» v2 = ;
»v=
v=
1 2 3 4 5
Praca z elementami wektorowymi
Dostęp do elementów wektora kolumnowego lub wektora wierszowego uzyskuje się za pomocą indeksu ujętego w nawiasy po nazwie tablicy, w której przechowywany jest wektor. Jeśli zmienne środowiska wykonawczego zawierają tablicę v zdefiniowaną przez wektor wiersza
» v = ;
następnie, aby wyprowadzić, na przykład, jego czwarty element, użyj indeksowanie:
» v(4)
ans =
8.2000
Pojawienie się elementu tablicy po lewej stronie operatora przypisania powoduje zmianę tablicy
» v(2) = 555
v=
1.3000 555.0000 7.4000 8.2000 0.9000
Elementy tablicy mogą być używane do tworzenia nowych tablic, na przykład
»u=
u=
7.4000
555.0000
1.3000
Aby umieścić pewne elementy wektora w innym wektorze w podanej kolejności, użyj indeksowanie wektorów. Zapis do tablicy w czwarty, drugi i piąty element v produkowane w następujący sposób:
» ind = ;
» w = v(ind)
w =
8.2000 555.0000 0.9000
MatLab zapewnia wygodnym sposobem dostęp do bloków kolejnych elementów wektora kolumnowego lub wektora wierszowego. Do tego służy indeksowanie z dwukropkiem. Załóżmy, że w tablicy w, odpowiadający wektorowi wierszowemu składającemu się z siedmiu elementów, wymagane jest zastąpienie elementów od drugiego do szóstego zerami. Indeksowanie za pomocą dwukropka pozwala w prosty i wizualny sposób rozwiązać problem:
» w = ;
» w(2:6) = 0;
» w
w =
0.1000 0 0 0 0 0 9.8000
Przypisanie w(2:6) = 0 jest równoważne z sekwencją poleceń
w(2) = 0; w(3)=0; w(4)=0; w(5)=0; w(6)=0.
Indeksowanie dwukropków przydaje się podczas alokowania porcji dużej ilości danych do nowej tablicy:
» w - ;
»wl = w(3:5)
wl=
3.3000 5.1000 2.6000
Utwórz tablicę w2 zawierającą elementy w poza czwartą. W takim przypadku wygodnie jest użyć konkatenacji dwukropka i ciągu:
» w2 =
w2 =
0.1000 2.9000 3.3000 2.6000 7.1000 9.8000
W wyrażeniach można umieszczać elementy tablicy. Znalezienie na przykład średniej geometrycznej elementów tablicy ty, można to zrobić w ten sposób:
» gm = (u(l)*u(2)*u(3))^(l/3)
gm=
17.4779
Oczywiście ta metoda nie jest zbyt wygodna w przypadku długich tablic. Aby znaleźć średnią geometryczną, należy wpisać do formuły wszystkie elementy tablicy. W MatLabie jest sporo specjalnych funkcji, które ułatwiają takie obliczenia.
Stosowanie funkcji przetwarzania danych do wektorów
Mnożenie elementów wektora kolumnowego lub wektora wierszowego odbywa się za pomocą funkcji prod:
» z = ;
» p = prod(z)
p=720
Funkcja sum służy do sumowania elementów wektora. Za jego pomocą łatwo obliczyć średnią arytmetyczną elementów wektora z:
» suma(z)/długość(z)
ans =
3.5000
MatLab posiada również specjalną funkcję mean do obliczania średniej arytmetycznej:
» oznacza(z)
ans =
3.5000
Do określenia minimum i maksimum elementów wektora to wbudowane funkcje min i max:
» m1 = max(z)
m1 =
6
» m2 = min(z)
m2 =
1
Często konieczna jest znajomość nie tylko wartości minimalnego lub maksymalnego elementu w tablicy, ale także jego indeksu (numeru seryjnego). W takim przypadku wbudowane funkcje min i max muszą być używane z dwoma argumentami wyjściowymi, na przykład
» = min(z)
m =
1
k =
3
W efekcie zmiennej m zostanie przypisana wartość minimalnego elementu tablicy z, a do zmiennej k zostanie wpisany numer minimalnego elementu.
Aby uzyskać informacje na temat różne drogi Aby użyć funkcji, wpisz help i nazwę funkcji w wierszu poleceń. MatLab wyświetli w oknie poleceń wszystkie możliwe sposoby wywołania funkcji wraz z dodatkowymi objaśnieniami.
Wśród podstawowych funkcji do pracy z wektorami jest funkcja sortowania wektora w porządku rosnącym jego elementów, sort.
» r = ;
» R = sort(r)
R=
Możesz posortować wektor w kolejności malejącej, używając tego samego funkcja sortowania:
» R1 = -sortuj(-r)
R1 =
9.4000 7.1000 1.3000 0.8000 -2.3000 -5.2000
Porządkowanie elementów w porządku rosnącym ich modułów odbywa się za pomocą funkcje abs:
» R2 = sortuj(abs(r))
R2 =
0.8000 1.3000 2.3000 5.2000 7.1000 9.4000
Wywołanie sortowania z dwoma argumentami wyjściowymi powoduje powstanie tablicy indeksów pasujących do elementów tablicy uporządkowanej i oryginalnej:
» = sortuj(r)
rs=
-5.2000 -2.3000 0.8000 1.3000 7.1000 9.4000
ind =
3 2 5 6 4 1
